2023-2024學年八年級（下）期末數學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）“白毛浮綠水，紅掌撥清波”，白鵝撥出的圓形水波不斷擴大，記它的半徑為r，則其面積S與r的關系式為S＝πr2.下列判斷正確的是（）A．r是因變量 B．π是常量 C．S是自變量 D．S，π，r都是變量2．（3分）若有意義，則x可以是下面的哪個值（）A．0 B．1 C．2 D．33．（3分）已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝4：5：6 C．a2＝b2﹣c2 D．a＝，b＝，c＝14．（3分）已知正比例函數y＝（9m﹣1）x的圖象上兩點A（x1，y1），B（x2，y2），當x1＜x2時，有y1＜y2，那么m的取值范圍是（）A．m＜9 B． C．m＞0 D．5．（3分）如圖，在?ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，∠A＝100°，則∠AEB等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若∠BAD＝120°，若AB＝6，則OA的長為（）A．5 B．4 C．3 D．7．（3分）已知直線與兩坐標軸的交點分別為A、B，則△AOB的周長為（）A．12 B．10 C．9 D．88．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b的圖象與x軸交點為A（﹣3，0），與y軸交點為B，且與正比例函數的圖象交于點C（m，4）．觀察函數圖象，關于x的不等式的解集為（）A．x＜4 B．x＞4 C．x＜3 D．x＞39．（3分）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）拼成的一個大正方形（如圖2）．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab＝8，大正方形的面積為25，則圖2中EF的長為（）A．3 B．4 C． D．10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A1的坐標為（1，2），以O為圓心，OA1的長為半徑畫弧，交直線于點B1；過點B1作B1A2∥y軸交直線y＝2x于點A2，以O為圓心，OA2長為半徑畫弧，交直線于點B2；過點B2作B2A3∥y軸交直線y＝2x于點A3，以點O為圓心，OA3長為半徑畫弧，交直線于點B3，…，按如此規律進行下去，點B2024的坐標為（）A．（22023，22024） B．（22022，22023） C．（22023，22022） D．（22024，22023）二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．（3分）甲、乙兩支排球隊隊員的平均身高都為1.82m，方差分別為S甲2＝3.7m2，S乙2＝4.2m2，則身高較整齊的球隊是隊．12．（3分）將直線y＝﹣3x﹣5向上平移3個單位長度后，得到的直線解析式為．13．（3分）若點A（a，b）在直線y＝﹣x+2上，則a+b的值是．14．（3分）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點，下列結論：①BE⊥AC；②EG＝GF；③四邊形BEFG是平行四邊形；④EA平分∠GEF．其中正確的是.（填序號）15．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，點P為邊CD上一個動點，將△APD沿AP折疊得到△APQ，點D的對應點為Q，當射線PQ恰好經過AB的中點M時，DP的長為．三、解答題（一）：本大題共3小題，第16小題10分，第17、18小題各7分，共24分．16．（10分）計算：（1）；（2）．17．（7分）某同學上學期的數學歷次測驗成績如下表所示：測驗類別平時測驗期中測驗期末測驗第1次第2次第3次成績100106106105110（1）該同學上學期5次測驗成績的眾數為，中位數為；（2）該同學上學期數學平時成績的平均數為；（3）該同學上學期的總成績是將平時測驗的平均成績、期中測驗成績、期末測驗成績按照2：3：5的比例計算所得，求該同學上學期數學學科的總評成績（結果保留整數）．18．（7分）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為AC＝15km，與公路上另一停靠站B的距離為BC＝20km，停靠站A，B之間的距離為AB＝25km，為方便運輸貨物現要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CD⊥AB．（1）求證：∠ACB＝90°（2）求修建的公路CD的長．19．（9分）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，…按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出你猜想的第n個等式：（用含n的等式表示），并證明其正確性．20．（9分）如圖，已知四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°．