必修二第八章《立體幾何初步》單元訓練題（高難度）（45）

一、單項選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.己知球。是某幾何體的外接球，而該幾何體是由一個側(cè)棱長為2遙的正四棱錐S-ABCD與一個

高為6的正四棱柱4BCD-&B1C1D1拼接而成，則球O的表面積為（）

A1007CC5007T

A--B.647rC.IOOTT

,3

2.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=1,E、N分別為邊AB、

BC的中點，沿將44DE折起，點A折至久處與A不重合）,

若M、K分別為線段40、&C的中點，則在zMDE折起過程中（）

A.QE可以與41c垂直

B.不能同時做到MN〃平面&BE且BK〃平面&OE

C.當MN141。時，MN1平面AiDE

D.直線4E、BK與平面8CQE所成角分別為%、92,%、%能夠同時取得最大值

3.如圖，正方體48。。一48停1。1中，E是棱441的中點，若三棱錐E-BBiD外接球的半徑R等

于也，則正方體力BCD-481GD1的棱長為（）.

4

A.1B.2C.2V2D.5V2

4.在棱長為1的正方體4BCD-力道心叢中,E、尸分別為AB和DA

的中點，經(jīng)過點當，E,尸的平面a交4。于G,則4G=（）

A-I

D|

5.如圖，正方體ABCD-ABiGDi中，E是棱441的中點，若三棱錐E-BaD外接球的半徑R等

于延，則正方體4BCD-4B1GD1的棱長為

4

A.1B.2C.2V2D.5V2

6.在直三棱柱4BC-&B1C1中，平面ABC是下底面，M是BBi上的點，AB=3,BC=4,AC=5,

CC.=7,過三點A、M、6作截面，當截面周長最小時，截面將三棱柱分成的上、下兩部分的

體積比為

A2八10

A?ioB.7C五

7.若/，，小〃是不相同的空間直線，Q,/?是不重合的兩個平面，則下列命題正確的是

A./la,m上B，11m=>a1

B.IIIm,mQa=>l//a

C.IQa,mQa,////?,in〃/?=>a〃夕

D./In,m1n=>l//m

8.已知三棱柱4BC-Ci內(nèi)接于一個半徑為次的球，四邊形&ACCi與B/CCi均為正方形，M,

N分別是44，&G的中點，GM=：481，則異面直線BM與AN所成角的余弦值為

A-

?10B?噂D?騫

二、多項選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

9.如圖，正方體ZBC。一4B1GD1的棱長為1,尸是棱SB】的中點，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.異面直線&Ci與尸C所成角的正弦值為卓；

B.直線&P與平面A&GC所成角的余弦值為平;

AB

C.設(shè)平面PAC與平面P4C1的交線為直線/,則二面角4一1一4的

大小的余弦值為-a

D.四棱錐P-44C1C的體積為1.

三、填空題（本大題共10小題，共50.0分）

10.體積為竽的三棱錐4-BC。中，BC=AC=BD=AD=3,CD=2yf5,AB<272.則該三棱錐

外接球的表面積為.

11.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角

形，E為P4中點，BE=%B，則球。的表面積為.

2

12.己知三棱錐P-4BC的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,AABC是邊長為2的正三角

形，E為PA中點，BE二PB，則球。的體積為.

2

13.如圖，在一個底面邊長為2,側(cè)棱長為V1U的正四棱錐P-ABCD中,

大球。1內(nèi)切于該四棱錐，小球。2與大球。1及四棱錐的四個側(cè)面相

切，則小球。2的體積為.

14.已知a,￡是兩個平面，"是兩條線，有下列四個命題:

①如果m1a,n//p,那么a_L6；②如果m1a,n//a,那么m1n；③如果a〃。,

maa,那么小〃色④平面a內(nèi)不共線的三點到平面/?的距離相等，則平面a〃夕.

其中正確的命題有.（填寫所有正確命題的編號）

15.一個半徑為6的球內(nèi)切于一個正方體，則這個正方體的對角線長為

16.正四棱錐P-4BCD底面的四個頂點A、B、C、。在球。的同一個大圓上，點P在球面上，如

果力-ABCD=則球。的體積是.

17.在仇章算術(shù)第五卷摘功中，將底面為正方形，頂點在底面上的射影為底面中心的四棱

錐稱為方錐，也就是正四棱錐.已知球。內(nèi)接方錐P-ABCD的底面ABC。過球心O,若方錐P-

ABCD的體積為|,則球O的表面積為。

18.在長方體48。￡>一48停1。1中，AB=BC=1,AQ與面B/GC所成的角為30。，貝的長度

為.

