第12講正弦定理

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.

2.能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能利用正弦定理解決與三角形

決簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題.邊、角、周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題，能結(jié)合余弦定理及三角函

3.能利用正弦、余弦定理解決有關(guān)三角形的

數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決與三角函數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題.

恒等式化簡(jiǎn)、證明及形狀判斷等問(wèn)題.

1.正弦定理內(nèi)容及公式：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.

公式：在任意AABC中，都有癮=磊=會(huì)，這就是正弦定理?

【微點(diǎn)撥】正弦定理的特點(diǎn)

(1)適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立.

(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長(zhǎng)，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式.

(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系

的互化.

2.正弦定理及其推論

設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,則

⑴sinA~sinB~sinC~—'

(2)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2=sinC.

,一、.Aa.cb.〃c

(3)sinA=礪，sinB=蘇,sinC=丞.

(4)在△ABC中，A>8=\>b=sinA>sinB.

3.三角形面積公式

(l)S=^aha=^hhh=昂,；

(2)S=]〃加inC=]bcsinA=/casinB.

【即學(xué)即練1】在aABC中，若?—="上，則C的值為（）

ac

A.30°B.45°C.60°D,90°

【答案】B

【解析】由正弦定理可將包工=X變形為2"=.,tanC=l.\C=45.

acsinAsinC

【即學(xué)即練2】在4?C中，a=80,6=100,71=30°,則滿足條件的8有（)

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.不確定

【答案】C

【分析】根據(jù)題意判斷加inA,a的大小關(guān)系，即可得出答案.

【解析】因?yàn)閍=80,6=100,A=30。，，

所以匕sinA=50<a=80，

所以三角形有兩個(gè)解，即滿足條件的B有2個(gè).

故選：C.

【即學(xué)即練3】在AABC中，A=120°,AB=5,BC=1,則色”的值為（）.

sine

8n5-5>3

A.-B.-C.-D.一

5835

【答案】D

【分析】利用余弦定理可求AC=3,再利用正弦定理可求職的值.

sine

24

【解析】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABXACXCOSM,

即49=25+AC2-2x5xACx（-g）,

得AC=3,由正弦定理得當(dāng)=*=（,

sinCAB5

故選：D.

【即學(xué)即練4】如圖，已知A,B兩點(diǎn)分別在河的兩岸，某測(cè)量者在點(diǎn)A所在的河岸邊另選定一點(diǎn)C,測(cè)得

AC=50m,ZACS=45,ZG4B=105,則A、B兩點(diǎn)的距離為（）

??

.?

-----------------------A

A.50石mB.25-JimC.25&mD.50&m

【答案】D

【解析】由已知，ZABC=30,由正弦定理得：===絲別”=50立.故選D

sin45sin30sin30

【即學(xué)即練5】.在中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,已知4=30。,3=120。,々=5,則

b=,c=,ABC的面積為.

【答案】5上5型叵

4

【分析】利用正弦定理，及三角形的面積公式即可求解.

【解析】由正弦定理得：6=學(xué)”=56,。=兀一A-8=30,所以c=a=5,

sin30°

x=

所以SABC=；absinC=-^x5x5>/3~,

故答案為：5石：5；至更.

4

【即學(xué)即練6】在一ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:3,則cosC的值為.

【答案】］

【分析】根據(jù)sinA:sinB:sinC=3:2:3,利用正弦定理得到。=3，,b=2r,c=3f，再利用余弦定理求解.

【解析】

因?yàn)樵凇鳤BC中,sinA:sinB:sinC=3:2:3,

由正弦定理得a:b:c=3:2:3,設(shè)〃=3,力=2f,c=3f,

由余弦定理得cosC='+c-2=1，

2bc3

故答案為：!

【即學(xué)即練6】在一ABC中，茗a=6,b=2,sinB+cos8=應(yīng)，則4=.

【答案】J

O

【分析】根據(jù)sinB+cos8=四。結(jié)合輔助角公式首先求出B=(,然后結(jié)合正弦定理即可求出結(jié)果.

【解析】因?yàn)閟inB+cos8=&，所以&sin(8+?J=后，即sin(B+?卜1,又因?yàn)?e(O,乃)，所以8=?,

,yf22.(3、

則由正弦定理得二=二，即高入=a，所以sinA=；,又因?yàn)锳e0,一，所以A=J,

sinAsinB—2\4J6

2

故答案為：

6

【即學(xué)即練6】在，ABC中，若。=4,b=3,c=2,則.ABC的外接圓半徑長(zhǎng)為.

【答案】亞

15

【解析】先根據(jù)余弦定理求解出cosA的值，然后可求解出sinA的值，結(jié)合正弦定理可求解出外接圓的半徑.

因?yàn)閏osA="*°—匕=9±4—―=~~,Aw(O,;r),所以sinA=J1-cos2A,

2bc2x2x344

a4__

設(shè)外接圓半徑為R,所以2"=嬴了=芯，所以R=M1,

~T15

故答案為：殳叵.