（1）尺規作圖：過點D作DE⊥BC，交BC于點E（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）若BC＝2AD，當∠C滿足什么條件時，（1）中作出的四邊形ABED為正方形？并證明你的結論．21．（9分）為響應政府低碳生活，綠色出行的號召，某公交公司決定購買一批節能環保的新能源公交車，計劃購買A型和B型兩種公交車，其中每輛的價格、年載客量如表：A型B型價格（萬元/輛）ab年載客量（萬人/年）60100若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元．（1）求a，b的值；（2）計劃購買A型和B型兩種公交車共10輛，如果該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于640萬人次，問有幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，請用一次函數的性質說明哪種方案使得購車總費用最少？最少費用是多少萬元？22．（12分）問題情境：小明在期末復習時，遇到了這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且AE⊥BF，垂足為M．那么AE與BF相等嗎？（1）請直接判斷：AEBF（填“＝”或“≠”）；在“問題情境”的基礎上，小明繼續探索以下問題：（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E、F、G分別在邊BC、CD和DA上，且AE⊥BF，垂足為M．那么GE與BF相等嗎？證明你的結論；（3）如圖3，在（2）的條件下，當M在正方形ABCD的對角線AC上時，連接BG，將△BMG沿著BG翻折，點M落在點M′處．那么四邊形BMGM′是正方形嗎？并說明理由．23．（12分）如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB交x軸于點A（﹣2，0），交y軸于點B（0，4），直線y＝kx+b經過點B且交x軸正半軸于點C，已知AC＝5．（1）點C的坐標是（，），直線BC的表達式是；（2）若點G為線段BC上一點，且滿足S△ABG＝S△AOB，求點G的坐標；（3）如圖2，點E為線段AB中點，點D為y軸上一動點，以DE為直角邊作等腰直角△DEF，且DE＝DF，當點F落在直線BC上時，求點D的坐標．

2023-2024學年八年級（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）“白毛浮綠水，紅掌撥清波”，白鵝撥出的圓形水波不斷擴大，記它的半徑為r，則其面積S與r的關系式為S＝πr2.下列判斷正確的是（）A．r是因變量 B．π是常量 C．S是自變量 D．S，π，r都是變量【分析】根據常量和變量的定義即可作答．【解答】解：∵S隨著r的變化而變化，∴S是因變量，r是自變量，π是常量．故選：B．【點評】本題主要考查常量和變量，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．2．（3分）若有意義，則x可以是下面的哪個值（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據被開方數不小于零且分母不為零的條件進行解題即可．【解答】解：由題可知，，解得x且x≠1．則只有0符合．故選：A．【點評】本題考查二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，掌握被開方數不小于零且分母不為零的條件是解題的關鍵．3．（3分）已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝4：5：6 C．a2＝b2﹣c2 D．a＝，b＝，c＝1【分析】依據三角形內角和定理以及勾股定理的逆定理，即可得出結論．【解答】解：A、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC為直角三角形．B、∵42+52≠62，∴△ABC不是直角三角形；C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，故△ABC為直角三角形；D、∵a＝，b＝，c＝1，∴b2＝c2+a2，故△ABC為直角三角形；故選：B．【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用以及三角形內角和定理．判斷三角形是否為直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定義判斷．4．（3分）已知正比例函數y＝（9m﹣1）x的圖象上兩點A（x1，y1），B（x2，y2），當x1＜x2時，有y1＜y2，那么m的取值范圍是（）A．m＜9 B． C．m＞0 D．【分析】根據題意得出關于m的不等式，求出m的取值范圍即可．【解答】解：∵當x1＜x2時，有y1＜y2，∴9m﹣1＞0，解得m＞．故選：D．【點評】本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特征，熟知一次函數的圖象與系數的關系是解題的關鍵．5．（3分）如圖，在?ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，∠A＝100°，則∠AEB等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】由BC∥AD，得∠ABC＝180°﹣∠A＝80°，則∠CBE＝∠ABE＝40°，所以∠AEB＝∠CBE＝40°，于是得到問題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A＝100°，∴BC∥AD，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝∠ABC＝×80°＝40°，∴∠AEB＝∠CBE＝40°，故選：B．【點評】此題重點考查平行四邊形的性質、平行線的性質、角平分線的定義等知識，求得∠CBE＝∠ABE＝40°是解題的關鍵．6．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若∠BAD＝120°，若AB＝6，則OA的長為（）A．5 B．4 C．3 D．【分析】由菱形的性質可得AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，AO＝CO，可證△ABC是等邊三角形，可得AC＝AB＝6，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，AO＝CO，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝6，∴OA＝3，故選：C．【點評】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質，掌握菱形的性質是解題的關鍵．7．（3分）已知直線與兩坐標軸的交點分別為A、B，則△AOB的周長為（）A．12 B．10 C．9 D．8【分析】先求出直線AB與兩坐標軸的交點，再求出AB的長度，即可得出答案．【解答】解：當x＝0時，y＝﹣3，當y＝0時，x＝4，AB＝＝5，則△AOB的周長為3+4+5＝12．故選：A．【點評】本題主要考查一次函數圖象上點的坐標特征，求出直線AB與兩坐標軸的交點是解題的關鍵．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b的圖象與x軸交點為A（﹣3，0），與y軸交點為B，且與正比例函數的圖象交于點C（m，4）．觀察函數圖象，關于x的不等式的解集為（）A．x＜4 B．x＞4 C．x＜3 D．x＞3【分析】利用數形結合的數學思想即可解決問題．【解答】解：將y＝4代入y＝得，，解得x＝3，所以點C的坐標為（3，4）．由函數圖象可知，當x＜3時，函數y＝的圖象在函數y＝kx+b圖象的下方，即＜kx+b，所以關于x的不等式的解集為x＜3．故選：C．【點評】本題考查一次函數與一元一次不等式，熟知一次函數的圖象和性質及數形結合思想的巧妙運用是解題的關鍵．9．（3分）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）拼成的一個大正方形（如圖2）．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab＝8，大正方形的面積為25，則圖2中EF的長為（）A．3 B．4 C． D．【分析】由圖形2可知，中間四邊形的邊長為（a﹣b）的小正方形，由大正方形的面積由四個全等的直角三角形加中間小正方形的面積得出＝25，再結合ab＝8即可得出（a﹣b）的值，再根據勾股定理即可求出EF的長．【解答】解：由圖形2可知，中間四邊形的邊長為（a﹣b）的小正方形，∵大正方形的面積為25，∴AB2＝25，又∵大正方形的面積由四個全等的直角三角形加中間小正方形的面積，∴＝25，∴（a﹣b）2+2ab＝25，∴（a﹣b）2+2×8＝25，∴（a﹣b）＝3（負值已舍），即圖2中小正方形的邊長為3，∴EF＝＝3，故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理，正確得出大正方形的面積表示方法是解題的關鍵．10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A1的坐標為（1，2），以O為圓心，OA1的長為半徑畫弧，交直線于點B1；過點B1作B1A2∥y軸交直線y＝2x于點A2，以O為圓心，OA2長為半徑畫弧，交直線于點B2；過點B2作B2A3∥y軸交直線y＝2x于點A3，以點O為圓心，OA3長為半徑畫弧，交直線于點B3，…，按如此規律進行下去，點B2024的坐標為（）A．（22023，22024） B．（22022，22023） C．（22023，22022） D．（22024，22023）【分析】根據題意可求出B1的坐標，A2的坐標，B2的坐標，進而發現坐標變化的規律，即可得出答案．【解答】解：∵點A1的坐標為（1，2），設點B1的坐標為（a，），∵a2+（）2＝12+22，∴a＝2，（負根舍去），∴點B1的坐標為（2，1），同理可得A2的坐標為（2，4），B2的坐標為（4，2），A3的坐標為（3，8），B3的坐標為（8，4），??，∴點B2024的坐標為（22024，22023）．故選：D．【點評】本題主要考查一次函數圖象上點的坐標的特征、規律型，發現題目中坐標的變化規律是解題的關鍵．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．