中外數學發展史上海市市東中學楊鋒第二講古埃及、美索不達米亞1一、古埃及數學

埃及是世界上文化發達最早的幾個地區之一，位于尼羅河兩岸，公元前3200年左右，形成一個統一的國家。尼羅河定期泛濫，淹沒全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面積。由于這種需要，多年積累起來的測地知識便逐漸發展成為幾何學。2公元前2900年以后，埃及人建造了許多金字塔，作為法老的墳墓。從金字塔的結構，可知當時埃及人已懂得不少天文和幾何的知識。例如基底直角的誤差與底面正方形兩邊同正北的偏差都非常小；胡夫金子塔底周長與高之比為2等等。3研究埃及數學的依據古埃及人創造出了幾套文字，其中一套是象形文字．“象形文字”這個詞源于希臘文，意思是神圣的文字．直到基督降生的年代，埃及在紀念碑文和器皿上還刻有象形文字．自公元前2500年左右起，開始使用象形文字的縮寫，稱作僧侶文(hieraticwriting)．4

現今對古埃及數學的認識，主要根據兩卷用僧侶文寫成的紙草書（見上右彩圖）；一卷藏在倫敦，叫做蘭德紙草書，一卷藏在莫斯科。埃及最古老的文字是象形文字，后來演變成一種較簡單的書寫體，通常叫僧侶文。除了這兩卷紙草書外，還有一些寫在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木頭上的史料，藏于世界各地。兩卷紙草書的年代在公元前1850～前1650年之間，相當于中國的夏代。51．蘭德紙草書埃及的數學原典就是由象形文字書寫而成，其中，對考察古埃及數學有重要價值的是“蘭德紙草書”，這部紙草書是在埃及古都---底比斯(Thebes)的廢墟中發現的．1858年由蘭德(A．H．Rhind)購買，爾后，遺贈給倫敦大英博物館．因此，叫做蘭德紙草書．這種紙草書長約550厘米、寬33厘米，摹本出版于1898年．這部紙草書是根據底比斯人統治埃及時(約公元前1800年以后)寫成的，著者阿梅斯(Ahmes)曾寫道，此書是根據埃及王國時代(公元前2000---前1800)的材料寫成的．6這部紙草書的出現，對埃及的文化產生了重要影響，對數學的發展和傳播起到了一定的作用．全書分成三部分，一是算術；二是幾何；三是雜題．共有85題．記載著埃及人在生產、生活中遇到的實際問題．例如，對勞動者酬金的分配；面積和體積的計算；不同谷物量的換算等等．其中，也含有純數學知識問題．例如，分數的難題計算等等．72．莫斯科紙草書記載著古埃及數學的另一部古典書籍是莫斯科紙草書，此書是由俄羅斯收藏者于1893年獲得，約20年后，即1912年轉藏于莫斯科圖書館．這部紙草書長約550厘米、寬8厘米，共記載著25個問題．由于卷首遺失，書名無法考證．總之，研究埃及數學主要是依據如上兩部書，當然，也可能還有其它的有關資料，有待于進一步發現與考證．8埃及數學的主要內容

根據埃及紙草書的記載，古埃及人對算術、代數、幾何等數學知識已經有了初步認識，并能做簡單地應用．現簡要介紹如下：9一、算術古埃及人所創建的數系與羅馬數系有很多相似之處，具有簡單而又純樸的風格，并且使用了十進位制．古埃及人是用象形文字來表示數的，例如10根據史料記載，上述象形文字似乎只限于表示107以前數．由于是用象形文字表示數，進行相加運算是很麻煩的，必須要數“個位數”、“十位數”、“百位數”的個數．但在計算乘法時，埃及人采取了逐次擴大2倍(duplication)的方法，運算過程比較簡便．11乘法：古埃及人采用反復擴大倍數的方法，然后將對應結果相加．例如蘭德紙草書(希特版)第32頁，記載著12×12的計算方法，是從右往左讀的．右邊用現代數字表示，這就是倍增法(duplatio)．12隨著分數范圍的不斷擴大，計算方法的不斷改進，埃及人用“單位分數”(分子是1的分數)來表示分數：對一般分數則拆成“單位分數”表示①．例如，(用現代符號表示)13二、代數在蘭德紙草書中，因為求含一個未知量的方程解法在埃及語中發“哈喔”(hau)音，故稱其為“阿哈算法”．“阿哈算法”實際上是求解一元一次方程式的方法．蘭德紙草書第26題則是簡單一例．用現代語言表達為：

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埃及人對“級數”也有了簡單的認識，在紙草書中，用象形文字寫出一列數7，49，343，2401，16807，并與之對應一列詞：“圖畫”，“貓”，“老鼠”，“大麥”，“容器”，最后，給出和數為19607．實際上，這是公比為7的等比數列．對此，有的數學史家解釋為：“有7個人，每人有7只貓，每只貓能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麥，每穗大麥種植后可以長出7容器大麥．”從這個題目中，可以寫出怎樣的一列數，它們的和是多少？這種題目就涉及到求數列和的問題．15三、幾何埃及人創建的幾何以適用工具為特征，以求面積和體積為具體內容．他們曾提出計算土地面積、倉庫容積、糧食堆的體積、建筑中所用石料和其它材料多寡等法則．埃及人能應用正確的公式來計算三角形、長方形、梯形的面積．把三角形底邊二等分，乘以高；同樣，把梯形兩平行邊之和二等分，乘以高分別作為三角形和梯形的面積．另外，埃及人還能對不同的面積單位進行互相換算．16在埃及埃特夫街的赫爾斯神殿的文書中，記載著很多關于三角形和四邊形面積計算問題，如圖1．1．但是，他們把四邊形二對邊之和的一半與另二對邊和的一半之積作為其面積，這顯然是不對的，只是長方形時，這才是正確的計算公式．17埃及人曾采用s＝(8d/9)2(其中s是圓的面積、d是圓的直徑)來計算圓的面積．由此得到：能把π值精確到小數點后一位，在那個時代，應該說是一件了不起的事，巴比倫人在數學高度發展時期，還常常取π＝3．18

