3月大數據精選模擬卷02(廣東專用)

數學

本卷滿分150分，考試時間120分鐘。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

1.設集合A={x,2—2x—3<0卜B={x|2<x<4},則AD8=()

A.{x|2<尤<3}B.1%|-1<x<4!

C.{x[2<x〈3}D.{x|-l<x〈4}

【答案】A

【詳解】

,因為4={X,2_2%_3<()}={閆_1<%<3},

所以Ac8={x|2<x<3}.

故選；A

2.已知復數z=-，則復數z在復平面內對應的點位于()

1+Z

A.第一縣象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【詳解】

2-i132-z

因為z=「=;所以復數z=——在復平面內對應的點位于第四象限.

l+i(l+z)(l-z)221+z

故選：D

4

3.“Vx>0,a4x+——”的充要條件是()

x+2

A.a>2B.a>2C.a<2D.a<2

【答案】D

【詳解】

444

因為x>0，可得x+——=x+2+----2>2J(x+2)x-----2=2,

x+2x+2Vx+2

1

4

當且僅當x+2+——，即x=（）時等號成立，

x+2

4

因為x>0,所以x+——>2,

x+2

4

所以“Vx>O,a〈x+——”的充要條件是aW2.

x+2

4.北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化

與奧林匹克精神的完美結合，是一次現代設計理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，

某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，若小明和小李必須安裝同一

個吉祥物，且每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【詳解】

由題意可知應將志愿者分為三人組和兩人組，

當三人組中包含小明和小李時，安裝方案有C；用=6種；

當三人組中不包含小明和小李時，安裝方案有6=2種，共計有6+2=8種，

故選：A.

5.“微信紅包”自2015年以來異?；鸨?，在某個微信群某次進行的搶紅包活動中，若所發紅包的金額為10

元，被隨機分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人搶，每人只能搶一次，

則甲乙二人搶到的金額之和不低于4.5元的概率是（）

1234

A.—B.-C.—D.一

2555

【答案】B

【詳解】

5個紅包供甲、乙等5人搶共有8種情況，

若甲乙二人搶到的金額之和不低于4.5元，只能是1.36元和3.22元，1.59元和3.22元，

2.31元和3.22元，1.52元和3.22元，四種情況，共有4&A；種情況.

故甲乙二人搶到的金額之和不低于4.5元的概率為上&8=2

其5

故選：B

2

6.(2x—的展開式中常數項為()

A.-160B.160C.80D.-80

【答案】A

【詳解】

/］、6

2x--\展開式的通項公式為(+1=C/(2x)6-?(_1)<￡,=(_1)「26-℃46-2"

\1)

令6—2r=(),可得r=3,故0x—4)展開式的常數項為—8=—160.

7.雙曲線的光學性質為①：如圖，從雙曲線右焦點工發出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延

長線經過左焦點耳.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線燈”

22

的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為，-與=1,耳,鳥為其左、右焦點，若從右焦點名發出的光

3

線經雙曲線上的點人和點5反射后，滿足/胡。=9。。,切/筋。=-"則該雙曲線的離心率為()

【答案】C

【詳解】

易知A,。共線，6,8,C共線，如圖，設|然|=加，|AE|=”,則加一〃=2。，

3

33

由tanZA5C=—2得，tanZABF又/耳43=/￡4。=90。，

44

所以tanNAB￡=j^=j,[4同=：機，則忸瑪|=|4耳_恒用=十〃一〃，

所以忸用=2?+|B7s|=2a+^m-n=4a+^m,

由|A用2+|A邦=忸耳『得＞+(?=(4a+J〃)2,因為機＞0,故解得加=3”，

則n=3a-2a=a^

在巴中，m2+n2=(2c)2,即9a2+/=松，所以e=￡=叵.

