目錄

1光學系統像質評價方法........................................................1

1.1幾何像差...............................................................1

1.1.1色差.............................................................2

1.1.2軸上像點的單色像差..............................................3

1.1.3軸外像點的單色像差..............................................4

1.1.4正弦差、像散、畸變.............................................6

1.2垂軸像差...............................................................6

2光學自動設計方法...........................................................8

2.1光學自動設計程序的數學過程............................................8

2.2阻尼最小二乘法光學自動設計程序.......................................10

2.3適應法光學自動設計程序...............................................12

3望遠鏡......................................................................15

3.1望遠鏡物鏡設計........................................................15

3.1.1選擇初始結構....................................................15

3.1.2優化............................................................16

3.2望遠鏡目鏡設計.......................................................16

3.2.1參數計算........................................................17

3.2.2選擇初始系統：.................................................17

3.2.3優化..........................................................18

3.3物鏡目鏡組合..........................................................19

4照相物鏡設計................................................................21

4.1選擇初始結構..........................................................21

4.2優化..................................................................22

5變焦系統設計...............................................................24

現代光學設計方法

1光學系統像質評價方法

要求：掌握采用常用評價指標評價光學系統成像質量的方法，對幾何像差和垂軸

像差進行分類和總結。

任何一個光學系統都不可能理想成像，因此存在一個光學系統成像質量優劣

的評價問題，從不同的角度出發會得到不同的像質評價指標。

在檢測階段的像質評價指標有星點檢測、分辨率檢測。

在設計階段的像質評價指標，可以分為以下兩類：1、幾何光學方法，包括

幾何像差、波像差、點列圖和幾何光學傳遞函數。2、物理光學方法，包括點擴

散函數、相對中心光強、物理光學傳遞函數。

1.1幾何像差

「垂軸色差

（色差<

L軸向色差

〃細光束弧矢場曲

像散

軸上一球差

幾何像差\弧矢球差

畸變C弧矢

弧矢場曲

正弦差

<弧矢慧差

單色像差\軸外

〃細光束子午場曲

子午球差

I子午

子午場曲

I子午慧差

圖1-1幾何像差的分類

1

現代光學設計方法

1.1.1色差

光波實際上是波長為400?760nm的電磁波，不同波長的光在真空中傳播的

速度都是光速，但在介質中的傳播速度隨波長而改變，由n=c/v可知，光學系統

中介質對不同波長的光的折射率不同。薄透鏡的焦距公式為：

由于折射率n隨波長的不同而變化，因此焦距尸也隨之變化。當對無限遠

的軸上物體成像時，不同顏色光線所成像的位置也就不同。我們把不同顏色光線

理想像點位置之差稱為近軸位置色差，通常用C和F兩種波長光線的理想像平

面間的距離來表示近軸位置色差，也成為近軸軸向色差。若乙和（分別表示F

與C兩種波長光線的近軸像距，則近軸軸向色差""為：

△/尸C=/尸，—

當焦距隨波長改變時，像高V也隨之改變，不同顏色光線所成的像高也

不一樣。這種像的大小的差異稱為垂軸色差，它代表不同顏色光線的主光線和同

一基準像面交點高度（即實際像高）之差。通常這個基準像面選定為中心波長的

理想像平面。若和Vzc分別表示F和c兩種波長光線的主光線在D光理想像

平面上的交點高度，則垂軸色差為：

FC~VZF—yzc

2

現代光學設計方法

1.1.2軸上像點的單色像差

軸上有限遠同一物點發出的不同孔徑的光線通過系統后不再交于一點，成像

不理想。為了表示這些對稱光線在光軸方向的離散程度，采用不同孔徑光線的聚

交點對理想像點4的距離44。、44-85等等來表示，稱為球差，用符號瓦表

示，&的計算公式是：

8L=L'-r

式中，Z代表一寬孔徑高度光線的聚交點的像距；/'為近軸像點的像距。如果系

統理想成像，則所有出射光線均交于理想像點4,球差

0

應仰=駕.85=^0.7071=孔。5=心3=.反之，球差值越大，成像質量越差。

3

現代光學設計方法

1.1.3軸外像點的單色像差

軸外物點發出的通過系統的所有光線在像空間的聚交情況比軸上點復雜。為

了能夠簡化問題，同時又能定量地描述這些光線的彌散程度，從整個入射光束中

取兩個相互垂直的平面光束，用這兩個平面光束的結構來近似地代表整個光束的

結構。將系統的對稱面稱為子午面，如下圖中的平面將過主光線與子

午面垂直的平面稱為弧矢面，如下圖中的平面3。十。一平面。用來描述這兩個平

面光束結構的幾何參數分別成為子午像差和弧矢像差。

1.1.3.1子午像差

子午光線對通過系統后的所有光線都應交在理想像平面上的同一點。由于有

像差存在，光線對的交點既不在主光線上，也不在理想像平面上。為了表示這種

差異，我們用子午光線對的交點瓦離理想像平面的軸向距離X?表示此光線對交

點偏離主光線的程度，成為“子午場曲”。如下圖所示。用光線對交點屏離開主

光線的垂直距離表示此光線對交點偏離主光線的程度，成為“子午彗差”。當

光線對對稱地逐漸向主光線靠近，寬度趨于零時，它們的交點耳趨近于一點瓦，

瓦顯然應該位于主光線上，它離開理想像平面的距離稱為“細光束子午場曲”，用

為表示。不同寬度子午光線對的子午場曲和細光束子午場曲天之差（Xr-xJ,

代表了細光束和寬光束交點前后位置的差。此差值成為“軸外子午球差"，用

4

現代光學設計方法

表示:

