特級教師小學奧數匯編教材

第四講平面幾何綜合

【專題知識點概述】

本講復習以前所學過的有關平面幾何方面的知識，包括直線型圖形的五大

模型以及圓與扇形方面的知識，旨在提高學生對該部分知識的綜合運用能力。

重點模型重溫

直線型圖形五大模型

模型一同一■三角形中，相應面積與底的正比關系：

即：兩個三角形高相等，面積之比等于對應底邊

之比。

S,：S2=a：b;

模型一的拓展：等分點結論（“鳥頭定理”）

211

如圖，三角形AED占三角形ABC面積的一X—二—

346

模型二：任意四邊形中的比例關系（“蝴蝶定

理”）

①S,：s=s：s

243或者S1XS3=S2XS4

②②AO：0C=(S1+S2)：(S4+S3)

模型三：梯形中比例關系（“梯形蝴蝶定理”）

22

①S,：S3=a：b

22

②Si：S3：S2：S4=a：b：ab：ab；

③S的對應份數為（a+b）2

模型四：相似三角形性質

22

②&：S2=a：A

模型五：燕尾定理

SAABG：SAAGC=SABGE：SAGEC=BE：EC；

SABGA：SABGC=SAAGF：SAGFC=AF：FC；

SAAGC：SABCG=SAADG：SADGB=AD：DB；

z\

【授課批注】

復習該部分知識的時候可結合前面所講過的題深入講解。

【重點難點解析】

1.三角形的相似問題

2.四邊形中的蝴蝶定理

3.三角形中燕尾定理的運用

工”【競賽考點挖掘】

1.三角形或四邊形中的部分面積求解

2.相似形的相關性質

3.多邊形內角和

4.圓與圓弧的相關圖形面積和周長求解

【習題精講】

【例1】（難度等級※※※）

如圖，長方形ABCD中，陰影部分是直角三角形且面積為54,0D的長

是16,0B的長是9.那么四邊形OECD的面積是.

【分析與解】

連結DE,依題意

SMCR二一xBOxAO=一x9xAO=54,

得A0=12.于是可推知

SMOD--xDOxAO=ixl6xl2-96,

又因為SAAOB=SADOE=54=；x16xOE,

3

所以0E=6—.

4

1133

這樣可得SABM=—x3OxEO=—x9x6—=30—,從而有

°2248

S/^ECD=SgcD-

OE

—QQ

°AABD°ABOE

3

=(50+49)-30-

=119-

8

【例2】（難度等級※※※）

D

如下左圖.將三角形ABC的BA邊延長1倍到D,CB邊延長2倍到E,

AC邊延長3倍到F.如果三角形ABC的面積等于1,那么三角形DEF的

面積是.

【分析與解】

連結AE、BF、CD（如上右圖）.由于三角形AEB與三角ABC的高相等，

而底邊EB=2BC,所以三角形AEB的面積是2.同理，三角形CBF的面

積是3,三角形ACD的面積是1.

類似地

三角形AED的面積=三角形AEB的面積=2.

三角形BEF的面積=2X（三角形CBF的面積）=6.

三角形CFD的面積=3X（三角形ACD的面積）=3.

于是三角形DEF的面積等于三角形ABC、AEB、CBF、ACD、AED、BEF、CFD的面積之和，即

1+2+3+1+2+6+3=18.

【例3】（難度等級派※※※）

如圖，三角形ABC的面積是1平方厘米，且BE=2EC,F是CD的中點.那么

陰影部分的面積是（）平方厘米.

【分析與解】

（平方厘米），SACEJ（平方厘米）?

又ADF,SBCF=SBDF,，

所以BCF=—SABC=—（平方厘米）.

于是ACF+SBCF）-Sace

二-----二一（平方厘米）.

236

又SCEF=\SBEF=-X—=--（平方厘米），

ZZo12

故BCF=SBEF+SCEF-T+TT-T（平方厘米）

0124

因此，S陰影=S,F+SBEF=7+%=切（平方厘米）.