19.三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且側(cè)棱長分別為1cm,1cm及2cm,則它的外接球的體積為

_cm3.

四、解答題(本大題共10小題，共120.0分)

20.如圖，正方形ABC。和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE1AC,EF//AC,AB=V2.CE=

(1)求證：AF〃平面BQE；

(2)求二面角4-BE-。的平面角的大小.

21.如圖，在四棱錐P-4BC0中，AB=2CD=273,PD=2,PC=夕,

CD//AB,PDIBC,E,尸分別為棱48,PB的中點.

(1)證明：PD1平面ABC。.

(2)證明：平面PAD〃平面CEF.

48

22.已知正△ABC邊長為3,點分別是AB"C邊上的點,4N=BM=1,如圖1所示.將△4MN

沿MN折起到APMN的位置，使線段PC長為遙，連接P2,如圖2所示.

(I)求證：平面PMN1平面BCNM；

(n)求點N到平面BMP的距離.

23.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面A8C。為矩形，平面PBC平面ABC。，PB1PD.

(1)證明：平面P4BL平面PCD；

(2)若PB=PC,E為棱C。的中點，/.PEA=90°,BC=2,求四面體4一PEC的體積.

24.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多年，在仇章算術(shù)》

中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qianda)；陽馬指底面為矩形，

一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉膈(bienao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵

ABC-AiBiG中，AB1AC.

(/)求證：四棱錐為陽馬;

(11)若的。=8。=2,當鱉膈G-ABC體積最大時，求銳二面角。一4$一(71的余弦值.

25.如圖所示，四棱錐P-4BCD中，底面ABCO為平行四邊形，。為對角線的交點，E為上的

一點，PDJ?平面ABE,P41平面ABC。，且PA=2,AB=1,AC=V5.

(1)求證：AB1AD,

(2)求三棱錐P-ABE的體積.

26.已知在三棱錐P-ABC中，P41平面ABC,PA=4B=2BC=2,AC=曲,E是棱PB的中點,

AF1PC.

(1)求證：BPJL平面AEF-,

(2)求三棱錐P-AEF的體積.

27.在四棱錐P-ABCD中,PC，平面ABCQ,且底面A8C￡＞為平行四邊形，其中SB=2，AD=2五,

/.BAD=45°,PD=V2.

(1)記。在平面PBC內(nèi)的射影為M(即DM_L平面PBC),試用作圖的方法找到M點位置，并寫出

PM的長(要求寫出作圖過程，并保留作圖痕跡，不需證明過程和計算過程)；

(2)求二面角M-84-P的余弦值.

28.如圖，在四棱錐P—4BC0中，底面ABCQ是平行四邊形，平面BPC_L平面OPC,BP=BC,E,

尸分別是尸C,A。的中點.

求證:(1)BE1CD；

(2)EF〃平面PAB.

29.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，.432.ADl.ADAB(id.PDBD,

且PD，平面ABCD.

(1)證明：平面PBC平面PB。；

(2)若。為PC的中點，求三棱錐D-PBQ的體積.

【答案與解析】

1.答案：c

解析：

設(shè)球的半徑為R,AB=2x,S到平面ABCD的距離為,20-3,列出半徑的表達式，由勾股定理

可得R2=32+2%2,由此求出R,即可求出球的表面積.

本題考查球的表面積，考查學生的計算能力，求出球的半徑是關(guān)鍵.

解：設(shè)球的半徑為R,AB=2x,=V2x,

則球心到平面為&6。1的距離為3,

幾何體是由一個側(cè)棱長為2b的正四棱錐S-4BCO與一個高為6的正四棱柱48C。-4/的。1拼接

而成，

S到平面ABCD的距離為J(2>/5)2-(V2x)2=V20-2x2>

貝！I：V20-2x2+3=/?>

又勾股定理可得R2=32+2x2,

[R=5,x=25/2

二球的表面積為4兀7?2=100TT.

故選：C.

2.答案：D

解析：

本題考查線線垂直，線面垂直，線面所成的角，線線平行，線面平行等，本題設(shè)計知識點交點，綜

合性強，難度較大.

根據(jù)題意，利用逐個檢驗法，畫出圖形判斷即可.

解:

4Ai

對于A,連接EC,假設(shè)DE_L4iC,又???OE_LEC,

DE_L平面&ECnOE1ArE,而&ED=45°,M錯誤；

對于B,取。E,DC中點G,F,連接GM,GN,FK,FB.GM//&E,GN//EB,FK“A\D,BF//DE..-.

