【高考真題】2024年數學新課標Ⅰ卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。1．已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{2，3}C．{﹣3，﹣1，0} D．{﹣1，0，2}2．若zz?1=1+i，則A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥(bA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．已知cos（α+β）＝m，tanαtanβ＝2，則cos（α﹣β）＝（）A．﹣3m B．?m3 C．m35．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為（）A．23π B．33π C．6．已知函數為f(x)A．（﹣∞，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[0，+∞）7．當x∈[0，2π]時，曲線y＝sinx與y＝2sin（3x﹣π6A．3 B．4 C．6 D．88．已知函數為f（x）的定義域為R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且當x＜3時，f（x）＝x，則下列結論中一定正確的是（）A．f（10）＞100 B．f（20）＞1000C．f（10）＜1000 D．f（20）＜10000二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分。每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分。9．為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值x＝2.1，樣本方差s2＝0.01，已知該種植區以往的畝收入X服從正態分布N（1.8，0.12），假設推動出口后的畝收入Y服從正態分布N（x，s2），則（）（若隨機變量Z服從正態分布N（μ，σ2），則P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.810．設函數f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），則（）A．x＝3是f（x）的極小值點B．當0＜x＜1時，f（x）＜f（x2）C．當1＜x＜2時，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．當﹣1＜x＜1時，f（2﹣x）＞f（x）11．造型∝可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中的曲線C的一部分，已知C過坐標原點O，且C上的點滿足橫坐標大于﹣2，到點F（2，0）的距離與到定直線x＝a（a＜0）的距離之積為4，則（）A．a＝﹣2B．點(22,C．C在第一象限的縱坐標的最大值為1D．當點（x0，y0）在C上時，y三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分。12．設雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，過F2作平行于y軸的直線交C與A，B兩點，若|F13．若曲線y＝ex+x在點（0，1）處的切線也是曲線y＝ln（x+1）+a的切線，則a＝．14．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后輪次中不能使用）．則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為．四、解答題：本題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC＝2cosB，a2+b2﹣c2＝2ab（1）求B；（2）若△ABC的面積為3+3，求c．16．已知A（0，3）和P（3，32）為橢圓C：x2a2+（1）求C的離心率；（2）若過P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程．17．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝3．（1）若AD⊥PB，證明：AD∥平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值為427，求AD18．已知函數f（x）＝lnx2?x+ax+b（x﹣1）3（1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值；（2）證明：曲線y＝f（x）是中心對稱圖形；（3）若f（x）＞﹣2當且僅當1＜x＜2，求b的取值范圍．19．設m為正整數，數列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項ai和aj（i＜j）后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分數列．（1）寫出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使數列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分數列；（2）當m≥3時，證明：數列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分數列；（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數i和j（i＜j），記數列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分數列的概率為Pm，證明：Pm＞18

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】B,C10．【答案】A,C,D11．【答案】A,B,D12．【答案】3213．【答案】ln214．【答案】1215．【答案】（1）解：∵a2+b2﹣c2＝2ab．

由余弦定理：a2+b2?c2=2abcosC，

∴2cosC=2，即cosC=22，

又∵C∈(0,π)，

∴C=π4，

又∵（2）解：如下圖所示，過點A作AD⊥BC，

由(1)得，B=π3，C=π4，

設BD=t，則CD=AD=3t，c=AB=2t，

則S?ABC=12×BC×AD=116．【答案】（1）解：由橢圓C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）經過A（0，3），