【例4】（難度等級派※※※）

如圖，已知AE=-AC,CD=-BC,BF=-AB那么

546

三角形DEF的面積_

三角形ABC的面積一

【分析與解】

連結輔助線AD.因為CD=1

4

Q1

Be,所以為生二士（等高的兩個三角形面積之比等于底邊之比）

SAABC4

Q5

同理2迎=士

S/\ABC4

從而S^CDE~gSAABC

連結輔助線BE、CF,同理可證

S-Is

0ABDF-&°AABC

SAAEF=-S

6AABC

i-Ll1

61

所以濁空568::

°AABC1—120

【例5】（難度等級※※※）

如圖，BD是梯形ABCD的一條對角線，線段AE與梯形的一

條腰DC平行，AE與BD相交于0點.已知三角形B0E的面積

2

比三角形A0D的面積大4平方米，并且EC=yBC.求梯形

ABCD的面積.

【分析與解】

三角形ABE的面積比三角形ABD大4平方米，而三角形ABD與三角形ACD面積相等（同底等

高），因此也與三角形ACE面積相等，從而三角形ABE的面積比三角形ACE大4平方米.

222

但EC=-BC,所以三角形ACE的面積是三角形ABE的——=-,從而三角形ABE的面積是

55-23

2

4+（1—-）=12（平方米）,

3

梯形ABCD的面積

2

=12X（1+-X2）=28（平方米）

3

【例6】（難度等級派※※※）

如圖，平行四邊形的花池邊長分別為60米與30米.小明和小

華同時從A點出發，沿著平行四邊形的邊由A-B-C-D-A…

順序走下去.小明每分鐘走50米，小華每分鐘走20米，出發

5分鐘后小明走到E點，小華走到F點.連結AE、AF,則四邊

形AECF的面積與平行四邊形ABCD的面積的比是

【分析與解】

小明5分鐘共走了

50X5=250(米)，

這時，小明走過了路線是ATBTCTDTATBTE,其中CE=20米（如

圖）.小華5分鐘共走了20X5=100（米），

這時，小華走過的路線是ATBTCTF,其中CF=10米（如圖）.連結

輔助線AC,

'△AEC：'△ABC=20:60=1:3,

S^ACF：SZ\ACD=1。：30=I:3.

7

所以rAiliFCr+3SA=-(SAABC+SAACD),

即四邊形AECF與平行四邊形ABCD的面積之比是1:3.

【例7】（難度等級※派）

圖中正方形周長是20厘米.那么圖形的總面積是平方厘米.

【分析與解】

從圖中可以看出，正方形的邊長也是圓的半徑.

由此可知這兩個圓是等圓.因為正方形的每個角都是90。

所以圖中的兩個扇形的圓心角都是270。.兩個扇形的面積是:

314X52

「X270X2=117.75（平方厘米）.

360

正方形的面積是5X5=25（平方厘米）.

圖形的總面積是

117.75+25=142.75（平方厘米）.

【例8】（難度等級派※）

如圖中，陰影部分的面積是5.7平方厘米，三角形ABC的面積是

平方厘米.（不取3.14）

【分析與解】

根據對稱性，可知原圖中陰影部分的面積是

萬R2+4—R2+2=[(%-2)+4]R2=0.285R

根據題意，有0.285R2=5.7X2,所以R?=40,從而

SAABC=R2X-=40X-=10（平方厘米）.

【例9】（難度等級派※※）

圖中，已知圓心是。，半徑r=9厘米，/1=/2=15°,那么陰影部分的面積是_____（朗

平方厘米.式（?3.14）

【分析與解】

因為圓的半徑都相等，于是0A=0B.在等腰三角形A0B中兩個底角N1=N2=15°.又知道三

角形內角之和是180°,所以，三角形A0B的頂角

ZAOB=18OO-(15O+15O)=15O°.

同理NA0C=150°.因此,

NB0C=360°-(150°+150°)=60°

這就是說，陰影部分扇形的面積是圓面積的六分之一，即

1,1,

-x^xY-?-x3.14x92=42.39（平方厘米）.