在計算體積方面，經考察蘭德等紙草書發現，埃及人已經知道立方體、柱體等一些簡單圖形體積的計算方法，并指出立方體、直棱柱、圓柱的體積公式為“底面積乘以高”．

19有材料證實，在埃及幾何中，最突出的一項工作是發現截棱錐體的體積公式，(錐體的底是正方形)，此公式若用現代數學符號表示為：

其中h是高，a和b是下、上底的邊長．20埃及文明在歷史王朝更迭中表現出一種靜止的特征，這種靜止特征也反映在埃及數學上的發展上。蘭德紙草書和莫斯科紙草書中的數學，就像祖傳家寶一樣世代相傳，在數千年漫長的歲月中很少變化。加法運算和單位分數始終是埃及算數的磚塊，使古埃及人的計算顯得笨重繁復。古埃及人的面積、體積算法對精確公式與近似關系往往不作明確區分，這又使他們的實用幾何帶上了粗糙的色彩。這一切都阻礙埃及數學向更高的水平發展。公元前4世紀希臘人征服埃及之后，這一古老的數學文化完全被蒸蒸日上的希臘數學所取代。21二、美索不達米亞數學

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西亞美索不達米亞地區（即底格里斯河與幼發拉底河流域）是人類早期文明發祥地之一。一般稱公元前19世紀至公元前6世紀間該地區的文化為巴比倫文化,相應的數學屬巴比倫數學。這一地區的數學傳統上溯至約公元前二千年的蘇美爾文化,后續至公元1世紀基督教創始時期。24

大約在公元前1800年前，在兩河流域建立了巴比倫王國Babylonia)，首都巴比倫(Babylon)是今日伊拉克的一部分，位于巴格達南面約100公里．大約在公元前4000年左右，蘇默人(Sumerians)開始在兩河流域(古代稱美索波達米亞Mesopotamia)定居，大約在公元前3000年創造了自己的文化．到了公元前1700年左右，在漢穆拉比(Hammurabi)王統治期間國勢強盛，文化得到了高度發展，以制定一部法典而垂名后世．25

古代巴比倫人是用祖傳的泥板書記載數學內容的，然而，保存下來的泥板書卻沒有埃及紙草書那樣多．可能是因為泥板書靠太陽或火燒烘干，遇到風吹雨淋，難于保存原樣．另外，巴比倫人的書寫字跡也阻礙了長篇論著的編撰．26對巴比倫數學的了解，依據于19世紀初考古發掘出的楔形文字泥板,有約300塊是純數學內容的，其中約200塊是各種數表,包括乘法表、倒數表、平方和立方表等。27在巴比倫泥板書中，引人注目的是普林頓322號．這是哥倫比亞大學普林頓(G．A．Plimpton)收集館的第322號收藏品．此泥板書是在公元前1900年至前1600年間用古巴比倫字體寫的．28普林頓322號是保存下來的一塊殘缺不全的泥板書，但仍然保存著大體形狀，只是左邊掉下一塊，靠右邊中間部分也有一個很深的洞，左上角也脫落了一片，但可以清楚地看到，有三列比較完整的數字，不妨用現代符號(10進位)表出，如圖2.1．29經過對圖表的認真分析，就會發現：兩列中的對應數字(除了4個例外)構成一個邊長為整數的直角三角形的斜邊和一個直角邊．現在人們把象(3，4，5)這樣的，能組成直角三角形三條邊的一組正整數稱為畢氏三數(Pythagoreantriple)．在這樣一組數中，若除1以外，沒有其它因子，就稱它為素畢氏三數．30記數法與進位制一百多年前，人們發現巴比倫人是用楔形文字(Cuneiform)來記數的．他們是用頭部呈三角形的木筆把字刻寫在軟泥板上，然后，用火燒或曬干使它堅如石，以便保存下來進行數學知識交流．由于字的形狀象楔子，所以人們稱為楔形文字．31

大約在公元前1800～前1600年間，巴比倫人已使用較系統的以60為基數的數系（包括60進制小數）。對小于60的整數，使用1(▼)和10(

)兩種記號表示，如25=2(10)+5=；對大于60的數,用位置制記數法,如

524551=2(60)3+25(60)2+42(60)+31=

由于沒有表示零的記號，這種記數法是不完善的。

32巴比倫人的代數知識相當豐富,主要用文字表達,偶爾使用記號表示未知量。有一道最古老的問題是:已知正方形面積與邊長的差為14；30〔60進位制數,即14(60)+30=870〕,求正方形邊長。

這相當于求解方程x2-px＝q（此時p＝1，q＝870）。巴比倫人的解法是依次計算

,得到解為30。

33這與現代用公式解這類方程的過程一致（但他們尚無負數概念，解方程只求正根）。在公元前1600年前的一塊泥板上,記錄了許多組畢達哥拉斯三元數組(即勾股數組，（見彩圖）。巴比倫人還討論了某些三次方程和可化為二次方程的四次方程。

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巴比倫的幾何屬于實用性質的幾何，多采用代數方法求解。他們有三角形相似及對應邊成比例的知識。用公式

(с為圓的周長)求圓面積,相當于取π=3。在一塊約公元前1600年的泥板上,記有的近似值

1+24/60+51/602+10/603=1