函數(shù)的零點

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1.尸/Xx）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，相應(yīng)的x值與y的值如下表:

X123456

y0.5-3-234-4

則y=F（x）在區(qū)間（1,6）上零點個數(shù)為（)

A.3個B.奇數(shù)

C.偶數(shù)D.至少3個

解析：選D由表可知，在（1,2）,（3,4）,（5,6）三個區(qū)間內(nèi)，尸f（x）各至少有一

個零點，故在（1，6）內(nèi)至少有3個零點.

2.（多選）下列圖象表示的函數(shù)中有兩個零點的有（）

解析：選CD

3.（2021?灤陽高一月考）己知卬是函數(shù)F（x）=W-2'+2的零點，則實數(shù)旌（）

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解析：選B函數(shù)f（x）=W-2'+2的零點，等價于了=百與y=2'一2的交點的橫坐

標，如圖所示,

可知兩函數(shù)的交點橫坐標的范圍在（1,2）內(nèi).故選B.

4.（2021?泰州高一質(zhì)檢）方程e'+x—2=0（其中e=2.71828…）的近似解所在的區(qū)間

是（）

A.(0,1B?&1

解析：選A設(shè)f(x)=e'+x—2,則函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù),

因為/'（0）=-1<0,/

由零點存在定理可知，方程e'+x-2=0的近似解所在的區(qū)間是(0,A故選A.

加為函數(shù)/'(x)=(g)—Ilog2(x—1)I的兩個零點，則下列結(jié)論

5.(多選)已知實數(shù)小

正確的是（）

A.（汨一2）（用-2）<0

B.（汨一1）（也―1）￡（0,1）

C.（汨―1）（照—1）=1

D.（小一1）（自一1）e（1,+00）

解析：選AB令/1（x）=0,則=Ilog2U—1）,,分別作圖y=（；）與p=|log2（x—

1”如圖所示:

由圖可得1<汨<2<如所以(汨一2)(照一2)￡(―8,0)成立，故A正確;

由于10g2（Xl—1）（及-1）=log2（^l—1）+log2（^2—1），所以0<Cn-1）（&

-1X1,故B正確，C、D錯誤.故選A、B.

\x—x—1,*22或xW—1,

6.若F（x）=?則函數(shù)g（x）=f（x）—x的零點為

[1,—1<K2,

解析：由f(x)=x,

得」或x』W—1,或[。―1<%<,2,

解得入=1+啦或入=1.

答案：1,1+^2

7.函數(shù)/U)=|x—21一Inx的零點的個數(shù)為一

解析：由題意知，函數(shù)/<x)的定義域為(0,+8),函數(shù)/'(x)在(0,

+8)內(nèi)的零點就是方程|*一2|—Inx=0的根.令％=|x-2j乃=ln

x(x>0),在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象如圖所示，由圖

知，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，故方程|x一2|—Inx=0有2個根，即

對應(yīng)函數(shù)有2個零點.

答案：2

8.已知函數(shù)F(x)=3"+x—5的零點A(>e[a,b\,且b—a=l,a,6EN*,則a=,

b—.

解析：：函數(shù)f(x)=3*+x-5,.../■(l)=3'+l-5=-l〈0,f(2)=32+2-5=6>0,

f(l)f(2)〈0,且函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)的零點xo在區(qū)間(1,2)內(nèi).，a=l,b

=2.

答案：12

9.判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出.

(l)f(x)=—f+2x—1；

(2)f(x)=x—x；

(3)f(x)=4'+5；

(4)f(x)=log3(x+l).

解：(1)令一f+2x—1=0,解得xi=%=l,

所以函數(shù)f(x)=-<?+2萬-1的零點為L

(2)因為/a)=/(x-l)(x+l)=0,

所以x—0或x=l或x——\,

故函數(shù)/1(才)=，一*2的零點為0,—1和1.

(3)令4,+5=0,則4*=一5<0,

因為4'>0恒成立，所以方程4'+5=0無實數(shù)解.

所以函數(shù)f(x)=4*+5不存在零點.

(4)令log3(x+l)=0,解得x=0,

所以函數(shù)F(x)=logNx+l)的零點為0.

10.對于函數(shù)/1(X),g(x),設(shè)ae(x|f(x)=0},￡G{*|g(x)=0},若存在a,￡,

使得Ia-B\W2,則稱f(x),g(x)互為“零點相鄰函數(shù)”.若f(x)=ei+x—3與g(x)

=/一/一a—2互為“零點相鄰函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍.

