方程思想在解三角形中的應(yīng)用方程思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構(gòu)造方程來(lái)分析數(shù)學(xué)變量問的等量關(guān)系，通過解方程（組），或運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決。孰練運(yùn)用方程思想解決數(shù)學(xué)問題是高中階段重要的數(shù)學(xué)能力之一，也是歷年高考的重點(diǎn)。在解三角形的學(xué)習(xí)中,尤其注重對(duì)方程思想的考查,例如方程思想在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息解三角形，在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息求長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積等最值，在“雙正弦”及“雙余弦”類解三角形中都有廣泛的重要應(yīng)用，而本文會(huì)重點(diǎn)就方程思想思想在解三角形中的幾類應(yīng)用展開詳細(xì)講解。【應(yīng)用一】方程思想在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息解三角形中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)解三角形時(shí)，會(huì)遇到已知邊角關(guān)系、周長(zhǎng)面積關(guān)系來(lái)解三角形，求出其他對(duì)應(yīng)元素或?qū)?yīng)值，此時(shí)我們常常借助正余弦定理來(lái)綜合解題，在使用正余弦定理解題時(shí)，我們經(jīng)常說(shuō)：“由正弦定理可得”，得到一個(gè)方程，“由余弦定理可得”，再得到一個(gè)方程，或者說(shuō)：“由周長(zhǎng)或面積關(guān)系”，得到一個(gè)方程，而此時(shí)我們需要把一個(gè)方程或多個(gè)方程聯(lián)立求解，這就是數(shù)學(xué)中常見的方程思想，也是解三角形中常見的重要數(shù)學(xué)思想，接下來(lái)我們會(huì)分類學(xué)習(xí)方程思想在解三角形中的應(yīng)用，首先學(xué)習(xí)方程思想在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息解三角形中的應(yīng)用，例如下面這道例題：【例1】（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為、、，已知（1）求角的大小；（2）若的面積為，且，求，.本題是模考或高考中解三角形較常規(guī)的題型，解題關(guān)鍵突破口在于運(yùn)用已知條件列式求解，第一問由正弦定理的邊角互化可求得；第二問已知三角形面積為，此時(shí)我們利用面積公式來(lái)把面積關(guān)系表示出來(lái)，面積公式有關(guān)于三邊高及三個(gè)角的，我們?cè)撊绾芜x擇求解公式呢？其實(shí)題目中已知或求解出哪個(gè)角，我們便可以選擇使用關(guān)于這個(gè)角的面積公式，即，可解到，我們記為方程①；通過觀察發(fā)現(xiàn)第二問題干還已知了，結(jié)合，這類已知對(duì)邊對(duì)角且要求解另外兩邊的問題，我們選擇余弦定理求解，即，解得，我們記為方程②，此時(shí)聯(lián)立方程組便可求解【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息解三角形時(shí)，我們都可以使用方程思想，列式聯(lián)立方程求解即可，通過學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究解三角形中其他形式的求值問題【變式1.1】（2023·廣東·高三聯(lián)考）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，且，則（

）A． B．4 C． D．5【變式1.2】（2023·黑龍江·高三統(tǒng)考）在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知．（1）求的值；（2）若的面積為，，求、的值．【變式1.3】（2023·湖北武漢高三模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、，，.(1)求；(2)若，求的周長(zhǎng).【應(yīng)用二】方程思想在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息求長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積等最值中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)解三角形時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到關(guān)于角度、三角函數(shù)值、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積的最值求解，若能轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)，我們可以求出值域從而得到最值范圍，但有些題不能轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)或轉(zhuǎn)換后不易求解，那么此時(shí)我們又該怎樣求解最值及范圍呢？其實(shí)我們可以借助基本不等式來(lái)求解最值，首先補(bǔ)充下基本不等式的相關(guān)公式及應(yīng)用，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，或?qū)懗桑?