第11講用公式法求解一元二次方程模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，能熟練應用公式法解一元二次方程；2．會用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數的取值范圍；知識點一．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當時，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無實根.知識點二、一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即；（1）當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根；（2）當△=0時，一元二次方程有2個相等的實數根；（3）當△<0時，一元二次方程沒有實數根.要點：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計算的值；④根據的符號判定方程根的情況.2.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數根﹥0；（2）方程有兩個相等的實數根=0；（3）方程沒有實數根﹤0.要點：（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個實數根則≥0.考點一：利用用公式法還原一元二次方程例1．（23-24八年級下·全國·假期作業）在用求根公式解方程的過程中，，，的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式1-1】（23-24八年級下·安徽安慶·期中）若關于的一元二次方程的根為，則這個方程是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024八年級下·浙江·專題練習）是下列哪個一元二次方程的根（）A． B．C． D．【變式1-3】（2024·河北石家莊·一模）若是一元二次方程的根，則（

）A． B．4 C．2 D．0考點二：求一元二次方程中判別式的值例2.（23-24九年級上·山東德州·階段練習）在公式法解方程時，的值是（

）A．16 B．24 C．72 D．64【變式2-1】（22-23九年級上·廣東梅州·階段練習）用公式法解一元二次方程時，計算的結果為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24八年級下·安徽安慶·階段練習）當用公式法解方程時，的值為（

）A．2 B． C．17 D．【變式2-3】（22-23九年級上·山東德州·階段練習）在公式法解方程時，的值是（

）A．16 B．4 C．32 D．64考點三：用公式法求解一元二次方程例3.（23-24八年級下·吉林長春·期中）解方程：．【變式3-1】（23-24九年級上·四川涼山·階段練習）用公式法解方程：．【變式3-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）解方程：【變式3-3】（23-24八年級下·全國·假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．考點四：用公式法解一元二次方程的錯題復原問題例4.（2024九年級下·全國·專題練習）小明在解方程的過程中出現了錯誤，其解答如下：解：，，，第一步，第二步，第三步，．第四步(1)問：小明的解答是從第______步開始出錯的；(2)請寫出本題正確的解答．【變式4-1】（23-24八年級下·全國·假期作業）解方程，某位同學的解答過程如下：解：∵，，，∴，∴，∴，.請你分析以上解答過程有無錯誤，如有錯誤，指出錯誤的地方，并寫出正確的結果.【變式4-2】（22-23九年級下·河北邢臺·開學考試）嘉淇在用公式法解方程時出現了錯誤，解答過程如下所示：解方程解：

（第一步）

（第二步）∴原方程無實數根

（第三步）(1)嘉淇的解答過程從第__________步開始出錯的，其錯誤的原因是__________；(2)請你寫出此題的正確的求解過程．【變式4-3】（22-23八年級下·北京門頭溝·期末）閱讀材料，并回答問題：小明在學習一元二次方程時，解方程的過程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無解問題：(1)上述過程中，從步開始出現了錯誤（填序號）；(2)發生錯誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．考點五：根據判別式判斷一元二次方程根的情況例5.（23-24九年級下·云南昆明·階段練習）已知關于x的一元二次方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．無法確定【變式5-1】（2024·河南周口·三模）關于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．沒有實數根 B．只有一個實數根C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根【變式5-2】（2024·上海·中考真題）以下一元二次方程有兩個相等實數根的是（

）A． B．C． D．【變式5-3】（23-24八年級下·安徽六安·階段練習）下列方程中，沒有實數根的是（

）A． B．C． D．考點六：根據一元二方程根的情況求參數例6.（2024·甘肅金昌·三模）已知關于的一元二次方程．(1)當時，求方程的解；(2)若該方程有實數根，求的取值范圍．【變式6-1】（23-24八年級下·山東煙臺·期中）關于的一元二次方程有實數根．(1)求的取值范圍；(2)若為正整數，請用配方法求出此時方程的解．【變式6-2】（23-24八年級下·山東泰安·期中）已知：關于x的一元二次方程．(1)當m取何值時，此方程沒有實數根；(2)若此方程有兩個實數根，求m的最小整數值．【變式6-3】（23-24九年級上·黑龍江綏化·期末）已知關于x的方程．(1)求證：無論k取任何實數，該方程總有實數根；(2)如果這個方程的兩個根恰好是等腰三角形的兩邊長，其第三邊長為4，求的周長．一、單選題1．（23-24九年級上·河北廊坊·階段練習）用求根公式解方程時，，的值是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（23-24八年級下·浙江溫州·期中）一元二次方程的實數根有（

）A．1個 B．2個 C．0個 D．無數個3．（23-24九年級上·福建泉州·期中）是下列哪個一元二次方程的根（）A． B． C． D．4．（23-24九年級上·河北保定·期中）已知方程的兩根是等腰三角形的兩條邊長，則等腰三角形的周長是（

）A．15 B．12 C．9 D．12或155．（2024·四川廣安·中考真題）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（

）A．且 B．C．且 D．二、填空題6．（23-24九年級上·全國·課后作業）方程的解是．7．（23-24九年級上·全國·課后作業）用公式法解方程時，其中求得的的值是．8．（2024·上海徐匯·二模）關于的一元二次方程根的情況是：原方程實數根．9．（2024·江蘇連云港·二模）若一次函數的圖像經過第一、二、四象限，則方程有個根．10．（2024·甘肅定西·三模）若關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是．三、解答題11．（21-22八年級上·上海靜安·期末）用公式法解方程：．12．（23-24八年級下·全國·假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).13．（2024·江西·一模）課堂上，劉老師展示了一位同學用配方法解的過程，如下：解：原方程可化為，第一步配方，得，第二步即，第三步直接開平方，得，第四步所以，．第五步(1)這位同學的解題過程從第______步開始出現錯誤；(2)請你正確求解該方程．14．（22-23八年級下·山東濟南·期末）定義：如果關于的一元二次方程中常數項