平面4BE〃平面GMN,平面「長力/平面4即，故能同時做到MN〃平面4/E且BK〃平面ADE.,B

錯誤；

對于C,連接ME,EN,當MVJ.40時，MN2=DN2-DM2=CD2+CN2-DM2=CD2=4,

而ME?=EN2=￡1MN與ME不垂直，即MN不垂直平面&OE,；.C錯誤；

對于￡>,：為在以CE為直徑球面上，球心為G,

??.4的軌跡為ZL41AF外接圓（人與尸不重合，尸為CD的中點），

連接EC,取EC中點7,連接TK、TB,貝ijTK〃/1把，BT//DE,

且NKTB+乙4同=180°,

???乙

KTB=180°-AArED=180°-45°=135°,

在4K7B中，KT=：AiE=：,BT=-CE=-,

2222

由余弦定理得BK2=BT2+KT2-2BT-KTcosl35°=BK=—.

42

當直線BK與平面8cZ)E所成角取得最大值時，點K到平面BCDE的距離最大，

由于點K為&C的中點，此時，點兒到平面BCOE的距離最大，

由于4E=1,當&E與平面BCDE所成角最大時，點4到平面BCDE的距離最大.

所以，直線&E、BK與平面8CCE所成角能同時取到最大值.

故選D.

3.答案：B

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及線面垂直的判定，考查空間想象能力及計算能力，屬于中檔題.

根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確定三棱錐E-BBi。外接球的球心位置，然后運用勾股定理即可解題.

解：設(shè)當。中點為尸，易證BDlBBi，5尸1平面331。.

所以三棱錐E-BBi。外接球的球心在EF上,

設(shè)正方體棱長為a,球心為。.則OF?+FB；=。闿，

???(R-亨產(chǎn)+弓以=R2.

解得Q=2.

故選B.

解析：

本題考查了面面平行的性質(zhì)，屬于一般題.

過尸作&E的平行線交GDi于，，連接過E作EG〃B/交力。于G,由比例關(guān)系可得AG的長.

解：平面BiEF與平面CGDiD的交線與平行，

即過F作&E的平行線交口劣于H,連接當“，

過E作EG〃B[H交AD于G,

由比例關(guān)系，”為GO】的四等分點，

從而6為A。的三等分點，故而4G=|.

故選。.

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及線面垂直的判定，考查空間想象能力及計算能力，屬于中檔題.

根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確定三棱錐E-BBiO外接球的球心位置，然后運用勾股定理即可解題.

解：設(shè)當。中點為凡易證BDlBBi，5尸1平面331。.

所以三棱錐E-BBi。外接球的球心在EF上,

設(shè)正方體棱長為。，球心為0,

則。片+/母=OB3

??.&_苧)2+凈)2=/?2.

解得a=2.

故選艮

6.答案：D

解析：

本題主要考查三棱錐和三棱柱的體積.根據(jù)題意先求四棱誰4-BCGM的體積，再求三棱柱4BC-

4181cl的體積，然后求解即可.

解：將平面4BB14與平面BCC$i放在一個平面內(nèi).連接AC],與BBi的交點即為M,比時BM=3.

設(shè)四棱誰4-BCG”的體積為匕，匕=：xgx(3+7)x4x3=20,

三棱柱4BC-4B1G的體積為U=|x4x3x7=42.

.一一匕_11

??匕-10,

故選O.

7.答案：A

解析：

本題主要考查了空間幾何中線、面間的位置關(guān)系及平行垂直的判定定理和性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題.

從空間中的線、面間的位置關(guān)系及平行垂直的判定定理和性質(zhì)定理入手，判斷四個命題的真假即可.

解：對于A,Ila,ILm,則m〃a或mua,又mJ,0,則a10,故正確；

對于B,l//m,mUa=〃/a或2ua,故錯；

對于C,，Ua,mca,l//p,rn〃夕=a與夕平行或相交，故錯；

對于。，11n,mJ.n,貝!|/與a相交，平行或異面，故錯.

故選A.

8.答案：B

解析：

本題考查了直三棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角、正方體與直角三角形的性質(zhì)、向量夾角公式，考

查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

四邊形&ACC1與&BCC1均為正方形，二CG，底面ABC.即三棱柱48。一48?為直三棱柱.M,N

分別是必當，公□的中點，GM=；4避1，可得乙416當=90。.設(shè)AC=x,根據(jù)三棱柱ABC-力

內(nèi)接于一個半徑為次的球，利用勾股定理可得x,建立空間直角坐標系，利用向量夾角公式即可得

出.

