考點17利用導數研究函數的極值和最值10種常見考法歸類-【考點通關】備戰2024年高考數學一輪題型歸納與解題策略(新高考地區專用)考點17利用導數研究函數的極值和最值10種常見考法歸類考點一知圖判斷函數極值與極值點考點二求函數的極值與極值點（一）不含參（二）含參考點三由極值求參數的值或范圍考點四由極值點求參數的值或范圍考點五利用極值解決函數的零點問題考點六求函數的最值（一）不含參（二）含參考點七由函數的最值求參數問題考點八函數的單調性、極值與最值的綜合應用考點九不等式恒成立與存在性問題考點十利用導數解決實際問題1.函數的極值(1)函數極值的定義：如圖，函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0.類似地，函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0.我們把a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值；b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值.極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.(2)函數在某點取得極值的必要條件和充分條件：一般地，函數y＝f(x)在某一點的導數值為0是函數y＝f(x)在這點取得極值的必要條件.可導函數y＝f(x)在x＝x0處取極大(小)值的充分條件是：①f′(x0)＝0；②在x＝x0附近的左側f′(x0)>0(<0)，右側f′(x0)<0(>0).(3)導數求極值的方法：解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時，如果在x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)>0，那么f(x0)是極小值.2.知圖判斷函數極值由導函數圖象判斷函數y＝f(x)的極值，要抓住兩點：①由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數y＝f(x)的可能極值點；②由導函數y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，從而可得函數y＝f(x)的單調性，兩者結合可得極值點.③要特別注意導函數圖象在哪個區間上為正，哪個區間上為負，在哪個點處與x軸相交，在該點附近的導數值是如何變化的，若是由正值變為負值，則在該點處取得極大值；若是由負值變為正值，則在該點處取得極小值．3.函數極值和極值點的求解步驟(1)確定函數的定義域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數的定義域分成若干個小開區間，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況．注：①可導函數在點處取得極值的充要條件是：是導函數的變號零點，即，且在左側與右側，的符號導號.②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點.另外，極值點也可以是不可導的，如函數，在極小值點是不可導的，于是有如下結論：為可導函數的極值點；但為的極值點.③原函數出現極值時，導函數正處于零點，歸納起來一句話：原極導零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導函數與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．④f(x)在x＝x0處有極值時，一定有f′(x0)＝0，f(x0)可能為極大值，也可能為極小值，應檢驗f(x)在x＝x0兩側的符號后才可下結論；若f′(x0)＝0，則f(x)未必在x＝x0處取得極值，只有確認x1<x0<x2時，f(x1)·f(x2)<0，才可確定f(x)在x＝x0處取得極值．4.已知函數的極值求參數的方法(1)對于已知可導函數的極值求參數的問題，解題的切入點是極值存在的條件：極值點處的導數值為0，極值點兩側的導數值異號．f′(x0)＝0是x0為函數極值點的必要不充分條件，故而要注意檢驗；(2)若函數y＝f(x)在區間(a，b)內有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內一定不是單調函數，反之，若函數在某區間上單調，則函數沒有極值.(3)對于函數無極值的問題，往往轉化為其導函數的值非負或非正在某區間內恒成立的問題，即轉化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區間內恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立．5.已知函數極值（個數），確定函數解析式中的參數時，注意以下兩點：(1)根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解．(2)因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求解后必須驗證充分性．6.函數的最大(小)值函數最大(小)值的再認識①一般地，如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.②若函數y＝f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數在[a，b]上的最小值，f(b)為函數在[a，b]上的最大值；若函數y＝f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數在[a，b]上的最大值，f(b)為函數在[a，b]上的最小值.(2)導數求最值的一般步驟：設函數y＝f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，求函數y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求函數y＝f(x)在區間(a，b)內的極值；②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.7.最值與極值的區別與聯系(1)函數的極值反映函數在一點附近情況，是局部函數值的比較，故極值不一定是最值；函數的最值是對函數在整個區間上函數值比較而言的，故函數的最值可能是極值，也可能是區間端點處的函數值；(2)在函數的定義區間內，極大(小)值可能有多個，但最大(小)值只有一個(或者沒有)．(3)函數f(x)的極值點為定義域中的內點（函數的極值點必是開區間的點，不能是區間的端點），而最值點可以是區間的端點．(4)對于可導函數，函數的最大(小)值必在極大(小)值點或區間端點處取得．(5)函數在開區間內存在最值，則極值點必落在該區間內8.求函數最值的步驟(1)求函數的定義域．(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)求極值、端點處的函數值，確定最值．注意：不要忽略將所求極值與區間端點的函數值進行比較．9.含參數的函數的最值問題(1)含參函數在區間上的最值通常有兩類：一是動極值點定區間；二是定極值點動區間，這兩類問題一般根據區間與極值點的位置關系來分類討論.(2)能根據條件求出參數，從而化為不含參數的函數的最值問題．(3)對于不能求出參數值的問題，則要對參數進行討論，其實質是討論導函數大于0、等于0、小于0三種情況．若導函數恒不等于0，則函數在已知區間上是單調函數，最值在端點處取得；若導函數可能等于0，則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值．10.求解函數在固定區間上的最值，需注意以下幾點(1)對函數進行準確求導，并檢驗f′(x)＝0的根是否在給定區間內．(2)研究函數的單調性，正確確定極值和端點函數值．(3)比較極值與端點函數值的大小，確定最值．11.已知函數在某區間上的最值求參數的值(或范圍)已知函數在某區間上的最值求參數的值(或范圍)是求函數最值的逆向思維，一般先求導數，利用導數研究函數的單調性及極值點，探索最值點，根據已知最值列方程(不等式)解決問題．其中注意分類討論思想的應用．12.三次函數的圖象、單調性、極值設三次函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，記Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并設x1，x2是方程f′(x)＝0的根，且x1<x2.(1)a>0Δ>0Δ≤0圖象單調性在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調遞增；在(x1，x2)上單調遞減在R上是增函數極值點個數20(2)a<0Δ>0Δ≤0圖象單調性在(x1，x2)上單調遞增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調遞減在R上是減函數極值點個數2013.分離參數求解不等式恒成立問題的步驟14.不等式恒成立（有解）問題的轉化（1）若函數在區間D上存在最小值和最大值，則不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；（2）若函數在區間D上不存在最大（小）值，且值域為，則不等式在區間D上恒成立．不等式在區間D上恒成立．（3）若函數在區間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；（4）若函數在區間D上不存在最大（小）值，如值域為，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區間D上有解不等式在區間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．考點一知圖判斷函數極值與極值點1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的圖象如圖所示，則等于（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）如圖是函數的導函數的圖象，則下列判斷正確的是（