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；有時(shí)我們也會(huì)使用到重要不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。其實(shí)在使用基本（重要）不等式求解最值時(shí)，就是方程思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，例如下面這道例題：【例2】（2023·全國(guó)·高三模擬預(yù)測(cè)改編）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則△ABC面積的最大值為．周長(zhǎng)的最大值為．本題是模考或高考中解三角形較常規(guī)的題型，解題關(guān)鍵突破口在于運(yùn)用已知條件列式求解得到關(guān)于“、或”的表達(dá)式，由結(jié)合三角形內(nèi)角和關(guān)系及倍角公式可解得，利用余弦定理于是我們得到，即，再結(jié)合重要不等式，即解得，進(jìn)而可求得面積最大值。那么周長(zhǎng)的最大值又該如何求解呢？其實(shí)要求周長(zhǎng)最大值，等價(jià)于求解的最大值，我們需要去建立關(guān)于“”的式子，由，即，即，，故，進(jìn)而可求得周長(zhǎng)最值【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于周長(zhǎng)及面積類最值，我們都可以使用方程思想，列式得到關(guān)于“、或”的表達(dá)式，進(jìn)而通過基本不等式及重要不等式可求解，通過學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究解三角形中其他形式的最值問題【變式2.1】（2023·陜西·統(tǒng)考二模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．若的面積為，則的最小值為．【變式2.2】（2023·全國(guó)·高三模擬）記的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若，求的面積的最大值.【變式2.3】（2023·湖南·高三模擬）在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且，．(1)若，求的面積；(2)求周長(zhǎng)的最大值．【應(yīng)用三】方程思想在“雙正弦”及“雙余弦”類解三角形中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)解三角形時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到有公共邊或互補(bǔ)角的直觀的圖形類或文字類的三角形求解，我們經(jīng)常在不同的三角形中由正弦定理或余弦定理列方程，再通過兩個(gè)三角形的邊角關(guān)系可聯(lián)立方程求解，其實(shí)這類思想就是數(shù)學(xué)中的方程思想，例如下面這兩道例題：【例3.1】（2023·江蘇·高三模擬）已知四邊形是由和拼接而成的，且在中，.（1）求角的大小；（2）若，，，，求的長(zhǎng).本題第一問由題干條件和余弦定理解得；第二問中由四邊形ABCD內(nèi)角和可求得，可設(shè)，則，所以，在中和在中分別由正弦定理列方程得①，②，聯(lián)立方程即可求解【例3.2】（2023·重慶·高三重慶一中校考）如圖，在中，若，D為邊上一點(diǎn)，，，，則．

本題第由題干條件和正弦定理解得，可設(shè)，則，在中和在中分別由余弦定理列方程得①，②，再結(jié)合，即（），解方程即可求解【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于有公共邊或互補(bǔ)角的直觀的圖形類或文字類的三角形求解，我們可以在不同的三角形中由正弦定理或余弦定理列方程，再通過兩個(gè)三角形的邊角關(guān)系可聯(lián)立方程求解，通過學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究解三角形中其他較復(fù)雜的雙正余弦問題【變式3.1】（2023·上海·高三模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求角；(2)若為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求.【變式3.2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，求．【變式3.3】（2023春·高三模擬）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足，(1)求；(2)是線段邊上的點(diǎn)，若，求的面積.【變式3.4】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）在中，，D為中點(diǎn)，.(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求的長(zhǎng).鞏固練習(xí)1．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中校考一模）中，分別是角的對(duì)邊，成等差數(shù)列，，的面積為，那么=．2．（2023·廣東·高三校考）已知中，，若，則周長(zhǎng)的最大值為.3．（2023遼寧大連·高二校考開學(xué)考試）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）證明：；（2）記線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為，若，，求.4．