壓軸熱點考點01實數及其運算一、單選題1．若，則式子的值在（

）A．和0.4之間 B．0.4和1之間 C．1和1.6之間 D．1.6和2.2之間2．已知二次函數和，令，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．“引江濟淮工程”是一項以城鄉供水和發展江淮航運為主，結合灌溉補水和改善巢湖及淮河水生態環境為主要任務的大型跨流域調水工程．涵蓋安徽省12市和河南省2市，涉及面積約7.06萬平方千米，工程估算總投資912.71億元．其中912.71億用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．4．若x、y是兩個實數，且，則等于（

）A． B． C． D．5．對于整式：、、、，在每個式子前添加“＋”或“－”號，先求和再求和的絕對值，稱這種操作為“全絕對”操作，并將絕對值化簡的結果記為．例如：，當時，；當時，，所以或．下列相關說法正確的個數是：（

）①至少存在一種“全絕對”操作使得操作后化簡的結果為常數；②若一種“全絕對”操作的化簡結果為為常數），則；③所有可能的“全絕對”操作后的式子化簡后有16種不同的結果，A．0 B．1 C．2 D．36．如圖，，是數軸上的兩點，點與點關于原點對稱，以為邊作正方形若點表示的數為，正方形面積為，則，兩點之間的距離是（

）

A． B． C． D．7．如圖，,試求的小數部分（

）．

A．0.118 B． C． D．0.6188．生活中，我們常用到長方形樣、不同型號的打印紙．基于滿足影印（放大或縮小后，需保持形狀不變）及制作各型號紙張時，既方便又省料等方面的需要，對于紙張規格，存有一些通用的國際標準．其中，把紙定義為面積為1平方米，長與寬的比為的紙張；沿紙兩條長邊中點的連線裁切，就得到兩張紙；再沿紙兩條長邊中點的連線裁切得紙…依此類推，得等等的紙張（如圖所示）．若設紙張的寬為米，則應為（）

A． B．的算術平方根 C． D．的算術平方根9．若三條長度分別為，，的線段能構成三角形，我們就把稱為三角數組，已知是三角數組，則下列說法正確的是（

）①一定是三角數組；②不一定是三角數組；③一定是三角數組；④不一定是三角數組；A．①③ B．①④ C．②③ D．②④10．若，，則有，即．已知函數與函數，由上述結論判斷的值正確的是（）A．有最小值4 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值1二、填空題11．某數學老師在課外活動中做了一個有趣的游戲：黑板上寫了1到10這10個數，每次任意擦去兩個數，再寫上一個新數（這兩個數的和減去一），若干次后，黑板上只剩下一個數，這個數是．12．今年國內旅游市場復蘇按下“加速鍵”，據文化和旅游部數據中心測算，預計2023年，我國國內旅游人數將達45.5億人次，同比增長約．數據45.5億用科學記數法表示為．13．若一個四位自然數M的千位數字的平方恰好等于百位數字、十位數字與個位數字的和，則稱這個四位數M為“君和數”．若“君和數”且，將“君和數”M的千位與百位數字對調，十位與個位數字對調得到新數N，規定，，若，均為整數，則的值為，M的值為．14．一個各個數位上的數字均不為0的四位正整數，若千位上的數字與個位上的數字之和是百位上的數字與十位上的數字之和的2倍，則稱這個四位數為“倍和數”，對于“倍和數”m，任意去掉一個數位上的數字，得到四個三位數，這四個三位數的和記為．（1）；（2）若“倍和數”m千位上的數字與個位上的數字之和為8，且能被7整除，則所有滿足條件的“倍和數”用的最大值與最小值的差為．15．閱讀下列材料：“為什么不是有理數”，完成問題．證明：假設是有理數，那么存在兩個互質的正整數，，使得，則___________．是2的倍數，____________________，可設（為正整數），則，_____________，即，__________________，，都是2的倍數，不互質，與假設矛盾．因此假設不成立，即不是有理數．將下列選項依次填入材料中的畫線處，正確的順序是．（填上序號）①；

②；

③是2的倍數；

④是2的倍數．16．對于實數，，如果滿足，那么稱，互為和等積數，點為和等積點．如：由，可知4的和等積數為，點為和等積點．已知直線與雙曲線有一個交點是和等積點，則的值為．三、解答題17．(1)已知，是實數，證明：．(2)在中，，，為直角邊，斜邊，則的最大值是___________．18．（1）計算：；（2）下面是王亮同學解方程的過程，請閱讀并完成相應任務．解：方程兩邊同乘以，得

