導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)規(guī)則_第1頁
導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)規(guī)則_第2頁
導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)規(guī)則_第3頁
導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)規(guī)則_第4頁
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導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)規(guī)則一、導(dǎo)數(shù)的定義1.1極限的概念:當(dāng)自變量x趨近于某一數(shù)值a時,函數(shù)f(x)趨近于某一數(shù)值L,即稱f(x)當(dāng)x趨近于a時的極限為L,記作:lim(x→a)f(x)=L1.2導(dǎo)數(shù)的定義:函數(shù)f(x)在點x=a處的導(dǎo)數(shù),記作f’(a)或df/dx|_{x=a},表示函數(shù)在某一點的瞬時變化率。定義如下:二、求導(dǎo)規(guī)則2.1常數(shù)倍法則:如果u(x)是可導(dǎo)函數(shù),c是一個常數(shù),則cu(x)也是可導(dǎo)函數(shù),且(cu(x))’=c*u’(x)。2.2冪函數(shù)求導(dǎo)法則:如果u(x)=x^n,其中n為常數(shù),則u’(x)=n*x^(n-1)。2.3乘積法則:如果u(x)和v(x)都是可導(dǎo)函數(shù),則(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)。2.4商法則:如果u(x)和v(x)都是可導(dǎo)函數(shù),且v(x)≠0,則(u(x)/v(x))’=(u’(x)v(x)-u(x)v’(x))/(v(x))^2。2.5和差法則:如果u(x)和v(x)都是可導(dǎo)函數(shù),則(u(x)+v(x))’=u’(x)+v’(x),(u(x)-v(x))’=u’(x)-v’(x)。2.6鏈?zhǔn)椒▌t:如果y=f(u),u=g(x),則y關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)可以表示為dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。2.7復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果y=f(g(x)),則y關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)可以表示為dy/dx=(df/dg)*(dg/dx)。2.8高階導(dǎo)數(shù):如果f’(x)是f(x)的一階導(dǎo)數(shù),則f’‘(x)是f’(x)的一階導(dǎo)數(shù),以此類推。2.9隱函數(shù)求導(dǎo)法則:如果方程F(x,y)=0表示隱函數(shù),則y關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)可以表示為(dy/dx)=-F_x/F_y,其中F_x和F_y分別是F(x,y)對x和y的偏導(dǎo)數(shù)。三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1函數(shù)的單調(diào)性:如果f’(x)>0,則f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f’(x)<0,則f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。3.2函數(shù)的極值:如果f’(x)=0,且f’‘(x)>0,則f(x)在x處取得極小值;如果f’(x)=0,且f’’(x)<0,則f(x)在x處取得極大值。3.3曲線的凹凸性:如果f’‘(x)>0,則曲線在該區(qū)間內(nèi)凹;如果f’’(x)<0,則曲線在該區(qū)間內(nèi)凸。3.4曲線的拐點:如果f’’(x)由正變負,則曲線在x處由凹變凸,稱為拐點。3.5優(yōu)化問題:求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值,可以通過求導(dǎo)數(shù)的方法找到臨界點,再通過二階導(dǎo)數(shù)判斷極值。3.6物理應(yīng)用:導(dǎo)數(shù)可以表示物體在某一時刻的瞬時速度和加速度,應(yīng)用于物理學(xué)中的運動學(xué)問題。導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)中的重要概念,表示函數(shù)在某一點的瞬時變化率。掌握導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)規(guī)則,可以幫助我們更好地理解和應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì),解決實際問題。通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù),我們可以培養(yǎng)邏輯思維能力、習(xí)題及方法:習(xí)題:求函數(shù)f(x)=x^3在點x=2處的導(dǎo)數(shù)。答案:f’(2)=3*2^2=12解題思路:根據(jù)冪函數(shù)求導(dǎo)法則,對f(x)=x^3求導(dǎo),得到f’(x)=3*x^2,然后將x=2代入求得f’(2)。習(xí)題:求函數(shù)f(x)=x^2-3x+2的導(dǎo)數(shù)。