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).5．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考三模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)求的最小值.6．（2023春·安徽安慶·高一安慶一中校考階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且.(1)求證：；(2)若求面積.7．（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足.(1)求角的大小；(2)若為邊的中點(diǎn)，且，求的面積.8．（2023春·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，中，若角所對(duì)的邊分別是.(1)證明：；(2)若，求的面積.9．（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)D在BC上，滿足AD＝BC，．(1)求證：AB，AD，AC成等比數(shù)列；(2)若，求．10．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．(1)求面積的最大值；(2)若，求的周長(zhǎng)．方程思想在解三角形中的應(yīng)用方程思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構(gòu)造方程來(lái)分析數(shù)學(xué)變量問的等量關(guān)系，通過解方程（組），或運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決。孰練運(yùn)用方程思想解決數(shù)學(xué)問題是高中階段重要的數(shù)學(xué)能力之一，也是歷年高考的重點(diǎn)。在解三角形的學(xué)習(xí)中,尤其注重對(duì)方程思想的考查,例如方程思想在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息解三角形，在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息求長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積等最值，在“雙正弦”及“雙余弦”類解三角形中都有廣泛的重要應(yīng)用，而本文會(huì)重點(diǎn)就方程思想思想在解三角形中的幾類應(yīng)用展開詳細(xì)講解。【應(yīng)用一】方程思想在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息解三角形中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)解三角形時(shí)，會(huì)遇到已知邊角關(guān)系、周長(zhǎng)面積關(guān)系來(lái)解三角形，求出其他對(duì)應(yīng)元素或?qū)?yīng)值，此時(shí)我們常常借助正余弦定理來(lái)綜合解題，在使用正余弦定理解題時(shí)，我們經(jīng)常說(shuō)：“由正弦定理可得”，得到一個(gè)方程，“由余弦定理可得”，再得到一個(gè)方程，或者說(shuō)：“由周長(zhǎng)或面積關(guān)系”，得到一個(gè)方程，而此時(shí)我們需要把一個(gè)方程或多個(gè)方程聯(lián)立求解，這就是數(shù)學(xué)中常見的方程思想，也是解三角形中常見的重要數(shù)學(xué)思想，接下來(lái)我們會(huì)分類學(xué)習(xí)方程思想在解三角形中的應(yīng)用，首先學(xué)習(xí)方程思想在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息解三角形中的應(yīng)用，例如下面這道例題：【例1】（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為、、，已知（1）求角的大小；（2）若的面積為，且，求，.本題是模考或高考中解三角形較常規(guī)的題型，解題關(guān)鍵突破口在于運(yùn)用已知條件列式求解，第一問由正弦定理的邊角互化可求得；第二問已知三角形面積為，此時(shí)我們利用面積公式來(lái)把面積關(guān)系表示出來(lái)，面積公式有關(guān)于三邊高及三個(gè)角的，我們?cè)撊绾芜x擇求解公式呢？其實(shí)題目中已知或求解出哪個(gè)角，我們便可以選擇使用關(guān)于這個(gè)角的面積公式，即，可解到，我們記為方程①；通過觀察發(fā)現(xiàn)第二問題干還已知了，結(jié)合，這類已知對(duì)邊對(duì)角且要求解另外兩邊的問題，我們選擇余弦定理求解，即，解得，我們記為方程②，此時(shí)聯(lián)立方程組便可求解【答案】（1）；（2），或，【解析】（1）由正弦定理和題設(shè)條件，化簡(jiǎn)整理得，得到，即可求解角的大小；（2）由三角形的面積公式，求得，再由余弦定理，得到，進(jìn)而求得，聯(lián)立方程組，即可求得的值.【詳解】（1）在中，因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫矗驗(yàn)椋裕矗忠驗(yàn)椋傻茫裕钟桑?（2）由三角形的面積公式，可得，解得，因?yàn)椋傻茫裕矗桑獾没颍剩颍?【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息解三角形時(shí)，我們都可以使用方程思想，列式聯(lián)立方程求解即可，通過學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究解三角形中其他形式的求值問題【變式1.1】（2023·廣東·高三聯(lián)考）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，且，則（