）A．在區間上，是增函數B．當時，取到極小值C．在區間上，是減函數D．在區間上，是增函數3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．是的極小值點 B．是的極小值點C．在區間上單調遞減 D．曲線在處的切線斜率小于零4．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在R上的函數f（x），其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數的最小值為5．（2023春·湖南·高三校聯考階段練習）已知定義在區間上的函數的導函數為，的圖象如圖所示，則（

）A．在上有增也有減B．有2個極小值點C．D．有1個極大值點6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A． B．C．在區間內有3個極值點 D．的圖象在點處的切線的斜率小于0考點二求函數的極值與極值點（一）不含參7．（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學校考階段練習）函數極值點為_____．8．（2023·四川成都·統考二模）函數的極大值為______．9．【多選】（2023·全國·高三專題練習）設函數，則下列說法正確的是（

）A．沒有零點B．當時，的圖象位于軸下方C．存在單調遞增區間 D．有且僅有兩個極值點10．【多選】（2023·全國·模擬預測）已知函數，則（

）A．函數在上單調遞增B．函數有且僅有一個零點C．函數有且僅有一個極值點D．直線是曲線的切線11．（2023·河南商丘·商丘市實驗中學校聯考模擬預測）已知函數．(1)求的極值；(2)若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．12．【多選】（2023·全國·高三專題練習）對于函數，則（

）A．有極大值，沒有極小值B．有極小值，沒有極大值C．函數與的圖象有兩個交點D．函數有兩個零點13．（2023·全國·高三專題練習）是定義在上的函數，滿足，，則下列說法正確的是（）A．在上有極大值 B．在上有極小值C．在上既有極大值又有極小值 D．在上沒有極值（二）含參14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．求函數的極值；15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．(1)討論的極值；(2)若不等式在上恒成立，求m的取值范圍．16．（2023·云南曲靖·統考模擬預測）已知函數是的導函數.(1)求函數的極值；(2)若函數有兩個不同的零點，證明：.17．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知函數．(1)求函數的極值點；(2)設，為的兩個極值點，證明：．18．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知函數.(1)討論的極值；(2)若有兩個零點，求實數的取值范圍，并求證：.考點三由極值求參數的值或范圍19．【多選】（2023·山西·統考二模）已知在處取得極大值3，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．20．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知函數在處取得極值10，則下列說法正確的是（

）A． B．C．一定有兩個極值點 D．一定存在單調遞減區間21．（2023·吉林延邊·統考二模）若函數在處有極小值，則的值為______．22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數有極值，則c的取值范圍為（

）A． B． C． D．23．（2023·廣西柳州·高三柳州高級中學校聯考階段練習）已知函數，若函數在上有極值，則實數a的取值范圍為___．24．（2023·全國·高三專題練習）函數在上有唯一的極大值，則（

）A． B． C． D．25．（2023春·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）函數在區間上存在極值，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．526．（2023·全國·高三專題練習）已知沒有極值，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．27．（2023·全國·高三專題練習）函數在上無極值，則m＝______．28．（2023秋·河北唐山·高三開灤第二中學校考期末）已知函數，若的極小值為負數，則的最小值為___________.29．（2023·廣西桂林·統考模擬預測）已知函數有極大值和極小值，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．30．（2023·陜西西安·長安一中校考二模）若函數在和，兩處取得極值，且，則實數a的取值范圍是__________．考點四由極值點求參數的值或范圍31．（2023·全國·高三專題練習）若是函數的極值點，則的極小值為______．32．（2023·全國·高三專題練習）已知，若不是函數的極小值點，則下列選項符合的是（

）A． B． C． D．33．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若在區間內沒有極值點，則的取值范圍是___________.34．（2023·全國·模擬預測）已知函數的導函數為，則“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件35．（2023·上海黃浦·統考一模）已知，且函數恰有兩個極大值點在，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．36．（2023春·四川雅安·高三雅安中學校聯考階段練習）已知函數有兩個極值點，且，則（

）A． B． C． D．37．【多選】（2023·山東泰安·統考一模）已知函數有兩個極值點，，則（

）A． B． C． D．，38．（2023·湖南邵陽·統考三模）已知函數有兩個極值點，，且，則實數m的取值范圍是__________.39．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學校考期末）已知函數將其向右平移個單位長度后得到，若在上有三個極大值點，則一定滿足的單調遞增區間為（

）A． B．C． D．考點五利用極值解決函數的零點問題40．（2023·全國·高三專題練習）已知函數恰有一個零點，則實數a的取值范圍為______．41．（2023·全國·高三專題練習）已知函數有三個零點，則實數的取值范圍是___________.42．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上恰有三個零點，則（

）A．的最小值為 B．在上只有一個極小值點C．在上恰有兩個極大值點 D．在上單調遞增43．（2023·全國·高三專題練習）定義在上的函數在區間內恰有兩個零點和一個極值點，則的取值范圍是_____________.44．（2023·江西上饒·統考二模）已知函數在內恰有4個極值點和3個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．45．（2023·全國·高三階段練習）已知函數，其中.(1)若的極小值為－16，求；(2)討論的零點個數.考點六求函數的最值（一）不含參46．（2023·全國·高三專題練習）函數在內的最大值為______．47．（2023·安徽亳州·高三校考階段練習）已知函數，該函數的最大值為__________．48．（2023·全國·高三專題練習）若是函數的極小值點，則函數在區間上的最大值為______．49．（2023·內蒙古呼和浩特·呼市二中校考模擬預測）已知正數滿足，則的最小值為_________．50．（2023·陜西寶雞·校考模擬預測）若P，Q分別是拋物線與圓上的點，則的最小值為________．（二）含參51．（2023·江西·高三統考期中）已知(1)求的最值；(2)若有兩個零點，求k的取值范圍.52．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，.(1)討論函數在區間上的最大值；(2)確定k的所有可能取值，使得存在，對任意的，恒有.53．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．(1)當時，討論函數在上的單調性；(2)當時，求在內的最大值；(3)當時，判斷函數的零點個數考點七由函數的最值求參數問題54．（2023·陜西寶雞·校考模擬預測）當時，函數取得最大值，則（）A． B． C． D．155．（2023·廣西·統考模擬預測）已知函數存在最大值0，則的值為（

）A． B． C．1 D．56．（2023春·新疆·高三校考階段練習）若函數在區間上的最大值為2，則它在上的極大值為（

）A． B． C．24 D．2757．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）已知函數在區間上的最大值為k，則函數在上（

）A．有極大值，無最小值 B．無極大值，有最小值C．有極大值，有最大值 D．無極大值，無最大值58．（2023·陜西寶雞·統考二模）函數在內有最小值，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．59．（2023·上海松江·統考二模）已知函數，，在區間上有最大值，則實數t的取值范圍是（

