專題16集合間的基本關系學習學習目標1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.2.在具體情境中，了解空集的含義3.能使用Venn圖表達集合間的基本關系，體會圖形對理解抽象概念的作用知識精講知識精講高中必備知識點1：Venn圖的優點及其表示(1)優點：形象直觀．(2)表示：通常用封閉曲線的內部表示集合．高中必備知識點2：子集、真子集、集合相等的相關概念[知識點撥](1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．(2)不能把“A?B”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因為集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．(4)對于集合A，B，C，若A?B，B?C，則A?C；任何集合都不是它本身的真子集．(5)若A?B，且A≠B，則AB．高中必備知識點3：空集(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規定：空集是任何集合的子集．高中必備知識點4：集合間關系的性質(1)任何一個集合都是它本身的子集，即A?A．(2)對于集合A，B，C，①若A?B，且B?C，則A?C；②若A?B，B?C，則A?C．(3)若A?B，A≠B，則AB．典例剖析典例剖析高中必會題型1：確定集合的子集、真子集1．(1)已知集合M滿足{1，2}?M?{1，2，3，4，5}，寫出集合M所有可能情況．(2)已知非空集合M?{1，2，3，4，5}，且當a∈M時，有6-a∈M，試求M所有可能的結果．2．寫出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.3．已知，則求：(1)集合A的子集的個數，并判斷與集合A的關系(2)請寫出集合A的所有非空真子集4．(1)寫出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有多少個子集？多少個真子集？5．舉出下列各集合的一個子集：(1)A={是立德中學的學生}；(2)B={是三角形}；(3)；(4).高中必會題型2：集合間關系的判斷1．判斷下列集合間的關系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．2．判斷下列各組中集合之間的關系：(1)A＝{x|x是12的約數}，B＝{x|x是36的約數}；(2)A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四邊形}，D＝{x|x是正方形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}.3．指出下列集合之間的關系：，．4．寫出下列每對集合之間的關系：(1)，；(2)，；(3)，；(4)是對角線相等且互相平分的四邊形，是有一個內角為直角的平行四邊形．5．已知集合，集合，試判斷與之間的關系，并說明理由．高中必會題型3：由集合間的關系求參數問題1．設集合，不等式的解集為.(1)當時，求集合，.(2)當時，求實數的取值范圍.2．設集合，，若，求實數a的值．3．設集合A={x|﹣x2+3x+10≥0}，B={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，若B?A，求實數a的取值范圍4．已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B?A，求m的取值范圍．5．設A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠?且B?A，求a，b.對點精練對點精練1．若集合A={1，3，x}，B={x2，1}，且B?A，則滿足條件的實數x的個數是()A．1 B．2 C．3 D．42．以下四個關系：?∈{0}，0∈?，{?}{0}，?{0}，其中正確的個數是()A．1 B．2 C．3 D．43．設集合A={1，x2}，B={x}，且B?A，則實數x為()A．0 B．1C．0或1 D．0或-14．已知集合，.若，則的值為()A．2 B．1C．-1 D．-25．下列集合與集合相等的是()A． B．C． D．6．集合的真子集的個數是()A．16 B．8 C．7 D．47．設A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，若B?A，則x等于()A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．0或±28．設集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，則()A．M?N B．M?NC．M＝N D．以上都不正確9．對于兩個非空數集A、B，定義點集如下：A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{1，3}，B＝{2，4}，則點集A×B的非空真子集的個數是()個.A．14 B．12 C．13 D．1110．設集合，，若AB，則的取值范圍是()A． B． C． D．11．已知集合，則下列式子表示正確的有()①；②；③；④.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且AB，則a等于A．1 B．0 C．－2 D．－313．當集合時，___________，___________，___________.14．已知A=，B=，若B?A，則實數m的取值范圍為___．15．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且僅有兩個子集，則a的值是________.16．已知集合，若，則實數a的取值范圍為___．17．已知集合，，若，求實數，的值.18．已知A＝{1，1+a，1+2a}，B＝{1，b，b2}，若A＝B，求a，b．19．已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B?A，求實數a，b的值．20．已知P＝{x|2≤x≤6}，Q＝{x|a≤x≤a+1}若Q?P，求a的范圍.21．已知集合,,，且,求的取值范圍.22．已知集合，，判斷這兩個集合之間的關系.專題16集合間的基本關系學習學習目標1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.2.在具體情境中，了解空集的含義3.能使用Venn圖表達集合間的基本關系，體會圖形對理解抽象概念的作用知識精講知識精講高中必備知識點1：Venn圖的優點及其表示(1)優點：形象直觀．(2)表示：通常用封閉曲線的內部表示集合．