第一步．

第二步

第三步

第四步經檢驗：是原方程的解．

第五步∴原方程的解是

第六步任務一：①以上求解過程中，第一步的依據是______；②王亮同學的求解過程從第______步開始出現錯誤，整個解答過程．從前一步到后一步的變形共出現______處錯誤：③分式方程檢驗的目的是______．任務二：請你直接寫出這個方程的正確解______．19．已知：(1)若，，，求M的值．(2)若，，，若M的值不小于，求x的取值范圍．20．（1）．（2）小婷同學解分式方程的過程如下，請你認真閱讀，并完成任務．解：方程兩邊同乘得．

第一步

．

第二步

第三步

．第四步

檢驗：當時，．第五步所以是原方程的解．

第六步任務：①小婷的解答過程是從第______步開始出錯的，錯誤的原因是______．②請直接寫出該分式方程的正確解．壓軸熱點考點01實數及其運算一、單選題1．若，則式子的值在（

）A．和0.4之間 B．0.4和1之間 C．1和1.6之間 D．1.6和2.2之間【答案】A【分析】先通分、因式分解，然后進行除法運算可得化簡結果，然后對無理數進行估算，然后代入求解即可．【詳解】解：，∵，即，∴，故選：A．【點睛】本題考查分式的化簡求值，無理數的估算．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．2．已知二次函數和，令，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據題意畫出兩個函數圖象，然后結合函數圖象及絕對值的意義依次判斷即可．【詳解】解：∵，∴對稱軸為，∵∴相當于將向右平移1個單位長度，對稱軸為，如圖所示：當時，，即當點橫坐標到的距離大于時，由圖得即或時，當時，；當時，；故A、B選項錯誤，不符合題意；當時，即當點橫坐標到的距離小于等于時，由圖得即時，由圖得：當時，為負數，且二者之間距離最大，∴，，∴，當時，為正數，且二者之間距離最大，∴，，∴，∴時，，故選：D．

【點睛】題目主要考查二次函數的基本性質，絕對值的意義，理解題意，采用數形結合思想求解是解題關鍵．3．“引江濟淮工程”是一項以城鄉供水和發展江淮航運為主，結合灌溉補水和改善巢湖及淮河水生態環境為主要任務的大型跨流域調水工程．涵蓋安徽省12市和河南省2市，涉及面積約7.06萬平方千米，工程估算總投資912.71億元．其中912.71億用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查科學記數法的表示方法，熟練掌握科學記數法的表示方法是解題的關鍵．把912.71億還原原數，再根據科學記數法表示即可．【詳解】解：912.71億；故選：B．4．若x、y是兩個實數，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據x、y的取值范圍，去絕對值符號并分別討論求得方程組的解，再代入代數式計算求解即可．【詳解】解：當，時，原方程組為：，方程組無解；當，時，原方程組為：，解得，；當，時，原方程組為：，方程組無解；當，時，原方程組為：，方程組無解；綜上得，原方程組的解為：，∴，故答案選C．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，涉及到絕對值計算，根據未知數的范圍判斷去絕對值后的符號是解此題的關鍵．5．對于整式：、、、，在每個式子前添加“＋”或“－”號，先求和再求和的絕對值，稱這種操作為“全絕對”操作，并將絕對值化簡的結果記為．例如：，當時，；當時，，所以或．下列相關說法正確的個數是：（

）①至少存在一種“全絕對”操作使得操作后化簡的結果為常數；②若一種“全絕對”操作的化簡結果為為常數），則；③所有可能的“全絕對”操作后的式子化簡后有16種不同的結果，A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據題意，找出一種“全絕對”操作使操作后化簡結果為常數，即為正確，可判定①．，湊“全絕對”操作后得到或，去掉絕對值變成的形式求得的取值范圍，可判定②．利用排列組合的方法，每一個整式添“”或“”所以每一個整式有兩種變化情況，共4個整式，就有，但是有重復結果，可判定③．【詳解】解：使操作后化簡的結果為常數，即使的系數為0，有，①正確．，；．：當，時．：當，時．符合題意．②正確．（種，而當時，，，結果相同，③錯誤．故選：C．【點睛】本題以新定義閱讀題為背景考查了絕對值化簡和相反數定義，考核了學生對絕對值和相反數定義的理解及靈活運用，弄清定義，讀懂題目按照規律列舉出所有可能結果解題事半功倍．6．如圖，，是數軸上的兩點，點與點關于原點對稱，以為邊作正方形若點表示的數為，正方形面積為，則，兩點之間的距離是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意求出點表示的數，求出邊的長，即可求解．【詳解】解：根據題意得，，與點關于原點對稱，點表示的數為，點表示的數為，，之間的距離為．故選：A．【點睛】本題考查了實數與數軸的簡單應用，解題的關鍵是求出點和線段的長，題目比較簡單．7．如圖，,試求的小數部分（