∴b=3，即b2=9，

代入點P（3，32）得，

9a2（2）解：由(1)得橢圓C：x212+y29=1，

由A（0，3）和P（3，32），

∴AP=(3?0)2+32?32=352，kAP=3?320?3=?12，

∴直線AP的解析式為y=?12x+3，即x+2y-6=0，

設點B到直線AP的距離為d，

∴S?ABP=12×352d=917．【答案】（1）證明：∵AC＝2，BC＝1，AB＝3，即AC2=BC2+AB2，

∴AB⊥BC，

∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AD，

又∵AD⊥PB，PA∩PB=B，

∴AD⊥平面PAB，

∴AD⊥AB，

∴AD∥BC，

（2）解：過點A作AE⊥CP，AF⊥DP，垂足分別為點E，F，連接EF，

∵AD⊥DC，AP⊥底面ABCD，

∴PA⊥CD，PA⊥AC，

又∵PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

又∵AF?平面PAD，

∴CD⊥AF，

又∵CD∩DP=D，

∴AF⊥平面CDP，

同理AF⊥EF，∠AEF即為二面角A﹣CP﹣D的夾角，

∵PA=PC=2，

∴AE=12CP=2，

sin∠AEF=AFAE=AF2=427，解得AF=2217，

設AD=t，則DP=4+t2，

∴在Rt△PAD中，由18．【答案】（1）解：當b=0時，此時函數f（x）＝lnx2?x+ax=lnx?ln(2?x)+ax，其中0<x<2，

此時f'x=1x+12?x+a=2x(2?x)+a，

由f'（x）≥0，

故2x(2?x)+a≥0，即a≥2x(x?2)，

由x(x?2)=(x?1)2?1

故當（2）證明：由f（x）＝lnx2?x+ax+b（x﹣1）3，其中0<x<2，

∴f1?x+f1+x（3）解：由f（x）＝lnx2?x+ax+b（x﹣1）3在0<x<2上連續，

且當且僅1＜x＜2時f（x）＞﹣2，即當0＜x＜1時f（x）<﹣2，

由(2)得，函數f（x）關于(1，a)成中心對稱圖形，

故可推出a=-2.

此時f（x）＝lnx2?x-2x+b（x﹣1）3＞﹣2在1＜x＜2恒成立，

故g（x）＝lnx2?x-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立，此時g（1）=0，

∴g'x=2x(2?x)?2+3b(x?1)2=x?122x(2?x)+3b，此時g'1=0.

此時設?x=2x(2?x)+3b，

由復合函數單調性可知，x(2-x)在1＜x＜2上單調遞減，則2x(2?x)在1＜x＜2上單調遞增，

?x=2x(2?x)+3b在1＜x＜2上單調遞增，

則?xmin=?1=2+3b，

①若2+3b≥0，即b≥?23，

故此時當1＜x＜2，h(x)≥0，g'x≥0，

又∵g'1=0，

∴g（x）在1＜x＜2上單調遞增，

∴g(x)min>g1，且g（1）=0，即g(x)>0，

故g（x）＝lnx2?x-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立，即f（x）＞﹣2恒成立；19．【答案】（1）解：等差數列a1，a2，…，a6刪去兩項后，余下4項成等差數列，此時剩下的數列若想構成數列，必然是公差為d的數列，

即可能的情況為a1，a2，a3，a4或a2，a3，a4，a5，或a3，a4，a5，a6，

故刪去的兩項（i，j）可以為（5，6），（1，6），（1，2）（2）證明：依題意得，數列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分數列，

即a1，a3，a4，…，a10，a11，a13，a14，a4m+2，易分析連續的四項為等差數列，

即a14，a15，，a4m+2，后共有(4m-12)連續項，此時必然構成等差數列，

即證得a1，a3，a4，…，a10，a11，a13，a14，為等差數列，則數列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分數列，

通過分析可知，可以按照a1，a4，a7，a10，a3，a6，a9，a（3）證明：按如下兩種方式進行選取（i，j），1≤i＜j≤4m+2，且i，j∈Z?，

①原數列除去ai，aj外，所有連續的部分為4的倍數，此時數列分組的公差為d.

1)當j-i=1時，即（i，j）為（1，2），（5，6），（4m+1，4m+2），共(m＋1)種；

2)當i=1時，j=4k＋2，即（i，j）為（1，6），（1，10），（1，4m+2），k=1，2，3，.…，m，共m種；

3)當i=5時，j=4k＋6，即（i，j）為（5，10），（5，14），（5，4m+2），k=1，2，3，.…，(m-1)，共m種；

4)當i=4m-3時，j=4m+2，即（4m-3，4m+2），共1種；

綜上，共有(m+2)(m+1