66

【例10］（難度等級派※※）

圖中陰影部分的面積是一平方厘米.（乃仁3.14）

【分析與解】

半圓面積是

1,

-x3.14x52=39.25（平方厘米），

2

扇形面積是

45

3.14X102X——=39.25（平方厘米），

360

△ABC面積是

（▲xl0xl0=50平方厘米）.

2

因此陰影面積是

39.25+39.25-50=28.5（平方厘米）.

【例11］（難度等級派※）

圖中兩個陰影部分面積的和是多少平方厘米?

【分析與解】

3.14x（y）2+2=157（平方厘米），

169

3.14x（y）2-2=100.48（平方厘米），

3.14x（y）2-2=56.52（平方厘米），

12X16+2=96（平方厘米），

157-96=61（平方厘米），

因此，陰影部分面積為

100.48+56.52—61=96（平方厘米）.

【例12］（難度等級派）

如右圖，ABCD是正方形.E是BC邊的中點，三角形ECF與三角

形ADF面積一樣大，那么三角形AEF（陰影部分）的面積是正方形

ABCD面積的百分之一.（結果保留小數點后兩位）

【分析與解】

設正方形邊長為1,因為三角形ECF與三角形ADF面積一樣大，

121

而EC=—,AD=1,所以CF=2XDF.從而CF=—,DF=-..

233

三角形AEF的面積

1-—x（—xl+—x—x2）=—=41.67%.

222312

即是正方形ABCD面積的百分之41.67.

【例13］（難度等級派※）

在圖中，已知矩形GHCD的面積是矩形ABCD面積的上，矩形MHCF

4

的面積是矩形ABCD面積的矩形BCFE的面積等于3平方米.矩

6

形AEMG的面積等于平方米.

【分析與解】

因為GM:MH=（---）:-=1:2,所以矩形AEFD的面積等于矩形

466

113

BCFE面積的一，即3X—=—（平方米）.

222

13

又因為AG:AD=（1--）：1=3：4,所以矩形AEMG的面積等于矩形AEFD面積的一，即

44

23x43=11」（平方米）.

248

【例14］（難度等級派※※※※）

園林小路，曲徑通幽.如圖所示，小路由白色正方形石板和青、紅

兩色的三角形石板鋪成.問：內圈三角形石板的總面積大，還是外

圈三角形的總面積大?請說明理由.

【分析與解】

兩個相接觸的正方形夾著一個外圈三角形石板和一個內圈三角

形石板.如圖所示，NEAF與NBAC互補.

將ABAC繞A點順時針旋轉90°補到三角形

EAD的位置.因為NDAE+NEAF=180°,

所以D、A、F在一條直線上.

又AD=AC.從而AD=AF.可知，EA為三角形EDF的DF邊上的中線，于是三角形EAF與三角

形EAD面積相等.也就是三角形EAF與三角形ABC面積相等.

由于兩個相接觸的正方形石板所夾的外圈三角形面積等于內圈三角形面積，所以內圈三角

形石板總面積等于外圈三角形石板的總面積.

【例15］（難度等級派※※）

圖中正六邊形ABCDEF的面積是54,AF=2PF,CQ=2BQ,求陰影四邊

形CEPQ的面積.

【分析與解】

如圖，將正六邊形ABCDEF等分為54個小正三角形.根據平行

四邊形對角線平分平行四邊形面積,

△PEF面積=3,

△CDE面積=9.

四邊形ABQP面積=11.

上述三塊面積之和為3+9+11=23.

因此，陰影四邊形CEPQ面積為54-23=31.

【例16］（難度等級※※※）

已知四邊形ABCD是正方形，邊長為3,BE=1.5,AF=L求陰影

（劃線）部分的面積.

【分析與解】

延長DE交AB的延長線于H,由于E是BC中點

所以BH=CD=3.AD

連DF,設DE與CF相交于G.

因為CD：FH=3：(2+3)：3：5,所以DG：GH=3:5.

