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文檔簡介
8.6.1直線與直線垂直同步練習
一.選擇題
1.在正方體ABCD-AgCQ中,表面的對角線中與4A成60。的有()
A.4條B.6條C.8條D.10條
2.如圖所示,在矩形A38中,AB=4,AD=2,尸為邊A8的中點,現將AQ4P
繞直線6翻轉至△ZM75處,若M為線段4c的中點,則異面直線3M與RV所成
角的正切值為()
A.-B.2C.-D.4
24
3.在正方體ABCO-A4GA中,與AC垂直的是()
A.BDB.CDC.BCD.CG
4.如圖,如果MC_L菱形ABCD所在的平面,那么M4與BD的位置關系是()
B.垂直相交C.異面垂直D.相交但不垂直
5.若空間中四條兩兩不同的直線《,4,,3,4,滿足,2,/3,4,小則
下列結論一定正確的是()
A.4一定與/4垂直
B.4一定與4平行
c.4一定與乙共面
D.4與乙的位置關系可能是平行,相交,或異面
6.設P是直線/外一定點,過點P且與/成30。角的異面直線()
A.有無數條B.有兩條C.至多有兩條D.有一條
7.如圖,在正三角形ABC中,D,E,尸分別為各邊的中點,G,H,1,1/分
別為AD,BE、的中點.將AABC沿DE,EF,折成三棱錐以后,GH
與〃所成角的度數為()
A.90°B.60°C.45°D.0°
8.如圖所示是正方體的平面展開圖,在這個正方體中()
①8M與£?平行;
②CN與BE是異面直線;
③CN與3M成60。角;
④DW與垂直.
A.①②③B.②④C.③④D.②③④
9.如圖,在四面體ABCD中,點P、Q、M、N分別是棱他、BC、CD、AD的
中點,截面PQMV是正方形,則下列結論錯誤的為()
A.AC=CD
B.AC//截面PQMN
C.ACA.BD
D.異面直線PM與BO所成的角為45。
10.如圖,點P、。分別是正方體A8CD-ABCA的面對角線4Q、8。的中點,
則異面直線PQ和BQ所成的角為()
二.填空題
11.如圖,在三棱錐A-88中,E、F、G分別為A3、BC、">的中點,
ZGEF=120°,則直線3。和AC所成角的度數為.
12.如圖,若正四棱柱ABCD-AgCQ的底面邊長為2,高為4,則異面直線
與AD所成角的余弦值為.
13.已知四面體ABCD的棱都相等,G為AABC的重心,則異面直線AG與8所
成角的余弦值為—.
14.已知兩異面直線4,人所成的角為80。,過空間一點P作直線/,使得/與”,
。的夾角均為50。,那么這樣的直線有一條.
三.解答題
15.空間四邊形中,AD=BC=2,E、尸分別是Afi、CZ)的中點,若£尸=6,
求異面直線4)、8c所成角的大小.
16.正四棱錐P-A8CD的側棱長與底面邊長都相等,E為PC中點.
(1)求證:PA//平面比應;
(2)求異面直線咫與上所成角的余弦值.
17.在四面體A-3C£>中,E,尸分別是他,8的中點,若AC,或)所成的角
為60。,且8/)=AC=l,求砂的長度.
18.如圖,已知點尸在圓柱OO|的底面OO上,AB.A內分別為OO、的直徑,
且平面外
(1)求證:BP1A.P;
(2)若圓柱。01的體積V=12乃,OA=2,ZAOP=120。,①求三棱錐A-AP8的體
積.
②在線段北上是否存在一點M,使異面直線OM與AB所成角的余弦值為|?
若存在,請指出M的位置,并證明;若不存在,請說明理由.
8.6.1直線與直線垂直同步練習答案
1.解:在幾何體中,根據正方體的性質知所有過A和R點的正方體平面的對角
線與它組成的角都是60。,
這樣就有4條,
根據正方體的性質,在正方體的和做出的面上的對角線平行的也滿足條件,
故一共有8條,
2.解:取4。中點N,連結PN,MN,
?.,M是AC的中點,:.MNI/CDIIPB,且MN=PB,
.??四邊形P8MN為平行四邊形,
.-.MB//PN,
在中,tanZA'PN=——=-,
A'P2
???異面直線皿與PA,所成角的正切值為;.
故選:A.
3.解:正方體A8CQ-A4Gq如圖,
考察四個選項,B,C,。三個選項中的線段都與AC相交,由正方體的性質知
此三個線段都不與AC垂直,
故選:A.
4.解:由題設條件及圖形,是面的斜線,故與皮)的一定是異面直
線,
平而ABC。
:.BDVMC
是菱形
.-.BDA.AC
MCp|AC=G
.?.8。_1平面的。
?.,M4在平面M4C內
:.MALBD
考察四個選項,A,B,O都不符合題意
故選:C.
5.解:如圖所示,
4與乙的位置關系可能是平行,相交,或異面.
故選:D.
6.解:如圖:依題意,設過點尸且與直線/平行的平面為
在平面a內過P作/的平行線T,
在平面0內過P直線機使機叮?夾角為30。.
