考點(diǎn)17 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值10種常見考法歸類-【考點(diǎn)通關(guān)】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專用)含解析_第1頁(yè)
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考點(diǎn)17利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值10種常見考法歸類-【考點(diǎn)通關(guān)】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專用)考點(diǎn)17利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值10種常見考法歸類考點(diǎn)一知圖判斷函數(shù)極值與極值點(diǎn)考點(diǎn)二求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)(一)不含參(二)含參考點(diǎn)三由極值求參數(shù)的值或范圍考點(diǎn)四由極值點(diǎn)求參數(shù)的值或范圍考點(diǎn)五利用極值解決函數(shù)的零點(diǎn)問題考點(diǎn)六求函數(shù)的最值(一)不含參(二)含參考點(diǎn)七由函數(shù)的最值求參數(shù)問題考點(diǎn)八函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用考點(diǎn)九不等式恒成立與存在性問題考點(diǎn)十利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題1.函數(shù)的極值(1)函數(shù)極值的定義:如圖,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f′(a)=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0.類似地,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f′(b)=0;而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0.我們把a(bǔ)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值;b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.(2)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件:一般地,函數(shù)y=f(x)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取得極值的必要條件.可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在x=x0處取極大(小)值的充分條件是:①f′(x0)=0;②在x=x0附近的左側(cè)f′(x0)>0(<0),右側(cè)f′(x0)<0(>0).(3)導(dǎo)數(shù)求極值的方法:解方程f′(x)=0,當(dāng)f′(x0)=0時(shí),如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是極大值;如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,那么f(x0)是極小值.2.知圖判斷函數(shù)極值由導(dǎo)函數(shù)圖象判斷函數(shù)y=f(x)的極值,要抓住兩點(diǎn):①由y=f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn),可得函數(shù)y=f(x)的可能極值點(diǎn);②由導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可以看出y=f′(x)的值的正負(fù),從而可得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性,兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).③要特別注意導(dǎo)函數(shù)圖象在哪個(gè)區(qū)間上為正,哪個(gè)區(qū)間上為負(fù),在哪個(gè)點(diǎn)處與x軸相交,在該點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值是如何變化的,若是由正值變?yōu)樨?fù)值,則在該點(diǎn)處取得極大值;若是由負(fù)值變?yōu)檎担瑒t在該點(diǎn)處取得極小值.3.函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域.(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用方程f′(x)=0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間,并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符號(hào),來判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況.注:①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是:是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn),即,且在左側(cè)與右側(cè),的符號(hào)導(dǎo)號(hào).②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件,如,,但不是極值點(diǎn).另外,極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的,如函數(shù),在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的,于是有如下結(jié)論:為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn);但為的極值點(diǎn).③原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí),導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn),歸納起來一句話:原極導(dǎo)零.這個(gè)零點(diǎn)必須穿越軸,否則不是極值點(diǎn).判斷口訣:從左往右找穿越(導(dǎo)函數(shù)與軸的交點(diǎn));上坡低頭找極小,下坡抬頭找極大.④f(x)在x=x0處有極值時(shí),一定有f′(x0)=0,f(x0)可能為極大值,也可能為極小值,應(yīng)檢驗(yàn)f(x)在x=x0兩側(cè)的符號(hào)后才可下結(jié)論;若f′(x0)=0,則f(x)未必在x=x0處取得極值,只有確認(rèn)x1<x0<x2時(shí),f(x1)·f(x2)<0,才可確定f(x)在x=x0處取得極值.4.已知函數(shù)的極值求參數(shù)的方法(1)對(duì)于已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題,解題的切入點(diǎn)是極值存在的條件:極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào).f′(x0)=0是x0為函數(shù)極值點(diǎn)的必要不充分條件,故而要注意檢驗(yàn);(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,那么y=f(x)在(a,b)內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù),反之,若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào),則函數(shù)沒有極值.(3)對(duì)于函數(shù)無極值的問題,往往轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù)或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題,即轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題,此時(shí)需注意不等式中的等號(hào)是否成立.5.已知函數(shù)極值(個(gè)數(shù)),確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí),注意以下兩點(diǎn):(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解.(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性.6.函數(shù)的最大(小)值函數(shù)最大(小)值的再認(rèn)識(shí)①一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.②若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)在[a,b]上的最小值,f(b)為函數(shù)在[a,b]上的最大值;若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)在[a,b]上的最大值,f(b)為函數(shù)在[a,b]上的最小值.(2)導(dǎo)數(shù)求最值的一般步驟:設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟如下:①求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值;②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.7.最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系(1)函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況,是局部函數(shù)值的比較,故極值不一定是最值;函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的,故函數(shù)的最值可能是極值,也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值;(2)在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi),極大(小)值可能有多個(gè),但最大(小)值只有一個(gè)(或者沒有).(3)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為定義域中的內(nèi)點(diǎn)(函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn),不能是區(qū)間的端點(diǎn)),而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn).(4)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.(5)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最值,則極值點(diǎn)必落在該區(qū)間內(nèi)8.求函數(shù)最值的步驟(1)求函數(shù)的定義域.(2)求f′(x),解方程f′(x)=0.(3)求極值、端點(diǎn)處的函數(shù)值,確定最值.注意:不要忽略將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.9.含參數(shù)的函數(shù)的最值問題(1)含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類:一是動(dòng)極值點(diǎn)定區(qū)間;二是定極值點(diǎn)動(dòng)區(qū)間,這兩類問題一般根據(jù)區(qū)間與極值點(diǎn)的位置關(guān)系來分類討論.(2)能根據(jù)條件求出參數(shù),從而化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題.(3)對(duì)于不能求出參數(shù)值的問題,則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0、等于0、小于0三種情況.若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0,則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),最值在端點(diǎn)處取得;若導(dǎo)函數(shù)可能等于0,則求出極值點(diǎn)后求極值,再與端點(diǎn)值比較后確定最值.10.求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值,需注意以下幾點(diǎn)(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo),并檢驗(yàn)f′(x)=0的根是否在給定區(qū)間內(nèi).(2)研究函數(shù)的單調(diào)性,正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值.(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,確定最值.11.已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維,一般先求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn),探索最值點(diǎn),根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.其中注意分類討論思想的應(yīng)用.12.三次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、極值設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則f′(x)=3ax2+2bx+c,記Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),并設(shè)x1,x2是方程f′(x)=0的根,且x1<x2.(1)a>0Δ>0Δ≤0圖象單調(diào)性在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增;在(x1,x2)上單調(diào)遞減在R上是增函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)20(2)a<0Δ>0Δ≤0圖象單調(diào)性在(x1,x2)上單調(diào)遞增;在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞減在R上是減函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)2013.分離參數(shù)求解不等式恒成立問題的步驟14.不等式恒成立(有解)問題的轉(zhuǎn)化(1)若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值,則不等式在區(qū)間D上恒成立;不等式在區(qū)間D上恒成立;不等式在區(qū)間D上恒成立;不等式在區(qū)間D上恒成立;(2)若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大(小)值,且值域?yàn)椋瑒t不等式在區(qū)間D上恒成立.不等式在區(qū)間D上恒成立.(3)若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值,即,則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論:不等式在區(qū)間D上有解;不等式在區(qū)間D上有解;不等式在區(qū)間D上有解;不等式在區(qū)間D上有解;(4)若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大(小)值,如值域?yàn)椋瑒t對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論:不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解(5)對(duì)于任意的,總存在,使得;(6)對(duì)于任意的,總存在,使得;(7)若存在,對(duì)于任意的,使得;(8)若存在,對(duì)于任意的,使得;(9)對(duì)于任意的,使得;(10)對(duì)于任意的,使得;(11)若存在,總存在,使得(12)若存在,總存在,使得.考點(diǎn)一知圖判斷函數(shù)極值與極值點(diǎn)1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的圖象如圖所示,則等于(