8.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學

的對稱美如圖.將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個

面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線AB與8所成角的大小是（）

【答案】C

【詳解】

如圖所示：將多面體放置于正方體中，以點。為原點建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為2

4

則A(l,0,2),3(0,1,2),C(0,2,1),。(1,2,0)

而=(—1,1,0),CD=(l,0,-l),設異面直線AB與8所成角為。

\AB-CD\11

所以3"^^=口故小。

故選：C

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.回文數是一類特殊的正整數，這類數從左到右的數字排列與從右到左的數字排列完全相同，如1221,

15351等都是回文數.若正整數，?與〃滿足2Kz且〃N4,在［10'T,10,-1］上任取一個正整數取得回文

數的概率記為E，在口0,10"-1］上任取一個正整數取得回文數的概率記為，則()

1〃

A.^<^+1(2</<?-1)B.Q?<-

C.2,之月D.￡月<1

〃-1i=2n

【答案】BD

【詳解】

對于選項A：在口01,10，-1］中的正整數都是1位的，一共有io,—io-=9x101個，

若i=2k,則回文數的個數是9xl()i個，

若i=2攵+1.則回文數的個數是9x10*個，

5

9xlOA-'_1_9x10"_1

所以與i=

9xIO?--歷」2*+L-9X102A-lO7

所以2*>21+2，故選項A不正確;

對于選項D：

當n=2k時;

9(n-l)(2-i0r_10r)<9(n-l)

<1,

當〃=22+1時;

而%[2-播-馬〈就J.故選項D正確;

由Q的定義:。,=尋行之(9xio-)pj,

1U—1U,=2

當〃二22時，由〃之4M得kN2,

1ni2ki111iw111

—y^=—y^>—10+1(?+1(7+"+10^J+lio+ior+ior

1金21金2k

Q*=F&[9(I+I°+…+10力+9(1°+…+iof]

（白阿小…+時力會力

又因為i-T（產210*-10-18%

>0(^>2),

1-

9kIO-9^-10*

6

12k

所以久<藥"

當，=2上+1時，由〃24可得222,

1

n-\

2"M=15H^[9(1+10+…+101)+9(10+…+"T)]

<fj——[1800+…+10A-')1=2(°T)<_2_,

1()27_ioL、〃102*+2-1010*

1___I-?1___—1___1_1__1_

由以上可知10"1>/，10"：1()1所以10&；2

9k)9k9k9k10"

]2k+\

所以。2"l?ZE，故選項B正確，選項C不正確,

2ki=2

故選：BD.

10.若a,b,ceR,則下列說法正確的是()

A.若>0,則3+2B.若則>宜

ba

c.若。>網，則/>力2D.若a>b,則!

ba

【答案】AC

【詳解】

對于A,若">(),則小。同正、同負

所以0+242、叵?=2,故A正確；

ba\ba

對于B,若a>b,當/=0時，則〃(?2=〃G2,故B不正確；

對于C,若。>回>0,則/>〃，故c正確；

對于D,若a>0>力，則故D不正確.

ba

故選：AC

11.設M、N是函數/(x)=2sin(s+°)(①>0,0<9<")的圖象與直線y=2的交點，若M、N兩

7

點距離的最小值為6,尸是該函數圖象上的一個點，則下列說法正確的是()

A.該函數圖象的一個對稱中心是(7,0)

B.該函數圖象的對稱軸方程是x=-1+3左，ZeZ

2

「71一

c./(x)在一5，一］上單調遞增

D./(x)=2cos—x+—|

I36)

【答案】ABD

【詳解】

因為M、"是函數/(》)=25皿5+°)(8>0,0<9<乃)的圖象與直線丁=2的交點，

若“、N兩點距離的最小值為6,則函數/(%)的最小正周期為7=6,.-.3=^=(,

所以，/(x)=2sin+。)，

將點P的坐標代入函數/(x)的解析式，可得/-；)=2sin°—2)=2,則$吊(0-曰=1.

c717T57r_.71712乃

?[2<（p<兀、/.---<（p----<——,則9-----=—,:.（p=——,

666623

r（\~.（加2乃）C.（乃乃）（7C乃）

f\x]=2sin—x+——=2sin—x+——i■—=2cos-x-\——，D選項正確;

v7（33）（362）（36）

對于A選項，/(7)=2cos(q-+力■)=2cos5-=0,A選項正確；

jr丫jr1

對于B選項，由空+二=bz■(女eZ),解得x=——+3左伏eZ),

362

所以，函數/(力的圖象的對稱軸方程是x=-g+3左，keZ,B選項正確;

7171717t

對于C選項，當—時，—冗￡—x-\—<一,

233618

“\71

所以，函數/(%)在區間一5，一§上不單調，c選項錯誤.