）A． B．4 C． D．5【答案】B【解析】由三角函數(shù)的基本關(guān)系式和，求得，再由正弦定理，得到，根據(jù)余弦定理，列出方程，即可求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，又因?yàn)椋矗獾茫钟桑鶕?jù)正弦定理，可得，由余弦定理，可得，整理得，即.故選：B.【變式1.2】（2023·黑龍江·高三統(tǒng)考）在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知．（1）求的值；（2）若的面積為，，求、的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）將題干中的等式變形為，利用余弦定理可求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理列出關(guān)于、的方程組，解出即可.【詳解】（1）將等式變形為，由余弦定理得，，故；（2）由題意有：，整理得，解得或．【變式1.3】（2023·湖北武漢高三模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、，，.(1)求；(2)若，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦的和差角公式，結(jié)合正弦定理即可求解，（2）由余弦定理即可求解.【詳解】（1）由得,由余弦和差角化簡(jiǎn)得，由正弦定理可得，由于，所以，因此或，若則,則由得不符合題意，舍去，故，（2）由余弦定理可得，所以，將代入可得，由于，所以，故周長(zhǎng)為.【應(yīng)用二】方程思想在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息求長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積等最值中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)解三角形時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到關(guān)于角度、三角函數(shù)值、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積的最值求解，若能轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)，我們可以求出值域從而得到最值范圍，但有些題不能轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)或轉(zhuǎn)換后不易求解，那么此時(shí)我們又該怎樣求解最值及范圍呢？其實(shí)我們可以借助基本不等式來(lái)求解最值，首先補(bǔ)充下基本不等式的相關(guān)公式及應(yīng)用，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，或?qū)懗桑?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；有時(shí)我們也會(huì)使用到重要不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。其實(shí)在使用基本（重要）不等式求解最值時(shí)，就是方程思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，例如下面這道例題：【例2】（2023·全國(guó)·高三模擬預(yù)測(cè)改編）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則△ABC面積的最大值為．周長(zhǎng)的最大值為．本題是模考或高考中解三角形較常規(guī)的題型，解題關(guān)鍵突破口在于運(yùn)用已知條件列式求解得到關(guān)于“、或”的表達(dá)式，由結(jié)合三角形內(nèi)角和關(guān)系及倍角公式可解得，利用余弦定理于是我們得到，即，再結(jié)合重要不等式，即解得，進(jìn)而可求得面積最大值。那么周長(zhǎng)的最大值又該如何求解呢？其實(shí)要求周長(zhǎng)最大值，等價(jià)于求解的最大值，我們需要去建立關(guān)于“”的式子，由，即，即，，故，進(jìn)而可求得周長(zhǎng)最值【答案】、【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角恒等變換可得，再根據(jù)余弦定理、重要不等式與基本不等式求解面積及周長(zhǎng)最大值即可.【詳解】由正弦定理，即，又，故，即.由二倍角公式有，因?yàn)椋剩裕裕?由余弦定理，即，結(jié)合重要不等式有，解得，所以面積最大值為結(jié)合基本不等式有，即，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故△ABC周長(zhǎng)的最大值為的最大值為.故答案為：、【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于周長(zhǎng)及面積類最值，我們都可以使用方程思想，列式得到關(guān)于“、或”的表達(dá)式，進(jìn)而通過基本不等式及重要不等式可求解，通過學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究解三角形中其他形式的最值問題【變式2.1】（2023·陜西·統(tǒng)考二模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．