)A. B. C. D.2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象,則下列判斷正確的是(

)A.在區(qū)間上,是增函數(shù)B.當(dāng)時(shí),取到極小值C.在區(qū)間上,是減函數(shù)D.在區(qū)間上,是增函數(shù)3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(

)A.是的極小值點(diǎn) B.是的極小值點(diǎn)C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.曲線在處的切線斜率小于零4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示,則下列敘述正確的是(

)A.B.函數(shù)在x=c處取得最大值,在處取得最小值C.函數(shù)在x=c處取得極大值,在處取得極小值D.函數(shù)的最小值為5.(2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,的圖象如圖所示,則(

)A.在上有增也有減B.有2個(gè)極小值點(diǎn)C.D.有1個(gè)極大值點(diǎn)6.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說法正確的是(

)A. B.C.在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)極值點(diǎn) D.的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率小于0考點(diǎn)二求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)(一)不含參7.(2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí))函數(shù)極值點(diǎn)為_____.8.(2023·四川成都·統(tǒng)考二模)函數(shù)的極大值為______.9.【多選】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù),則下列說法正確的是(

)A.沒有零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí),的圖象位于軸下方C.存在單調(diào)遞增區(qū)間 D.有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)10.【多選】(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù),則(

)A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)D.直線是曲線的切線11.(2023·河南商丘·商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù).(1)求的極值;(2)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.12.【多選】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))對(duì)于函數(shù),則(

)A.有極大值,沒有極小值B.有極小值,沒有極大值C.函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)D.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)13.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))是定義在上的函數(shù),滿足,,則下列說法正確的是()A.在上有極大值 B.在上有極小值C.在上既有極大值又有極小值 D.在上沒有極值(二)含參14.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù).求函數(shù)的極值;15.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),.(1)討論的極值;(2)若不等式在上恒成立,求m的取值范圍.16.(2023·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù).(1)求函數(shù)的極值;(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),證明:.17.(2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值點(diǎn);(2)設(shè),為的兩個(gè)極值點(diǎn),證明:.18.(2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù).(1)討論的極值;(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并求證:.考點(diǎn)三由極值求參數(shù)的值或范圍19.【多選】(2023·山西·統(tǒng)考二模)已知在處取得極大值3,則下列結(jié)論正確的是(

)A. B. C. D.20.【多選】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)在處取得極值10,則下列說法正確的是(

)A. B.C.一定有兩個(gè)極值點(diǎn) D.一定存在單調(diào)遞減區(qū)間21.(2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模)若函數(shù)在處有極小值,則的值為______.22.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)有極值,則c的取值范圍為(

)A. B. C. D.23.(2023·廣西柳州·高三柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù),若函數(shù)在上有極值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___.24.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)在上有唯一的極大值,則(

)A. B. C. D.25.(2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí))函數(shù)在區(qū)間上存在極值,則的最大值為(

)A.2 B.3 C.4 D.526.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知沒有極值,則實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A. B.C. D.27.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)在上無極值,則m=______.28.(2023秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)校考期末)已知函數(shù),若的極小值為負(fù)數(shù),則的最小值為___________.29.(2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)有極大值和極小值,則的取值范圍是(

)A. B.C. D.30.(2023·陜西西安·長(zhǎng)安一中校考二模)若函數(shù)在和,兩處取得極值,且,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.考點(diǎn)四由極值點(diǎn)求參數(shù)的值或范圍31.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))若是函數(shù)的極值點(diǎn),則的極小值為______.32.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知,若不是函數(shù)的極小值點(diǎn),則下列選項(xiàng)符合的是(

)A. B. C. D.33.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),若在區(qū)間內(nèi)沒有極值點(diǎn),則的取值范圍是___________.34.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,則“在上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“在上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件35.(2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模)已知,且函數(shù)恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)在,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.36.(2023春·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,則(

)A. B. C. D.37.【多選】(2023·山東泰安·統(tǒng)考一模)已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,則(

)A. B. C. D.,38.(2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模)已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.39.(2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考期末)已知函數(shù)將其向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到,若在上有三個(gè)極大值點(diǎn),則一定滿足的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A. B.C. D.考點(diǎn)五利用極值解決函數(shù)的零點(diǎn)問題40.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.41.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.42.【多選】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)在上恰有三個(gè)零點(diǎn),則(

)A.的最小值為 B.在上只有一個(gè)極小值點(diǎn)C.在上恰有兩個(gè)極大值點(diǎn) D.在上單調(diào)遞增43.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))定義在上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極值點(diǎn),則的取值范圍是_____________.44.(2023·江西上饒·統(tǒng)考二模)已知函數(shù)在內(nèi)恰有4個(gè)極值點(diǎn)和3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.45.(2023·全國(guó)·高三階段練習(xí))已知函數(shù),其中.(1)若的極小值為-16,求;(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).考點(diǎn)六求函數(shù)的最值(一)不含參46.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)在內(nèi)的最大值為______.47.(2023·安徽亳州·高三校考階段練習(xí))已知函數(shù),該函數(shù)的最大值為__________.48.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))若是函數(shù)的極小值點(diǎn),則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為______.49.(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·呼市二中校考模擬預(yù)測(cè))已知正數(shù)滿足,則的最小值為_________.50.(2023·陜西寶雞·校考模擬預(yù)測(cè))若P,Q分別是拋物線與圓上的點(diǎn),則的最小值為________.(二)含參51.(2023·江西·高三統(tǒng)考期中)已知(1)求的最值;(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求k的取值范圍.52.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),,.(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的最大值;(2)確定k的所有可能取值,使得存在,對(duì)任意的,恒有.53.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),求在內(nèi)的最大值;(3)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)考點(diǎn)七由函數(shù)的最值求參數(shù)問題54.(2023·陜西寶雞·校考模擬預(yù)測(cè))當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,則()A. B. C. D.155.(2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)存在最大值0,則的值為(

)A. B. C.1 D.56.(2023春·新疆·高三校考階段練習(xí))若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2,則它在上的極大值為(

)A. B. C.24 D.2757.(2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為k,則函數(shù)在上(

)A.有極大值,無最小值 B.無極大值,有最小值C.有極大值,有最大值 D.無極大值,無最大值58.(2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模)函數(shù)在內(nèi)有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A. B.C. D.59.(2023·上海松江·統(tǒng)考二模)已知函數(shù),,在區(qū)間上有最大值,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(

)A. B.C. D.60.(2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模)若函數(shù)的最小值是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.61.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既存在最大值也存在最小值,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.62.(2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí))已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;(2)若函數(shù)的最小值為,求的最大值.考點(diǎn)八函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用63.【多選】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)是定義在上的函數(shù),是的導(dǎo)函數(shù),若,且,則下列結(jié)論正確的是(

