1．4空間向量的應(yīng)用1．4.2用空間向量研究距離、夾角問題第1課時距離問題素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

1．能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面間的距離問題．(重點)2．能描述解決距離問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．(難點、易混點)

空間中點、線、面距離的相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).必備知識?探新知

點P到直線l的距離知識點1思考1：點到直線的距離與兩條平行直線之間的距離有什么關(guān)系？提示：在兩條平行直線中的一條上取一定點，該點到另一條直線的距離即為兩條平行直線的距離．做一做：如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點F，G分別為AB，CC1的中點，則點D到直線GF的距離為______.點P到平面α的距離知識點2設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為____________(如圖)．思考2：怎樣利用向量方法求直線到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離？提示：兩條直線平行，其中一條直線到另一條直線間的距離是其中一條直線上任一點到另一條直線的距離；一條直線和一個平面平行，直線到平面的距離就是這條直線上任一點到這個平面的距離；兩個平面平行，平面到平面的距離就是一個平面上任一點到這個平面的距離．做一做：已知四面體ABCD的頂點分別為A(2,3,1)，B(1,0,2)，C(4,3，－1)，D(0,3，－3)，則點D到平面ABC的距離為________.關(guān)鍵能力?攻重難1．(1)已知三棱錐O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，則點A到直線BC的距離為(

)題型探究題型一利用空間向量求點線距(2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，則點B到直線A1C1的距離為______.B(2)以B為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，[規(guī)律方法]

用向量法求點到直線的距離的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求直線的單位方向向量u；(3)計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量a；

四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點，則P到直線EF的距離為(

)對點訓(xùn)練?D題型二利用空間向量求點面距、線面距2．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．(1)求點D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．[解析]

(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，對點訓(xùn)練?[解析]

取AC的中點O，連接OS，OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.又BO?平面ABC，∴SO⊥BO.又∵△ABC為正三角形，O為AC的中點，∴AO⊥BO.如圖所示，分別以O(shè)A，OB，OS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，題型三利用空間向量求面面距3.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在棱BB1上，EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，B1C1，A1C1的中點，EF與B1D相交于點H.(1)求證：B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF與平面ABD的距離．[分析]

根據(jù)兩個平行平面間距離的定義，可將平面與平面間的距離轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)一點到另一個平面的距離，即點面距．[規(guī)律方法]

求兩個平行平面的距離，先在其中一個平面上找到一點，然后轉(zhuǎn)化為該點到另一個平面的距離求解．注意：這個點要選取適當(dāng)，以方便求解為主．

如圖，已知棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD的距離為______.對點訓(xùn)練?課堂檢測?固雙基1．已知直線l過定點A(2,0,1)，且方向向量為m＝(－2,1，－1)，則點P(1,1,1)到直線l的距離為(

)D2．如圖，點P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，Q為線段AP的中點，AB＝3，BC＝4，PA＝2，則點P到平面BQD的距離為(

)B[解析]

如圖，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，Q(0,0,1)，3．兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點O和點A(2,1,1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1,0,1)，則兩平面間的距離是(

)B4．棱長為1的正方體ABCD－A1