）A． B．C． D．60．（2023·四川宜賓·統考三模）若函數的最小值是，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．61．（2023·全國·高三專題練習）若函數在區間內既存在最大值也存在最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．62．（2023春·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）已知函數，．(1)當時，求函數的最小值；(2)若函數的最小值為，求的最大值．考點八函數的單調性、極值與最值的綜合應用63．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知函數是定義在上的函數，是的導函數，若，且，則下列結論正確的是（

）A．函數在定義域上有極小值．B．函數在定義域上單調遞增．C．函數的單調遞減區間為．D．不等式的解集為．64．【多選】（2023春·浙江寧波·高三校聯考階段練習）已知函數的圖象在上恰有兩條對稱軸，則下列結論不正確的有（

）A．在上只有一個零點B．在上可能有4個零點C．在上單調遞增D．在上恰有2個極大值點65．【多選】（2023·全國·模擬預測）已知函數的圖像經過點，則（

）A．函數的最大值為2 B．點是函數圖像的一個對稱中心C．是函數的一個極小值點 D．的圖像關于直線對稱66．（2023春·河南鄭州·高三校考期中）已知函數的最小值為，函數的一個零點與極小值點相同，則（

）A． B．0 C．1 D．267．（2023春·四川成都·高三石室中學校考開學考試）已知函數的極值點均不大于2，且在區間上有最小值，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．68．（2023·寧夏銀川·六盤山高級中學校考一模）已知函數的極值點為，函數的最大值為，則（

）A． B． C． D．考點九不等式恒成立與存在性問題69．（2023春·廣東韶關·高三南雄中學校考階段練習）已知e是自然對數的底數．若，成立，則實數m的最小值是________．70．（2023·全國·高三專題練習）若對任意，總有不等式成立，則實數a的最大值是__________．71．（2023·全國·模擬預測）已知函數.若任意的，，都有，則實數的最大值是______.72．（2023·海南·校聯考模擬預測）已知函數，，若對任意，恒成立，則實數的取值范圍是________.73．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，若在處取得極值，且對于，均有，則b的取值范圍為______．74．（2023·四川成都·石室中學校考三模）已知函數的極小值點為．(1)求函數在處的切線方程；(2)設，，恒成立，求實數m的取值范圍．考點十利用導數解決實際問題75．（2023·四川·校聯考一模）四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，頂點均在半徑為2的球面上，則該四棱錐體積的最大值為（

）A． B．4 C． D．876．（2023·全國·高三專題練習）某制造商制造并出售球形瓶裝的某種液體材料.瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑.已知每出售1mL的液體材料，制造商可獲利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為8cm，則當每瓶液體材料的利潤最大時，瓶子的半徑為（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm77．（2023·全國·高三專題練習）某機床廠工人利用實心的圓錐舊零件改造成一個正四棱柱考點17利用導數研究函數的極值和最值10種常見考法歸類考點一知圖判斷函數極值與極值點考點二求函數的極值與極值點（一）不含參（二）含參考點三由極值求參數的值或范圍考點四由極值點求參數的值或范圍考點五利用極值解決函數的零點問題考點六求函數的最值（一）不含參（二）含參考點七由函數的最值求參數問題考點八函數的單調性、極值與最值的綜合應用考點九不等式恒成立與存在性問題考點十利用導數解決實際問題1.函數的極值(1)函數極值的定義：如圖，函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0.類似地，函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0.我們把a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值；b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值.極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.(2)函數在某點取得極值的必要條件和充分條件：一般地，函數y＝f(x)在某一點的導數值為0是函數y＝f(x)在這點取得極值的必要條件.可導函數y＝f(x)在x＝x0處取極大(小)值的充分條件是：①f′(x0)＝0；②在x＝x0附近的左側f′(x0)>0(<0)，右側f′(x0)<0(>0).(3)導數求極值的方法：解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時，如果在x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)>0，那么f(x0)是極小值.2.知圖判斷函數極值由導函數圖象判斷函數y＝f(x)的極值，要抓住兩點：①由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數y＝f(x)的可能極值點；②由導函數y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，從而可得函數y＝f(x)的單調性，兩者結合可得極值點.③要特別注意導函數圖象在哪個區間上為正，哪個區間上為負，在哪個點處與x軸相交，在該點附近的導數值是如何變化的，若是由正值變為負值，則在該點處取得極大值；若是由負值變為正值，則在該點處取得極小值．3.函數極值和極值點的求解步驟(1)確定函數的定義域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數的定義域分成若干個小開區間，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況．注：①可導函數在點處取得極值的充要條件是：是導函數的變號零點，即，且在左側與右側，的符號導號.②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點.另外，極值點也可以是不可導的，如函數，在極小值點是不可導的，于是有如下結論：為可導函數的極值點；但為的極值點.③原函數出現極值時，導函數正處于零點，歸納起來一句話：原極導零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導函數與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．④f(x)在x＝x0處有極值時，一定有f′(x0)＝0，f(x0)可能為極大值，也可能為極小值，應檢驗f(x)在x＝x0兩側的符號后才可下結論；若f′(x0)＝0，則f(x)未必在x＝x0處取得極值，只有確認x1<x0<x2時，f(x1)·f(x2)<0，才可確定f(x)在x＝x0處取得極值．4.已知函數的極值求參數的方法(1)對于已知可導函數的極值求參數的問題，解題的切入點是極值存在的條件：極值點處的導數值為0，極值點兩側的導數值異號．f′(x0)＝0是x0為函數極值點的必要不充分條件，故而要注意檢驗；(2)若函數y＝f(x)在區間(a，b)內有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內一定不是單調函數，反之，若函數在某區間上單調，則函數沒有極值.(3)對于函數無極值的問題，往往轉化為其導函數的值非負或非正在某區間內恒成立的問題，即轉化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區間內恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立．5.已知函數極值（個數），確定函數解析式中的參數時，注意以下兩點：(1)根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解．(2)因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求解后必須驗證充分性．6.函數的最大(小)值函數最大(小)值的再認識①一般地，如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.②若函數y＝f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數在[a，b]上的最小值，f(b)為函數在[a，b]上的最大值；若函數y＝f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數在[a，b]上的最大值，f(b)為函數在[a，b]上的最小值.(2)導數求最值的一般步驟：設函數y＝f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，求函數y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求函數y＝f(x)在區間(a，b)內的極值；②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.7.最值與極值的區別與聯系(1)函數的極值反映函數在一點附近情況，是局部函數值的比較，故極值不一定是最值；函數的最值是對函數在整個區間上函數值比較而言的，故函數的最值可能是極值，也可能是區間端點處的函數值；(2)在函數的定義區間內，極大(小)值可能有多個，但最大(小)值只有一個(或者沒有)．(3)函數f(x)的極值點為定義域中的內點（函數的極值點必是開區間的點，不能是區間的端點），而最值點可以是區間的端點．(4)對于可導函數，函數的最大(小)值必在極大(小)值點或區間端點處取得．(5)函數在開區間內存在最值，則極值點必落在該區間內8.求函數最值的步驟(1)求函數的定義域．(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)求極值、端點處的函數值，確定最值．注意：不要忽略將所求極值與區間端點的函數值進行比較．9.含參數的函數的最值問題(1)含參函數在區間上的最值通常有兩類：一是動極值點定區間；二是定極值點動區間，這兩類問題一般根據區間與極值點的位置關系來分類討論.(2)能根據條件求出參數，從而化為不含參數的函數的最值問題．(3)對于不能求出參數值的問題，則要對參數進行討論，其實質是討論導函數大于0、等于0、小于0三種情況．若導函數恒不等于0，則函數在已知區間上是單調函數，最值在端點處取得；若導函數可能等于0，則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值．10.求解函數在固定區間上的最值，需注意以下幾點(1)對函數進行準確求導，并檢驗f′(x)＝0的根是否在給定區間內．(2)研究函數的單調性，正確確定極值和端點函數值．(3)比較極值與端點函數值的大小，確定最值．11.已知函數在某區間上的最值求參數的值(或范圍)已知函數在某區間上的最值求參數的值(或范圍)是求函數最值的逆向思維，一般先求導數，利用導數研究函數的單調性及極值點，探索最值點，根據已知最值列方程(不等式)解決問題．其中注意分類討論思想的應用．12.三次函數的圖象、單調性、極值設三次函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，記Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并設x1，x2是方程f′(x)＝0的根，且x1<x2.(1)a>0Δ>0Δ≤0圖象單調性在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調遞增；在(x1，x2)上單調遞減在R上是增函數極值點個數20(2)a<0Δ>0Δ≤0圖象單調性在(x1，x2)上單調遞增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調遞減在R上是減函數極值點個數2013.分離參數求解不等式恒成立問題的步驟14.不等式恒成立（有解）問題的轉化（1）若函數在區間D上存在最小值和最大值，則不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；（2）若函數在區間D上不存在最大（小）值，且值域為，則不等式在區間D上恒成立．不等式在區間D上恒成立．（3）若函數在區間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；（4）若函數在區間D上不存在最大（小）值，如值域為，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區間D上有解不等式在區間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．考點一知圖判斷函數極值與極值點1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的圖象如圖所示，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據和是的根，列出方程組求得，得到，結合是函數的極值點，即可求解.【詳解】由函數的圖象知：和是的根，即，解得，所以，可得，又由結合圖象可得是函數的極值點，即是的兩個根，即是的兩個實數根，所以.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習）如圖是函數的導函數的圖象，則下列判斷正確的是（