（3分）甲、乙兩支排球隊隊員的平均身高都為1.82m，方差分別為S甲2＝3.7m2，S乙2＝4.2m2，則身高較整齊的球隊是甲隊．【分析】根據方差越小數據越穩定解答即可．【解答】解：∵平均身高都為1.82m，3.7＜4.2，∴身高較整齊的球隊是甲隊．故答案為：甲．【點評】本題考查了方差的意義，方差是各數據值離差的平方和的平均數，方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，數據越穩定．12．（3分）將直線y＝﹣3x﹣5向上平移3個單位長度后，得到的直線解析式為y＝﹣3x﹣2．【分析】根據“上加下減”的平移規律即可得到答案．【解答】解：將直線y＝﹣3x﹣5向上平移3個單位長度后，得到的直線解析式為y＝﹣3x﹣5+3＝﹣3x﹣2；故答案為：y＝﹣3x﹣2．【點評】本題考查一次函數圖象與幾何變換，解題的關鍵是掌握“上加下減”的平移規律．13．（3分）若點A（a，b）在直線y＝﹣x+2上，則a+b的值是2．【分析】將點A（a，b）代入直線y＝﹣x+2中，進而得出答案．【解答】解：∵點A（a，b）在直線y＝﹣x+2上，∴b＝﹣a+2，∴a+b＝2．故答案為：2．【點評】本題主要考查一次函數圖象上點的坐標特征，將點A（a，b）代入直線y＝﹣x+2中是解題的關鍵．14．（3分）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點，下列結論：①BE⊥AC；②EG＝GF；③四邊形BEFG是平行四邊形；④EA平分∠GEF．其中正確的是①③④.（填序號）【分析】由平行四邊形的性質可得OB＝BC，由等腰三角形的性質可判斷①正確，由直角三角形的性質和三角形中位線定理可判斷②錯誤，由BG＝EF，BG∥EF∥CD可證四邊形BEFG是平行四邊形，可得③正確．由平行線的性質和等腰三角形的性質可判斷④正確．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，又∵BD＝2AD，∴OB＝BC＝OD＝DA，且點E是OC中點，∴BE⊥AC，故①正確，∵E、F分別是OC、OD的中點，∴EF∥CD，EF＝CD，∵點G是Rt△ABE斜邊AB上的中點，∴GE＝AB＝AG＝BG，∴EG＝EF＝AG＝BG，無法證明GE＝GF，故②錯誤，∵BG＝EF，BG∥EF∥CD∴四邊形BEFG是平行四邊形故③正確，∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，∵AG＝GE，∴∠GAE＝∠AEG，∴∠AEG＝∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正確．故答案為：①③④．【點評】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理等知識，靈活運用相關的性質定理、綜合運用知識是解題的關鍵．15．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，點P為邊CD上一個動點，將△APD沿AP折疊得到△APQ，點D的對應點為Q，當射線PQ恰好經過AB的中點M時，DP的長為2．【分析】先推出MP＝MA＝5，在Rt△AMQ中，求出MQ，即可求出QP，由翻折性質可得DP＝QP，從而解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠D＝90°，∴∠APD＝∠PAM，∵將△APD沿AP折疊得到△APQ，AD＝4，∴∠APD＝∠APM，∠AQP＝∠D＝90°，AQ＝AD＝4，DP＝QP，∴∠APM＝∠PAM，∠AQM＝90°，∴MP＝MA，∵AB＝10，M是AB的中點，∴MP＝MA＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理，得MQ＝＝＝3，∴DP＝QP＝MP﹣MQ＝5﹣3＝2，故答案為：2．【點評】本題考查翻折變換的性質，矩形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握相關圖形的判定和性質是解題的關鍵．三、解答題（一）：本大題共3小題，第16小題10分，第17、18小題各7分，共24分．16．（10分）計算：（1）；（2）．【分析】（1）先算乘除法，再化簡即可；（2）先化簡，然后計算加減法即可．【解答】解：（1）＝+＝+2；（2）＝1+﹣1﹣2+2＝﹣2+3．【點評】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．17．（7分）某同學上學期的數學歷次測驗成績如下表所示：測驗類別平時測驗期中測驗期末測驗第1次第2次第3次成績100106106105110（1）該同學上學期5次測驗成績的眾數為106，中位數為106；（2）該同學上學期數學平時成績的平均數為104；（3）該同學上學期的總成績是將平時測驗的平均成績、期中測驗成績、期末測驗成績按照2：3：5的比例計算所得，求該同學上學期數學學科的總評成績（結果保留整數）．【分析】（1）將5次測驗成績重新排列后，根據眾數和中位數的定義求解可得；（2）將平時測驗成績相加后除以3即可得；（3）根據加權平均數的定義列式計算可得．