8.6.1直線與直線垂直同步練習(xí)

一.選擇題

1.在正方體ABCD-AgCQ中，表面的對角線中與4A成60。的有（）

A.4條B.6條C.8條D.10條

2.如圖所示，在矩形A38中，AB=4,AD=2,尸為邊A8的中點，現(xiàn)將AQ4P

繞直線6翻轉(zhuǎn)至△ZM75處，若M為線段4c的中點，則異面直線3M與RV所成

角的正切值為（）

A.-B.2C.-D.4

24

3.在正方體ABCO-A4GA中，與AC垂直的是（）

A.BDB.CDC.BCD.CG

4.如圖，如果MC_L菱形ABCD所在的平面，那么M4與BD的位置關(guān)系是（）

B.垂直相交C.異面垂直D.相交但不垂直

5.若空間中四條兩兩不同的直線《，4，，3，4，滿足，2，/3，4，小則

下列結(jié)論一定正確的是（）

A.4一定與/4垂直

B.4一定與4平行

c.4一定與乙共面

D.4與乙的位置關(guān)系可能是平行，相交，或異面

6.設(shè)P是直線/外一定點，過點P且與/成30。角的異面直線（）

A.有無數(shù)條B.有兩條C.至多有兩條D.有一條

7.如圖，在正三角形ABC中，D,E,尸分別為各邊的中點，G,H,1,1/分

別為AD,BE、的中點.將AABC沿DE,EF,折成三棱錐以后，GH

與〃所成角的度數(shù)為（）

A.90°B.60°C.45°D.0°

8.如圖所示是正方體的平面展開圖，在這個正方體中（）

①8M與￡?平行；

②CN與BE是異面直線；

③CN與3M成60。角；

④DW與垂直.

A.①②③B.②④C.③④D.②③④

9.如圖，在四面體ABCD中，點P、Q、M、N分別是棱他、BC、CD、AD的

中點，截面PQMV是正方形，則下列結(jié)論錯誤的為（）

A.AC=CD

B.AC//截面PQMN

C.ACA.BD

D.異面直線PM與BO所成的角為45。

10.如圖，點P、。分別是正方體A8CD-ABCA的面對角線4Q、8。的中點,

則異面直線PQ和BQ所成的角為（）

二.填空題

11.如圖，在三棱錐A-88中，E、F、G分別為A3、BC、"＞的中點,

ZGEF=120°，則直線3。和AC所成角的度數(shù)為.

12.如圖，若正四棱柱ABCD-AgCQ的底面邊長為2,高為4,則異面直線

與AD所成角的余弦值為.

13.已知四面體ABCD的棱都相等，G為AABC的重心，則異面直線AG與8所

成角的余弦值為—.

14.已知兩異面直線4,人所成的角為80。，過空間一點P作直線/,使得/與”,

。的夾角均為50。，那么這樣的直線有一條.

三.解答題

15.空間四邊形中，AD=BC=2,E、尸分別是Afi、CZ)的中點，若￡尸=6,

求異面直線4)、8c所成角的大小.

16.正四棱錐P-A8CD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E為PC中點.

(1)求證：PA//平面比應(yīng)；

(2)求異面直線咫與上所成角的余弦值.

17.在四面體A-3C￡＞中，E,尸分別是他，8的中點，若AC,或)所成的角

為60。，且8/)=AC=l,求砂的長度.

18.如圖，已知點尸在圓柱OO|的底面OO上，AB.A內(nèi)分別為OO、的直徑,

且平面外

(1)求證：BP1A.P；

(2)若圓柱。01的體積V=12乃，OA=2,ZAOP=120。，①求三棱錐A-AP8的體

積.

②在線段北上是否存在一點M,使異面直線OM與AB所成角的余弦值為|?

若存在，請指出M的位置，并證明；若不存在，請說明理由.

8.6.1直線與直線垂直同步練習(xí)答案

1.解：在幾何體中，根據(jù)正方體的性質(zhì)知所有過A和R點的正方體平面的對角

線與它組成的角都是60。,

這樣就有4條,

根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體的和做出的面上的對角線平行的也滿足條件,

故一共有8條,

2.解：取4。中點N,連結(jié)PN,MN,

?.,M是AC的中點，:.MNI/CDIIPB,且MN=PB,

.??四邊形P8MN為平行四邊形，

.-.MB//PN,

在中，tanZA'PN=——=-,

A'P2

???異面直線皿與PA，所成角的正切值為;.

故選：A.

3.解：正方體A8CQ-A4Gq如圖，

考察四個選項，B,C,。三個選項中的線段都與AC相交，由正方體的性質(zhì)知

此三個線段都不與AC垂直，

故選：A.

4.解：由題設(shè)條件及圖形，是面的斜線，故與皮）的一定是異面直

線，

平而ABC。

:.BDVMC

是菱形

.-.BDA.AC

MCp|AC=G

.?.8。_1平面的。

?.,M4在平面M4C內(nèi)

：.MALBD

考察四個選項，A，B,O都不符合題意

故選：C.

5.解:如圖所示，

4與乙的位置關(guān)系可能是平行，相交，或異面.

故選：D.

6.解：如圖：依題意，設(shè)過點尸且與直線/平行的平面為

在平面a內(nèi)過P作/的平行線T,

在平面0內(nèi)過P直線機使機叮？夾角為30。.