15

【即學(xué)即練6］如圖所示，為了測(cè)量A、8兩島嶼的距離，小明在。處觀測(cè)到A、8分別在。處的北偏西15。、

北偏東45。方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測(cè)8在C處的正北方向，A在C處的北偏西60。方

向，則A、B兩島嶼的距離為—海里.

【答案】5瓜.

【分析】先利用正弦定理求解的長(zhǎng)，再利用余弦定理求出A8.

【解析】由題意知/AC8=60°,ZACB=60°,NA￡)C=105°,乙4。=30°,CD=10,NBDC=45°,

An

在三角形AS中，二冬10

sin30sin45

??.A￡>=5五，在直角三角形8c。中，BD=10底,

在三角形ABD中，4B=yjAD2+BD2-2AD-BDcos60=5屈■故答案為：5m.

口能力拓展

考法01

正弦定理的證明：

【典例1］在鈍角△ABC中，證明正弦定理.

【證明】如圖，過(guò)C作CDJ_A8,垂足為。，。是8A延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

根據(jù)正弦函數(shù)的定義知,

CDCD

sinZCAD=sin(180°—A)=sinA,7-=sinB.

.?.CQ=bsinA=asin比'看=高.

sin8sinC'故sin4-sin8一5皿C”

【典例2】如圖，銳角△ABC的外接圓。半徑為R,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,證明：^77

sin

2R.

【證明】連接BO并延長(zhǎng)，交外接圓于點(diǎn)4,連接4C,

則圓周角4=4

為直徑，長(zhǎng)度為2R,

a

??NACB=90°,sinA'=(

ADZn

，sinA=品，BPa=2R.

2RsinAA

考法02

正弦定理的應(yīng)用范圍：

(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和其余一角.

(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其余兩角.

3.已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法

(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值.

(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角，由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳

角，由正弦值可求唯一銳角.

(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角，要分

類討論.

【典例3】在△ABC中，已知。=8,5=60。，C=75。，則6等于()

A.4-72B.4小

C.4#D.4

【題點(diǎn)】己知兩角及一邊解三角形

【答案】C

【解析】易知4=45。，由就^磊得

asinBSX27

2

【典例4】在；A3C中，若a=6,b=6y/3,8=120。，則人=.

【答案】300

【分析】利用正弦定理求出sinA=g,再由大角對(duì)大邊，確定角A的大小.

【解析】在中，由正弦定理得三=一二

sinAsinB

有熹=幕‘解得=J

乂所以A<5=120。，所以A=30°.故答案為：30°

【典例5】在一ABC中，

(1)已知。=24,6=13,C=108°,求c,B；

(2)已知b=2,c=10,A=42。，求a,C；

(3)已知a=7,6=4百，c=y/13,求最小的內(nèi)角.

【答案】(1)“30.624,8223.8114。

(2)a。8.61,CB129°

(3)30°

【分析】

(I)先用余弦定理求出c,進(jìn)而用正弦定理求出B：

(2)先用余弦定理求出”,進(jìn)而用正弦定理求出8,進(jìn)而求出C；

(3)根據(jù)大邊對(duì)大角，再結(jié)合余弦定理即可得到答案.

【解析】⑴由余弦定理，c?=/+〃—2妨cosC=24,+13?-2x24x13Xcos108。=937.8266=c“30.624,

由正弦定理，-1!■=nsin3-0.4037267,因?yàn)閏?,()<B<18()°,所以5=23.8114。.

sin3sin108°

(2)由余弦定理，/=從十/一2歷cosA=2?+1一2x2x10xcos42。a74.27na=8.61,

由正弦定理，-^-=—sing=2x0-669?0.1554,因?yàn)?<B<180°,所以839。，所以

sin42°smB8.61

C=180o-42°-9°?129o.

〃2+〃2249+48—13Ji

(3)由大邊對(duì)大角可知，C最小，由余弦定理，cosC二°十"'=—十的.0<C<180°,/.C=30°,

2ab2x7x462

即最小的內(nèi)角為30。.

【典例6】在aABC中，已知片5近，A=45。，試判斷當(dāng)。分別取10,5,3叵士時(shí)，角C的解的個(gè)數(shù).

32

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】根據(jù)給定的每一個(gè)a值，利用正弦定理解“已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形”的方法逐一計(jì)算判斷作

答.

【詳解】⑴當(dāng)。=10時(shí)，因c=5正，4=45。，有則角C比角4小，角C是銳角，所以角C有一解；

⑵當(dāng)4=5時(shí)，因c=5&，A=45°,有c>“，則sinC=%^=%反竺竺=1,而0<C<180,則C=90,

a5

所以角C有一解；

廠_csinA_5\/2sin45

⑶當(dāng)a=W■旦時(shí)，因c=5&，A=45。，有則sma105/32，而0vC<180，則。=60

3

或C=120,所以角C有兩解；

5,csinA_50sin45

(4)當(dāng)。時(shí)，因c=5&，A=45。，有“a,則smS—T-"-5—=2>1,無(wú)解，所以角C無(wú)解.

2

【典例7】在AABC中，已知6=3,c=3&,8=30。，求角A,角C和邊a.

【答案】見解析

【分析】由條件利用余弦定理求得a的值，再根據(jù)正弦定理求得C的值，即可求A的值.

