第3講等式性質與不等式性質1.[2024四川廣安模擬]已知P＝a2＋3，Q＝4a－1，則P，Q的大小關系是（A）A.P≥Q B.P＞QC.P≤Q D.P＜Q解析P＝a2＋3，Q＝4a－1，P－Q＝a2＋3－4a＋1＝（a－2）2≥0，故P≥Q，故選A.2.[2024上海高考]已知實數a，b，c，d滿意：a＞b＞c＞d，則下列選項中正確的是（B）A.a＋d＞b＋c B.a＋c＞b＋dC.ad＞bc D.ac＞bd解析對于選項A，如取a＝4，b＝3，c＝2，d＝－4，此時a＋d＜b＋c，故A錯誤；對于選項B，a＋c＞b＋c＞b＋d，故B正確；對于選項C，D，如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此時ad＜bc，ac＜bd，故C，D錯誤.故選B.3.[2024陜西西安模擬]若a＜b＜0＜c＜d，則（C）A.ac＜ad B.a－c＞b－dC.ca＞db D.a解析對于A，因為a＜0，c＜d，所以ac＞ad，故選項A錯誤；對于B，取a＝－4，b＝－1，c＝1，d＝2，則a－c＝－5，b－d＝－3，故選項B錯誤；對于C，ca－db＝bc－adab＞ac－adab＞對于D，取a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝2，則a＋cb＝1，b＋dc＝14.已知0＜a＜b＜1，設m＝blna，n＝alnb，p＝ln（lnalnb），則m，n，p的大小關系為（A.m＜n＜p B.n＜m＜pC.p＜m＜n D.p＜n＜m解析由0＜a＜b＜1，得ba＞1，且lna＜lnb＜0，即有lnalnb＞1，因此，ln（lnalnb）＞0，即p＞0，由m＜0，n＜0，mn＝blnaalnb＝ba·lnalnb5.[2024山東煙臺模擬]已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，則下列不等式成立的是（B）A.xy＞yz B.xy＞xzC.xz＞yz D.x｜y｜＞｜y｜z解析因為x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符號無法確定.對于A，由題意得x＞z，若y＜0，則xy＜0＜yz，故A錯誤；對于B，因為y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正確；對于C，因為x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C錯誤；對于D，當｜y｜＝0時，x｜y｜＝｜y｜z，故D錯誤.故選B.6.[2024廣西柳州模擬]一般認為，民用住宅的窗戶面積必需小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應當不小于10％，而且這個比值越大，采光效果越好.若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果（B）A.變壞了 B.變好了C.不變 D.無法推斷解析設a和b分別表示公寓原來的窗戶面積和地板面積，m表示窗戶和地板所增加的面積（面積單位都相同），由題意得0＜a＜b，m＞0，則a＋mb＋m－a因為b＞0，m＞0，所以b（b＋m）＞0，又因為a＜b，則b－a＞0，所以a＋mb＋m－ab＞所以同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了.故選B.7.[多選]若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列結論正確的是（BCD）A.ad＞bc B.ad＋bcC.a－c＞b－d D.a（d－c）＞b（d－c）解析因為a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A錯誤；因為0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因為c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）·（－d），所以ac＋bd＜0，又cd＞0，所以ac＋bdcd＝ad＋bc＜0，故B正確；因為c＜d，所以－c＞－d，因為a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故C正確；因為a＞0＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－8.