將平面a繞「旋轉(zhuǎn)，且使平面a不過直線/,

則直線機每旋轉(zhuǎn)到一個新位置得到的直線均與/異面，且與/的夾角均為30。,

故選：A.

7.解：將AA8C沿￡>E,EF,OF折成三棱錐以后,

/、1/分別為BE、DE的中點，則〃〃側(cè)棱，

故G”與"所成角與側(cè)棱與G”所成的角相等；

AD為折成三棱錐的側(cè)棱，因為ZAHG=60。，

故GH與IJ所成角的度數(shù)為60。，

故選：B.

8.解：由題意畫出正方體的圖形如圖：

顯然①②不正確；

③CV與成60。角，即ZANC=60。正確；

④平面8CN,所以④正確；

故選：C.

9.解：題意可知，截面PQMN是正方形,

則PQ//QM,SLPQ=QM,ZPQM=90°,NPMQ=45°,

乂點、P、Q、M、N分別是棱河、BC、CD、AD的中點，

MNH-AC,Si.MN=-AC,MNu面PQMN,ACffiPQMN,

22

因為AC//面PQMN,QM//-BD,QM=^BD,ACrBD,AC=BD,

所以A不正確，B,C正確；

QM//BD，

所以尸M與8。所成的角等于QM號所成的角45°,

所以O(shè)正確.

故選：A.

10.解：如圖所示，

連接RC,則PQ//RC.

連接4G，48,則△AG8是等邊三角形，入BUD\C.

則ZABG是異面直線PQ和BG所成的角，為60。.

11.解：在三棱錐A-88中，E、F、G分別為43、BC、4）的中點,

所以EF//AC,EGHBD,

所以直線8￡）和AC所成的角為NGEF或其補角，

又NGEF=120。，所以NGW的補角為60。.

所以直線皮）和AC所成角的度數(shù)為60°.

故答案為：60°.

12.解：以。為原點，為*軸，DC為y軸，。2為z軸，建立空間直角坐標

系，

?.?正四棱柱ABS-ABCQ的底面邊長為2,高為4,

二8(2,2,0),0.(0,0,4),A(2,0,0),0(0,0,0),

BD\=(-2,-2,4),AD=(-2,0,0),

設(shè)異面直線BD］與4）所成角為0,

\BD\?AD\4_V6

貝ljcos0=

|西?|砌—必.2—6

.?.異面直線的與AD所成角的余弦值為遠.

6

故答案為：忌.

6

，、

13.解：設(shè)四面體A8C￡）的棱長為a,延長AG交8c于點E，取8n的中點連

接所、AF,

D

由題意知，E為的中點,

:.CD//EF,故ZAE尸即為異面直線AG與CD所成角.

在AAEUp,AE=AF=—a,EF=-a,

22

313

-a2+—?2?——a2n

由余弦定理知，cosNAEF=A&+"尸一”廣_444_v3

2AE-EF…17

2x——ax—a

22

二異面直線AG與8所成角的余弦值為2.

6

故答案為：走.

6

14.解：在空間取一點P,經(jīng)過點P分別作a//4,b//b',

設(shè)直線"、加確定平面a,

當(dāng)直線PM滿足它的射影PQ在"、b'所成角的平分線上時,

PM與a'所成的角等于PM與b'所成的角.

因為直線a,。所成的角為80。，得"、//所成銳角等于80°,

所以當(dāng)PM的射影PQ在d、//所成銳角的平分線上時，

與a'、H所成角的范圍是[40。,90°).

這種情況下，過點尸有兩條直線與al加所成的角都是50。；

當(dāng)尸用的射影PQ在，、加所成鈍角的平分線上時，PM與a'、Z/所成角的范圍是

[50°,90°).

這種情況下，過點尸有且只有一條直線(即PMua時)與"，加所成的角都是50。.

綜上所述，過空間任意一點尸可作與a,b所成的角都是50。的直線有3條.

故答案為：3.

15.解：設(shè)G為AC的中點，?.?￡、F分別是43、CD中點

:.EG//BCLI\.EG=-1BC=\

2

FG/M￡>且FG=』AO=1

2

.?.Z￡G尸為異面直線AD、所成的角(或其補角)

EF=M,

..AEGF中，cosZEGF=--

2

.?.NEG尸=120°,

即異面直線4)、8C所成的角為60。

16.解：⑴連接AC,

設(shè)AC,8。的交點為O,

連接OE，

因為OE//R1,

PAU而EBD,

又OEu面EBD,

故4P//面由)E，

(2)由(1)可得:

ADEO為異面直線PA與DE所成的角,

設(shè)他=2,

貝1JEO=1,OD=垃,DE=6,

由勾股定理可得：

△o/把為直角三角形，

貝ljcosZ.DEO==-4==,

DE乖,3

故異面直線必與小所成角的余弦值為今

17.解：取8c的中點G,連接EG、FG,則NEGF(或其補角)為BD、AC所

成的角

;BD、AC所成的角為60。，.■./成才=60。或120。

?-BD=AC=\,/.EG=FG=-

2

^+--2x—X—xcos120°=^-

/.ZEGF=60°EF=-\/或加=120。時，EF=

244222

EF=-或—

22

故答案為：_L或且.

22

18.(1)證明：?.?P在0。上，AB