)A.函數(shù)在定義域上有極小值.B.函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.D.不等式的解集為.64.【多選】(2023春·浙江寧波·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)的圖象在上恰有兩條對(duì)稱軸,則下列結(jié)論不正確的有(

)A.在上只有一個(gè)零點(diǎn)B.在上可能有4個(gè)零點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增D.在上恰有2個(gè)極大值點(diǎn)65.【多選】(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn),則(

)A.函數(shù)的最大值為2 B.點(diǎn)是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心C.是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn) D.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱66.(2023春·河南鄭州·高三校考期中)已知函數(shù)的最小值為,函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)與極小值點(diǎn)相同,則(

)A. B.0 C.1 D.267.(2023春·四川成都·高三石室中學(xué)校考開學(xué)考試)已知函數(shù)的極值點(diǎn)均不大于2,且在區(qū)間上有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B.C. D.68.(2023·寧夏銀川·六盤山高級(jí)中學(xué)校考一模)已知函數(shù)的極值點(diǎn)為,函數(shù)的最大值為,則(

)A. B. C. D.考點(diǎn)九不等式恒成立與存在性問題69.(2023春·廣東韶關(guān)·高三南雄中學(xué)校考階段練習(xí))已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若,成立,則實(shí)數(shù)m的最小值是________.70.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))若對(duì)任意,總有不等式成立,則實(shí)數(shù)a的最大值是__________.71.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù).若任意的,,都有,則實(shí)數(shù)的最大值是______.72.(2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù),,若對(duì)任意,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.73.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),,若在處取得極值,且對(duì)于,均有,則b的取值范圍為______.74.(2023·四川成都·石室中學(xué)校考三模)已知函數(shù)的極小值點(diǎn)為.(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)設(shè),,恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.考點(diǎn)十利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題75.(2023·四川·校聯(lián)考一模)四棱錐的底面為正方形,平面ABCD,頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上,則該四棱錐體積的最大值為(

)A. B.4 C. D.876.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))某制造商制造并出售球形瓶裝的某種液體材料.瓶子的制造成本是分,其中r(單位:cm)是瓶子的半徑.已知每出售1mL的液體材料,制造商可獲利0.3分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為8cm,則當(dāng)每瓶液體材料的利潤(rùn)最大時(shí),瓶子的半徑為(

)A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm77.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))某機(jī)床廠工人利用實(shí)心的圓錐舊零件改造成一個(gè)正四棱柱考點(diǎn)17利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值10種常見考法歸類考點(diǎn)一知圖判斷函數(shù)極值與極值點(diǎn)考點(diǎn)二求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)(一)不含參(二)含參考點(diǎn)三由極值求參數(shù)的值或范圍考點(diǎn)四由極值點(diǎn)求參數(shù)的值或范圍考點(diǎn)五利用極值解決函數(shù)的零點(diǎn)問題考點(diǎn)六求函數(shù)的最值(一)不含參(二)含參考點(diǎn)七由函數(shù)的最值求參數(shù)問題考點(diǎn)八函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用考點(diǎn)九不等式恒成立與存在性問題考點(diǎn)十利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題1.函數(shù)的極值(1)函數(shù)極值的定義:如圖,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f′(a)=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0.類似地,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f′(b)=0;而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0.我們把a(bǔ)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值;b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.(2)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件:一般地,函數(shù)y=f(x)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取得極值的必要條件.可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在x=x0處取極大(小)值的充分條件是:①f′(x0)=0;②在x=x0附近的左側(cè)f′(x0)>0(<0),右側(cè)f′(x0)<0(>0).(3)導(dǎo)數(shù)求極值的方法:解方程f′(x)=0,當(dāng)f′(x0)=0時(shí),如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是極大值;如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,那么f(x0)是極小值.2.知圖判斷函數(shù)極值由導(dǎo)函數(shù)圖象判斷函數(shù)y=f(x)的極值,要抓住兩點(diǎn):①由y=f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn),可得函數(shù)y=f(x)的可能極值點(diǎn);②由導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可以看出y=f′(x)的值的正負(fù),從而可得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性,兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).③要特別注意導(dǎo)函數(shù)圖象在哪個(gè)區(qū)間上為正,哪個(gè)區(qū)間上為負(fù),在哪個(gè)點(diǎn)處與x軸相交,在該點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值是如何變化的,若是由正值變?yōu)樨?fù)值,則在該點(diǎn)處取得極大值;若是由負(fù)值變?yōu)檎担瑒t在該點(diǎn)處取得極小值.3.函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域.(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用方程f′(x)=0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間,并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符號(hào),來判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況.注:①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是:是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn),即,且在左側(cè)與右側(cè),的符號(hào)導(dǎo)號(hào).②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件,如,,但不是極值點(diǎn).另外,極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的,如函數(shù),在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的,于是有如下結(jié)論:為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn);但為的極值點(diǎn).③原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí),導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn),歸納起來一句話:原極導(dǎo)零.這個(gè)零點(diǎn)必須穿越軸,否則不是極值點(diǎn).判斷口訣:從左往右找穿越(導(dǎo)函數(shù)與軸的交點(diǎn));上坡低頭找極小,下坡抬頭找極大.④f(x)在x=x0處有極值時(shí),一定有f′(x0)=0,f(x0)可能為極大值,也可能為極小值,應(yīng)檢驗(yàn)f(x)在x=x0兩側(cè)的符號(hào)后才可下結(jié)論;若f′(x0)=0,則f(x)未必在x=x0處取得極值,只有確認(rèn)x1<x0<x2時(shí),f(x1)·f(x2)<0,才可確定f(x)在x=x0處取得極值.4.已知函數(shù)的極值求參數(shù)的方法(1)對(duì)于已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題,解題的切入點(diǎn)是極值存在的條件:極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào).f′(x0)=0是x0為函數(shù)極值點(diǎn)的必要不充分條件,故而要注意檢驗(yàn);(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,那么y=f(x)在(a,b)內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù),反之,若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào),則函數(shù)沒有極值.(3)對(duì)于函數(shù)無極值的問題,往往轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù)或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題,即轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題,此時(shí)需注意不等式中的等號(hào)是否成立.5.已知函數(shù)極值(個(gè)數(shù)),確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí),注意以下兩點(diǎn):(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解.(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性.6.函數(shù)的最大(小)值函數(shù)最大(小)值的再認(rèn)識(shí)①一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.②若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)在[a,b]上的最小值,f(b)為函數(shù)在[a,b]上的最大值;若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)在[a,b]上的最大值,f(b)為函數(shù)在[a,b]上的最小值.(2)導(dǎo)數(shù)求最值的一般步驟:設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟如下:①求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值;②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.7.最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系(1)函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況,是局部函數(shù)值的比較,故極值不一定是最值;函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的,故函數(shù)的最值可能是極值,也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值;(2)在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi),極大(小)值可能有多個(gè),但最大(小)值只有一個(gè)(或者沒有).(3)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為定義域中的內(nèi)點(diǎn)(函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn),不能是區(qū)間的端點(diǎn)),而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn).(4)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.(5)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最值,則極值點(diǎn)必落在該區(qū)間內(nèi)8.求函數(shù)最值的步驟(1)求函數(shù)的定義域.(2)求f′(x),解方程f′(x)=0.(3)求極值、端點(diǎn)處的函數(shù)值,確定最值.注意:不要忽略將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.9.含參數(shù)的函數(shù)的最值問題(1)含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類:一是動(dòng)極值點(diǎn)定區(qū)間;二是定極值點(diǎn)動(dòng)區(qū)間,這兩類問題一般根據(jù)區(qū)間與極值點(diǎn)的位置關(guān)系來分類討論.(2)能根據(jù)條件求出參數(shù),從而化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題.(3)對(duì)于不能求出參數(shù)值的問題,則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0、等于0、小于0三種情況.若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0,則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),最值在端點(diǎn)處取得;若導(dǎo)函數(shù)可能等于0,則求出極值點(diǎn)后求極值,再與端點(diǎn)值比較后確定最值.10.求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值,需注意以下幾點(diǎn)(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo),并檢驗(yàn)f′(x)=0的根是否在給定區(qū)間內(nèi).(2)研究函數(shù)的單調(diào)性,正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值.(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,確定最值.11.已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維,一般先求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn),探索最值點(diǎn),根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.其中注意分類討論思想的應(yīng)用.12.三次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、極值設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則f′(x)=3ax2+2bx+c,記Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),并設(shè)x1,x2是方程f′(x)=0的根,且x1<x2.(1)a>0Δ>0Δ≤0圖象單調(diào)性在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增;在(x1,x2)上單調(diào)遞減在R上是增函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)20(2)a<0Δ>0Δ≤0圖象單調(diào)性在(x1,x2)上單調(diào)遞增;在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞減在R上是減函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)2013.分離參數(shù)求解不等式恒成立問題的步驟14.不等式恒成立(有解)問題的轉(zhuǎn)化(1)若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值,則不等式在區(qū)間D上恒成立;不等式在區(qū)間D上恒成立;不等式在區(qū)間D上恒成立;不等式在區(qū)間D上恒成立;(2)若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大(小)值,且值域?yàn)椋瑒t不等式在區(qū)間D上恒成立.不等式在區(qū)間D上恒成立.(3)若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值,即,則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論:不等式在區(qū)間D上有解;不等式在區(qū)間D上有解;不等式在區(qū)間D上有解;不等式在區(qū)間D上有解;(4)若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大(小)值,如值域?yàn)椋瑒t對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論:不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解(5)對(duì)于任意的,總存在,使得;(6)對(duì)于任意的,總存在,使得;(7)若存在,對(duì)于任意的,使得;(8)若存在,對(duì)于任意的,使得;(9)對(duì)于任意的,使得;(10)對(duì)于任意的,使得;(11)若存在,總存在,使得(12)若存在,總存在,使得.考點(diǎn)一知圖判斷函數(shù)極值與極值點(diǎn)1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的圖象如圖所示,則等于(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)和是的根,列出方程組求得,得到,結(jié)合是函數(shù)的極值點(diǎn),即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象知:和是的根,即,解得,所以,可得,又由結(jié)合圖象可得是函數(shù)的極值點(diǎn),即是的兩個(gè)根,即是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以.故選:C.2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象,則下列判斷正確的是(