）．

A．0.118 B． C． D．0.618【答案】D【分析】設，然后利用已知條件分別用x表示出，最后代入計算即可解答．【詳解】解：設，則，∵∴，根據作圖痕跡可得：，，∴．故選D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用、無理數等知識點，分別用x表示出是解答本題的關鍵．8．生活中，我們常用到長方形樣、不同型號的打印紙．基于滿足影印（放大或縮小后，需保持形狀不變）及制作各型號紙張時，既方便又省料等方面的需要，對于紙張規格，存有一些通用的國際標準．其中，把紙定義為面積為1平方米，長與寬的比為的紙張；沿紙兩條長邊中點的連線裁切，就得到兩張紙；再沿紙兩條長邊中點的連線裁切得紙…依此類推，得等等的紙張（如圖所示）．若設紙張的寬為米，則應為（）

A． B．的算術平方根 C． D．的算術平方根【答案】D【分析】由紙張的寬為x米，表示出紙的寬和長，根據紙面積為1平方米求出x的值即可．【詳解】解：由圖得，當紙張的寬為x米時，紙的寬為米，∵紙張長與寬的比為，∴紙的長為米，∵紙面積為1平方米，∴，∴，∴x的值為的算術平方根．故選：D．【點睛】本題考查了平方根的計算，根據圖形表示出A0的長寬是解題關鍵．9．若三條長度分別為，，的線段能構成三角形，我們就把稱為三角數組，已知是三角數組，則下列說法正確的是（

）①一定是三角數組；②不一定是三角數組；③一定是三角數組；④不一定是三角數組；A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】，且，先證明，即可證明，由此即可判斷①②；根據是一個三角數組，不是一個三角數組即可判斷③④．【詳解】解：∵是三角數組，∴可設，且，∴，∵，∴，∴一定是三角數組，故①正確，②不正確；∵是一個三角數組，，∴不是一個三角數組，∴當是三角數組時，不一定是三角數組，故③錯誤，④正確；故選B．【點睛】本題主要考查了構成三角形的條件，實數比較大小，正確理解題意是解題的關鍵．10．若，，則有，即．已知函數與函數，由上述結論判斷的值正確的是（）A．有最小值4 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值1【答案】A【分析】化簡，結合，，則有，即求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，∵，∴，，∴，∴，故選：A；【點睛】本題考查分式化簡求值，解題的關鍵是讀懂題意中的新定義，化簡．二、填空題11．某數學老師在課外活動中做了一個有趣的游戲：黑板上寫了1到10這10個數，每次任意擦去兩個數，再寫上一個新數（這兩個數的和減去一），若干次后，黑板上只剩下一個數，這個數是．【答案】46【分析】本題考查了有理數的加法，操作一次，黑板上的數減少1個，數字總和減少1．經過次操作，剩下的一個數是，據此解答即可．【詳解】解：（次）答：這個數是46，故答案為：46．12．今年國內旅游市場復蘇按下“加速鍵”，據文化和旅游部數據中心測算，預計2023年，我國國內旅游人數將達45.5億人次，同比增長約．數據45.5億用科學記數法表示為．【答案】【分析】把一個大于10的數記成的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，這種記數法叫做科學記數法，由此即可得到答案．【詳解】解：45.5億故答案為：【點睛】本題考查科學記數法—表示較大的數，關鍵是掌握用科學記數法表示數的方法．13．若一個四位自然數M的千位數字的平方恰好等于百位數字、十位數字與個位數字的和，則稱這個四位數M為“君和數”．若“君和數”且，將“君和數”M的千位與百位數字對調，十位與個位數字對調得到新數N，規定，，若，均為整數，則的值為，M的值為．【答案】73162【分析】根據給出的新定義來化簡，即可求出；表示出M、N，從而表示出，根據為整數即可求解．【詳解】解：由題意可得：，∴，∵，為整數，∴；設，，∴，∵，∴，為整數，∴∴；故答案為：7；3162．【點睛】本題主要考查整式的計算，通過新定義來推導對應的關系，用a、b、c、d來表示，通過討論求出最終的解．14．一個各個數位上的數字均不為0的四位正整數，若千位上的數字與個位上的數字之和是百位上的數字與十位上的數字之和的2倍，則稱這個四位數為“倍和數”，對于“倍和數”m，任意去掉一個數位上的數字，得到四個三位數，這四個三位數的和記為．（1）；（2）若“倍和數”m千位上的數字與個位上的數字之和為8，且能被7整除，則所有滿足條件的“倍和數”用的最大值與最小值的差為．【答案】21874176【分析】（1）根據定義，計算即可．（2）根據定義，結合分類思想計算即可．【詳解】（1）∵6312中，∴，∴6312是“倍和數”，∴任意去掉一個數位上的數字，得到四個三位數分別為，∴；故答案為：2187．（2）設四位數m為，∵m是“倍和數”，∴，∴，∴，∴任意去掉一個數位上的數字，得到四個三位數分別為，∴，∵，∴，∵各個數位上的數字均不為0的四位正整數，當時，，能被7整除，此時；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，能被7整除，此時；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，能被7整除，；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；當時，，不能被7整除，舍去；故所有滿足條件的“倍和數”用的最大值與最小值的差為，故答案為：4176．【點睛】本題考查了實數的新定義問題，正確理解新定義是解題的關鍵．15．閱讀下列材料：“為什么不是有理數”，完成問題．證明：假設是有理數，那么存在兩個互質的正整數，，使得，則___________．是2的倍數，____________________，可設（為正整數），則，_____________，即，__________________，，都是2的倍數，不互質，與假設矛盾．因此假設不成立，即不是有理數．將下列選項依次填入材料中的畫線處，正確的順序是．（填上序號）①；