解：〃2)=0,且F(x)在R上為增函數(shù)，所以Ax)只有唯一零點2,

Ax),g(x)是“零點相鄰函數(shù)”,g(x)在[0,4]至少有一零點,

令g(x)=x—ax—a—2=0,

x—2

設(shè)方O)=5+]，4],y=a,力(x)與尸H在[0，4]有交點，

/、x—2(%+1)之一2(才+1)—11「“1

夙x)=K=7+1=x—=-1,*G[0,4])

由一次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性可知Mx)在XW[O,4]上為增函數(shù)，所以

'14114

A(%)e-2,y,要使方(x)與y=a在[0,4]有交點，需一2WaW石.

那a的取值范圍為一2,吊■.

[B級綜合運用]

11.(多選)(2021?姜堰二中月考)若函數(shù)尸F(xiàn)(x)在區(qū)間[a,3上的圖象為一條連續(xù)不

斷的曲線，則下列說法中錯誤的有()

A.若f(a)f(6)>0,則不存在實數(shù)cd[a,8，使得/'(c)=0

B.若/?(a)f(6)〈0,則存在且只存在一個實數(shù)ce[a,b\,使得f(c)=0

C.若/'(a)f(8)>0,則可能存在實數(shù)cd[a,b],使得F(c)=0

D.若/?(a)f(8)<0,則可能不存在實數(shù)cC[a,b],使得/<c)=0

解析：選ABD取區(qū)間取為[-2,2],滿足￡(一2)-(2)〉0,但是/'(x)在

[-2,2]內(nèi)存在兩個零點一1,1,故A說法錯誤，C說法正確；取/?(x)=sinx,區(qū)間取為

甲彘一，滿足)=5義(一5)=一不0,但是f(x)在至,—^―內(nèi)存在三個零

點n,2n,3n,故B說法錯誤；根據(jù)零點存在定理可知，D說法錯誤.故選A、B、D.

eA,xWO,

12.己知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個零點，則a的取

Inx,x>0,

值范圍是(

A.[—1,0)B.[0,+?>)

C.[-1,+8)D.[1,+?>)

解析：選C函數(shù)g(x)=F(x)+x+a存在2個零點，即關(guān)于x的方程/1(x)=—x—a有

2個不同的實根，即函數(shù)Hx)的圖象與直線尸一A-a有2個交點，作出直線尸一工一a

與函數(shù)/Xx)的圖象，如圖所示，由圖可知，-aWl,解得a2一1.

X4X

13.(2021?如皋中學月考)已知XGR,函數(shù)/l(*)=2'1'當4=2時,

lx—4%+3,x<A,

不等式f(x)〈0的解集是.若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則A的取值范圍是

[x<2,

解析:由題意得或《

x—4<0Ix—4^r+3<0,

所以2WK4或1<京2,即1<水4,

所以不等式f(x)<0的解集是(1,4).

當4>4時，f(x)—x—4>0,此時/'(x)=/—4x+3=0,x=l或x=3,即在[4,+°°)

上有兩個零點；

當4W4時，f(x)=x-4=0,x=4,由f(x)=/-4x+3在(一8,2)上只能有一個

零點得1<4W3.

綜上，，的取值范圍為(1,3]U(4,+8).

答案：(1,4)(1,3]U(4,+8)

14.已知函數(shù)f[x)=x—bx+3.

(1)若f(0)=f(4),求函數(shù)Hx)的零點;

(2)若函數(shù)f(x)一個零點大于1,另一個零點小于1,求。的取值范圍.

解：(1)由f(0)=f(4)得3=16—48+3,即8=4,所以/>(X)=V—4X+3,令f(*)=0,

即4x+3=0得％=3,*2=1.

所以f(x)的零點是1和3.

(2)因為/tv)的零點一個大于1,另一個小于1,如圖.

需/UXO,即1-6+3<0,所以8>4.

故6的取值范圍為(4,+8).

[C級拓展探究]

117

15.已知函數(shù)f\x)=loglx+———

—C>X乙

2

(1)用單調(diào)性的定義證明：Hx)在定義域上是單調(diào)函數(shù);

(2)證明：/'(X)有零點；

(3)設(shè)/?(*)的零點旅落在區(qū)間信p力內(nèi)，求正整數(shù)〃的值.

解：(1)證明：顯然，f(x)的定義域為(0,+8).

任取乂，至仁(0,+8),不妨設(shè)水如則&一為>0,乂上2>0,則:^——^>°，logl

2xi2x2