)A.在區(qū)間上,是增函數(shù)B.當(dāng)時(shí),取到極小值C.在區(qū)間上,是減函數(shù)D.在區(qū)間上,是增函數(shù)【答案】D【分析】對(duì)于ACD,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)和原函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系進(jìn)行判斷即可;對(duì)于B,根據(jù)極值點(diǎn)處左右兩邊的單調(diào)性進(jìn)行判斷.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖象知,在時(shí),,遞減,A錯(cuò);時(shí),取得極大值(函數(shù)是先增后減),B錯(cuò);時(shí),,遞增,C錯(cuò);時(shí),,遞增,D正確.故選:D.3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(

)A.是的極小值點(diǎn) B.是的極小值點(diǎn)C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.曲線在處的切線斜率小于零【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像,求得函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合極值點(diǎn)定義,即可判斷ABC選項(xiàng),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義即判斷D選項(xiàng),從而得出答案.【詳解】由圖像知,當(dāng)或時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以在區(qū)間,內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,是的極大值點(diǎn),3是的極小值點(diǎn),故ABC錯(cuò)誤;又因?yàn)椋郧€在處切線斜率小于零,故D正確.故選:D.4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示,則下列敘述正確的是(

)A.B.函數(shù)在x=c處取得最大值,在處取得最小值C.函數(shù)在x=c處取得極大值,在處取得極小值D.函數(shù)的最小值為【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定的單調(diào)性,從而比較函數(shù)值的大小及極值情況,對(duì)四個(gè)選項(xiàng)作出判斷.【詳解】由題圖可知,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又a<b<c,所以,故A不正確.因?yàn)椋耶?dāng)時(shí),;當(dāng)c<x<e時(shí),;當(dāng)x>e時(shí),.所以函數(shù)在x=c處取得極大值,但不一定取得最大值,在x=e處取得極小值,不一定是最小值,故B不正確,C正確.由題圖可知,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在[d,e]上單調(diào)遞減,從而,所以D不正確.故選:C.5.(2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,的圖象如圖所示,則(

)A.在上有增也有減B.有2個(gè)極小值點(diǎn)C.D.有1個(gè)極大值點(diǎn)【答案】D【分析】利用導(dǎo)函數(shù)圖象與函數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)的關(guān)系即可判定.【詳解】由圖可得,當(dāng),時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為,所以有1個(gè)極大值點(diǎn),1個(gè)極小值點(diǎn).故A、B錯(cuò)誤,而,C錯(cuò)誤.故選:D6.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說法正確的是(

)A. B.C.在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)極值點(diǎn) D.的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率小于0【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可得單調(diào)性,由單調(diào)性可判斷AB正誤;由極值點(diǎn)定義可知C錯(cuò)誤;由可知D錯(cuò)誤.【詳解】由圖象可知:當(dāng)和時(shí),;當(dāng)時(shí),;在,上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減;對(duì)于A,,,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,,B正確;對(duì)于C,由極值點(diǎn)定義可知:為的極大值點(diǎn);為的極小值點(diǎn),即在區(qū)間內(nèi)有個(gè)極值點(diǎn),C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,在點(diǎn)處的切線的斜率大于,D錯(cuò)誤.故選:B.考點(diǎn)二求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)(一)不含參7.(2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí))函數(shù)極值點(diǎn)為_____.【答案】/1【分析】先求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)值為零可得答案.【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)時(shí),,為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,為減函數(shù);所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).故答案為:.8.(2023·四川成都·統(tǒng)考二模)函數(shù)的極大值為______.【答案】1【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用單調(diào)性即可得出函數(shù)的極大值.【詳解】依題意,因?yàn)椋裕裕栽谏希瑔握{(diào)遞增;在上,,單調(diào)遞減.所以在處取得極大值:.故答案為:1.9.【多選】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù),則下列說法正確的是(

)A.沒有零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí),的圖象位于軸下方C.存在單調(diào)遞增區(qū)間 D.有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】BC【分析】根據(jù),求得的符號(hào),即可判斷B;利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可判斷C;再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可判斷A;再根據(jù)極值點(diǎn)的定義即可判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋睿瑒t,所以函數(shù)在上遞減,又,所以存在上,使得,即函數(shù)有唯一零點(diǎn),且,當(dāng)時(shí),,即,函數(shù)遞增,故C正確;當(dāng)時(shí),,即,函數(shù)遞減,所以為函數(shù)的極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn),即有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),故D錯(cuò)誤;所以,又,所以函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn),故A錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以,即當(dāng)時(shí),的圖象位于軸下方,故B正確.故選:BC.10.【多選】(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù),則(