解：四邊形公力CC1與B18CC］均為正方形，CC1_L底面ABC.即三棱柱48c-

力道傳1為直三棱柱.

M,N分別是為/，&G的中點，=171181,

???ZJ41GBi=90°.

設(shè)AC=x,

???三棱柱48c-4/iQ內(nèi)接于一個半徑為次的球，

???(次尸=(￥％)2+(1%)2,解得％=2.

???4(0,—2,0),B(-2,0,0),N(0,-l,2),

???前=(0,1,2),BM=(l,-l,2),

???cos(前，麗＞=嬴審

故選:B.

9.答案:AB

解析：

本題考查立體幾何中的直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系以及空間幾何體的體積的計算，屬于難

題.

分析出&CP是異面直線為G與PC所成角，然后計算即可判斷A；取01。的中點M,連接交

平面441GC于。，則NQaP是直線&P與平面4&GC所成角，然后計算即可判斷B；分別取為G，

AC的中點S,0,連接SP,0P,則NSP。是二面角4一，一&的平面角，由余弦定理即可計算判斷C；

由V四棱錐P-AA、C\C=2'正方體—2xV三棱腳-ABC，計算即可.

解：?：ArCr//AC,

??.〃CP是異面直線與PC所成角，

連接8。交AC于0,連接0P,

???AC1BD,AC1BrBnBD,B$,BDu平面

???AC_L平面B0￡>i，

又OPu平面BCD1，

AC1OP,

???AC=V2.AP=PC=—>

2

CO=—,OP=I---=—,

2y]442

近,—

???,“n=今T=—V15,

?smZ-ACP”5

2

故A正確；

取。1。的中點M,連接PM,交平面A&CiC于Q,

則。是矩形441cle的交點，

顯然QP平面441GC,連接Q4,

則4Q&P是直線&P與平面4&GC所成角，

41P=AtQ=Y'

叵L

"cos"?!/=*=,=.,

~2

故B正確；

分別取為G，AC的中點S,O,連接SP,OP,

則NSPO是二面角a4的平面角，

連接SO,pliJSO=1,SP=OP=—,

2

-+--11

由余弦定理可得COS乙SP。=亡安逅=

X-TXT

故。錯誤；

由對稱性可知:V四棱腳_AA[C]C=1匕防體一2XI/棱椎p.ABC

1111

=--2x-x-xlxlx-

2322

_1

-3,

故。錯誤.

故選AB.

10.答案：y7T

解析：

本題考查三棱錐的體積，考查球的表面積，考查錐體的外接球問題，屬于難題.

求出A3的長，確定出三棱錐，建立空間直角坐標系，求出半徑即可.

解：考慮極限情況，在長方體中，如圖所示（48分別為長方體棱上的中點），

BC=AC=BD=AD=3,CD=2遍，則4CBD6CAD,

設(shè)。為CD中點，易得C。=0D=遍,OB=0A=卜_（9）2=2，

則在Rt△0AB中，AB=V22+22=2&，

而根據(jù)題干信息4B<2魚，則點8在上圖中的Q（不包含端點）上運動，

當運動到三棱錐A-BCD的體積為拶時，此時的三棱錐如圖所示（0’8為三棱錐的高）:

由幾何關(guān)系可得△4CD的面積為SMCD=：|CD|,I。川=2遙，

故匕-seo=1x2V5x\B0'\=彎,解得|8。1=V3）

則在RtAOBO'中，B0=2,\B0'\=V3.貝1」。。'=1,

而。4=2,財40'=1,則8為MN中點（M,N分別為對應(yīng)長方體棱上的中點），

而在△ACC中，AD=AC,O為CC中點，sinz.DAO=—>COS/.DAO=

33

由二倍角公式可得sin/D4c=延，

9

設(shè)小ACD的外接圓半徑為r,則利用正弦定理可得2r=

sin^,DAO

解得r=p

而。為CQ中點，所以△4CD的外接圓圓心一定在。4所在的直線上，

而r=[>。力=2,故外接圓圓心在0A的延長線上，

4

設(shè)該三棱錐的外接球的球心為P,。1為△4CD的外接圓圓心，則。遇=￡

則POi1底面。1CAD,

而。Mu底面。[CAD,故P011。源，

而CD1

設(shè)三棱錐外接球的半徑為R,

故建立如圖所示的空間直角坐標系（01為原點，014為y軸，POi為z軸，8的平行線為x軸）:

設(shè)P（0,0,z）則做0,：,0）,B（oj,遮），

則|PB|=\PA\=R,

則II+（Z—遮）2=,+Z?=&,

解得z=-"（說明尸在上圖所示的Z軸的負半軸上）,

則/?2=工，

故外接球的表面積S=4兀/?2=?兀.

