第十章磁場素養提升課十一“動態圓”“磁發散與磁聚焦”模型提升點一磁場中的三類“動態圓”模型提升點二“磁發散與磁聚焦”模型內容索引課時測評提升點一磁場中的三類“動態圓”模型考向1

“平移圓”模型模型界定將半徑為R＝

的圓進行平移，從而探索出粒子運動的臨界條件，即為“平移圓”法模型條件粒子源發射速度大小、方向一定，入射點不同但在同一直線上的同種帶電粒子進入勻強磁場時，它們做勻速圓周運動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝

，如圖所示模型特點帶電粒子軌跡圓的圓心在同一直線上、且該直線與入射點的連線平行(或共線)(多選)如圖所示，在Ⅰ、Ⅱ兩個區域內存在磁感應強度大小均為B的勻強磁場，磁場方向分別垂直于紙面向外和向里，AD、AC邊界的夾角∠DAC＝30°，邊界AC與邊界MN平行，Ⅱ區域寬度為d。質量為m、電荷量為＋q的粒子可在邊界AD上的不同點射入，入射速度垂直AD且垂直于磁場，若入射速度大小為

，不計粒子重力，則A．粒子在磁場中運動的半徑為B．粒子在距A點0.5d處射入，不會進入Ⅱ區域C．粒子在距A點1.5d處射入，在Ⅰ區域內運動的時間為D．能夠進入Ⅱ區域的粒子，在Ⅱ區域內運動的最短時間為例1√√帶電粒子在磁場中的運動半徑r＝

＝d，故A錯誤；不能進入Ⅱ區域的粒子在Ⅰ區域內均做半圓運動，其軌跡為一系列“平移”的半圓，設其中從某處E進入磁場的粒子，其軌跡恰好與AC相切(如圖所示)，則E點距A點的距離為

－d＝d，粒子在距A點0.5d處射入，會進入Ⅱ區域，故B錯誤；粒子在距A點1.5d處射入，不會進入Ⅱ區域，在Ⅰ區域內的軌跡為半圓，運動的時間為t＝

，故C正確；進入Ⅱ區域的粒子，弦長最短的運動時間最短，且最短弦長為d，對應圓心角為60°，最短時間為tmin＝

，故D正確。考向2

“放縮圓”模型模型界定以入射點P為定點，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出粒子運動的臨界條件，即為“放縮圓”法模型條件粒子源發射速度方向一定、大小不同的同種帶電粒子進入勻強磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化模型特點軌跡圓的圓心共線：如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，運動半徑也越大。可以發現這些帶電粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上(多選)如圖所示，垂直于紙面向里的勻強磁場分布在正方形abcd區域內，O點是cd邊的中點。一個帶正電的粒子僅在洛倫茲力的作用下，從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內，經過時間t0后剛好從c點射出磁場。現設法使該帶電粒子從O點沿紙面以與Od成30°角的方向、以大小不同的速率射入正方形內，那么下列說法中正確的是A．若該帶電粒子在磁場中經歷的時間是t0，則它一定從cd邊射出磁場B．若該帶電粒子在磁場中經歷的時間是t0，則它一定從ad邊射出磁場C．若該帶電粒子在磁場中經歷的時間是t0，則它一定從bc邊射出磁場D．若該帶電粒子在磁場中經歷的時間是t0，則它一定從ab邊射出磁場例2√√如圖所示，作出剛好從ab邊射出的軌跡①、剛好從bc邊射出的軌跡②、從cd邊射出的軌跡③和剛好從ad邊射出的軌跡④。由從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內，經過時間t0后剛好從c點射出磁場可知，帶電粒子在磁場中做圓周運動的周期是2t0。由圖可知，從ad邊射出磁場經歷的時間一定小于

t0，從ab邊射出磁場經歷的時間一定大于等于

t0且小于

t0，從bc邊射出磁場經歷的時間一定大于等于

t0且小于

t0，從cd邊射出磁場經歷的時間一定是

t0，故A、C正確。考向3

“旋轉圓”模型模型界定將一半徑為R＝

的圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索出粒子運動的臨界條件，即為“旋轉圓”法模型條件粒子源發射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子進入勻強磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若入射初速度大小為v0，則圓周運動軌跡半徑為R＝模型特點軌跡圓的圓心共圓：如圖所示，帶正電的粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑R＝