)A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)D.直線是曲線的切線【答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,由函數(shù)單調(diào)性確定極值點(diǎn)和零點(diǎn),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t,令,則在上恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),,即,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,即,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)存在極小值,所以A選項(xiàng)不正確,B,C選項(xiàng)正確;由得或,因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為,同理在點(diǎn)處的切線方程為,所以D選項(xiàng)不正確.故選:BC.11.(2023·河南商丘·商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù).(1)求的極值;(2)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極小值,無極大值.(2)【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值;(2)參變分離可得對(duì)任意的,恒成立,令,,利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值,即可得解.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋郑畹茫畹茫栽谏蠁握{(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,無極大值.(2)由得,即對(duì)任意的,恒成立,令,,則,令,則,所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,,,所以當(dāng)時(shí)在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn),所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以,,因?yàn)椋裕裕驗(yàn)椋裕裕詫?shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法:一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性,常化為不等式恒成立問題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.12.【多選】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))對(duì)于函數(shù),則(

)A.有極大值,沒有極小值B.有極小值,沒有極大值C.函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)D.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】AD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo),通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而可知函數(shù)是否有極值;畫出函數(shù)與的圖象從而可判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù);函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)價(jià)于函數(shù)與圖像有兩個(gè)交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】,則,因?yàn)樵诤愠闪?所以當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增;所以在處有極大值,沒有極小值,故A正確,B錯(cuò)誤;根據(jù)的單調(diào)性,畫出函數(shù)圖像,以及的圖象,如圖:由此可知,函數(shù)與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),故C錯(cuò)誤;函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與圖像有兩個(gè)交點(diǎn),如下圖所示:由此可知,函數(shù)與圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);故D正確.故選:AD.13.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))是定義在上的函數(shù),滿足,,則下列說法正確的是()A.在上有極大值 B.在上有極小值C.在上既有極大值又有極小值 D.在上沒有極值【答案】D【分析】先由題意得,再構(gòu)造,得到,進(jìn)而再構(gòu)造,判斷出,即,由此得到選項(xiàng).【詳解】解:根據(jù)題意,,故,又,得,故,令,則,即,記,所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上遞減,在上遞增,所以,即,即,所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有極值.故選項(xiàng)ABC說法錯(cuò)誤,選項(xiàng)D說法正確.故選:D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,從而得到結(jié)果(二)含參14.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù).求函數(shù)的極值;【答案】①當(dāng)時(shí),沒有極值;②當(dāng)時(shí),有極大值,無極小值【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類討論,當(dāng)時(shí),無極值,當(dāng)時(shí)求出函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性得出極值.【詳解】,則定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí),恒成立,則為上的增函數(shù),所以沒有極值.②當(dāng)時(shí),由,得;由,得.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí),有極大值,無極小值.綜述:①當(dāng)時(shí),沒有極值;②當(dāng)時(shí),有極大值,無極小值15.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),.(1)討論的極值;(2)若不等式在上恒成立,求m的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分,和三種情況進(jìn)行分類討論,進(jìn)而求出函數(shù)的極值;(2)將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù),則,,當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞增,無極值;當(dāng)時(shí),令,得;令,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,無極小值;當(dāng)時(shí),令,得;令,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,無極大值.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)無極值;當(dāng)時(shí),,無極小值;當(dāng)時(shí),,無極大值.(2)由及,得,,即.設(shè),,當(dāng)時(shí),需.由,得,,設(shè),則,,當(dāng)時(shí),由,得,因?yàn)椋裕援?dāng)時(shí),則,即為增函數(shù),則,為增函數(shù),則,所以符合條件.當(dāng)時(shí),由,得,因?yàn)椋裕援?dāng)時(shí),,則即為減函數(shù),則,為減函數(shù),則,不符合條件.綜上所述,m的取值范圍為.16.(2023·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù).(1)求函數(shù)的極值;(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),證明:.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再分和求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)極值的定義即可得解;(2)由有兩個(gè)不同的零點(diǎn),得①,②,兩式分別相加相減,得到的兩個(gè)式子相除可得,不妨設(shè),令,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,故無極值;當(dāng)時(shí),時(shí)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故的極小值為,無極大值,綜上所述,當(dāng)時(shí),無極值;當(dāng)時(shí),的極小值為,無極大值;(2)依題意有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即有兩個(gè)不同的根,即有兩個(gè)不同的根,則①,②;①②得③,②①得④,由③④整理得,不妨設(shè),令,令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,即,即,所以,又,所以,即,令,則在上單調(diào)遞增,又,所以,即,所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題,方法如下:(1)直接構(gòu)造函數(shù)法:證明不等式(或)轉(zhuǎn)化為證明(或),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù);(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法:一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮;二是利用常見放縮結(jié)論;(3)構(gòu)造“形似”函數(shù),稍作變形再構(gòu)造,對(duì)原不等式同解變形,根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).17.(2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值點(diǎn);(2)設(shè),為的兩個(gè)極值點(diǎn),證明:.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】(1)先求出,因式分解得出,再根據(jù)的值進(jìn)行分類討論即可;(2)由有兩個(gè)極值點(diǎn),則的二階導(dǎo)數(shù)有解,得出,由得出,令,,則且,構(gòu)造(),得出,有,令(),則,得出,則,結(jié)合即可證明.【詳解】(1),①當(dāng),即時(shí),,令,得,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,故有唯一的極小值點(diǎn)1;②當(dāng),即時(shí),令,則,,(ⅰ)當(dāng)時(shí),,則,在上單調(diào)遞增,此時(shí)無極值點(diǎn);(ⅱ)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,從而有兩個(gè)極值點(diǎn),極大值點(diǎn)為,極小值點(diǎn)為1;(ⅲ)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,從而有兩個(gè)極值點(diǎn),極大值點(diǎn)為1,極小值點(diǎn)為;綜上所述,當(dāng)時(shí),有唯一的極小值點(diǎn)1;當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn),極大值點(diǎn)為,極小值點(diǎn)為1;當(dāng)時(shí),無極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn),極大值點(diǎn)為1,極小值點(diǎn)為.(2)不妨設(shè),由題得,則,設(shè),則,由,為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)可知,則在上不單調(diào),則有解,故,則,由,得,所以.因?yàn)椋裕睿瑒t,,,故,且,令(),則,則在上單調(diào)遞減,,即對(duì),有,令(),則,則,即,所以,則,即,又,所以,故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題第二問的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究()的單調(diào)性,由得出,再結(jié)合基本不等式,從而得出結(jié)論;本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,基本不等式的應(yīng)用,屬于難題.18.(2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù).(1)討論的極值;(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并求證:.【答案】(1)極大值,無極小值(2),證明見解析【分析】(1)求導(dǎo),再分和討論求解;(2)結(jié)合(1)若有兩個(gè)零點(diǎn),由,得到,再將問題轉(zhuǎn)化為,令,得到,再令,用導(dǎo)數(shù)法證明即可.【詳解】(1)由題得,①當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,故無極值;②當(dāng)時(shí),令,得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故在區(qū)間單調(diào)遞增,在區(qū)間單調(diào)遞減,此時(shí)在處取得極大值,無極小值.(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,,若有兩個(gè)零點(diǎn),則,所以,當(dāng)時(shí),,故存在,使得.又當(dāng)趨向于時(shí),趨向于,故存在,使得,故.由,得,即;要證,只需證,兩邊同乘以,得.因?yàn)椋?令,即證,即證.令,.令,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,因此在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,因此原不等式成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題第二問關(guān)鍵是由有兩個(gè)零點(diǎn),得到,,從而把問題轉(zhuǎn)化為,再兩邊同乘以進(jìn)而轉(zhuǎn)化為,令,轉(zhuǎn)化為而得證.考點(diǎn)三由極值求參數(shù)的值或范圍19.【多選】(2023·山西·統(tǒng)考二模)已知在處取得極大值3,則下列結(jié)論正確的是(