△DGF與△GHF的面積的比=DG：GH=3:5.

113

△ADH的面積一x3X(3+3)=9,AADF的面積=—x3xl=—.

222

31515575

所以△DGF的面積=9——=一，ZkGHF的面積=一x-------=一

2223+516

1Q75975

BEH的面積=—xl.5x3=三，所求面積是二一二=上.

2416416

【例17］（難度等級冰※）

圖中ABCD是直角梯形，其中，AD=12厘米,AB=8厘米,BC=15厘米.且

三角形ADE、四邊形DEBF、三角形CDF的面積相等.那么三角形EBF

的面積是.?平方厘米.

【分析與解】

直角梯形ABCD的面積是

(12+15)X8+2=108(平方厘米).

因為三角形ADE、四邊形DEBF、三角形CDF的面積相等，并且這三個圖形的面積之和等于

梯形ABCD的面積.所以它們的面積都等于

108+3=36（平方厘米）.

在三角形ADE中，AD=12厘米，所以人￡=36+12義2=6（厘米）.

又知AB=8厘米，所以EB=8-6=2（厘米）.

因為三角形CDF的高=AB=8（厘米）.于是

FC=36+8X2=9(厘米).

由于BC=15厘米，可知BF=15-9=6（厘米）.

24

因為NB=90°（W）2,所以三角形EBF的面積是

-EB?BF=2X6+2=6(平方厘米).

2

ED

【例18］（難度等級※※※）

H

BC

正方形ABCD的面積是160平方厘米，連接這個正方形4條邊的中點，又得到一個正方形

EFGH.像這樣重復幾次后得到下圖，圖中涂黑色部分的面積是一平方厘米.

【分析與解】

白色的三角形分為三層:

第I層的面積占總面積的上；

2

第2層的面積占總面積的一x—=—；

428

第3層的面積占總面積的—x—=—

16232

演j11121

*占—I--1---——

283232

2111

所以黑色部分占總面積的1——=涂黑色的面積是

3232

160x—=55（平方厘米）.

32

【例19］（難度等級※※※※）

如圖，三個一樣大小的正方形放在一個長方形的盒內，A和B是兩

個正方形的重疊部分，C、D、E是空出的部分，每一部分都是矩形,

它們的面積比是A：B：C：D：E=l：2：3：4：5,那么這個長方形

的長與寬之比是.

【分析與解】

為統一起見，對圖中的矩形，橫向稱為長，縱向稱為寬.因為A

E4

與B的寬相等，所以設A的長為x,則B的長為2x（見左上圖）.因512

Al

為C:D:E=3:4:5,C、D、E的寬相等，所以設C的長為3y,

C

則D、E的長分別為4y和5y.因為圖中的三個正方形相同，邊長

相等，于是得到5y+x=2x+4y,

化簡得x=y.由此推知，若A的長為1,則B、C、D、E的長依次

為2、3、4、5（見右上圖），正方形的邊長為6,大長方形的長為

6X2+3=15.因為A與C面積之比與長之比都是1:3,所以它們

的寬應相等，同為正方形邊長的一半，即64-2=3.所以大長方形的寬為6+3=9,長與寬之

比為15:9=5:3.

【例20］（難度等級※※※）

五環圖由內圓直徑為8,外圓直徑為10的五個圓環組成，其

中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等，己知五

個圓環蓋住的總面積是132.5,求每個小曲邊四邊形的面積

（圓周率切取3.14）.

【分析與解】

每個圓環的面積是〃（523*S-4?）=9不

如果五個圓環彼此沒有重合的部分，則它們的總面積是

5X9兀=45兀.

因為五環蓋住的總面積是132.5.

所以每個小曲邊四邊形的面積是

3845萬—132.5

54—27—=26

11TT8

【例21］（難度等級※※※）

已知四邊形ABCD是直角梯形，上底AD=8厘米，下底BC=10厘

2

米，直角腰CD=6厘米，E是AD的中點，F是BC上的點，BF=-

3

BC,G為D