故答案為：y7T.

11.答案：67r

解析：

本題考查三棱錐的外接球的表面積，涉及余弦定理和解三角形，屬于中檔題.

由題意結(jié)合已知數(shù)據(jù)由余弦定理可得三棱錐的高，然后由正三棱錐的性質(zhì)可得棱錐的高，球心在高

線上，由勾股定理得出球的半徑可得表面積.

解：由題意可得在側(cè)面△P4B中，AB=2,

設(shè)P4=PB=x,則BE=—%.設(shè)44EB=a,則NPEB=n-a,

2

在448岳和4PBE中，分別由余弦定理可得4=-+--2----X-cosa，

4422

2X2,5x2Xy[s/、425x2.XV5

=——I-----2n------x-cos（7r—a）=——I-----F2o-----x?cosa，

4422'74422

兩式相加可得4+x2=3x2,解得％=V2,

取底面△ABC的中心O,在直角APA。中，PA=x=y/2,AO=2x-x-=—,

233

由勾股定理可得PO=J（a2_（竽）2=與

由題意和正三棱錐的性質(zhì)可得球心。'在P0上，

在直角△A。。'中，AO'=R,00'=--R，A0=—，

33

由勾股定理可得R2=（？—R）2+（W）2,解得R=日,

所以外接球的表面積S=4TTR2=67r.

故答案為67r.

12.答案：x/iin,

解析：

本題主要考查的是幾何體的外接球問題，屬于基礎(chǔ)題.

可先由條件結(jié)合勾股定理得到三棱錐三側(cè)棱兩兩垂直，再用補形法求解即可.

解：設(shè)P4—PB=PC=2x,則PE=x,BE=1PB=y/5x,

所以BE2=PE?+PB2,則APIBP,

又P4=PB=PC,ZkABC是邊長為2的正三角形,

所以PA,PB,PC兩兩垂直,

則三棱錐P-ABC的外接球即為以PA,PB,PC為棱的正方體的外接球,

又P4=V2，正方體體對角線長為傷,

所以球半徑為爭所以球。的體積為三x

**

故答案為、&7T.

13.答案：然

解析：解：設(shè)。為正方形ABCD的中心，A8的中點為例，連接PM,OM,PO,則。M1,

PM=y/PA2-AM2=V10-1=3，P0=V9-1=2迎，

如圖，

在截面PM。中，設(shè)N為球。i與平面PAB的切點，

則N在上，且OiNIPM,設(shè)球01的半徑為R,則0]N=R,

因為sin/MPO=等=±所以設(shè)=：，則POi=3R,

P0=P0]+。。1=4R=2V2,所以R=日，

設(shè)球。1與球。2相切與點。，則PQ=P。-2R=2R,設(shè)球。2的半徑為r,

同理可得尸Q=4r,所以「="號,

故小球。2的體積V=-nr3=—71>

324

故答案為：—TC-

24

設(shè)。為正方形A8CQ的中心，AB的中點為"，連接PM,OM,P0,則0M=1,PM=y/PA2-AM2=

710^1=3,PO=V9^1=2V2,如圖，分別可求得大球01與小球。2半徑分別為它和四，進而可

24

得小球的體積.

本題考查球的體積公式，考查兩圓相切性質(zhì)，正四棱錐性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔偏難題.

14.答案：②③

解析：

本題命題真假的判斷，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用，

屬于基礎(chǔ)題.

利用直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理，結(jié)合空間直線與平面的位置關(guān)系分析命題的真假即

可.

解：由a,￡是兩個不同的平面，瓶，”是兩條不同的直線，知：

在①中，如果m1a,n//p,貝!ja〃夕，或al夕，或。和￡相交，故①不正確；

在②中，m1a,n//a,那么m1n,滿足直線與平面垂直的性質(zhì)定理，故②正確；

在③中，a〃0,mea,那么小〃伙滿足直線與平面平行的判斷方法，所以③正確；

在④中，平面a內(nèi)有不共線的三點到平面￡的距離相等，如果兩個平面相交，也可以滿足條件，推出

a//p,不正確，所以④錯誤；

故答案為②③.