)A. B. C. D.【答案】AD【分析】根據(jù)原函數(shù)極值點(diǎn)即為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)可得,即可知,再根據(jù)極大值為3可解得或;易知當(dāng)時(shí),在處取得極小值,與題意不符,當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值,符合題意,可得,,即,即可判斷出結(jié)論.【詳解】由題意可得,且是函數(shù)的極大值點(diǎn),即,可得,又極大值為3,所以,解得或;當(dāng)時(shí),,此時(shí),時(shí),,時(shí),所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;此時(shí)函數(shù)在處取得極小值,與題意不符,即舍去;當(dāng)時(shí),,此時(shí),時(shí),,時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;此時(shí)函數(shù)在處取得極大值,符合題意,所以,,即,所以A正確,B錯(cuò)誤;此時(shí),所以,,即C錯(cuò)誤,D正確.故選:AD20.【多選】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)在處取得極值10,則下列說法正確的是(

)A. B.C.一定有兩個(gè)極值點(diǎn) D.一定存在單調(diào)遞減區(qū)間【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件,利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合極值、極值點(diǎn)求出a,b,再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得,依題意,,即,解得或,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在R上單調(diào)遞增,無極值,不符合題意,當(dāng)時(shí),,當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,因此函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在處取得極小值,符合題意,則,A不正確,B正確;函數(shù)在處取得極大值,一定有兩個(gè)極值點(diǎn),C正確;一定存在單調(diào)遞減區(qū)間,D正確.故選:BCD21.(2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模)若函數(shù)在處有極小值,則的值為______.【答案】3【分析】利用導(dǎo)數(shù)在處取到極值的必要不充分條件,從而求出值,再對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕忠驗(yàn)楹瘮?shù)在處有極小值,所以,解得或,當(dāng)時(shí),,所以時(shí),,時(shí),,所以函數(shù)在處取得極小值;當(dāng)時(shí),,所以時(shí),,時(shí),,所以函數(shù)在處取得極大值,不合題意,舍去,故答案為:.22.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)有極值,則c的取值范圍為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】求導(dǎo)得,則,由此可求答案.【詳解】解:由題意得,若函數(shù)有極值,則,解得,故選:A.23.(2023·廣西柳州·高三柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù),若函數(shù)在上有極值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕瑸槎魏瘮?shù),且對(duì)稱軸為,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,則函數(shù)在單調(diào)遞增,因?yàn)楹瘮?shù)在上有極值,所以在有解,根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知,即,解得,故答案為:.24.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)在上有唯一的極大值,則(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】由題知函數(shù)在上有唯一極大值,進(jìn)而得,再解不等式即可得答案.【詳解】解:方法一:當(dāng)時(shí),,因?yàn)楹瘮?shù)在上有唯一的極大值,所以函數(shù)在上有唯一極大值,所以,,解得.故選:C方法二:令,,則,,所以,函數(shù)在軸右側(cè)的第一個(gè)極大值點(diǎn)為,第二個(gè)極大值點(diǎn)為,因?yàn)楹瘮?shù)在上有唯一的極大值,所以,解得.故選:C25.(2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí))函數(shù)在區(qū)間上存在極值,則的最大值為(

)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋睿援?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,所以,又因?yàn)楫?dāng)時(shí),則,,所以存在唯一,使得,所以函數(shù)在時(shí),時(shí),所以函數(shù)在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,所以要使函數(shù)在區(qū)間上存在極值,所以的最大值為3,故選:B.26.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知沒有極值,則實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)沒有極值,可知無變號(hào)零點(diǎn),由二次函數(shù)性質(zhì)可知,由此可解不等式求得結(jié)果.【詳解】;在上沒有極值,,即,解得:,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:C.27.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)在上無極值,則m=______.【答案】3【分析】把題意轉(zhuǎn)化為在上恒有,對(duì)m分類討論,求出m的范圍.【詳解】函數(shù)在上無極值即導(dǎo)函數(shù)在上無根.在上恒有①;而,當(dāng)時(shí),①式解為或;顯然時(shí),①式不成立;當(dāng)時(shí),①式解為或;顯然時(shí),①式不成立;當(dāng)m-1=2時(shí),①式解為x=2,m=3.故答案為:3.28.(2023秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)校考期末)已知函數(shù),若的極小值為負(fù)數(shù),則的最小值為___________.【答案】7【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再求函數(shù)的極小值,根據(jù)條件,列不等式求的極小值.【詳解】,,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值,,因?yàn)楹瘮?shù)的極小值是負(fù)數(shù),所以,所以,因?yàn)椋缘淖钚≈凳?.故答案為:729.(2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)有極大值和極小值,則的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】由題,求導(dǎo)函數(shù),由函數(shù)有極大值和極小值,即有兩個(gè)不同解,由此,,求解即可【詳解】由題,,函數(shù)有極大值和極小值,所以有兩個(gè)不同解,所以,,解得,故選:B30.(2023·陜西西安·長(zhǎng)安一中校考二模)若函數(shù)在和,兩處取得極值,且,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)題意可得原題意等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn),再數(shù)形結(jié)合分析兩根的關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t,令,且,整理得,原題意等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn),構(gòu)建,則,令,解得;令,解得或;則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且,由圖可得:若與有兩個(gè)不同的交點(diǎn),可得:,因?yàn)椋瑒t,由圖可知:當(dāng)增大時(shí),則減小,增大,可得減小,取,令,則,因?yàn)椋獾茫裕瑒t,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:對(duì)于函數(shù)的極值問題,需要根據(jù)題意參變分離,利用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)問題,即畫出圖像分析極值點(diǎn)之間的關(guān)系,并找到臨界條件進(jìn)行分析.考點(diǎn)四由極值點(diǎn)求參數(shù)的值或范圍31.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))若是函數(shù)的極值點(diǎn),則的極小值為______.【答案】【分析】由極值點(diǎn)可知,從而求得,利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性,再根據(jù)極小值的定義即可得解.【詳解】,因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn),所以,解得,則,令,解得或,則當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,故的極小值為.故答案為:.32.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知,若不是函數(shù)的極小值點(diǎn),則下列選項(xiàng)符合的是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用數(shù)軸標(biāo)根法,畫出的草圖,對(duì)選項(xiàng)A,B,C,D逐一分析.【詳解】解:令,得.下面利用數(shù)軸標(biāo)根法畫出的草圖,借助圖象對(duì)選項(xiàng)A,B,C,D逐一分析.對(duì)選項(xiàng)A:若,由圖可知是的極小值點(diǎn),不合題意;對(duì)選項(xiàng)B:若,由圖可知不是的極小值點(diǎn),符合題意;對(duì)選項(xiàng)C:若,由圖可知是的極小值點(diǎn),不合題意;對(duì)選項(xiàng)D:若,由圖可知是的極小值點(diǎn),不合題意;故選:B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用數(shù)軸標(biāo)根法,口訣“自上而下,從右到左,奇穿偶不穿”,畫出的草圖,結(jié)合極小值點(diǎn)的定義,對(duì)選項(xiàng)A,B,C,D逐一分析,即可求解.33.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),若在區(qū)間內(nèi)沒有極值點(diǎn),則的取值范圍是___________.【答案】【分析】由題設(shè)得,根據(jù)區(qū)間內(nèi)沒有極值點(diǎn),應(yīng)用整體代入法列不等式得或且,即可求的范圍.【詳解】,∴上,沒有極值點(diǎn),∴或,∴或,而且得:,∴,或.故答案為:【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:應(yīng)用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)式,由區(qū)間內(nèi)不存在極值點(diǎn)列不等式組求參數(shù)范圍.34.(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,則“在上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“在上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【分析】結(jié)合充分、必要條件定義及極值點(diǎn)的概念即可可判斷.【詳解】只有當(dāng)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)時(shí),在上才有兩個(gè)極值點(diǎn),故充分性不成立;若在上有兩個(gè)極值點(diǎn),則在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),則在上至少有兩個(gè)零點(diǎn),故必要性不成立.綜上,“在上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“在上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的既不充分也不必要條件,故選:D.35.(2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模)已知,且函數(shù)恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)在,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】運(yùn)用整體思想法,求得的范圍,再運(yùn)用正弦函數(shù)圖象分析即可.【詳解】∵,,∴,又∵在恰有2個(gè)極大值點(diǎn),∴由正弦函數(shù)圖象可知,,解得:.故選:B.36.(2023春·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,則(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】由極值點(diǎn)定義得到,,兩式相減,結(jié)合上面的等式求出答案.【詳解】由,得,可得.因?yàn)椋詢墒阶鞑畹茫瑒t,所以,解得.故選:A37.【多選】(2023·山東泰安·統(tǒng)考一模)已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,則(