②；

③是2的倍數；

④是2的倍數．【答案】②④①③【分析】根據反證法的證明步驟以及立方根的定義補全證明過程即可求解．【詳解】證明：假設是有理數，那么存在兩個互質的正整數，，使得，則．是2的倍數，是2的倍數，可設（為正整數），則，，即，是2的倍數，，都是2的倍數，不互質，與假設矛盾．因此假設不成立，即不是有理數．故答案為：．②④①③【點睛】本題考查了立方根的定義，反證法，熟練掌握反證法證明方法是解題的關鍵．16．對于實數，，如果滿足，那么稱，互為和等積數，點為和等積點．如：由，可知4的和等積數為，點為和等積點．已知直線與雙曲線有一個交點是和等積點，則的值為．【答案】或【分析】設與雙曲線的交點是和等積點，利用定義得到，代入一次函數得到，進而得到，求出或，由兩個函數圖象的相交得到，代入即可求出k的值．【詳解】解：設與雙曲線的交點是和等積點，∴，∵，∴，∴，即，解得或，∵，則，∴或，故答案為：或．【點睛】此題考查了求反比例函數的解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根的判別式，正確理解題意得到是解題的關鍵．三、解答題17．(1)已知，是實數，證明：．(2)在中，，，為直角邊，斜邊，則的最大值是___________．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）可證，即可得證；（2）可求，由（1）即可求解．【詳解】（1）證明：，，，，，．（2）解：由題意得，，，，的最大值為，故答案：．【點睛】本題考查了用作差法證明不等式，勾股定理，掌握方法是解題的關鍵．18．（1）計算：；（2）下面是王亮同學解方程的過程，請閱讀并完成相應任務．解：方程兩邊同乘以，得

第一步．

第二步

第三步

第四步經檢驗：是原方程的解．

第五步∴原方程的解是

第六步任務一：①以上求解過程中，第一步的依據是______；②王亮同學的求解過程從第______步開始出現錯誤，整個解答過程．從前一步到后一步的變形共出現______處錯誤：③分式方程檢驗的目的是______．任務二：請你直接寫出這個方程的正確解______．【答案】（1）（2）任務一：①等式的性質；②二，3；③判定解是否是增根任務二：【分析】（1）先計算乘方與開方，并去絕對符號，再計算加減即可；（2）先去分母，將分式方程轉化成整式方程求解，然后檢驗即可．【詳解】解：（1）；（2）任務一：①方程兩邊同乘以，得，依據是等式的性質；②第二步，，漏乘了項，應為∴王亮同學的求解過程從第二步開始出現錯誤，第三步，左邊應為不是，第四步，計算錯誤，應為不是，∴整個解答過程，從前一步到后一步的變形第二步、第三步、第四步共出現3處錯誤；③分式方程檢驗的目的是判定解是否是增根．