高中必備知識點2：子集、真子集、集合相等的相關概念[知識點撥](1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．(2)不能把“A?B”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因為集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．(4)對于集合A，B，C，若A?B，B?C，則A?C；任何集合都不是它本身的真子集．(5)若A?B，且A≠B，則AB．高中必備知識點3：空集(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規定：空集是任何集合的子集．高中必備知識點4：集合間關系的性質(1)任何一個集合都是它本身的子集，即A?A．(2)對于集合A，B，C，①若A?B，且B?C，則A?C；②若A?B，B?C，則A?C．(3)若A?B，A≠B，則AB．典例剖析典例剖析高中必會題型1：確定集合的子集、真子集1．(1)已知集合M滿足{1，2}?M?{1，2，3，4，5}，寫出集合M所有可能情況．(2)已知非空集合M?{1，2，3，4，5}，且當a∈M時，有6-a∈M，試求M所有可能的結果．答案:(1){1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}；(2){3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．(1)因為{1，2}?M，所以1∈M，2∈M，又因為M?{1，2，3，4，5}，所以M是含有1，2的{1，2，3，4，5}的子集，故M的所有可能情況是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8個．(2)若M只含1個元素，則M={3}；若M只含2個元素，則M={1，5}，{2，4}；若M只含3個元素，則M={1，3，5}，{2，3，4}；若M只含4個元素，則M={1，2，4，5}；若M含5個元素，則M={1，2，3，4，5}．所以M可能的結果為：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7個．2．寫出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.答案:見解析集合{0,1,2}的所有子集為,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.真子集為,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.3．已知，則求：(1)集合A的子集的個數，并判斷與集合A的關系(2)請寫出集合A的所有非空真子集答案:(1)8，(2)，，，，，(1)的子集有，，，，，，，共8個，其中.(2)集合A的所有非空真子集有，，，，，.4．(1)寫出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有多少個子集？多少個真子集？答案:(1)見解析；(2)有個子集，個真子集.(1)集合的所有子集有：、、、、、、、、、、、、、、、；(2)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有個子集，個真子集.5．舉出下列各集合的一個子集：(1)A={是立德中學的學生}；(2)B={是三角形}；(3)；(4).答案:(1){是立德中學的女生}(2){是直角三角形}(3)(4)(1){是立德中學的女生}(2){是直角三角形}(3)(4)高中必會題型2：集合間關系的判斷1．判斷下列集合間的關系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．答案:(1)AB(2)BA.(1)∵A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥}，∴利用數軸判斷A、B的關系．如圖所示，AB.(2)∵A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A，∴B＝{0,1,2}，∴BA.2．判斷下列各組中集合之間的關系：(1)A＝{x|x是12的約數}，B＝{x|x是36的約數}；(2)A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四邊形}，D＝{x|x是正方形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}.答案:(1)AB；(2)DBAC；(3)AB.(1)因為若x是12的約數，則必定是36的約數，反之不成立，所以AB.(2)由圖形的特點可畫出Venn圖如圖所示，從而DBAC.(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2?A，故AB.3．指出下列集合之間的關系：，．答案:集合表示的是直線上的一些孤立的點的集合，而集合表示的是直線上所有的點的集合，因此.4．寫出下列每對集合之間的關系：(1)，；(2)，；(3)，；(4)是對角線相等且互相平分的四邊形，是有一個內角為直角的平行四邊形．答案:(1)；(2)；(3)；(4)．(1)因為B的每個元素都屬于A，而且，所以．(2)不難看出，C和D包含的元素都是1和，所以．(3)在數軸上表示出區間E和F，如圖所示．由圖可知．(4)如果，則是對角線相等且互相平分的四邊形，所以是矩形，從而可知是有一個內角為直角的平行四邊形，所以，因此．反之，如果，則是有一個內角為直角的平行四邊形，所以是矩形，從而可知是對角線相等且互相平分的四邊形，所以，因此．綜上可知，．5．已知集合，集合，試判斷與之間的關系，并說明理由．答案:A是B的真子集.，理由見解析因為，則的幾何意義是軸上的點到定點與點的距離之差．即．∵三角形兩邊之差的絕對值小于第三邊，∴且，，三點不共線，即．∴．即；又，∴A是B的真子集.高中必會題型3：由集合間的關系求參數問題1．設集合，不等式的解集為.(1)當時，求集合，.(2)當時，求實數的取值范圍.答案:(1)，；(2).(1)解：當時，，解不等式得：，即.(2)解：若，則有：①，即，即，符合題意，②，有，解得：.綜合①②得：.2．設集合，，若，求實數a的值．答案:a≤－1或a＝1.∵A＝{0，－4}，B?A，于是可分為以下幾種情況．(1)當A＝B時，B＝{0，－4}，∴由根與系數的關系，得解得a＝1.(2)當時，又可分為兩種情況．①當時，即B＝{0}或B＝{－4}，當x＝0時，有a＝±1；當x＝－4時，有a＝7或a＝1.又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此時B＝{0}滿足條件；②當時，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.