的圓上如圖為圓形區域的勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，邊界跟y軸相切于坐標原點O。O點處有一放射源，沿紙面向各方向射出速率均為v的某種帶正電粒子，帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑是圓形磁場區域半徑的2倍。已知該帶電粒子的質量為m、電荷量為q，不考慮帶電粒子的重力。(1)推導帶電粒子在磁場空間做圓周運動的軌跡半徑；例3答案：見解析帶電粒子進入磁場后，受洛倫茲力作用，由牛頓第二定律得qvB＝

，解得r＝

。(2)求帶電粒子通過磁場空間的最大偏轉角。答案：60°粒子的速率均相同，因此粒子軌跡圓的半徑均相同，但粒子射入磁場的速度方向不確定，故可以保持圓的大小不變，只改變圓的位置，畫出“動態圓”如圖甲所示，通過“動態圓”可以觀察到粒子運動軌跡均為劣弧，對于劣弧而言，弧越長，弧所對應的圓心角越大，偏轉角越大，當粒子的軌跡圓的弦長等于圓形磁場的直徑時，粒子在磁場空間的偏轉角最大，如圖乙所示，則

解得φmax＝60°。返回提升點二“磁發散與磁聚焦”模型在圓形邊界的勻強磁場中，如果帶電粒子做勻速圓周運動的半徑恰好等于磁場區域圓的半徑，則有如下兩個重要結論：磁發散磁聚焦如圖甲所示，當粒子從磁場邊界上同一點沿不同方向進入磁場區域時，粒子離開磁場時的速度方向一定平行，而且與入射點的切線方向平行。此情境稱為“磁發散”。如圖乙所示，當粒子以相互平行的速度從磁場邊界上任意位置進入磁場區域時，粒子一定會從同一點離開磁場區域，而且該點切線與入射方向平行。此情境稱為“磁聚焦”。(2021·湖南高考)帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關鍵技術之一。帶電粒子流(每個粒子的質量為m、電荷量為＋q)以初速度v垂直進入磁場，不計重力及帶電粒子之間的相互作用。對處在xOy平面內的粒子，求解以下問題。(1)如圖(a)，寬度為2r1的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A(0，r1)、半徑為r1的圓形勻強磁場中，若帶電粒子流經過磁場后都匯聚到坐標原點O，求該磁場磁感應強度B1的大小；例4審題指導

知道并會靈活應用“磁發散”與“磁聚焦”兩個結論。答案：粒子沿x軸正方向垂直進入圓形磁場，“磁聚焦”在坐標原點O，滿足“磁聚焦”的條件，即粒子在磁場中運動的半徑等于圓形磁場的半徑r1，粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力，有qvB1＝

，解得B1＝

。(2)如圖(a)，虛線框為邊長等于2r2的正方形，其幾何中心位于C(0，－r2)。在虛線框內設計一個區域面積最小的勻強磁場，使匯聚到O點的帶電粒子流經過該區域后寬度變為2r2，并沿x軸正方向射出。求該磁場磁感應強度B2的大小和方向，以及該磁場區域的面積(無需寫出面積最小的證明過程)；答案：

，垂直于紙面向里審題指導

找出磁場區域的面積最小的臨界條件。粒子從O點進入下方虛線區域，若要從聚焦的O點飛入，然后平行x軸飛出，為“磁發散”的過程，即粒子在下方圓形磁場運動的軌跡半徑等于磁場半徑，粒子軌跡最大的邊界如圖甲所示，圖中圓形磁場即為最小的勻強磁場區域，磁場半徑為r2，根據qvB2＝m，可知磁感應強度為B2＝

根據左手定則可知磁場的方向為垂直于紙面向里，圓形磁場的面積為S2＝πr。(3)如圖(b)，虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設計一個區域面積最小的勻強磁場，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標原點O，再經過Ⅲ和Ⅳ后寬度變為2r4，并沿x軸正方向射出，從而實現帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場磁感應強度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強磁場區域的面積(無需寫出面積最小的證明過程)。答案：磁場分布如圖乙所示根據qvB＝m可知Ⅰ和Ⅲ中的磁感應強度為可知磁場的最小面積為葉子形狀(圖中陰影部分)以Ⅱ區域為研究對象，圖中陰影部分面積的一半為四分之一圓周扇形面積與以r3為直角邊的等腰直角三角形面積之差，所以陰影部分的面積為同理可知Ⅳ區域的陰影部分面積為對點練．電子質量為m，電荷量為e，從坐標原點O處沿xOy平面射入第一象限，射入時速度方向不同，速度大小均為v0，如圖所示。現在某一區域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應強度為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行，求：(1)熒光屏上光斑的長度；答案：如圖所示，初速度沿x軸正方向的電子，沿弧OB運動到P點，為熒光屏上光斑的最高點；初速度沿y軸正方向的電子，沿弧OC運動到Q點，為熒光屏上光斑的最低點。電子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得ev0B＝m，解得R＝