【解答】解：（1）將5次測驗的成績重新排列為100、105、106、106、110，∴該同學上學期5次測驗成績的眾數為10（6分）、中位數為10（6分），故答案為：106、106；（2）該同學上學期數學平時成績的平均數為＝104，故答案為：104；（3）該同學上學期數學學科的總評成績為104×0.2+105×0.3+110×0.5＝107.3≈107，即該同學總評成績約為10（7分）．【點評】本題主要考查眾數、中位數和加權平均數，解題的關鍵是掌握眾數和中位數的定義及加權平均數的計算公式．18．（7分）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為AC＝15km，與公路上另一停靠站B的距離為BC＝20km，停靠站A，B之間的距離為AB＝25km，為方便運輸貨物現要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CD⊥AB．（1）求證：∠ACB＝90°（2）求修建的公路CD的長．【分析】（1）根據勾股定理的逆定理，由AC2+BC2＝AB2得到△ABC是直角三角形，進而得解；（2）利用△ABC的面積公式可得，CD?AB＝AC?BC，從而求出CD的長．【解答】（1）證明：△ABC是直角三角形．∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，152+202＝252，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°；（2）解：∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝＝12（km）．答：修建的公路CD的長是12km．【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應用，以及三角形的面積公式等知識，熟練掌握這兩個定理是解題關鍵．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19．（9分）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，…按照以上規律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：（+1）（6﹣）＝5+1；（2）寫出你猜想的第n個等式：（+1）（n+1﹣）＝n+1（用含n的等式表示），并證明其正確性．【分析】（1）根據所給等式可得答案；（2）首先寫出第n個等式，然后再利用二次根式的乘法進行計算即可．【解答】（1）解：（+1）（6﹣）＝5+1，故答案為：（+1）（6﹣）＝5+1；（2）（+1）（n+1﹣）＝n+1，證明：∵＝∴，故答案為：（+1）（n+1﹣）＝n+1．【點評】此題主要考查了二次根式的乘法，關鍵是認真觀察等式，找出所給規律．20．（9分）如圖，已知四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°．（1）尺規作圖：過點D作DE⊥BC，交BC于點E（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）若BC＝2AD，當∠C滿足什么條件時，（1）中作出的四邊形ABED為正方形？并證明你的結論．【分析】（1）根據要求作出圖形；（2）當∠C＝45°時，四邊形ABED是正方形．根據鄰邊相等的矩形是正方形證明即可．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）當∠C＝45°時，四邊形ABED是正方形．理由：∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠A＝∠B＝90°，∴四邊形ABED是矩形，∴AD＝BE，∵∠C＝45°，∠DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∵BC＝2AD，AD＝BE，∴BE＝EC＝DE，∴四邊形ABED是正方形．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，正方形的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．21．（9分）為響應政府低碳生活，綠色出行的號召，某公交公司決定購買一批節能環保的新能源公交車，計劃購買A型和B型兩種公交車，其中每輛的價格、年載客量如表：A型B型價格（萬元/輛）ab年載客量（萬人/年）60100若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元．（1）求a，b的值；（2）計劃購買A型和B型兩種公交車共10輛，如果該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于640萬人次，問有幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，請用一次函數的性質說明哪種方案使得購車總費用最少？最少費用是多少萬元？