12.如圖所示，在棱長為1的正方體ABC。一ABCR中，M,N分別為棱42，。。的中點，則以下

8

四個結論正確的是（)

A.B\C”MN

B.平面MNG

C.A到直線MN的距離為史1

4

3

D.過作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為-乃

8

【答案】ACD

【詳解】

正方體中，AQ//BC，而M,N分別為棱42，的中點，則MN//4。，所以4C〃MN,A正

確，B錯誤；

設A%與AD,MN分別交于點E,F,則A，_LA。，ADt1MN,

山M,N分別為棱AA，的中點，知F是中點，AF^-AD.,C正確；

44

正方體外接球球心是正方體對角線交點0，由對稱性知過MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積

最小的圓是以MN所在的弦為直徑的截面圓，即截面圓圓心為尸，

0D]=—.D,F=—.cosZOD,F=^=^=—,

'214BD1乖）3

222

OF=D,F+D,O-2D.F-D.OcosZFD,O=2_+2_2x—x—x—=-,

1644238

截面圓半徑為r,則，=0￡）2—。/2=-3----3-=23，面積為5=〃，=巳3），口正確.

14888

故選：ACD.

9

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分?

13.已知非零向量湎滿足問=2欠，且0詢_1況則￡與右的夾角為--------.

【答案】y

【詳解】

因為(￡詢_15

所以(a-石)?石=。即。石-坂2=0，

根據向量的數量積運算，則|耶卜0$(￡3)一忖=0

|鏟1

代入化簡得cos(a,b)=占』=->

\/忖b\2

由(a,B)w[0,司，

/rr\71

所以(a力)=§.

x+1xK1

14.已知〃尤)=｛廠，_，若〃x)>/(x+l)，則X的取值范圍是-----------

vx,x>1

【答案】(0』

【詳解】

當X+1W1時，即當xWO時，由〃x)>/(x+l)可得x+l>x+2,矛盾;

當xWlcx+1時，即當0<xKl時，由/(x)>/(x+l)可得x+l>Jx+1,

10

可得解得x〉0,此時0cxWl:

當X>1時，由/(x)>,f(x+l)可得&>Jx+1,即x>x+l,矛盾.

綜上所述，滿足不等式/(x)>.f(x+l)的X的取值范圍是(0,1].

15.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為尸，過點尸且斜率為百的直線/交c于A，3兩點，以

線段A3為直徑的圓交y軸于M，N兩點，設線段AB的中點為Q,若點F到C的準線的距離為3,則

sinNQMN的值為.

【答案】-

8

【詳解】

解：拋物線C：：/=2px(p>0)的焦點為產(々,0),準線方程為x=—

由題意得P=3,則拋物線方程為丁=6x,尸§,0),

則直線AB的方程為y=V3(x-1),

-3

y=5/3(x—).27

由42,得3f—15x+,=0,

，,4

[y=6x

設的橫坐標分別為不々，則玉+々=5,

所以AB的中點。的坐標為§,百)，lABUxi+%+puS+Bug,

則圓。的半徑為4,

5

在AQA/N中，./?八,25,

smNQMN=j=w

16.已知三棱錐P-ABC中，ABAC=90，AB=AC=2,PB=PC,PA=JiZ，為AABC的

外接圓的圓心，cosNPAOj=乎，則三棱錐P—/WC的外接球的表面積為.

【答案】14%

【詳解】

山題意。1是3C中點，則AQ=正,

11

因為A8=AC=2，PB=PC,所以5C_LA01,BC1POt,

又Aanpa=a，4。1,「。］€：平面尸4。1,所以BCJ_平面PA。，

而BCu平面ABC,所以平面A3C_L平面PAO1,

作尸"J"平面ABC，垂足為H，Pe平面PAO一則p//u平面PA。一

又平面ABCD平面PA。=AO,,則HeAO,,

AH=PAcosNPA。1=V14x-=2&=2核，

因為N84c=90°，所以A8HC是矩形，

取以中點。，連接。。，則0aHPH,從而0a±平面ABC.