，光斑長度PQ＝R＝

。(2)所加磁場范圍的最小面積。答案：所加磁場的最小面積是以O′為圓心、R為半徑的圓的陰影部分，其面積大小為返回課時測評1．如圖所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限內有一圓心為O、半徑為R的半圓形勻強磁場，線狀粒子源從y軸左側平行于x軸正方向不斷射出質量為m、電荷量為q、速度大小為v0的帶正電粒子，磁場的磁感應強度大小為

、方向垂直平面xOy向里。不考慮粒子間的相互作用，不計粒子受到的重力，所有從不同位置進入磁場的粒子中，在磁場中運動的時間最長為A． B．

C． D．√粒子在磁場中做勻速圓周運動，有qv0B＝m，解得r＝2R，如圖所示，當粒子在磁場中的運動軌跡對應的圓心角最大時，粒子在磁場中運動的時間最長，由于sinα＝

，要使圓心角α最大，FE最長，經分析可知，當粒子從y軸上的D′點射入、從x軸上的E′點射出磁場時，粒子在磁場中運動的時間最長，有sinαm＝

，解得αm＝

，從D′點射入磁場的粒子在磁場中運動的時間最長，且tm＝

，解得tm＝

，故選C。2．(多選)(2024·安徽安慶模擬)一有界勻強磁場的磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，其中射線bc足夠長，∠abc＝135°，其他地方磁場的范圍足夠大。一束質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，在紙面內從a點垂直于ab射入磁場，這些粒子具有各種速率，不計粒子重力和粒子之間的相互作用，以下說法正確的是A．從ab邊射出的粒子在磁場中運動的時間都相等B．從a點入射的粒子速度越大，在磁場中運動的時間越長C．粒子在磁場中的最長運動時間不大于D．粒子在磁場中的最長運動時間不大于√√畫出帶電粒子在磁場中運動的動態分析圖，如圖所示，當粒子都從ab邊射出，則運動軌跡都是半圓周，運動時間都相等且為

，當粒子都從bc邊射出，則速度越大，軌道半徑越大，對應的圓心角越大，運動時間越長，運動時間大于

，故A正確，B、C錯誤；當粒子的速度足夠大，半徑足夠大時，l遠小于r，這時圓心角大小趨近于270°，因此粒子在磁場中的最長運動時間小于

，故D正確。故選AD。3．(多選)如圖所示，擋板MN位于水平面x軸上，在第一、二象限y≤L區域存在磁感應強度為B的矩形勻強磁場，磁場方向垂直紙面向外。在MN上O點放置了粒子發射源，能向第二象限各個方向發射速度大小為v0＝

的帶正電同種粒子，已知粒子質量為m、電荷量為q，不計粒子的重力和粒子間的相互作用，粒子打到擋板上時均被擋板吸收，以下說法正確的是A．所有粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑均為B．粒子在磁場中運動的最長時間為C．所有粒子運動的區域面積為D．所有粒子運動的區域面積為√√由洛倫茲力提供向心力有qv0B＝m，代入數據解得r＝

，A正確；粒子在磁場中運動的最長時間為t＝T＝

，B錯誤；所有粒子運動的區域面積為圖中陰影部分面積，由幾何關系有S＝

－2×＝

，C錯誤，D正確。4．(多選)(2024·河南開封模擬)如圖所示，在等腰直角三角形BAC內充滿著磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向外的勻強磁場(圖中未畫出)。一群質量為m、電荷量為＋q、速度為v的帶正電粒子垂直AB邊射入磁場，已知從AC邊射出且在磁場中運動時間最長的粒子，離開磁場時速度垂直于AC邊。不計粒子重力和粒子間的相互作用。下列判斷中正確的是A．等腰三角形BAC中AB邊的長度為B．粒子在磁場中運動的最長時間為C．從AB中點射入的粒子離開磁場時的位置與A點的距離為D．若僅將磁場反向，則粒子在磁場中運動的最長時間不變√√依題意可知當粒子在磁場中運動時間最長時，軌跡圓的圓心在A點。且其軌跡與BC邊相切。根據幾何關系可知

sin45°＝r，粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，有qvB＝m，聯立可得

，故A正確；粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為T＝

，根據A選項分析，粒子最長軌跡所對應的圓心角為90°，則有

，故B正確；從AB中點射入的粒子，其軌跡為上面所分析的粒子軌跡向下平移r－

r，得到此軌跡圓的圓心在A點的正下方，如圖所示，由幾何關系可知，離開磁場時的位置與A點的距離必然小于軌跡半徑r，即

，故C錯誤；若僅將磁場反向，則粒子在磁場中將向上偏轉，不會出現圓心角為90°的軌跡，故最長時間將變小，故D錯誤。5．(2020·全國卷Ⅰ)一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，