15.答案：12遍

解析：解：一個半徑為6的球內(nèi)切于?個正方體,

可得正方體的棱長為：12,

這個正方體的對角線長為：V122+122+122=12V3.

給答案為：12

求出正方體的棱長，然后求解正方體的對角線長即可.

本題考查幾何體的內(nèi)切球，幾何體的空間距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力.

16.答案：冢

解析：

本題考查球的內(nèi)接體問題，球的體積，考查學生空間想象能力，是基礎(chǔ)題.

由題意可知，POABCD,并且P。是球的半徑，由棱錐的體積求出半徑，然后求出球的體積.

解：如圖，正四棱錐P-4BCD底面的四個頂點A,B,C,。在球0的同一個大圓上，點P在球面

上，設(shè)球的半徑為R,

P

2

PO_L底面ABCD,PO=R,SABCD=^x2Rx2R=2R,

又Up-48CD=

：.--2R2-R=—,

33

解得：R=2,

球O的體積：V=^nR3=yn-,

故答案為：y7T.

17.答案:47r

解析:

本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

由題意，正方形ABC。是半徑為R的圓的內(nèi)接正方形，方錐P-4BCD的高是R,代入體積公式即可.

解：設(shè)球的半徑為上

已知球O內(nèi)接方錐P-ABCC的底面ABCD過球心0,

則正方形ABC。是半徑為R的圓的內(nèi)接正方形，邊長為我R,

由條件可知方錐P-4BC0的高是R,

則[x(V2/?)2xR=|，解得R=1,

所以球。的表面積為4兀/?2=47r.

故答案為47r.

18.答案:V2

解析:

本題考查線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理推論證

能力、運算求解能力，是中檔題.

由4B_L平面BCQBi，得到是AC1與面BBiGC所成的角，從而乙4(7$=30°,進而4cl=2AB=

2,由此能求出力&的長.

解：在長方體ZBCD-4遇停1。1中，AB=BC=1,AQ與面

BBiGC所成的角為30°，

AB1平面BCGB],???乙4GB是4cl與面BBiQC所成的角，

???乙4c18=30。，

:.4cl=24B=2,

2

???AA1—AC^—AC=V4—2=V2.

故答案為魚.

19.答案：y/6n

解析：略

20.答案：解：證明：(1)設(shè)AC與B。交于點G,

因為E/7/4G,且E尸=1,AG=^AC=1,

所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以4F〃EG.

y

因為EGu平面BDE,AF,平面BDE,

所以AF〃平面

(2)因為正方形A8C￡＞和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE1AC,

所以CE，平面A8CD.

如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz.

則C(0,0,0),A(夜，夜,0),D(V2,0,0),E(0,0,1),F(?l).

所以#=(當年,1),BE=(0,-V2,l)-DE=(-A/2,0,1).

所以次?而=0—1+1=0，CFDF=-1+0+1=0.

所以CF1BE,CF1DE,所以CF_L平面8DE

方=(今4,1),是平面BDE的一個法向量，

設(shè)平面48E的法向量元=(%)，，z),則元?麗=0，n-BE=0.

即1(x,y,z)?(短0,0)=0

l(x,y,z)?(0,-V2,1)=0

所以x=0,且z=，?y.令y=l，貝!lz=&,所以n=(0,1,a)，從而cos(H,CF)=二:鼠=4

\n\尸I2

因為二面角為銳角，所以二面角為

4-BE-D4-BE-DIO

解析：本題綜合考查直線和平面垂直的判定和性質(zhì)和線面平行的推導(dǎo)以及二面角的求法.在證明線

面平行時.，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線.當然也可以用面面平行來推導(dǎo)線面平行.

(1)設(shè)AC與BO交于點G,則在平面BDE中，可以先證明四邊形AGEF為平行四邊形=EG〃AF,

就可證：4/7/平面8DE；

(2)先以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz.把對應(yīng)各點坐標求出來，先找到請=(弓,弓,1),

是平面BDE的一個法向量，再利用平面ABE的法向量五?R4=0和五?RE=0，求出平面ABE的法

向量元，就可以求出二面角A-BE-。的大小.

21.答案：證明：(1)因為C。=百，PO=2,PC=V7,所以CZ52+PD2=

P*/f\\

所以PDLDC./

因為P。IBC,DCCBC=C,所以PD_L平面A8C￡).

