5.5.1

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式第3課時

二倍角的正弦、余弦、正切公式課標定位素養闡釋1.能從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟練運用二倍角的公式進行簡單的恒等變換,并能靈活地將公式變形運用.3.體會類比推理的過程,提升邏輯推理和數學運算素養.自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習

自主預習·新知導學一、二倍角公式的推導1.在兩角和的正弦、余弦、正切公式中,令β=α,將得到怎樣的結果?2.根據同角三角函數的基本關系sin2α+cos2α=1,能否只用sinα或cosα表示cos2α?提示:cos

2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;或cos

2α=cos2α-sin2α=(1-sin2α)-sin2α=1-2sin2α.3.倍角公式

以上這些公式都叫做倍角公式.倍角公式給出了α的三角函數與2α的三角函數之間的關系.二、二倍角公式的變形1.若將1±sin2α中的“1”用sin2α+cos2α代換,則1±sin2α可化為什么形式?提示:1±sin

2α=sin2α±2sin

αcos

α+cos2α=(sin

α±cos

α)2.2.根據二倍角的余弦公式,sinα,cosα與cos2α的關系分別如何?【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角.(×)(2)存在角α,使得sin2α=2sinα成立.(√)(3)對任意角α,cos2α=2cosα都不成立.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一

給角求值分析:(1)逆用正弦二倍角公式求解;(2)用余弦二倍角公式求解;(3)轉化為正切二倍角公式求解;(4)先分子、分母都乘

,再利用正弦二倍角公式求解.反思感悟對于給角求值問題,一般有兩種情況:(1)直接正用、逆用二倍角公式,結合誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式子進行轉化,一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式.在求解過程中,需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件,使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式.探究二

給值求值(角)1.若本例條件不變,求sin4α的值.反思感悟三角函數的條件求值問題常有兩種解題途徑(1)對題設條件變形,把條件中的角、函數名向結論中的角、函數名靠攏;(2)對結論變形,將結論中的角、函數名向題設條件中的角、函數名靠攏,以便將題設條件代入結論.答案:A探究三

利用倍角公式化簡、證明分析:首先切化弦,然后利用二倍角公式統一角,最后化簡得結果.反思感悟1.化簡的方法(1)弦切互化,異名化同名,異角化同角;(2)降冪或升冪.2.證明恒等式,要觀察恒等式兩端的結構形式,處理原則是從復雜到簡單,高次到低次,復角化單角;如果兩端都比較復雜,那么將兩端都化簡,即采用“兩頭湊”的思想.易

錯

辨

析以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?防范措施解決與三角函數有關的問題時,不能盲目地運用公式化簡函數的解析式,要注意函數的定義域,熟練掌握角的終邊所在象限的確定方法.答案:0隨

堂

練

習1.(多選題)下列各式中,值為

的是(

)A.2sin22.5°cos22.5° B.cos222.5°-sin