為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質量為m、電荷量為q(q＞0)的粒子，在紙面內從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為A． B．

C． D．√帶電粒子在勻強磁場中運動，運動軌跡如圖所示，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝m，解得r＝

，運動時間

，θ為帶電粒子在磁場中運動軌跡所對的圓心角，粒子在磁場中運動時間由軌跡所對圓心角決定。采用放縮法，粒子垂直ac射入磁場，則軌跡圓圓心必在直線ac上，將粒子的軌跡半徑從零開始逐漸放大，當r≤0.5R(R為

的半徑)和r≥1.5R時，粒子從ac、bd區域射出磁場，運動時間等于半個周期；當0.5R＜r＜1.5R時，粒子從弧ab上射出，軌跡半徑從0.5R逐漸增大，粒子射出位置從a點沿弧向右移動，軌跡所對圓心角從π逐漸增大，當半徑為R時，軌跡所對圓心角最大，再增大軌跡半徑，軌跡所對圓心角又逐漸減小，因此軌跡半徑等于R時，所對圓心角最大，為θm＝

，粒子最長運動時間為

，C正確。6．(多選)如圖所示，半徑為R、磁感應強度為B的圓形勻強磁場，MN是一豎直放置的足夠長的感光板。大量相同的帶正電粒子從圓形磁場最高點P以速率v沿不同方向垂直磁場方向射入，不考慮速度沿圓形磁場切線方向入射的粒子。粒子質量為m，電荷量為q，不考慮粒子間的相互作用和粒子的重力。關于這些粒子的運動，以下說法正確的是A．對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中通過的時間越短B．對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中通過的時間越長C．若粒子速度大小均為v＝

，出射后均可垂直打在MN上D．若粒子速度大小均為v＝

，則粒子在磁場中的運動時間一定小于√√√對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中做圓周運動的軌跡半徑越大，軌跡對應的圓心角越小，由t＝

T＝

可知，運動時間越短，故選項A正確，B錯誤；粒子速度大小均為v＝

時，根據洛倫茲力提供向心力可得粒子的軌跡半徑為r＝

＝R，根據幾何關系可知，入射點P、O、出射點與軌跡圓的圓心的連線構成菱形，射出磁場時的軌跡半徑與PO平行，故粒子射出磁場時的速度方向與MN垂直，出射后均可垂直打在MN上，根據幾何關系可知，軌跡對應的圓心角小于180°，粒子在磁場中的運動時間t＜

T＝

，故選項C、D正確。7．(多選)如圖所示，扇形區域AOB內存在有垂直平面向里的勻強磁場，OA和OB互相垂直是扇形的兩條半徑，一個帶電粒子從A點沿AO方向進入磁場，從B點離開，若該粒子以同樣的速度從C點平行于AO方向進入磁場，則A．粒子帶正電B．C點越靠近B點，粒子偏轉角度越大C．C點越遠離B點，粒子運動時間越短D．只要C點在AB之間，粒子仍然從B點離開磁場√√由題意，粒子從A點進入磁場從B點離開，由左手定則可以確定粒子帶正電，故A正確；由題意知當粒子從A點入射時，從B點離開磁場，則粒子做圓周運動的半徑等于磁場圓弧區域的半徑，根據磁匯聚的原理(一束平行的帶電粒子射向半徑與粒子做圓周運動的半徑相同的圓形磁場區域時，這些粒子將從同一點射出圓形磁場)，當入射方向平行時，這些粒子將從同一點射出，如圖所示，從點A、C、C1、C2以相同的方向進入磁場，則這些粒子從同一點B射出，從圖中看出，C點越靠近B點，偏轉角越小，時間越短，離B點越遠，偏轉角越大，時間越長，故D正確，B、C錯誤。8．(8分)(2020·浙江7月選考)某種離子診斷測量簡化裝置如圖所示。豎直平面內存在邊界為矩形EFGH、方向垂直紙面向外、磁感應強度大小為B的勻強磁場。探測板CD平行于HG水平放置，能沿豎直方向緩慢移動且接地。a、b、c三束寬度不計、間距相等的離子束中的離子均以相同速度持續從邊界EH水平射入磁場，b束中的離子在磁場中沿半徑為R