若的面積為，則的最小值為．【答案】【分析】利用正弦定理結(jié)三角函數(shù)恒等變換公式對(duì)已知的式子化簡(jiǎn)可求出，然后由的面積為，可求出，再利用基本不等式可求出的最小值【詳解】由正弦定理，得．，，因?yàn)椋裕裕驗(yàn)樗运裕矗驗(yàn)榈拿娣e為，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為．故答案為：【變式2.2】（2023·全國(guó)·高三模擬）記的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若，求的面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理邊化角以及余弦定理求解；(2)利用基本不等式和面積公式求解.【詳解】（1）由，得，由正弦定理，得.由余弦定理，得.又，所以.（2）由余弦定理，，所以，∵，∴，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.所以三角形的面積.所以三角形面積的最大值為.【變式2.3】（2023·湖南·高三模擬）在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且，．(1)若，求的面積；(2)求周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）法一：由正弦定理得出，再由余弦定理得出，進(jìn)而求出面積；法二：由余弦定理求出，，進(jìn)而求出面積；（2）法一：由正弦定理的邊化角公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出周長(zhǎng)的最大值；法二：由余弦定理結(jié)合基本不等式得出周長(zhǎng)的最大值.【詳解】（1）法一：∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．由余弦定理得：，，，∴或4，∴或．綜上，的面積為或.法二：由余弦定理得，，∴，∴，∵，．由余弦定理得：，，，∴或4，∴或．綜上，的面積為或.（2）法一：由正弦定理得：，,其中，所以當(dāng)時(shí)，；法二：由余弦定理得：∵，∴，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值．【應(yīng)用三】方程思想在“雙正弦”及“雙余弦”類解三角形中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)解三角形時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到有公共邊或互補(bǔ)角的直觀的圖形類或文字類的三角形求解，我們經(jīng)常在不同的三角形中由正弦定理或余弦定理列方程，再通過兩個(gè)三角形的邊角關(guān)系可聯(lián)立方程求解，其實(shí)這類思想就是數(shù)學(xué)中的方程思想，例如下面這兩道例題：【例3.1】（2023·江蘇·高三模擬）已知四邊形是由和拼接而成的，且在中，.（1）求角的大小；（2）若，，，，求的長(zhǎng).本題第一問由題干條件和余弦定理解得；第二問中由四邊形ABCD內(nèi)角和可求得，可設(shè)，則，所以，在中和在中分別由正弦定理列方程得①，②，聯(lián)立方程即可求解【答案】（1）；（2）.【分析】（1）題設(shè)中的邊的關(guān)系可化為，從而可用余弦定理求得角的大小.（2）設(shè)，則在和中分別利用正弦定理構(gòu)建關(guān)于的方程組，解方程后可得的長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)椋剩剩?（2）因?yàn)椋?設(shè)，則，所以.在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，所以，整理得到，因?yàn)殇J角，故，故.【例3.2】（2023·重慶·高三重慶一中校考）如圖，在中，若，D為邊上一點(diǎn)，，，，則．

本題第由題干條件和正弦定理解得，可設(shè)，則，在中和在中分別由余弦定理列方程得①，②，再結(jié)合，即（），解方程即可求解【答案】6【分析】利用正弦定理解出，再利用，結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】中，由正弦定理得，，則，設(shè)，則，又中，由余弦定理得．在中，由余弦定理得，又因?yàn)椋矗海瑒t，故．故答案為：6.【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于有公共邊或互補(bǔ)角的直觀的圖形類或文字類的三角形求解，我們可以在不同的三角形中由正弦定理或余弦定理列方程，再通過兩個(gè)三角形的邊角關(guān)系可聯(lián)立方程求解，通過學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究解三角形中其他較復(fù)雜的雙正余弦問題【變式3.1】（2023·上海·高三模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求角；(2)若為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求.【答案】(1)(2)【分析】(1)運(yùn)用正弦定理以及誘導(dǎo)公式求解；(2)根據(jù)條件運(yùn)用正弦定理求解.【詳解】（1）由條件及正弦定理可得：，即故，則有，又，故有，或（舍去），或（舍去），則，又，所以；（2）設(shè)，在和中，由正弦定理可得于是，又，則，，；綜上，，.【變式3.2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，求．