)A. B. C. D.,【答案】ACD【分析】求出,根據(jù)已知得有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),令,求出,分類討論根據(jù)其正負(fù)得出單調(diào)性,令其滿足有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),不滿足題意,當(dāng)時(shí),則,即可解出的范圍,判斷A;根據(jù)已知可得有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),,而函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則,即可判斷B;,則,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得出范圍,判斷C;根據(jù)得出函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合,且,列不等式,即可判斷D.【詳解】對(duì)于A:,定義域,,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),設(shè),則,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)單調(diào)遞增,則函數(shù)最多只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),不符合題意,故舍去;當(dāng)時(shí),時(shí),,時(shí),,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,若有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),則,解得:,此時(shí)由正趨向于時(shí),趨向于,趨向于時(shí),趨向于,則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),滿足題意,故的范圍為:,故A正確;對(duì)于B:函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,即有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),,則,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:當(dāng)時(shí),,則,即,,則,故C正確;對(duì)于D:有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),,且函數(shù)先增后減,則函數(shù)在與上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,且,,故D正確;故選:ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法:一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性,常轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理;再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值或最值時(shí),如果一次求導(dǎo)無法求解,可考慮多次求導(dǎo)來進(jìn)行求解,求解過程要注意原函數(shù)和對(duì)于的導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系,不能混淆.38.(2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模)已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義,通過構(gòu)造函數(shù),利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】由有兩個(gè)不同實(shí)根,且,設(shè),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,顯然當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,圖象如下:所以有,則有,當(dāng)時(shí),即.,時(shí),,故答案為:【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:根據(jù)函數(shù)極值的定義,結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.39.(2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考期末)已知函數(shù)將其向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到,若在上有三個(gè)極大值點(diǎn),則一定滿足的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)平移變換得函數(shù),由在上有三個(gè)極大值點(diǎn),結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得,再求的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性,由此可判斷答案.【詳解】解:有題意可得,由得,由于在上有三個(gè)極大值點(diǎn),所以,解得,當(dāng),而,故A正確,當(dāng),而,故B不正確,當(dāng),,而,故C不正確,當(dāng),,而,故D不正確,故選:A.考點(diǎn)五利用極值解決函數(shù)的零點(diǎn)問題40.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】.【分析】使用參數(shù)分離的方法,將原方程轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€與曲線相交,并且只有唯一交點(diǎn).【詳解】由,x=0不是方程的解,∴,將原方程唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€與曲線有唯一交點(diǎn),下面討論曲線的圖像:的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),

,因此y在處,取得極小值,其極小值為,當(dāng)時(shí),,即y是單調(diào)遞減的,當(dāng)x從小于0的方向趨向0的時(shí)候,y趨向于,故圖像如下圖:;故答案為:.41.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】通過分離參數(shù)得,研究函數(shù)的單調(diào)性,極值點(diǎn),零點(diǎn),從而得到其大致圖像,則得到的范圍,解出即可.【詳解】當(dāng)時(shí),此時(shí),顯然無零點(diǎn).當(dāng)時(shí),得,令,,分別令,,前者解得,,后者解得或,故在,遞減,遞增.故的極小值為,極大值為,令,顯然分母,則分子,,則有唯一零點(diǎn)0,作出大致圖像如圖所示:所以,解得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.42.【多選】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)在上恰有三個(gè)零點(diǎn),則(

)A.的最小值為 B.在上只有一個(gè)極小值點(diǎn)C.在上恰有兩個(gè)極大值點(diǎn) D.在上單調(diào)遞增【答案】BD【分析】利用函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)可求得的取值范圍,可判斷A選項(xiàng);利用極值點(diǎn)的定義可判斷BC選項(xiàng);利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)椋?dāng)時(shí),,由函數(shù)在上恰有三個(gè)零點(diǎn),所以,,解得,所以,的最小值為,A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),由A選項(xiàng)知,,則當(dāng),即時(shí),函數(shù)取得極小值,即在上只有一個(gè)極小值點(diǎn),B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)時(shí),函數(shù)在上只有一個(gè)極大值點(diǎn),C錯(cuò);對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,因?yàn)椋裕裕瘮?shù)在上單調(diào)遞增,D對(duì).故選:BD.43.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))定義在上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極值點(diǎn),則的取值范圍是_____________.【答案】【分析】依題意首先求出的大致范圍,進(jìn)而確定的范圍,根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)可得,即可求出ω的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為,由正弦型函數(shù)可知:兩個(gè)零點(diǎn)之間必存在極值點(diǎn),兩個(gè)極值點(diǎn)之間必存在零點(diǎn),則,則,注意到,解得,∵,則,由題意可得:,解得,故的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)估算的范圍;(2)求的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)列式求解.44.(2023·江西上饒·統(tǒng)考二模)已知函數(shù)在內(nèi)恰有4個(gè)極值點(diǎn)和3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】輔助角化簡(jiǎn),由已知上恰有4個(gè)極值點(diǎn)和3個(gè)零點(diǎn),數(shù)形結(jié)合列不等式求參數(shù)的范圍.【詳解】由且,因?yàn)椋裕衷趦?nèi)恰有4個(gè)極值點(diǎn)和3個(gè)零點(diǎn),由正弦函數(shù)的圖象知:,解得:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C45.(2023·全國(guó)·高三階段練習(xí))已知函數(shù),其中.(1)若的極小值為-16,求;(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù),進(jìn)而求得極小值點(diǎn),再代入求解即可.(2)畫出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像分類討論即可求得結(jié)論.【詳解】(1)由題得,其中,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,無極值;當(dāng)時(shí),令,解得或;令,解得,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,,所以當(dāng)時(shí),取得極小值,所以,解得.(2)由(1)知當(dāng)時(shí),的極小值為,的極大值為,當(dāng),即時(shí),有三個(gè)零點(diǎn),如圖①曲線;當(dāng),即時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),如圖②曲線;當(dāng),即時(shí),有一個(gè)零點(diǎn),如圖③曲線;當(dāng)時(shí),,易知有一個(gè)零點(diǎn).