【分析】（1）利用總價＝單價×數量，結合“購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元”，即可得出關于a，b的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）根據購買A型公交車8輛，B型公交車2輛，設購買A型公交車m輛，則購買B型公交車（10﹣m）輛，根據“購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于720萬人次”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結合m為整數，即可得出m的值，得出購買方案；（3）設購車總費用為w萬元，根據總費用＝購買兩種公交車費用之和列出函數解析式，由函數的性質得出最值．【解答】解：（1）依題意得：答：a的值為100，b的值為150；（2）設購買A型公交車m輛，則購買B型公交車（10﹣m）輛，解得：6≤m≤9又∵m為整數，∴有4購買方案；方案一：購買A型公交車6輛，購買B型公交車4輛；方案二：購買A型公交車7輛，購買B型公交車3輛；方案一：購買A型公交車8輛，購買B型公交車2輛；方案二：購買A型公交車9輛，購買B型公交車1輛；（3）設購車總費用為w萬元，則w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500，（6≤m≤9且m為整數）∵﹣50＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當m＝9時，w最小，最小值為﹣50×9+1500＝1050（萬元），∴購車總費用最少的方案是購買A型公交車9輛，購買B型公交車1輛，購車總費用為1050萬元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用和一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組；（3）正確列出函數解析式．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分。22．（12分）問題情境：小明在期末復習時，遇到了這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且AE⊥BF，垂足為M．那么AE與BF相等嗎？（1）請直接判斷：AE＝BF（填“＝”或“≠”）；在“問題情境”的基礎上，小明繼續探索以下問題：（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E、F、G分別在邊BC、CD和DA上，且AE⊥BF，垂足為M．那么GE與BF相等嗎？證明你的結論；（3）如圖3，在（2）的條件下，當M在正方形ABCD的對角線AC上時，連接BG，將△BMG沿著BG翻折，點M落在點M′處．那么四邊形BMGM′是正方形嗎？并說明理由．【分析】（1）可證明△ABE≌△BCF，從而得出AE＝BF；（2）作AH∥EG，交BC于H，由（1）知：AH＝BF，可證得四邊形AHEG是平行四邊形，從而GE＝AH，進而得出結論；（3）連接DM，證明△BAM≌△DAM（ASA），所以∠ABM＝∠ADM，BM＝DM；由折疊可知，AM＝AM′，GM＝GM′，由四邊形內角和和平角的定義可得∠MGD＝∠GDM，所以GM＝DM，則AM＝AM′＝GM＝GM′＝BM，所以四邊形BMGM′是菱形，再由“有一個角是直角的菱形是正方形”可得結論．【解答】解：（1）AE＝BF，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，∴∠ABM+∠CBF＝90°，∵AE⊥BF，∴∠AMB＝90°，∴∠BAE+∠ABM＝90°，∴∠CBF＝∠BAE，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，故答案為：＝；（2）GE＝BF，理由：如圖2，GE＝BF，理由如下：作AH∥EG，交BC于H，∵EG⊥BF，∴AH⊥BF，由（1）知：AH＝BF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴四邊形AHEG是平行四邊形，∴GE＝AH，∴GE＝BF；（3）是，理由如下：連接DM．由（2）的結論可知：GE＝BF．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAM＝∠DAM＝45°，在△BAM和△DAM中，，∴△BAM≌△DAM（ASA），∴∠ABM＝∠ADM，BM＝DM，由折疊可知：GM＝GM'，BM＝BM'．∵∠BAG+∠BMG＝180°，∴∠ABM+∠AGM＝180°，∵∠DGM+∠AGM＝180°，∴∠DGM＝∠ABM，∴∠DGM＝∠GDM，∴GM＝DM，∴GM＝BM，∴GM＝GM'＝BM＝BM'，∴四邊形BMGM'為菱形，又∵∠GMB＝90°，∴四邊形BMGM'為正方形．【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質，矩形的判定和性質，勾股定理的應用等，熟練掌握正方形的性質和等腰直角三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵23．（12分）如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB交x軸于點A（﹣2，0），交y軸于點B（0，4），直線y＝kx+b經過點B且交x軸正半軸于點C，已知AC＝5．（1）點C的坐標是（