）A．在區間上，是增函數B．當時，取到極小值C．在區間上，是減函數D．在區間上，是增函數【答案】D【分析】對于ACD,根據導數的正負和原函數單調性之間的聯系進行判斷即可;對于B，根據極值點處左右兩邊的單調性進行判斷.【詳解】由導函數圖象知，在時，，遞減，A錯；時，取得極大值（函數是先增后減），B錯；時，，遞增，C錯；時，，遞增，D正確．故選：D.3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．是的極小值點 B．是的極小值點C．在區間上單調遞減 D．曲線在處的切線斜率小于零【答案】D【分析】根據導函數圖像，求得函數單調性，結合極值點定義，即可判斷ABC選項，根據導數的定義和幾何意義即判斷D選項，從而得出答案.【詳解】由圖像知，當或時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以在區間，內單調遞增，在區間內單調遞減，是的極大值點，3是的極小值點，故ABC錯誤；又因為，所以曲線在處切線斜率小于零，故D正確.故選：D.4．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在R上的函數f（x），其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數的最小值為【答案】C【分析】根據導函數的圖象確定的單調性，從而比較函數值的大小及極值情況，對四個選項作出判斷.【詳解】由題圖可知，當時，，所以函數在上單調遞增，又a<b<c，所以，故A不正確．因為，，且當時，；當c<x<e時，；當x>e時，．所以函數在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確．由題圖可知，當時，，所以函數在[d，e]上單調遞減，從而，所以D不正確．故選：C．5．（2023春·湖南·高三校聯考階段練習）已知定義在區間上的函數的導函數為，的圖象如圖所示，則（

）A．在上有增也有減B．有2個極小值點C．D．有1個極大值點【答案】D【分析】利用導函數圖象與函數單調性、極值點的關系即可判定.【詳解】由圖可得，當，時，，當時，.所以的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，所以有1個極大值點，1個極小值點.故A、B錯誤，而，C錯誤.故選：D6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A． B．C．在區間內有3個極值點 D．的圖象在點處的切線的斜率小于0【答案】B【分析】根據導函數的正負可得單調性，由單調性可判斷AB正誤；由極值點定義可知C錯誤；由可知D錯誤.【詳解】由圖象可知：當和時，；當時，；在，上單調遞增；在上單調遞減；對于A，，，A錯誤；對于B，，，B正確；對于C，由極值點定義可知：為的極大值點；為的極小值點，即在區間內有個極值點，C錯誤；對于D，當時，，在點處的切線的斜率大于，D錯誤.故選：B.考點二求函數的極值與極值點（一）不含參7．（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學校考階段練習）函數極值點為_____．【答案】/1【分析】先求導數，利用導數值為零可得答案.【詳解】因為，所以，當時，，為增函數，當時，，為減函數；所以是函數的極小值點.故答案為：.8．（2023·四川成都·統考二模）函數的極大值為______．【答案】1【分析】對函數求導，利用單調性即可得出函數的極大值.【詳解】依題意，因為，所以，所以，所以在上，，單調遞增；在上，，單調遞減.所以在處取得極大值：.故答案為：1.9．【多選】（2023·全國·高三專題練習）設函數，則下列說法正確的是（

）A．沒有零點B．當時，的圖象位于軸下方C．存在單調遞增區間 D．有且僅有兩個極值點【答案】BC【分析】根據，求得的符號，即可判斷B；利用導數求出函數的單調區間，即可判斷C；再結合零點的存在性定理即可判斷A；再根據極值點的定義即可判斷D.【詳解】函數的定義域為，，令，則，所以函數在上遞減，又，所以存在上，使得，即函數有唯一零點，且，當時，，即，函數遞增，故C正確；當時，，即，函數遞減，所以為函數的極大值點，無極小值點，即有且僅有一個極值點，故D錯誤；所以，又，所以函數在上存在一個零點，故A錯誤；當時，，所以，即當時，的圖象位于軸下方，故B正確.故選：BC.10．【多選】（2023·全國·模擬預測）已知函數，則（