SLrp=XT—xt

1.1.3.2弧矢像差

如下圖所示，陰影部分所在平面即為弧矢面。把弧矢光線對的交點用到理

想像平面的距離用Xs表示，稱為“弧矢場曲”；瓦到主光線的距離用K,s表示，

稱為“弧矢彗差”。主光線附近的弧矢細光束的交點瓦到理想像平面的距離用“】

表示，稱為“細光束弧矢場曲”；X；-%稱為“軸外弧矢球差，，，用區s表示：

5

現代光學設計方法

1.1.4正弦差、像散、畸變

對于某些小視場大孔徑的光學系統來說，由于像高本身較小，彗差的實際數

值更小，因此用彗差的絕對數值不足以說明系統的彗差特性。一般改用彗差與像

高的比值來代替系統的彗差，稱正弦差，用符號S。'表示：

SC'-

y

sc'的計算公式為：

兀_sinU.，/'-/；］

sinU勿1V-lz

對于用小孔徑光束成像的光學系統，它在理想像平面上的成像質量由細光束

子午和弧矢場曲西，X；決定。二者之差反映了主光線周圍的細光束偏離同心光束

的程度，稱為“像散”，代表了主光線周圍細光束的成像質量，用符號/表示：

把成像光束的主光線和理想像平面交點的高度作為光束的實際像高，那么它

和理想像高的差值稱為“畸變”。畸變不影響像的清晰度，只影響像的變形。

1.2垂軸像差

利用不同孔徑子午、弧矢光線在理想像平面上的交點和主光線在理想像平面

上的交點之間的距離來表示的像差，稱為垂軸幾何像差。

為了表示子午光束的成像質量，在整個子午光束截面內取若干對光線，一般

取±LOh,±0.85h,±0.7071h,±0.5h,±0.3h,Oh這11條不同孔徑的光線，計算

出它們和理想像平面交點的坐標，由于子午光線永遠位于子午面內，因此在理想

像平面上交點高度之差就是這些交點之間的距離。求出前10條光線和主光線（0

孔徑光線）高度之差即為子午光束的垂軸像差，如下圖所示。

為'=了一%

為了用垂軸像差表示色差，可以將不同顏色光線的垂軸像差用同一基準像面

6

現代光學設計方法

和同一基準主光線作為基準點計算各色光線的垂軸像差。一般情況下，我們采用

平均中心波長光線的理想像平面和主光線作為基準計算各色光光線的垂軸色差。

為了了解整個像面的成像質量，同樣需要計算軸上點和若干不同像高軸外點的垂

軸像差。對軸上點來說，子午和弧矢垂軸像差是完全一樣的，因此弧矢垂軸像差

沒有必要計算0視場的垂軸像差。

7

現代光學設計方法

2光學自動設計方法

要求：學習光學自動設計和兩種常用自動設計程序的原理，掌握阻尼最小二乘法

自動設計程序的使用方法，或掌握ZEMAX軟件中的自動設計程序使用方法

2.1光學自動設計程序的數學過程

隨結構參數改變的參數。它們包括代表系統成像質量的各種幾何像差或波像

差。同時也包括某些近軸光學特性參數，如焦距尸，放大率/，像距J出瞳距

等等。為了簡單起見，將第二類參數統稱為像差，用符號片，…，乙代表。