。就是三棱錐尸-ABC也是四棱錐P-A5"C的外接球的球心.

球半徑為r=LPA=畫，

22

表面積為S=4乃x［曰4］=14萬.

故答案為：14%.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①sinC+J^cosC=2，?C-2A,③b=2a這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問

題中的三角形存在，求。的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在AABC,它的內角A,B,C的對邊分別為a,b,C,且（3c—23cosA=2acos3,

c=\,?

【答案】答案見解析.

12

【詳解】

解：由(3c-2b)cosA=2acosB結合正弦定理可得(3sinC-2sinB)cosA=2sinAcosB,

所以3sinCeosA=2sinAcosB+2cosAsinB=2sin(A+B)=2sinC.

2

因為sinCwO,所以cosA=—.

3

l選擇條件①的答案］

所以sinA=^

3

由sinC+y/3cosC=2得2sin(。+—j=2,所以sin+=1

因為(？￡((),4),所以C+2=2.所以c=2.

326

好

rmaccsinAT2^

由正弦定理-----=-----得a=--------=

sinAsinCsinC23

2

［選擇條件②的答案］

所以sinA=^--

3

4x/s

因為C=2A,所以sinC=sin2A=2sinAcosA=———.

9

V5

ac,csinA33

由正弦定理「■=—7得。=—^=:%=彳

sinAsinCsinC4154

［選擇條件③的答案］

所以sinA=—3.

3

由方=2。得sin6=2sinA.

因為sinA=@，所以sin8=2sinA=馬5>1.

33

所以三角形不存在.

13

18.已知數列｛。“｝的前〃項和為S“，at=1,—4——4----——=n(n..2),neN*?

12n-\n

（1）求數列｛4｝的通項公式;

111

（2）若力,ak,S*+2成等比數列，ZeN*，求三+....+不~的值.

72

【答案】（I）an~n?（2）---

37

【詳解】

（1）因為4=1,幺+&+…也+%=〃（*）,

12H-lH

所以1+"=2,%=2,

2

又幺+&+…&+也=〃+1（**）,

12nn+1

（**）-（*）得4iL=1,所以a“+i=〃+l,又4=1,々=2,

n+1

所以%=〃，/twN*；

⑵由（1）"=如由，

2

若生,ak,以+2成等比數列，則22=伙+2）/+3）,解得攵=6（攵=一1舍去）,

12(11]

Sfl〃(鹿+1)vn7?+1J

所以,+'+....+」—=2

S[S2S36

19.如圖1,四邊形ABC。為直角梯形，AD//BC,AD±AB,AB=26N5C￡)=60°.E為線段CD

上的點，且CE=C5=3.將△8CE沿BE折起，得到四棱錐G-ABE。（如圖2）,使得64=。力.

（1）求證：平面AG。，平面A3G；

14

(2)求二面角G-DE-A的余弦值.