）A．函數在上單調遞增B．函數有且僅有一個零點C．函數有且僅有一個極值點D．直線是曲線的切線【答案】BC【分析】利用導數求函數單調區間，由函數單調性確定極值點和零點，由導數的幾何意義求切線方程.【詳解】函數的定義域為，則，令，則在上恒成立，所以函數在上單調遞增，又，所以當時，，即，所以函數在上單調遞減，當時，，即，所以函數在上單調遞增，所以函數存在極小值，所以A選項不正確，B，C選項正確；由得或，因為，，所以曲線在點處的切線方程為，同理在點處的切線方程為，所以D選項不正確．故選：BC．11．（2023·河南商丘·商丘市實驗中學校聯考模擬預測）已知函數．(1)求的極值；(2)若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)極小值，無極大值.(2)【分析】（1）求出函數的導函數，即可得到函數的單調區間，從而求出函數的極值；（2）參變分離可得對任意的，恒成立，令，，利用導數說明函數的單調性，求出函數的最小值，即可得解.【詳解】（1）函數的定義域為，又，令得，令得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得極小值，無極大值.（2）由得，即對任意的，恒成立，令，，則，令，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又，，，所以當時在內存在唯一的零點，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，，因為，所以，，所以，因為，所以，所以，所以實數的取值范圍為.【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．12．【多選】（2023·全國·高三專題練習）對于函數，則（

）A．有極大值，沒有極小值B．有極小值，沒有極大值C．函數與的圖象有兩個交點D．函數有兩個零點【答案】AD【分析】對函數求導，通過求導判斷函數的單調性從而可知函數是否有極值；畫出函數與的圖象從而可判斷交點個數；函數有兩個零點價于函數與圖像有兩個交點，數形結合即可判斷.【詳解】，則，因為在恒成立.所以當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增；所以在處有極大值，沒有極小值，故A正確，B錯誤；根據的單調性，畫出函數圖像，以及的圖象，如圖：由此可知，函數與的圖象只有一個交點，故C錯誤；函數有兩個零點等價于函數與圖像有兩個交點，如下圖所示：由此可知，函數與圖像有兩個交點，即函數有兩個零點；故D正確.故選：AD.13．（2023·全國·高三專題練習）是定義在上的函數，滿足，，則下列說法正確的是（）A．在上有極大值 B．在上有極小值C．在上既有極大值又有極小值 D．在上沒有極值【答案】D【分析】先由題意得，再構造，得到，進而再構造，判斷出，即，由此得到選項.【詳解】解：根據題意，，故，又，得，故，令，則，即，記，所以，當時，，當時，，所以函數在上遞減，在上遞增，所以，即，即，所以在上單調遞增，故在上沒有極值.故選項ABC說法錯誤，選項D說法正確.故選：D【點睛】方法點睛：對于利用導數研究函數的綜合問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而得到結果（二）含參14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．求函數的極值；【答案】①當時，沒有極值；②當時，有極大值，無極小值【分析】求出函數的導數，分類討論，當時,無極值，當時求出函數單調性，根據單調性得出極值.【詳解】，則定義域為，.①當時，恒成立，則為上的增函數，所以沒有極值.②當時，由，得；由，得.所以在上單調遞增，在上單調遞減.故當時，有極大值，無極小值.綜述：①當時，沒有極值；②當時，有極大值，無極小值15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．(1)討論的極值；(2)若不等式在上恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）對函數求導，分，和三種情況進行分類討論，進而求出函數的極值；（2）將不等式等價轉化為，構造函數，對函數二次求導進而求出參數的取值范圍.【詳解】（1）因為函數，則，，當時，，此時單調遞增，無極值；當時，令，得；令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，無極小值；當時，令，得；令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，無極大值．綜上，當時，函數無極值；當時，，無極小值；當時，，無極大值．（2）由及，得，，即．設，，當時，需．由，得，，設，則，，當時，由，得，因為，所以，所以當時，則，即為增函數，則，為增函數，則，所以符合條件．當時，由，得，因為，所以，所以當時，，則即為減函數，則，為減函數，則，不符合條件．綜上所述，m的取值范圍為．16．（2023·云南曲靖·統考模擬預測）已知函數是的導函數.(1)求函數的極值；(2)若函數有兩個不同的零點，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數的導函數，再分和求出函數的單調區間，再根據極值的定義即可得解；（2）由有兩個不同的零點，得①，②，兩式分別相加相減，得到的兩個式子相除可得，不妨設，令，構造函數，利用導數判斷函數的單調性，進而可得出結論.【詳解】（1）的定義域為，，當時，在上單調遞減，故無極值；當時，時時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故的極小值為，無極大值，綜上所述，當時，無極值；當時，的極小值為，無極大值；（2）依題意有兩個不同的零點，即有兩個不同的根，即有兩個不同的根，則①，②；①②得③，②①得④，由③④整理得，不妨設，令，令，則，所以在上單調遞增，所以，即，即，所以，又，所以，即，令，則在上單調遞增，又，所以，即，所以.【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.17．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知函數．(1)求函數的極值點；(2)設，為的兩個極值點，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求出，因式分解得出，再根據的值進行分類討論即可；（2）由有兩個極值點，則的二階導數有解，得出，由得出，令，，則且，構造（），得出，有，令（），則，得出，則，結合即可證明．【詳解】（1），①當，即時，，令，得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故有唯一的極小值點1；②當，即時，令，則，，（ⅰ）當時，，則，在上單調遞增，此時無極值點；（ⅱ）當時，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，從而有兩個極值點，極大值點為，極小值點為1；（ⅲ）當時，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，從而有兩個極值點，極大值點為1，極小值點為；綜上所述，當時，有唯一的極小值點1；當時，有兩個極值點，極大值點為，極小值點為1；當時，無極值點；當時，有兩個極值點，極大值點為1，極小值點為．（2）不妨設，由題得，則，設，則，由，為函數的兩個極值點可知，則在上不單調，則有解，故，則，由，得，所以．因為，，所以，，令，，則，，，故，且，令（），則，則在上單調遞減，，即對，有，令（），則，則，即，所以，則，即，又，所以，故．【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是利用導數研究（）的單調性，由得出，再結合基本不等式，從而得出結論；本題考查了利用導數研究函數單調性，基本不等式的應用，屬于難題．18．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知函數.(1)討論的極值；(2)若有兩個零點，求實數的取值范圍，并求證：.【答案】(1)極大值，無極小值(2)，證明見解析【分析】（1）求導，再分和討論求解；（2）結合（1）若有兩個零點，由，得到，再將問題轉化為，令，得到，再令，用導數法證明即可.【詳解】（1）由題得，①當時，，故在上單調遞增，故無極值；②當時，令，得，當時，；當時，.故在區間單調遞增，在區間單調遞減，此時在處取得極大值，無極小值.（2）由（1）知，當時，在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，，若有兩個零點，則，所以，當時，，故存在，使得.又當趨向于時，趨向于，故存在，使得，故.由，得，即；要證，只需證，兩邊同乘以，得.因為，所以.令，即證，即證.令，.令，故在區間上單調遞增，故，因此在區間上單調遞增，故，因此原不等式成立.【點睛】關鍵點睛：本題第二問關鍵是由有兩個零點，得到，，從而把問題轉化為，再兩邊同乘以進而轉化為，令，轉化為而得證.考點三由極值求參數的值或范圍19．【多選】（2023·山西·統考二模）已知在處取得極大值3，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據原函數極值點即為導函數零點可得，即可知，再根據極大值為3可解得或；易知當時，在處取得極小值，與題意不符，當時，函數在處取得極大值，符合題意，可得，，即，即可判斷出結論.【詳解】由題意可得，且是函數的極大值點，即，可得，又極大值為3，所以，解得或；當時，，此時，時，，時，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增；此時函數在處取得極小值，與題意不符，即舍去；當時，，此時，時，，時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；此時函數在處取得極大值，符合題意，所以，，即，所以A正確，B錯誤；此時，所以，，即C錯誤，D正確.故選：AD20．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知函數在處取得極值10，則下列說法正確的是（