(2)因為E為棱AB的中點，所以=r-L----

因為4B=2CD,所以4E=CD,

因為CD〃4B,所以4E〃CD,

所以四邊形ABC。為平行四邊形，所以CE//4D,所以CE〃平面PAD.

因為E,尸分別為棱A8,P8的中點，所以E/7/P4所以EF〃平面PAD

因為CEnEF=E,CEu平面CEF,EFu平面CEF,

所以平面P4D〃平面CEF.

解析：（1）由CD?+P。2=可得p。1DC.即可證明PDJ_平面A8CD

（2）只需證明CE〃平面PAD.EF〃平面240,即可證明平面P力。〃平面CEF.

本題考查了空間線面垂直，面面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題.

22.答案：解：（I）依題意得，在UMN中，AM=2,AN=1,乙”或由余弦定理得=2?+

12-2X2X1XCOS^=3,即MN=V3.

???MN2+AN2=AM2,:.ANLMN,即PN1MN

在圖2△PNC中，PN=1,NC=2,PC=V5.

PC2=PN2+NC2,：.PN1NC

又???MNCNC=N,MN,NC些平面BCNM,PN_L平面BCNM

又...pN是平面PMN,.,?平面PMN1平面BCNM

（n）連接BN,由（I）可知PN1BN,

在ABNC中，BN2=BC2+NC2-2BC-NC-cos^=7,BC=V7：

在APBN中，PB2=PN2+NB2=8,PB=2V2

左AF>DMrhnji/cMB2+MP2—PB23.x/7

在^P8M中，cosZ-PMB=-----------------=——，:.sin乙PMB=—

2MBMP44

1V7

AS團PBM=qMB-MP-sin乙PMB=—

又???S回BMN=Ns回BAN=-X-XABXANXsin-=設(shè)點N到平面BMP的距離為d,

33234

由%-BMP=Vp-BMN，可知］XS團BMPxd=§XS^BMNXPN

則d=包警絲=理，...點N到平面BMP的距離為叵.

S^BMP77

解析：本題考查面面垂直的判定和點到平面的距離，屬于中檔題；

(I)依題意得先證PN1.MN,PN1NC

又MNCNC=N,MN,NC呈平面BCNM,可得PN_L平面8CNM

又PN莖平面PMN,即可得證；

(U)連接BN,由(I)可知PN1BN,^VN_BMP=VP_BMN,利用等體積法即可求解;

23.答案：(1)證明：???四邊形ABC。是矩形，_L8C.

???平面PBC1平面ABCD,平面PBCn平面4BCD=BC,CDu平面ABCD,

CDPBC,PBu平面PBC,貝UCDJ.PB,

???PB1PD,CDCPD=D,CD、PDu平面PCD,

PBL平面PCD.

PBu平面PAB,

平面P48_L平面PCD；

(2)解：取BC的中點O,連接OP、OE.

■:PBJL平面PCD,PCu平面PCD,

???PB1PC,

?：PB=PC,

：.PO1BC,OP=-BC=1,

2

???平面PBC1平面ABC。，^PBCCt^ABCD=BC,POu平面PBC,

POJ_平面ABCD,

???AEc^F?ABCD,POLAE.

?：Z.PEA=90°,PE1AE.

?:POCPE=P,POU平面POE,PEU平面POE,

■.AE_L平面POE,

又：OEu平面POE,AE1OE,

???NC=ND=90°,???/.OEC=/.EAD,

Rt△OCEsRt4EDA,則普=案，

???OC=1,AD=2,CE=ED,CE=ED=&，

__1

^A-PED=^P-AED=SAAED,OP

11

=-x—AD-ED?OP

32

=iX-X2XyFZX1=—.

323

解析：本題考查平面與平面垂直的判定，利用等積法求多面體的體積，屬于中檔題.

（1）由四邊形A8C。是矩形，可得CD1BC,再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得CD，平面PBC,進一

步得到CD1PB.再由PB1PD,利用線面垂直的判定可得PB1面PCD,進一步得到平面P4B1平面

PCD；

⑵取BC的中點O,連接0尸、。立由。8平面PCD,可得PB1PC,求得0尸,可證明AE_L平面POE,

然后由RtaOCEsRtAEZM求解三角形可得E。，再求出三角形AEO的面積，利用等積法即可求得

四面體4—PED的體積.

24.答案：（I）證明：???&A，底面ABC,ABu面ABC

ArA1AB-

51.ABA.AC,A^OAC=A

：.AB_L面力CG4,

又四邊形ACGAi為矩形，

四棱錐8遇CC］為陽馬.