【詳解】

解：(1)在圖1中過點。作O/LBC交8C丁點F，在圖2中取G為A3的中點，連接GE和GG，則

DF=AB=2也,因為CE=CB=3且NBCD=6(y，所以ABCE為等邊三角形，所以￡8=3,在

n

△CDR中，CF=gDF=2,CD=2CF=4

3

因為CE=3,所以DE=1，BF=AD=1，在圖2中￡A=GB=3,所以△A￡B為等腰三角形，所

以GG^AB,在△ABE中，ZABE=30°且AB=2白，BE=3,AE=6,所以AEJ.屈，所以

EG=；AB=6所以AGEG絲AGBC1,所以GGLGE,又GE[\AB=G,AB,GEu平面ABED，

所以GG_L平面ABED，AOu平面A8￡￡>，所以C|GJ_A￡>,又AO_LAB，ABC\CiG=G,

AB，GGu平面ABC一所以A。，平面ABC-ADu平面AQ。，所以平面ACQ_L平面ABC；；

(2)連接GO交AE于尸，過點G作GQ//AE交BE于點。，由(I)知QG±平面ABED，所以&G工PG

且GGLQG,因為AE18E，所以PG_LQG,如圖建立空間直角坐標系，所以G僅，0，后)，

E——,—,0,A——,0,￡)(0,2,0),所以G。=(。,2,—,CtA=——A/6,

<Jv/\>

//r\m-CtD=2y-V6z=0

C[E=——,->/6,設平面CQE的法向量為=(x,y,z),所以，__T.,

1.22Jv-7m-C,E=—x+-y-V6z=0

I122-

令y=3,則而=(6,3,n)，取面ADE的法向量7=(0,0,1)，

_m*n_y/6_V3

所以c°s<牡〃>=酈|=]xj(.『+3、(6)2=?，由圖可知二面角為銳二面角，故其余弦值為

15

c

圖1

但它也有缺點——持續陰天或雨天便無法正常使

用.為了解決這一缺陷，現在的太陽能熱水器水箱上都安裝了輔助電加熱器，如果天氣不好或冬季水溫無法

滿足需要時，就可以通過輔助電加熱器把水溫升高，方便用戶使用.某工廠響應“節能減排''的號召，決定把

原來給鍋爐加熱的電熱水器更換成電輔式太陽能熱水器.電輔式太陽能熱水器的耗電情況受當天的日照時

長和日均氣溫影響，假設每天的日照情況和日均氣溫相互獨立，該電輔式太陽能熱水器每日耗電情況如下

表所示:

日照情況日均氣溫不低于15℃日均氣溫低于15℃

日照充足耗電0千瓦時耗電5千瓦時

日照不足耗電5千瓦時耗電10千瓦時

16

日照嚴重不足耗電15千瓦時耗電20千瓦時

2?1

根據調查，當地每天日照充足的概率為不，日照不足的概率為不，日照嚴重不足的概率為《.2020年這一

年的日均氣溫的頻率分布直方圖如圖所示，區間分組為[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),

[30,35].

頻率/組距

(1)求圖中。的值，并求一年中日均氣溫不低于15℃的頻率；

(2)用頻率估計概率，已知該工廠原來的電熱水器平均每天耗電20千瓦時，試估計更換電輔式太陽能熱

水器后這一年能省多少電？(一年以365天計算)

【詳解】

(1)依題意得a='(1—0.02x5—0.03x5—0.03x5—0.04x5—0.03x5)=0.05.

3

一年中日均氣溫不低于15℃的頻率為0.03x5+0.04x5+0為5x5+0.03x5=0.75=—.

4

31

(2)這一年中日均氣溫不低于15℃的概率的估計值為二，一年中日均氣溫低于150c的概率的估計值為一，

44

設使用電輔式太陽能熱水器日均耗電量為X，X的所有可能取值為0,5,10,15,20

o)=-x-=A,P(X=5)=2X3+2X!」=2,P(X=IO)=2X，=2=L

'=7542010175454205'7542010

p(X=15)=lx-=—,P(X=20)=-xl=—.

,75420175420

所以X的分布列為

X05101520

17

32131

p

K)5io2020

3213125

所以X的數學期里E（X）=0x—+5x—+10x—+15x，+20x—=一=6.25

v71051020204

所以使用電輔式太陽能熱水器一天節省的電量為20-6.25=13.75（千瓦時）

所以使用電輔式太陽能熱水器一年節省的電量為13.75x365=5018.75（千瓦時）

21.已知拋物線C：9=2庶（〃>（））的焦點是尸，若過焦點的直線與。相交于尸，。兩點，所得弦長|PQ|

的最小值為4.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設A,3是拋物線C上兩個不同的動點，。為坐標原點，若。4_LO5,OMLAB,M為垂足,

證明：存在定點N,使得|MN|為定值.

【詳解】

（1）顯然直線PQ的斜率不為0,故可設置PQ的方程為彳=加>+5,

y2=2px

<"=>,2_2加〃）,一〃2=0,所以,.+,0=2加〃，yp〉Q=_p2.

x-my+-^

所以Xp+=m^yp+yQ）+p=2nrp+p.

|PQ|=XP+XQ+p=2nrp+2〃，

所以當加=0時，|PQ|最小，所以2〃=4,p=2

故所求拋物線的方程為y2=4x.

（2）直線A8的斜率不為0,

故可設直線A8的方程為x=）+s,4（%,乂），