）A． B．C．一定有兩個極值點 D．一定存在單調遞減區間【答案】BCD【分析】根據給定條件，利用導數結合極值、極值點求出a，b，再逐項判斷作答.【詳解】函數定義域為R，求導得，依題意，，即，解得或，當時，，函數在R上單調遞增，無極值，不符合題意，當時，，當或時，，當時，，因此函數在，上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極小值，符合題意，則，A不正確，B正確；函數在處取得極大值，一定有兩個極值點，C正確；一定存在單調遞減區間，D正確.故選：BCD21．（2023·吉林延邊·統考二模）若函數在處有極小值，則的值為______．【答案】3【分析】利用導數在處取到極值的必要不充分條件，從而求出值，再對進行檢驗即可求出結果.【詳解】因為，所以，又因為函數在處有極小值，所以，解得或，當時，，所以時，，時，，所以函數在處取得極小值；當時，，所以時，，時，，所以函數在處取得極大值，不合題意，舍去，故答案為：.22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數有極值，則c的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導得，則，由此可求答案．【詳解】解：由題意得，若函數有極值，則，解得，故選：A．23．（2023·廣西柳州·高三柳州高級中學校聯考階段練習）已知函數，若函數在上有極值，則實數a的取值范圍為___．【答案】【分析】根據導數與極值的關系求解即可.【詳解】因為，所以，為二次函數，且對稱軸為，所以函數在單調遞增，則函數在單調遞增，因為函數在上有極值，所以在有解，根據零點的存在性定理可知，即，解得，故答案為：.24．（2023·全國·高三專題練習）函數在上有唯一的極大值，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知函數在上有唯一極大值，進而得，再解不等式即可得答案.【詳解】解：方法一：當時，，因為函數在上有唯一的極大值，所以函數在上有唯一極大值，所以，，解得.故選：C方法二：令，，則，，所以，函數在軸右側的第一個極大值點為，第二個極大值點為，因為函數在上有唯一的極大值，所以，解得.故選：C25．（2023春·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）函數在區間上存在極值，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用導數討論函數的單調性和極值即可求解.【詳解】函數的定義域為，，令，，所以當時，，當時，，所以在單調遞增，單調遞減，所以，又因為當時，則，，所以存在唯一，使得，所以函數在時，時，所以函數在單調遞增，單調遞減，所以要使函數在區間上存在極值，所以的最大值為3，故選:B.26．（2023·全國·高三專題練習）已知沒有極值，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據沒有極值，可知無變號零點，由二次函數性質可知，由此可解不等式求得結果.【詳解】；在上沒有極值，，即，解得：，即實數的取值范圍為.故選：C.27．（2023·全國·高三專題練習）函數在上無極值，則m＝______．【答案】3【分析】把題意轉化為在上恒有，對m分類討論，求出m的范圍.【詳解】函數在上無極值即導函數在上無根．在上恒有①；而，當時，①式解為或；顯然時，①式不成立；當時，①式解為或；顯然時，①式不成立；當m－1＝2時，①式解為x＝2，m＝3．故答案為：3．28．（2023秋·河北唐山·高三開灤第二中學校考期末）已知函數，若的極小值為負數，則的最小值為___________.【答案】7【分析】利用導數判斷函數的單調性，再求函數的極小值，根據條件，列不等式求的極小值.【詳解】，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，函數取得極小值，，因為函數的極小值是負數，所以，所以，因為，所以的最小值是7.故答案為：729．（2023·廣西桂林·統考模擬預測）已知函數有極大值和極小值，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題，求導函數，由函數有極大值和極小值，即有兩個不同解，由此，，求解即可【詳解】由題，，函數有極大值和極小值，所以有兩個不同解，所以，，解得，故選：B30．（2023·陜西西安·長安一中校考二模）若函數在和，兩處取得極值，且，則實數a的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據題意可得原題意等價于與有兩個不同的交點，再數形結合分析兩根的關系運算求解.【詳解】因為，則，令，且，整理得，原題意等價于與有兩個不同的交點，構建，則，令，解得；令，解得或；則在上單調遞增，在上單調遞減，且，由圖可得：若與有兩個不同的交點，可得：，因為，則，由圖可知：當增大時，則減小，增大，可得減小，取，令，則，因為，解得，所以，則，即實數a的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：對于函數的極值問題，需要根據題意參變分離，利用數形結合求解函數零點問題，即畫出圖像分析極值點之間的關系，并找到臨界條件進行分析.考點四由極值點求參數的值或范圍31．（2023·全國·高三專題練習）若是函數的極值點，則的極小值為______．【答案】【分析】由極值點可知，從而求得，利用導數可求得單調性，再根據極小值的定義即可得解.【詳解】，因為是函數的極值點，所以，解得，則，令，解得或，則當或時，，當時，，所以函數的增區間為，減區間為，故的極小值為．故答案為：.32．（2023·全國·高三專題練習）已知，若不是函數的極小值點，則下列選項符合的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數軸標根法，畫出的草圖，對選項A，B，C，D逐一分析.【詳解】解：令，得.下面利用數軸標根法畫出的草圖，借助圖象對選項A，B，C，D逐一分析.對選項A：若，由圖可知是的極小值點，不合題意；對選項B：若，由圖可知不是的極小值點，符合題意；對選項C：若，由圖可知是的極小值點，不合題意；對選項D：若，由圖可知是的極小值點，不合題意；故選：B.【點睛】方法點睛：利用數軸標根法，口訣“自上而下，從右到左，奇穿偶不穿”，畫出的草圖，結合極小值點的定義，對選項A，B，C，D逐一分析，即可求解.33．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若在區間內沒有極值點，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】由題設得，根據區間內沒有極值點，應用整體代入法列不等式得或且，即可求的范圍.【詳解】，∴上，沒有極值點，∴或，∴或，而且得：，∴，或.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：應用三角恒等變換化簡函數式，由區間內不存在極值點列不等式組求參數范圍.34．（2023·全國·模擬預測）已知函數的導函數為，則“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】結合充分、必要條件定義及極值點的概念即可可判斷.【詳解】只有當在上有兩個變號零點時，在上才有兩個極值點，故充分性不成立；若在上有兩個極值點，則在上有兩個變號零點，則在上至少有兩個零點，故必要性不成立.綜上，“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的既不充分也不必要條件，故選：D.35．（2023·上海黃浦·統考一模）已知，且函數恰有兩個極大值點在，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運用整體思想法，求得的范圍，再運用正弦函數圖象分析即可.【詳解】∵，，∴，又∵在恰有2個極大值點，∴由正弦函數圖象可知，，解得：.故選：B.36．（2023春·四川雅安·高三雅安中學校聯考階段練習）已知函數有兩個極值點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由極值點定義得到，，兩式相減，結合上面的等式求出答案.【詳解】由，得，可得．因為，所以兩式作差得，則，所以，解得．故選：A37．【多選】（2023·山東泰安·統考一模）已知函數有兩個極值點，，則（