（口）解：:AB14C,BC=2,AB2+AC2=4

又,:ArAJL底面ABC,

11

YC^-ABC=g''2AB-AC

11AB2+AC22

二一?AR?ACV---------------------=一

3~323

當且僅當AB=AC=四時，Pq-ABc=\'ab-AC取最大值?

vAB1AC,ArAIjRj?ABC

???以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系?

8(迎,0,0),C(0,M0)，4(0,0,2)

碩=(企,0,—2)，BC=(-V2,A/2,0)>A^Ci=(0,\[2,0)

設(shè)面A/C的一個法向量用（=y1（zx）

時三營二得蘇=（魚或，1〉

I%?BC=0

設(shè)平面G&B的法向量通=（a力，c）,

則(沆?CH,=V26=0,

取a=V2?得相=(V2,0,1)，

(m?C$=y[2a-2c=0

n7,五V15

???cos<n^,n^>=

I五I?同廣飛-

二面角C—4B-Cl的余弦值為平.

解析：本題考查了線面垂直的判定、棱錐的體積、基本不等式和利用空間向量求面面的夾角，是中

檔題.

（I）由久力底面ABC,則Ap4L，13,又ABIAC,所以.43，面4。的公,由陽馬定義可得證；

（口）鱉膈。1一48。體積/=^-AB-ACWg."2；4cz=泉此時AB=AC=6'，建立空間直角坐標系，

得出面4BC的一個法向量/=（%,yi，zi）和平面G&B的法向量式=（a"c），由空間向量計算即

可.

25.答案：（1）證明：vPD_1平面ABE,ABu平面ABE,PD1AB.

PA，平面ABCD,ABu平面ABCD,PALAB.

XvPDCiPA=P,ABPAD,ADPAD,.-.ABIAD.

（2）解：由（1）可知：底面ABC。為矩形，ABLAD,AB=1,4C=花，???AD=2.

??.△PAD為等腰直角三角形，PDLAE,

E為的中點，

???ADLPA,AD1AB,ADOAB=A,ADiT?PAB.

點E到P平面PAB的距離等于點D到平面PAB的距離的一半,

???三棱錐P-ABE的體積V=\VD_PAB=|xix|x2xlx2=i.

解析：⑴由PDJ■平面ABE,可得PD1AB.同理可得P414B.再利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即

可證明結(jié)論.

(2)由(1)可知：底面4BCD為矩形，可得力。=2.利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得：PDLAE,E為

PD的中點，利用線面垂直的判定可得4"，平面P4B.點E到P平面PAB的距離等于點。到平面PAB

的距離的一半，三棱錐P—4BE的體積V=號/_「48.

本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式.考查了空間想象能力與計算能力，

屬于中檔題.

26.答案：(1)證明：PA=AB=2BC=2,AC=遍，

所以AC1BC,

因為PA_L平面ABC,PAu平面PAC,

所以平面24cl平面PAC,

因為平面P4Cn平面4BC=AC,

所以8C1平面P4C,所以BC14F,

又因為4F_LPC,PCnBC=C,

則4FL平面PBC,得4FJ.PB,

又因為AEnAF=4,

所以8P1平面AE尸；

(2)解：由(1)得ZMEF為直角三角形，P是三棱錐P-AE尸的高，在RtaP.AC中，P4=2,4C=國,

所以PC=77,4/7=￡^￡=華=也，在RtAP.AZ?中，PA=AB=2,貝iJPA—AE=；PB—2,,

PCV772

在RtAE/IF中，EF=Vi4E2—AF2=」2一￡=所以尸=x人尸=1xx=爭

所以三棱錐P-4EF的體積為二x亞xa=2.

3721

解析：本題考查了線面垂直的判定，以及求三棱錐的體積，難度一般.

(1)由條件，得到P41平面A8C,進而推出BCJ.4F,AFPBC,結(jié)合已知條件推出4FJ.PB,

從而證出BP，平面AEF；

(2)根據(jù)題意，得到相關(guān)線段長，利用體積公式，算出體積.

27.答案：解：(1)余弦定理說明ACO3等腰直角.

取2C中點N,連接PN,DN,AP0N為等腰直角三角形，做0MLPN，。在平面PBC內(nèi)的射影

即為M,

作圖如下：

所以PM1.

(2)以。為坐標原點，麗，比，而分別為x,y,z軸建立空間坐標系，如圖所示:

則4(2,-2,0),Z?(2.0