將平面a繞「旋轉,且使平面a不過直線/,
則直線機每旋轉到一個新位置得到的直線均與/異面,且與/的夾角均為30。,
故選:A.
7.解:將AA8C沿£>E,EF,OF折成三棱錐以后,
/、1/分別為BE、DE的中點,則〃〃側棱,
故G”與"所成角與側棱與G”所成的角相等;
AD為折成三棱錐的側棱,因為ZAHG=60。,
故GH與IJ所成角的度數為60。,
故選:B.
8.解:由題意畫出正方體的圖形如圖:
顯然①②不正確;
③CV與成60。角,即ZANC=60。正確;
④平面8CN,所以④正確;
故選:C.
9.解:題意可知,截面PQMN是正方形,
則PQ//QM,SLPQ=QM,ZPQM=90°,NPMQ=45°,
乂點、P、Q、M、N分別是棱河、BC、CD、AD的中點,
MNH-AC,Si.MN=-AC,MNu面PQMN,ACffiPQMN,
22
因為AC//面PQMN,QM//-BD,QM=^BD,ACrBD,AC=BD,
所以A不正確,B,C正確;
QM//BD,
所以尸M與8。所成的角等于QM號所成的角45°,
所以O正確.
故選:A.
10.解:如圖所示,
連接RC,則PQ//RC.
連接4G,48,則△AG8是等邊三角形,入BUD\C.
則ZABG是異面直線PQ和BG所成的角,為60。.
11.解:在三棱錐A-88中,E、F、G分別為43、BC、4)的中點,
所以EF//AC,EGHBD,
所以直線8£)和AC所成的角為NGEF或其補角,
又NGEF=120。,所以NGW的補角為60。.
所以直線皮)和AC所成角的度數為60°.
故答案為:60°.
12.解:以。為原點,為*軸,DC為y軸,。2為z軸,建立空間直角坐標
系,
?.?正四棱柱ABS-ABCQ的底面邊長為2,高為4,
二8(2,2,0),0.(0,0,4),A(2,0,0),0(0,0,0),
BD\=(-2,-2,4),AD=(-2,0,0),
設異面直線BD]與4)所成角為0,
\BD\?AD\4_V6
貝ljcos0=
|西?|砌—必.2—6
.?.異面直線的與AD所成角的余弦值為遠.
6
故答案為:忌.
6
,、
13.解:設四面體A8C£)的棱長為a,延長AG交8c于點E,取8n的中點連
接所、AF,
D
由題意知,E為的中點,
:.CD//EF,故ZAE尸即為異面直線AG與CD所成角.
在AAEUp,AE=AF=—a,EF=-a,
22
313
-a2+—?2?——a2n
由余弦定理知,cosNAEF=A&+"尸一”廣_444_v3
2AE-EF…17
2x——ax—a
22
二異面直線AG與8所成角的余弦值為2.
6
故答案為:走.
6
14.解:在空間取一點P,經過點P分別作a//4,b//b',
設直線"、加確定平面a,
當直線PM滿足它的射影PQ在"、b'所成角的平分線上時,
PM與a'所成的角等于PM與b'所成的角.
因為直線a,。所成的角為80。,得"、//所成銳角等于80°,
所以當PM的射影PQ在d、//所成銳角的平分線上時,
與a'、H所成角的范圍是[40。,90°).
這種情況下,過點尸有兩條直線與al加所成的角都是50。;
當尸用的射影PQ在,、加所成鈍角的平分線上時,PM與a'、Z/所成角的范圍是
[50°,90°).
這種情況下,過點尸有且只有一條直線(即PMua時)與",加所成的角都是50。.
綜上所述,過空間任意一點尸可作與a,b所成的角都是50。的直線有3條.
故答案為:3.
15.解:設G為AC的中點,?.?£、F分別是43、CD中點
:.EG//BCLI\.EG=-1BC=\
2
FG/M£>且FG=』AO=1
2
.?.Z£G尸為異面直線AD、所成的角(或其補角)
EF=M,
..AEGF中,cosZEGF=--
2
.?.NEG尸=120°,
即異面直線4)、8C所成的角為60。
16.解:⑴連接AC,
設AC,8。的交點為O,
連接OE,
因為OE//R1,
PAU而EBD,
又OEu面EBD,
故4P//面由)E,
(2)由(1)可得:
ADEO為異面直線PA與DE所成的角,
設他=2,
貝1JEO=1,OD=垃,DE=6,
由勾股定理可得:
△o/把為直角三角形,
貝ljcosZ.DEO==-4==,
DE乖,3
故異面直線必與小所成角的余弦值為今
17.解:取8c的中點G,連接EG、FG,則NEGF(或其補角)為BD、AC所
成的角
;BD、AC所成的角為60。,.■./成才=60。或120。
?-BD=AC=\,/.EG=FG=-
2
^+--2x—X—xcos120°=^-
/.ZEGF=60°EF=-\/或加=120。時,EF=
244222
EF=-或—
22
故答案為:_L或且.
22
18.(1)證明:?.?P在0。上,AB
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