綜上,當(dāng)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),有三個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)六求函數(shù)的最值(一)不含參46.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)在內(nèi)的最大值為______.【答案】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo),,將問題轉(zhuǎn)為研究的性質(zhì),設(shè),,求得恒成立,由此判斷當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,解得.【詳解】由題可得,設(shè),,因?yàn)椋裕裕裕瑔握{(diào)遞增,,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,則.故答案為:.47.(2023·安徽亳州·高三校考階段練習(xí))已知函數(shù),該函數(shù)的最大值為__________.【答案】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù),令且,則,求得,得出函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合單調(diào)性與極值,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),令且,則,從而,令,解得或,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋缘淖畲笾禐?故答案為:.48.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))若是函數(shù)的極小值點(diǎn),則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為______.【答案】/【分析】求導(dǎo),根據(jù)極值點(diǎn)可得,進(jìn)而解得或,代入驗(yàn)證極值點(diǎn)可確定,進(jìn)而根據(jù)極大值以及端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較即可求解.【詳解】由,得,因?yàn)槭呛瘮?shù)的極小值點(diǎn),所以,即,即,解得或.當(dāng)時(shí),,當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以是函數(shù)的極大值點(diǎn),不符合題意;當(dāng)時(shí),,當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以是函數(shù)的極小值點(diǎn),是函數(shù)的極大值點(diǎn),故又因?yàn)椋院瘮?shù)在的最大值為.故答案為:.49.(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·呼市二中校考模擬預(yù)測(cè))已知正數(shù)滿足,則的最小值為_________.【答案】【分析】運(yùn)用同構(gòu)函數(shù)研究其單調(diào)性可得,將求的最小值轉(zhuǎn)化為求上的最小值,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究的最小值即可.【詳解】因?yàn)椋矗裕?令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,即,所以,令.則.令,解得:;令,解得:;所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以.即的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】同構(gòu)法的三種基本模式:①乘積型,如可以同構(gòu)成,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù);②比商型,如可以同構(gòu)成,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù);③和差型,如,同構(gòu)后可以構(gòu)造函數(shù)f或.50.(2023·陜西寶雞·校考模擬預(yù)測(cè))若P,Q分別是拋物線與圓上的點(diǎn),則的最小值為________.【答案】/【分析】設(shè)點(diǎn),圓心,的最小值即為的最小值減去圓的半徑,求出的最小值即可得解.【詳解】依題可設(shè),圓心,根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值求法可知,的最小值即為的最小值減去半徑.因?yàn)椋O(shè),,由于恒成立,所以函數(shù)在上遞減,在上遞增,即,所以,即的最小值為.故答案為:.(二)含參51.(2023·江西·高三統(tǒng)考期中)已知(1)求的最值;(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求k的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】(1)求出函數(shù)的定義域,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求出最值;(2)構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,畫出函數(shù)的圖象,確定參數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)無最值.當(dāng)時(shí),在上,,單調(diào)遞增;在上,,單調(diào)遞減.所以在處取得極大值,即最大值,.綜上可知,時(shí),在上無最值.時(shí),的最大值為,無最小值.(2)有兩個(gè)零點(diǎn),可得有兩個(gè)實(shí)根.令,.令,得;令,得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減..當(dāng)時(shí),,,所以,又,時(shí),;時(shí),.大致圖象如圖所示,若直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則,∴k的取值范圍是.【點(diǎn)睛】常見的根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍的方法:1.將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù),進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù);2.根據(jù)題意直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),討論求出參數(shù)的取值范圍.52.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),,.(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的最大值;(2)確定k的所有可能取值,使得存在,對(duì)任意的,恒有.【答案】(1)答案詳見解析(2)【分析】(1)構(gòu)造函數(shù),求得,對(duì)進(jìn)行分類討論,由此求得所求的最大值.(2)對(duì)進(jìn)行分類討論,化簡(jiǎn)不等式,利用構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的值.【詳解】(1),,則,當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,又,所以恒成立,所以在上遞減,所以的最大值為.當(dāng)時(shí),在區(qū)間,遞增;在區(qū)間遞減.所以的最大值是.(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),時(shí),;當(dāng)時(shí),對(duì)任意,,要使成立,顯然.當(dāng)時(shí),,令,則,對(duì)于方程,,所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,,由于,所以,故在區(qū)間,遞增,此時(shí),即,所以滿足題意的不存在.當(dāng)時(shí),由(1)知,存在,使得對(duì)任意的恒有,此時(shí),令,,對(duì)于方程,,所以方程兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,,由于,所以,所以在區(qū)間遞增,此時(shí)即,即與中較小者為,則當(dāng)時(shí),恒有,所以滿足題意的不存在.當(dāng)時(shí),由(1)知當(dāng)時(shí),,令,,所以當(dāng)時(shí),遞減,所以在區(qū)間上,故當(dāng)時(shí),恒有,此時(shí)任意實(shí)數(shù)滿足題意.綜上所述,.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)時(shí),要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,分類討論要做到不重不漏.當(dāng)所要研究的函數(shù)含有絕對(duì)值時(shí),可對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的式子的符號(hào)進(jìn)行分類討論,去絕對(duì)值,將式子轉(zhuǎn)化為沒有絕對(duì)值的形式來進(jìn)行研究.53.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),求在內(nèi)的最大值;(3)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)(3)有且僅有1個(gè)零點(diǎn).【分析】(1)求導(dǎo)即可判斷其單調(diào)性;(2)根據(jù)題意,求導(dǎo)得,可得,從而可得;(3)根據(jù)題意,求導(dǎo)可得,分,分別討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值即可得到零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,,且.當(dāng)時(shí),,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2),令,則,由且,可得,,則,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以,又當(dāng)時(shí),,所以,在內(nèi)單調(diào)遞增,故.(3)當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)椋瑒t,,當(dāng)時(shí),,則,,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令,則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,則,因?yàn)椋裕瑒t,所以,則,所以,,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.綜上可知,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,且,故當(dāng)時(shí),函數(shù)在其定義域內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)七由函數(shù)的最值求參數(shù)問題54.(2023·陜西寶雞·校考模擬預(yù)測(cè))當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,則()A. B. C. D.1【答案】C【分析】根據(jù)條件列方程組求出a和b.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?/p>

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