系統的結構參數用符號毛，…，Z代表。兩者之間的函數關系可用下列形式表

fl(%i,x.)=6

fm(X[％—Fr

式中，力，…，力"分別代表像差片，…，工■與自變量/，…，%之間的函數關

系。上式稱為像差方程組。光學設計問題從數學角度來看，就是建立和求解這個

像差方程組。

要找出符合條件的解，關鍵的問題還是要給出像差和結構參數之間的函數關

系。但這里找不出像差和結構參數之間具體函數形式。在這種情況下，工程數學

中最常用的方法是把函數表示成自變量的哥級數，根據需要和可能，選到一定的

嘉次，然后通過實驗或數值計算的方法，求出若干抽樣點的函數值，列出足夠數

量的方程式，求解出越級數的系數，這樣函數的累級數形式即可確定。最簡單的

情形是只選取越級數的一次項，即把像差和結構參數之間的函數關系，近似用下

列線性方程來代替

-X0n)

8

現代光學設計方法

式中，品為原始系統的像差值；（X。"""。"）為原始系統的結構參數；/為像差的

目標值；（五「為像差對各個自變量的一階偏導數。

求'次"這些偏導數的方法是通過像差計算求出函數值對各個結構

參數的差商1派—‘灰），用差商來近似地代替這些偏導數。具體的步驟是把原

始系統的某個結構參數改變一個微小的增量加，使x=%+加，重新計算像差值

造名

得到相應的像差增量吁=/一心。用像差對該自變量的差商加代替微商派。對

每個自變量重復上述計算，就可以得到各種像差對各個自變量的全部偏導數。利

用這些近似的偏導數值就能列出一個像差和自變量之間的近似的線性方程組

_上01A上LA

五F1=%F+—?+...+￡%

『仆言必+…+看此

上式稱為像差線性方程組，用它來近似代替像差方程組（2-1）。這就是光學自

動設計的基本出發點。

為了簡單可以用矩陣形式來表示上述方程組，設：

&cn

Ax】xQ—x01AF]Fx—F01A_

,組

-...—...—...—...

X-xAFF-F

non，mmOm，

這樣像差線性方程組的矩陣形式為：

AAx=AF

求解上述線性方程組，得到一組解盤，然后用一個小于1的常數。乘心得到:

Ax?=Ax-p

9

現代光學設計方法

按&P對原系統進行修改，當P足夠小時，總可以獲得一個比原系統有所改

善的新系統。因為當P足夠小時，像差線性方程組能近似反映系統的像差性質。

把新得到的系統作為新的原始系統，重新建立像差線性方程組后進行求解。這樣

不斷的重復，知道各種像差符合要求為止。這就是目前絕大多數光學自動設計程

序所采用的主要數學過程。

2.2阻尼最小二乘法光學自動設計程序

當像差數大于自變量數的情形：m>n,這時方程組是一個超定方程組，它不

存在滿足所有方程式的準確解，只能求它的近似解一最小二乘解。

首先定義一個函數組，他們的意義如以下公式所示：

…-M

加dx?