【答案】(1)詳見解析；(2)【分析】（1）先利用余弦定理由得到，再利用正弦定理由即可求得；（2）先利用余弦定理求得，進(jìn)而利用余弦定理求得【詳解】（1）在中，，則整理得，則又，則在中，由正弦定理得，則在中，由正弦定理得，則則則（2）由，可得，又則由可得，解之得又，則，由，可得則【變式3.3】（2023春·高三模擬）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足，(1)求；(2)是線段邊上的點(diǎn)，若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦函數(shù)的倍角公式與誘導(dǎo)公式將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，解之即可求得；（2）在、與中，利用余弦定理及誘導(dǎo)公式得到關(guān)于的方程組，從而求得，從而利用三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋裕矗郑裕郑裕瑒t，故，又，所以.（2）設(shè)，，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又，，所以，，整理得①，在中，由余弦定理得，則②，由①－②得，故，將代入①式得，所以的面積..【變式3.4】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）在中，，D為中點(diǎn)，.(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求的長(zhǎng).【答案】(1)2(2)【分析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案；（2）設(shè)，由正弦定理求得，結(jié)合，以及，可推出，再由，推出，聯(lián)立解方程可得答案.【詳解】（1）在中，，則，在中，，所以.（2）設(shè)，在和中，由正弦定理得，，又，得，在中，，由，有，所以，整理得：，①又由，整理得：，②聯(lián)立①②得，，即.，解得或，又，故，所以.鞏固練習(xí)1．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中校考一模）中，分別是角的對(duì)邊，成等差數(shù)列，，的面積為，那么=．【答案】【詳解】試題分析：由，的面積為可知,即,又成等差數(shù)列,即,兩邊同時(shí)平方得即,又由余弦定理可知即,將兩式相減得即,所以答案為.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)與三角形面積公式和余弦定理2．（2023·廣東·高三校考）已知中，，若，則周長(zhǎng)的最大值為.【答案】/【分析】先對(duì)已知式子利用正弦定理統(tǒng)一成邊的形式，然后利用余弦定理可求出角，再利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求出的最大值，從而可求出三角形周長(zhǎng)的最大值【詳解】由正弦定理可得：，∴，∵，∴.由余弦定理得：，即.∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），∴，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），∴周長(zhǎng)，∴周長(zhǎng)的最大值為.故答案為：3．（2023遼寧大連·高二校考開學(xué)考試）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）證明：；（2）記線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為，若，，求.【答案】（1）證明見解析；（2）6.【分析】（1）由正弦定理得，整理得，可得證.（2）設(shè)，則，由余弦定理和，可得，可求得c.【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫淼?因?yàn)椋裕?（2）設(shè)，則，由余弦定理可得，.因?yàn)椋裕獾茫?4．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)6【分析】（1）已知，由正弦定理和輔助角公式可得，解得.（2）由余弦定理和三角形面積公式，可解求，，則得到周長(zhǎng).【詳解】（1）中，已知，由正弦定理可得，∵，∴，△ABC中，，∴，∴.（2），的面積為，∴，解得.由余弦定理可得：化為.聯(lián)立，解得∴，所以周長(zhǎng)為6.5．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考三模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解的值；（2）由（1）利用余弦定理以及基本不等式即可求解．【詳解】（1）由余弦定理知，則所以，所以，則又因?yàn)椋裕淼茫谥校裕?）由（1）知，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．6．（2023春·安徽安慶·高一安慶一中校考階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且.(1)求證：；(2)若求面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由余弦定理先化簡(jiǎn)得，再由正弦定理邊角互化計(jì)算即可；（2）在和中用余弦定理結(jié)合（1）的結(jié)論先化簡(jiǎn)得，再由與余弦定理可得，聯(lián)立解方程可得可得，由面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）在中，，則，整理得，則，又，則，則，