綜合(1)(2)知，所求實數a的取值為a≤－1或a＝1.3．設集合A={x|﹣x2+3x+10≥0}，B={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，若B?A，求實數a的取值范圍答案:[﹣1，]∵集合A={x|﹣x2+3x+10≥0}={x|﹣2≤x≤5}，B={x|x2﹣3ax+2a2＜0}={x|(x﹣a)(x﹣2a)＜0}，B?A，∴當a=0時，B=?，成立；當a＜0時，B={x|2a＜x＜a}，由B?A，得，解得﹣1≤a＜0，當a＞0時，B={x|a＜x＜2a}，由B?A，得，解得0＜a，綜上，實數a的取值范圍是[﹣1，].4．已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B?A，求m的取值范圍．答案:m≤1．∵B?A，若B＝?，則m≤0，滿足B?A，若B≠?，則m＞0，由B?A，得m≤1，解得，0＜m≤1．綜上所述：實數m的取值范圍為m≤1．5．設A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠?且B?A，求a，b.答案:答案見解析因為B≠?，B?A，所以B={﹣3}或{4}或{﹣3，4}.當B={﹣3}時，，解得a=﹣3，b=9；當B={4}時，，解得a=4，b=16；當B={﹣3，4}時，，解得a=，b=﹣12.對點精練對點精練1．若集合A={1，3，x}，B={x2，1}，且B?A，則滿足條件的實數x的個數是()A．1 B．2 C．3 D．4答案:C解析由B?A，知x2=3或x2=x，解得x=±，或x=0，或x=1，當x=1時，集合A，B都不滿足元素的互異性，故x=1舍去.故選：C2．以下四個關系：?∈{0}，0∈?，{?}{0}，?{0}，其中正確的個數是()A．1 B．2 C．3 D．4答案:A集合與集合間的關系是?，因此?∈{0}錯誤；{?}表示只含有一個元素(此元素是?)的集合，所以{?}{0}錯誤；空集不含有任何元素，因此0∈?錯誤；?{0}正確．因此正確的只有1個．

故選：A.3．設集合A={1，x2}，B={x}，且B?A，則實數x為()A．0 B．1C．0或1 D．0或-1答案:A因為B?A，所以x∈A，所以x=1或x=x2，x2≠1，解得x=0．故選：A.4．已知集合，.若，則的值為()A．2 B．1C．-1 D．-2答案:A因為，所以集合為雙元素集，即所以.故選：A.5．下列集合與集合相等的是()A． B．C． D．答案:C集合表示數字和的集合.對于A：集合中的元素代表點，與集合不同，A錯誤；對于B：集合中的元素代表點，與集合不同，B錯誤；對于C：由得：或，與集合元素相同，C正確；對于D：表示兩個代數式的集合，與集合不同，D錯誤.故選：C.6．集合的真子集的個數是()A．16 B．8 C．7 D．4答案:C解：∵，的真子集為：共7個．故選：C．7．設A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，若B?A，則x等于()A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．0或±2答案:D因為A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，若B?A，則x2＝4或x2＝x，解得x＝2或﹣2或1或0．①當x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，滿足B?A．②當x＝1，集合A＝{1，4，1}不滿足元素的互異性．③當x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，滿足B?A．④當x＝﹣2，集合A＝{1，4，﹣2}，B＝{1，4}，滿足B?A．綜上，x＝2或﹣2或0．故選：D．8．設集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，則()A．M?N B．M?NC．M＝N D．以上都不正確答案:B集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，故集合M中的元素是2與整數的乘積的集合，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}＝{x|x＝2(2n±1)，n∈Z}，故集合N的元素是2與奇數的乘積的集合，故N?M，故選：B．9．對于兩個非空數集A、B，定義點集如下：A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{1，3}，B＝{2，4}，則點集A×B的非空真子集的個數是()個.A．14 B．12 C．13 D．11答案:A∵A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，且A＝{1，3}，B＝{2，4}，所以A×B＝{(1，2)，(1，4)，(3，2)，(3，4)}，共有四個元素，則點集A×B的非空真子集的個數是：24﹣2＝14.故選：A.10．設集合，，若AB，則的取值范圍是()A． B． C． D．答案:A，，由數軸表示集合，作圖如下：由圖可知，即的取值范圍是故選：A11．已知集合，則下列式子表示正確的有()①；②；③；④.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案:C因為，，，對于①，顯然正確；對于②，，是集合與集合之間的關系，顯然用不對；對于③，，根據空集是任何集合的子集知正確；對于④，，．根據子集的定義知正確．故選：C．12．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且AB，則a等于A．1 B．0 C．－2 D．－3答案:C解析：由題意得，選C.13．當集合時，___________，___________，___________.答案:詳解：由已知，所以，∴，，從而，即，∴．故答案為1，－1，0．14．已知A=，B=，若B?A，則實數m的取值范圍為___．答案:∵A=，B=，B?A，∴m≥2，∴實數m的取值范圍為．故答案為：．15．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且僅有兩個子集，則a的值是________.答案:0或±1因為A有且僅有兩個子集，所以A僅有一個元素，即方程ax2+2x+a=0僅有一根，當a=0時，方程化為2x=0，A={0}，符合題意；當a≠0時，Δ=4-4a2=0，解得a=±1.此時A={-1}或{1}，符合題意.綜上所述a=0或a=±1.故答案為：0或±1.16．已知集合，若，則實數a的取值范圍為___．答案:．當時，方程化為，解得，此時，滿足題意，當時，要使，則，解得且，所以使的實數a的取值范圍