.=善用+.“+善此一

沃1dxn

cpm稱為“像差殘量”，寫成矩陣形式為：

（P=AAx-AF

取各像差殘量的平方和構成另一個函數①（'）：

①（一）=-一=:m嬤

Z=1

①（Ax）在光學自動設計中成為“評價函數,，，能夠使0（'）=°的解（即

6=???=91n=0）,就是像差線性方程組的準確解。當m>n時，它實際上是不存

在的。這里改為①（心）的極小值解，作為方程組的近似解，稱為像差線性方程組

的最小二乘解。

將（P代入評價函數得：

minO（Ax）=min，嬤=min［（AAx-AF）r（AAr-AF）］

10

現代光學設計方法

①（Ax）=（AAx—AF）r（AAx—AF）

=［（AAx）r-AFr］（AAr-AF）

=（A/Ar-AFr）（AAr-AF）

=AxrArAAr-AFrAAx-ArrArAF+AFrAF

根據多元函數的極值理論，①（以）取得極小值解的必要條件是一價偏導數等

VO（Ar）=0

運用矩陣求導規則求一階偏導數：

VO（Ar）=2ArAAr-ArAF一ArAF=2（ArAAr-ArAF）=0

ArAAx-ArAF=0

只要方陣ATA為非奇異矩陣，即它的行列式值不等于零，則逆矩陣（ATA）-l

存在，方程式有解，解的公式為：

Ax=（ArA）-1ArAF

要使ATA非奇異，則要求方程組的系數矩陣A不產生列相關。即像差線性

方程組中不存在自變量相關。在光學設計中，由于像差和結構參數之間的關系是

非線性的。同時在比較復雜的光學系統中作為自變量的結構參數很多，很可能在

若干自變量之間出現近似相關的現象。這就使矩陣ATA的行列值接近于零,ATA

接近奇異，按最小二乘法求出的解很大，大大超出了近似線性的區域，用它對系

統進行修改，往往不能保證評價函數的下降，因此必須對解向量的模進行限制。

改為求下列函數的極小值解：

L=①（Ax）+

這樣做的目的是，既要求評價函數①（心）下降，又希望解向量的模

=AxrAx

，不要太大。經過這樣改進的最小二乘法，稱為阻尼最小二乘法,

常數p稱為阻尼因子。上述函數L的極小值解得必要條件為：

L=2ArAAx-2ATAF-2pAx=0

或者:

11

現代光學設計方法

（ATA+=ATAF

上式為阻尼最小二乘法的法方程組。式中，/為單位矩陣；”為阻尼因子。解的

公式為：

Ax=（ArA+pl^A^^F

以上公式中的逆矩陣（A'A+"廠永遠存在。在像差線性方程組確定后，即

A和AF確定后，給定一個p值就可以求出一個解向量及。p值越大心的模越

小，像差和結構參數之間越接近線性，越有可能使中（心）下降。但是心太小，

系統改變不大，①（心）下降的幅度越小。因此必須優選一個p值，使①（心）達到

最大的下降。具體的做法是，給出一組p值，分別求出相應的解向量及，用它

們分別對系統結構參數進行修改以后，用光路計算的方法求出它們的實際像差

m

①

值，并計算出相應的評價函數值，，公式中"為系統實際像差和目標

值的差，即實際的像差殘量。比較這些小值的大小，選擇一個使中達到最小的P

值，獲得一個新的比原始系統評價函數有所下降的新系統。然后把這個新系統作

為新的原始系統，重新建立像差線性方程組，這樣不斷重復直到評價函數①（'）

不再下降為止。采用上述求解方法的光學自動設計稱為“阻尼最小二乘法”。

2.3適應法光學自動設計程序

當像差線性方程組中，方程式的個數m小于自變量個數n時，方程組是一

個不定方程組有無窮多組解，這時選用解向量的模為最小的那組解，因為解向量

的模越小，像差和自變量之間越符合線性關系。相當于在滿足像差線性方程組的

n

^）（八丫）—〉）八丫2——丫，八丫

條件下，求-'的極小值解。把像差線性方程組作為一個約

束方程組，求函數①3）=&&的極小值。

12

現代光學設計方法

min①（Ax）=min（AxrAx）

同時滿足約束方程組：

AAx=AF

構造一個拉格朗日函數L：

L=①（Ar）+X（AAr—AF）

拉格朗日函數L的無約束極值，就是①的約束極值。函數L中共包含有AX和入

兩組自變量，其中?為〃個分量，而2為他個分量，共有機+〃個自變量。根據

多元函數的無約束極值條件為乙=0,得：

aLr

ax=2Ax+A2=0

aL

a/l=AAx—AF=0

求解AX：

1T

Ax=——ATA

2

將其代入前式得：

/L=-2Ar（A4r）-1AF

Ax=Ar（AAr）^AF

上式就是我們所要求的約束極值的解。解存在的條件是逆矩陣（ATA）-l存在，即

ATA為非奇異矩陣，這就要求像差線性方程組的系數矩陣A不發生行相關，即

不發生像差相關。用上面這種方法求解像差線性方程組的光學自動設計方法稱為

“適應法”。

當像差數機等于自變量數"時，像差線性方程組有唯一解，系數矩陣A為

方陣，一下關系成立

（A4r）-1=（Ar）-1A-'

帶入前式得：

Ax=Ar（Ar）_1A_1AF=A-1AF

顯然上式就是像差線性方程組的唯一解。因此該式既適用于m<n的情形，

也適用于m=n的情形。由以上求解過程可以看到，使用適應法光學自動設計程

13

現代光學設計方法

序必須滿足的條件是：像差數小于或等于自變量數；像差不能相關。

適應法像差自動校正程序的最大特點是：第一，參加校正的像差個數他必須

小于或等于自變量個數小第二，參加校正的像差不能相關。因為適應法求出的

解，嚴格滿足像差線性方程組的每個方程式。如果m>n,或者某兩種像差相關,

像差線性方程組就無法求解，校正就要中斷。這是適應法和阻尼最小二乘法的最

大區別。

14

現代光學設計方法

3望遠鏡

3.1望遠鏡物鏡設計

要求：焦距為200,半視場角為4。，相對孔徑為1：5

3.1.1選擇初始結構

初始結構如下圖所示:

EditSolvesOptionsHelp

該初始結構的焦距為200.49,相對孔徑為156,2。=12二

此時的系統結構如下圖所示:

15

現代光學設計方法

該系統的MTF函數及點列圖如下圖所示:

3.1.2優化

選取rl、r2、r3和第一面的厚度設為變量，將焦距設為200,優化后可得系統結

構參數、MTF、點列圖如下圖所示:

Surf:TypeComaentRadiusThicknessGlassSemi-Diameter

OBJStandardInfinityInfinityInfinity

STOStandard168.420163V10.217385VK920.051849

2Standard-7S.214876V4.000000ZF120.084434

3Standard-173.121963V194.104SS0H20.231458

IMAStandardInfinity14.234605

3.2望遠鏡目鏡設計

要求：與之前的望遠鏡物鏡進行配合，視放大率為6倍，目鏡出瞳距離為20。

16

現代光學設計方法

3.2.1參數計算

之前的望遠鏡物鏡相關參數如下：了=200,視場角2仞=8。，相對口徑為1：5,

根據望遠鏡的視放大率公式：

「工工6

D'3

「I—_ta_n__of

可得了，=33.333祖祖，由tan(y,仞=4°,可得萬=22.76。

由此得到的目鏡相關參數為：

f'e=33,333mm

2仞=45.52°

3.2.2選擇初始系統:

Surf:TypeCommentRadiusThicknessGlass

OBJStandardInfinityInfinity

STOStandardInfinity20.000000

2Standard117.8500002.000000ZF1

3Standard27.S1000010.500000K9

4Standard-32.4400000.500000

5Standard3Z.440000P10.500000K9

6Standard-27.510000P2.000000ZF1

7Standard-117.850000P22.115283

IMAStandardInfinity-

該初始結構的焦距為29.93,2?=44°0

該結構的MTF以及點列圖如下所示:

17

現代光學設計方法

3.2.3優化

選取優化變量后，優化可得一下結構參數:

Surf:TypeRadiusThicknessGlass

OBJStandardInfinityInfinity

STOStandardInfinity20.000000

2Standard-243.088403V2.008371ZF1

3Standard37.227211V10.543946K9

4Standard-26.528253V0.502093

SStandard26.528253P13.054409K9

6Standard-37.227211P4.016741ZF1

7Standard243.088403P21.900743H

IMAStandardInfinity-

優化后的系統結構圖如下所示:

MafKt/rOMM,*,no

LAYOUT

MONNOU212011

TOTALLENGTH：72,02630MM

TELESCOPE_EYE,ZMX

CONFIGURATION1OF1

18

現代光學設計方法

優化后的系統MTF以及點列圖如下所示:

so

FER

XHOMATI'C'

IGUPATION*!OJ

3.3物鏡目鏡組合

將3.1和3.2中所得到的物鏡、目鏡參數結構一并輸入，可得望遠系統結構。

LensDataI

EditSolvesOptionsHelp

Surf:TypeCoiment-RadiusThicknessGlass

OBJInfinity

STOStandard168.42016310.217385K9

2Standard-75.2148764.000000ZF1

3Standard-173.1Z1963194.104550

4StandardInfinity21.900743

SStandard-243.0884034.016741ZF1

6Standard37.22721113.614S69EK9

7Standard-26.5282530.502093

8Standard26.5Z8253P10.543946K9

9Standard-37.ZZ7211P2.008371ZF1

10Standard243.088403P20.000000

IMAStandardInfinity-

19

現代光學設計方法

望遠系統的結構圖如下所示:

t:layout

PrWJnom

LAYOUT

MONNOV212011

TOTALLENGTH：280,908H0MM

丁匚L匚SCOPfZ—CLL.ZMX

CONFIGURATION1OF1

20

現代光學設計方法

4照相物鏡設計

要求：焦距為50,半視場角為25。，相對孔徑為1：30

4.1選擇初始結構

LensData

EditSolvesOptionsHelp

Surf:TypeCommentRadiusThicknessGlass

OBJStandardInfinityInfinity

1St-andard41.3000008.930000ZK11

2Standard95.9400000.200000

3Standard27.4200009.220000ZK7

4Standard66.5300002.3S0000F3

5Standard18.32300016.370000

STOStandardInfinity14.370000

7Standard-21.4300002.350000F5

8Standard169.9000009.9000