）A． B． C． D．，【答案】ACD【分析】求出，根據已知得有兩個變號零點，令，求出，分類討論根據其正負得出單調性，令其滿足有兩個變號零點，當時，不滿足題意，當時，則，即可解出的范圍，判斷A；根據已知可得有兩個變號零點，，而函數在上單調遞增，在上單調遞減，則，即可判斷B；，則，根據不等式的性質即可得出范圍，判斷C；根據得出函數單調性，結合，且，列不等式，即可判斷D.【詳解】對于A：，定義域，，函數有兩個極值點，，則有兩個變號零點，設，則，當時，，則函數單調遞增，則函數最多只有一個變號零點，不符合題意，故舍去；當時，時，，時，，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，若有兩個變號零點，則，解得：，此時由正趨向于時，趨向于，趨向于時，趨向于，則有兩個變號零點，滿足題意，故的范圍為：，故A正確；對于B：函數有兩個極值點，，即有兩個變號零點，，則，故B錯誤；對于C：當時，，則，即，，則，故C正確；對于D：有兩個變號零點，，且函數先增后減，則函數在與上單調遞減，在上單調遞增，，且，，故D正確；故選：ACD.【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常轉化為不等式恒成立問題，注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極（最）值問題處理；再利用導數研究函數單調性、極值或最值時，如果一次求導無法求解，可考慮多次求導來進行求解，求解過程要注意原函數和對于的導函數的關系，不能混淆.38．（2023·湖南邵陽·統考三模）已知函數有兩個極值點，，且，則實數m的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據極值點的定義，結合函數零點的定義，通過構造函數，利用數形結合思想進行求解即可.【詳解】由有兩個不同實根，且，設，當時，，當時，，在單調遞減，在單調遞增，所以，顯然當時，，當時，，圖象如下：所以有，則有，當時，即.，時，，故答案為：【點睛】關鍵點睛：根據函數極值的定義，結合構造函數法、數形結合法進行求解是解題的關鍵.39．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學校考期末）已知函數將其向右平移個單位長度后得到，若在上有三個極大值點，則一定滿足的單調遞增區間為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據平移變換得函數，由在上有三個極大值點，結合正弦函數圖象可得，再求的范圍，結合正弦函數的單調性，由此可判斷答案.【詳解】解：有題意可得，由得，由于在上有三個極大值點，所以，解得，當，而，故A正確，當，而，故B不正確，當，，而，故C不正確，當，，而，故D不正確，故選：A.考點五利用極值解決函數的零點問題40．（2023·全國·高三專題練習）已知函數恰有一個零點，則實數a的取值范圍為______．【答案】．【分析】使用參數分離的方法，將原方程轉變為直線與曲線相交，并且只有唯一交點.【詳解】由，x=0不是方程的解，∴，將原方程唯一零點轉變為直線與曲線有唯一交點，下面討論曲線的圖像：的定義域為，，當時，，當時，，當時，

，因此y在處，取得極小值，其極小值為，當時，，即y是單調遞減的，當x從小于0的方向趨向0的時候，y趨向于，故圖像如下圖：；故答案為：.41．（2023·全國·高三專題練習）已知函數有三個零點，則實數的取值范圍是___________.【答案】【分析】通過分離參數得，研究函數的單調性，極值點，零點，從而得到其大致圖像，則得到的范圍，解出即可.【詳解】當時，此時，顯然無零點.當時，得，令，，分別令，，前者解得，，后者解得或，故在，遞減，遞增.故的極小值為，極大值為，令，顯然分母，則分子，，則有唯一零點0，作出大致圖像如圖所示：所以，解得實數的取值范圍是.故答案為：.42．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上恰有三個零點，則（

）A．的最小值為 B．在上只有一個極小值點C．在上恰有兩個極大值點 D．在上單調遞增【答案】BD【分析】利用函數在上有三個零點可求得的取值范圍，可判斷A選項；利用極值點的定義可判斷BC選項；利用余弦型函數的單調性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，當時，，由函數在上恰有三個零點，所以，，解得，所以，的最小值為，A錯；對于B選項，由A選項知，，則當，即時，函數取得極小值，即在上只有一個極小值點，B對；對于C選項，當時，函數在上只有一個極大值點，C錯；對于D選項，當時，，因為，所以，，所以，函數在上單調遞增，D對.故選：BD.43．（2023·全國·高三專題練習）定義在上的函數在區間內恰有兩個零點和一個極值點，則的取值范圍是_____________.【答案】【分析】依題意首先求出的大致范圍，進而確定的范圍，根據題意結合正弦函數可得，即可求出ω的取值范圍.【詳解】設函數的最小正周期為，由正弦型函數可知：兩個零點之間必存在極值點，兩個極值點之間必存在零點，則，則，注意到，解得，∵，則，由題意可得：，解得，故的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：（1）根據正弦型函數的性質估算的范圍；（2）求的范圍，結合正弦函數的圖象與性質列式求解.44．（2023·江西上饒·統考二模）已知函數在內恰有4個極值點和3個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】輔助角化簡，由已知上恰有4個極值點和3個零點，數形結合列不等式求參數的范圍.【詳解】由且，因為，所以，又在內恰有4個極值點和3個零點，由正弦函數的圖象知：，解得：，所以實數的取值范圍是.故選：C45．（2023·全國·高三階段練習）已知函數，其中.(1)若的極小值為－16，求；(2)討論的零點個數.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】(1)求出導函數，進而求得極小值點，再代入求解即可.(2)畫出函數的大致圖像，結合圖像分類討論即可求得結論.【詳解】（1）由題得，其中，當時，，單調遞增，無極值；當時，令，解得或；令，解得，所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為，，所以當時，取得極小值，所以，解得.（2）由（1）知當時，的極小值為，的極大值為，當，即時，有三個零點，如圖①曲線；當，即時，有兩個零點，如圖②曲線；當，即時，有一個零點，如圖③曲線；當時，，易知有一個零點.