答案:f’(x)=2x-3解題思路:根據(jù)和差法則,對f(x)=x^2-3x+2求導(dǎo),得到f’(x)=2x-3。習(xí)題:求函數(shù)f(x)=(x^2+1)/(x-1)的導(dǎo)數(shù)。答案:f’(x)=(2x-1)/(x-1)^2解題思路:根據(jù)商法則,對f(x)=(x^2+1)/(x-1)求導(dǎo),得到f’(x)=(2x-1)/(x-1)^2。習(xí)題:求函數(shù)f(x)=sin(x)的導(dǎo)數(shù)。答案:f’(x)=cos(x)解題思路:根據(jù)三角函數(shù)求導(dǎo)法則,對f(x)=sin(x)求導(dǎo),得到f’(x)=cos(x)。習(xí)題:求函數(shù)f(x)=cos(x)的導(dǎo)數(shù)。答案:f’(x)=-sin(x)解題思路:根據(jù)三角函數(shù)求導(dǎo)法則,對f(x)=cos(x)求導(dǎo),得到f’(x)=-sin(x)。習(xí)題:求函數(shù)f(x)=e^x的導(dǎo)數(shù)。答案:f’(x)=e^x解題思路:根據(jù)指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法則,對f(x)=e^x求導(dǎo),得到f’(x)=e^x。習(xí)題:求函數(shù)f(x)=ln(x)的導(dǎo)數(shù)。答案:f’(x)=1/x解題思路:根據(jù)對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法則,對f(x)=ln(x)求導(dǎo),得到f’(x)=1/x。習(xí)題:求函數(shù)f(x)=sin(2x)的導(dǎo)數(shù)。答案:f’(x)=2cos(2x)解題思路:根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,對f(x)=sin(2x)求導(dǎo),得到f’(x)=2cos(2x)。以上是八道習(xí)題及其答案和解題思路,涵蓋了導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)規(guī)則。通過這些習(xí)題的練習(xí),可以加深對導(dǎo)數(shù)概念和求導(dǎo)方法的理解,提高解題能力。其他相關(guān)知識及習(xí)題:一、導(dǎo)數(shù)的極限定義1.1極限的概念:當(dāng)自變量x趨近于某一數(shù)值a時,函數(shù)f(x)趨近于某一數(shù)值L,即稱f(x)當(dāng)x趨近于a時的極限為L,記作:lim(x→a)f(x)=L求極限lim(x→0)(sin(x)/x)。解題思路:利用三角函數(shù)的極限公式sin(x)/x=1,得到極限值為1。二、導(dǎo)數(shù)的物理意義2.1瞬時速度:物體在某一點瞬時速度v可以表示為位移s對時間t的導(dǎo)數(shù),即v=ds/dt。一質(zhì)點做直線運動,位移s(t)=3t^2-2t+1,求瞬時速度v(t)。答案:v(t)=6t-2解題思路:對位移函數(shù)s(t)求導(dǎo),得到瞬時速度函數(shù)v(t)=6t-2。三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1函數(shù)的單調(diào)性:如果f’(x)>0,則f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f’(x)<0,則f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。判斷函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,2]上的單調(diào)性。答案:在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增。解題思路:求一階導(dǎo)數(shù)f’(x)=3x^2-6x,分析導(dǎo)數(shù)的正負變化,得出單調(diào)性結(jié)論。四、高階導(dǎo)數(shù)4.1二階導(dǎo)數(shù):函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f’(x)的二階導(dǎo)數(shù)為f’’(x)。求函數(shù)f(x)=x^3的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。答案:f’(x)=3x^2,f’’(x)=6x解題思路:先求一階導(dǎo)數(shù)f’(x)=3x^2,再求二階導(dǎo)數(shù)f’’(x)=6x。五、曲線的凹凸性和拐點5.1凹凸性:如果f’‘(x)>0,則曲線在該區(qū)間內(nèi)凹;如果f’’(x)<0,則曲線在該區(qū)間內(nèi)凸。判斷函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的凹凸性。答案:在區(qū)間[-1,1]上凸,在區(qū)間[1,3]上凹。解題思路:求二階導(dǎo)數(shù)f’’(x)=6x-6,分析導(dǎo)數(shù)的正負變化,得出凹凸性結(jié)論。六、優(yōu)化問題6.1函數(shù)的最大值和最小值:求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值,可以通過求導(dǎo)數(shù)的方法找到臨界點,再通過二階導(dǎo)數(shù)判斷極值。求函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值。答案:最小值為-1,最大值為3。解題思路:求一階導(dǎo)數(shù)f’(x)=2x-4,找到臨界點x=2,再求二階導(dǎo)數(shù)f’’(x)=2,判斷極值為最小值。以上闡述

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