[多選]若a＞0，b＞0，則使a＞b成立的充要條件是（ABD）A.a2＞b2 B.a2b＞ab2C.ba＞b+1a+1 D.a＋1解析對于A，因為a＞0，b＞0，所以a＞b?a2＞b2，A選項符合題意；對于B，因為a＞0，b＞0，所以a2b＞ab2?ab（a－b）＞0?a＞b，B選項符合題意；對于C，當a＞b＞0時，ba－b+1a+1＝b（a+1)－a（b對于D，當a＞b＞0時，1b＞1a＞0，所以a＋1b＞b＋1a，反之，由a＞0，b＞0，a＋1b＞b＋1a，可得a＋1bb＋1a＞1，即a（ab+19.[多選/2024安徽模擬]已知2＜x＜3，－2＜y＜1，則下列選項正確的是（CD）A.－23＜yx＜12 B.2＜xyC.－6＜xy＜3 D.3＜2x－y＜8解析對于A，2＜x＜3，13＜1x＜12，當y＝0時，yx＝0；當0＜y＜1時，0＜yx＜12；當－2＜y＜0時，0＜－y＜2，0＜－yx＜1，－1＜yx＜0.所以－1＜yx＜12，A選項錯誤.對于B，－2＜y＜1，當y＝0時，xy2＝0，B選項錯誤.對于C，當y＝0時，xy＝0；當0＜y＜1時，0＜xy＜3；當－2＜y＜0時，0＜－y＜2，0＜－xy＜6，－6＜xy＜0.所以－6＜xy＜3，C選項正確.對于D，由2＜x＜3，得4＜2x＜6，由－2＜y＜1，得－1＜－y＜2，所以3＜210.[2024安徽省淮南市模擬]已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，則4a－2b的取值范圍是[5，10].解析令4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n－m）b，則m＋n=4，n－m＝－2，解得n=1，m=3.因為1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，所以5≤3（a－b）＋（11.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，則（A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.b＜a＜c解析解法一易知a，b，c都是正數，ba＝3ln44ln3＝log8164＜1，所以a＞b；bclog6251024＞1，所以b＞c，即c＜b＜a.故選B.解法二構造函數f（x）＝lnxx，則f'（x）＝1－lnxx2，由f'（x）＞0f'（x）＜0，得x＞e，所以f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，＋∞）上單調遞減，所以f（3）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c.故選B.12.[2024河南鄭州模擬]某品牌手機為了打開市場，促進銷售，打算對其特定型號的產品降價，有四種降價方案：①先降價a％，再降價b％；②先降價a＋b2％，再降價a％；③先降價a＋b2％，再降價a＋b2％；④一次性降價（a＋b）％.其中aA.① B.② C.③ D.④解析設原價為1，對于①，降價后的價格為（1－a％）（1－b％），對于②，降價后的價格為（1－a＋b2％）（1－對于③，降價后的價格為（1－a＋b2％對于④，降價后的價格為1－（a＋b）％.（1－a％）（1－b％）＝1－（a＋b）％＋a％b％＞1－（a＋b）％，所以①＞④.因為a＞b，所以（1－a＋b2％）2－（1－a％）（1－b％）＝（a％＋b％2）2－a％b％＝（a％＋b因為a＞b，所以a％＞a＋b2％，1－a％＜1－a＋b2％，（1－a＋b2％）（1－a％）＜（1－則最終降價幅度最小的方案是③.故選C.13.[多選/2024廣東名校聯考]若a＝lnb＋1，c＝eb－1，則（ACD）A.a≤b B.c≤b C.a＜c D.b＜c解析a－b＝lnb－b＋1，構造函數f（x）＝lnx－x＋1，則f'（x）＝1x－1，所以f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減，所以f（x）≤f（1）＝0，所以a≤bc－b＝eb－b－1，構造函數g（x）＝ex－x－1（x＞0），則g'（x）＝ex－1，因為x＞0，所以g'（x）＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上單調遞增，所以g（x）＞e0－1＝0，所以c＞b.綜上，a≤b＜c，故選ACD.14.b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添加m克糖（m＞0），就會使糖水變得更甜，試依據這個事實提煉出一個不等式：ab＜a＋解析原來糖水濃度為ab，添加m克糖后變為a＋mb＋15.[多選/2024山東菏澤模擬]下列結論確定正確的有（AD）A.若lna2＞lnb2，則2｜a｜＞2｜b｜B.若｜a｜a2＞｜b｜C.若b＞a＞e，則ab＜baD.若0＜2a＜b＜3－a2，則sina＜sinb解析由lna2＞lnb2可得a2＞b2，即｜a｜＞｜b｜，而y＝2x是增函數，所以2｜a｜＞2｜b｜成立，故A正確.由｜