綜上，當時，有一個零點；當時，有兩個零點；當時，有三個零點.考點六求函數的最值（一）不含參46．（2023·全國·高三專題練習）函數在內的最大值為______．【答案】【分析】對函數求導，，將問題轉為研究的性質，設，，求得恒成立，由此判斷當時，，單調遞減，解得.【詳解】由題可得，設，，因為，所以，所以，所以，單調遞增，，所以當時，，單調遞減，則．故答案為：.47．（2023·安徽亳州·高三校考階段練習）已知函數，該函數的最大值為__________．【答案】【分析】化簡函數，令且，則，求得，得出函數的單調性，結合單調性與極值，即可求解.【詳解】由題意，函數，令且，則，從而，令，解得或，當時，；當時，；當時，，所以在上單調遞減；在上單調遞增；在上單調遞減．因為，，所以的最大值為.故答案為：.48．（2023·全國·高三專題練習）若是函數的極小值點，則函數在區間上的最大值為______．【答案】/【分析】求導，根據極值點可得，進而解得或，代入驗證極值點可確定，進而根據極大值以及端點處的函數值進行比較即可求解.【詳解】由，得，因為是函數的極小值點，所以，即，即，解得或．當時，，當或時，，當時，，所以，在區間，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極大值點，不符合題意；當時，，當或時，，當時，，所以在區間，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極小值點，是函數的極大值點，故又因為，，所以函數在的最大值為．故答案為：．49．（2023·內蒙古呼和浩特·呼市二中校考模擬預測）已知正數滿足，則的最小值為_________．【答案】【分析】運用同構函數研究其單調性可得，將求的最小值轉化為求上的最小值，運用導數研究的最小值即可.【詳解】因為，即，所以，所以.令，則，所以在上單調遞增，所以，即，所以，令.則．令，解得：；令，解得：；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以.即的最小值為.故答案為：.【點睛】同構法的三種基本模式：①乘積型，如可以同構成，進而構造函數；②比商型，如可以同構成，進而構造函數；③和差型，如，同構后可以構造函數f或.50．（2023·陜西寶雞·校考模擬預測）若P，Q分別是拋物線與圓上的點，則的最小值為________．【答案】/【分析】設點，圓心，的最小值即為的最小值減去圓的半徑，求出的最小值即可得解．【詳解】依題可設，圓心，根據圓外一點到圓上一點的最值求法可知，的最小值即為的最小值減去半徑．因為，，設，，由于恒成立，所以函數在上遞減，在上遞增，即，所以，即的最小值為．故答案為：．（二）含參51．（2023·江西·高三統考期中）已知(1)求的最值；(2)若有兩個零點，求k的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出函數的定義域，對函數求導，由導函數的正負確定函數的單調性，進而求出最值；（2）構造函數，求導確定函數的單調性，確定函數的最值，畫出函數的圖象，確定參數的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為，.當時，恒成立，在上單調遞增，此時函數無最值.當時，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減.所以在處取得極大值，即最大值，.綜上可知，時，在上無最值.時，的最大值為，無最小值.（2）有兩個零點，可得有兩個實根.令，.令，得；令，得，在上單調遞增，在上單調遞減..當時，，，所以，又，時，；時，.大致圖象如圖所示，若直線與的圖象有兩個交點，則，∴k的取值范圍是.【點睛】常見的根據函數的零點個數求參數取值范圍的方法：1.將函數的零點轉化為對應方程的根的個數，進一步轉化為函數與函數圖像交點的個數；2.根據題意直接轉化為函數的圖像與軸的交點的個數，討論求出參數的取值范圍.52．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，.(1)討論函數在區間上的最大值；(2)確定k的所有可能取值，使得存在，對任意的，恒有.【答案】(1)答案詳見解析(2)【分析】（1）構造函數，求得，對進行分類討論，由此求得所求的最大值.（2）對進行分類討論，化簡不等式，利用構造函數法，結合導數來求得的值.【詳解】（1），，則，當時，對任意恒成立，又，所以恒成立，所以在上遞減，所以的最大值為.當時，在區間，遞增；在區間遞減.所以的最大值是.（2）由（1）知，當時，時，；當時，對任意，，要使成立，顯然.當時，，令，則，對于方程，，所以方程有兩個不同的實數根，，由于，所以，故在區間，遞增，此時，即，所以滿足題意的不存在.當時，由（1）知，存在，使得對任意的恒有，此時，令，，對于方程，，所以方程兩個不同的實數根，，由于，所以，所以在區間遞增，此時即，即與中較小者為，則當時，恒有，所以滿足題意的不存在.當時，由（1）知當時，，令，，所以當時，遞減，所以在區間上，故當時，恒有，此時任意實數滿足題意.綜上所述，.【點睛】利用導數研究函數的最值，當導函數含有參數時，要注意對參數進行分類討論，分類討論要做到不重不漏.當所要研究的函數含有絕對值時，可對絕對值內的式子的符號進行分類討論，去絕對值，將式子轉化為沒有絕對值的形式來進行研究.53．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．(1)當時，討論函數在上的單調性；(2)當時，求在內的最大值；(3)當時，判斷函數的零點個數【答案】(1)函數在上單調遞增．(2)(3)有且僅有1個零點．【分析】（1）求導即可判斷其單調性；（2）根據題意，求導得，可得，從而可得；（3）根據題意，求導可得，分，分別討論，結合函數的單調性與最值即可得到零點個數.【詳解】（1）當時，，，且．當時，，，則，即，故函數在上單調遞增．（2），令，則，由且，可得，，則，在內單調遞增，所以，又當時，，所以，在內單調遞增，故．（3）當時，，定義域為，則，，當時，，則，，單調遞增；當時，令，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，則，因為，所以，，則，所以，則，所以，，則當時，，在上單調遞增．綜上可知，函數在定義域上單調遞增．又當時，；當時，，且，故當時，函數在其定義域內有且僅有1個零點．考點七由函數的最值求參數問題54．（2023·陜西寶雞·校考模擬預測）當時，函數取得最大值，則（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據條件列方程組求出a和b.【詳解】因為函數定義域為，所