試題解析：

【解析】

由余弦定理b2=a2-Vc2—2accosB,

得32=序+（36）2—2“X3出xcos30°,

.?.屋一9。+18=0,得a=3或6.

當(dāng)”=3時(shí)，A=30°,/.C=120°.

當(dāng)a=6時(shí)，由正弦定理sin4=竺媽=6x，=|.

b-T

."=90°,."=60°.

故C=60°,A=30°,a=3或C=60°,A=90°,a=6

考法03

與面積有關(guān)的問(wèn)題求解：

【典例8】在..ABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為。，b,J若46=1,sinC=4GsinB,則,ABC

6

的面積S=_.

【答案】6

【分析】先根據(jù)正弦定理求得c的值，再由三角形面積公式即可求解.

【解析】因?yàn)閟inC=46sin8,

由正弦定理化角為邊可得：c=4耳=46，

所以_ABC的面積S=L/jcsinA='x1x4>/3x-=x/3,

222

故答案為：6.

【典例9】已知三角形的一邊長(zhǎng)為7,這條邊所對(duì)的角為60。，另兩邊長(zhǎng)之比為3：2,則這個(gè)三角形的面積

是.

【答案】乎

【解析】

【分析】

根據(jù)條件可設(shè)另兩邊長(zhǎng)分別為弘，〃也>0),利用余弦定理求出公即可計(jì)算三角形面積.

【詳解】

依題意，設(shè)三角形另兩邊長(zhǎng)分別為配由余弦定理得：72=(3^)2+(2fc)2-2-3^-2^cos60,

解得犬=7,丁是得三角形面積S=L3h2ksin60=述&2=處叵，

222

所以三角形的面積是生亙.

2

故答案為：生巨

2

JT3

【典例10】已知AA6C的內(nèi)角A,8,c所對(duì)的邊分別為4,"c,A=^,c=^a.

(1)求sinC的值；

(2)若a=7,求AABC的面積

【答案】(1)sinC=等；(2)S4ABe=66

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理求解即可：(2)由余弦定理求得力=8則面積可求

【詳解】

(1)由正弦定理得耳=菽故sinC=3sinA=%；

-y714

3

(2)a=7=>c=-a=3,

7

由余弦定理，a2=h2+c2-2bccosA^>h2-3b-4()=0,解得匕=8

因此，S&MC=gbcsinA=66

【點(diǎn)睛】

本題考查正余弦定理解三角形，考查面積公式，熟記公式準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

-TT

【典例11】在sABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,h,c.若a=l,B=：,_ABC的面積S=2,貝iJ_A3C

4

的外接圓的面積為.

【答案】三

【解析】

【分析】由&ABC的面積S=2,可求得c=40，再利用余弦定理求出6=5,然后利用正弦定理求出aABC

的外接圓的半徑，從而可求出外接圓面積

【詳解】

因?yàn)镾=2=/xacsinB,所以c=40，

由余弦定理得從=a」+c2—2accos8=25,所以5=5，

/\2

所以工=5應(yīng).所以AABC的外接圓的面積為7x學(xué)=學(xué).故答案為：鳥

smBI2J22

【典例12]若_ABC的外接圓的半徑是3,且AB=4,BC=3,SABC=5,貝i」AC=.

【答案】5

【解析】

【分析】利用三角形面積公式求得sinB,然后根據(jù)外接圓半徑，利用正弦定理求得.

【詳解】c=AB=4,a=BC=3,S=—acsinS=—x3x4xsinB=5,sinB=-,

ABC226

AC=ft=2/?sinB=2x3x-=5,故答案為：5.

6

考法04

正弦定理的綜合應(yīng)用：

【典例13】滿足條件a=4,b=3y[i，A=45。的三角形的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.不存在

【答案】B

【解析】

Avir>A4

【分析】由正弦定理求得sinB=84色==,得到8有兩解，即可得到答案.4

a4

【詳解】

在/ABC中，因?yàn)椤?4,b=3亞,4=45。，

由正弦定理三=工，可得$皿8=史曳2=也見色=3,

smAsin8a44

因?yàn)?<3夜，即則0°<3<135°有兩解，所以三角形的個(gè)數(shù)是2個(gè).

故選：B.

【典例14】在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若acosA=Z?cos3,試判斷AABC的形

狀.

【答案】AABC為等腰三角形或直角三角形.

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理將邊化為角后再進(jìn)行判斷，可得三角形的形狀.

【詳解】由正弦定理及4cosA=/?cos8得sinAcosA=sinBCos3,所以sin2A=sin2區(qū)

因?yàn)?A,2Be(O,2i),所以2A=23或2A+23=加所以A=3或A+8=',

所以MBC為等腰三角形或直角三角形.

【點(diǎn)睛】判斷三角形的形狀有兩種方法，一是把角化為邊后進(jìn)行判斷，另一種方法是把邊化為角后再進(jìn)行

判斷.本題也可根據(jù)余弦定理，將角化為邊后再進(jìn)行判斷，也可得到三角形的形狀.

【典例15】在AABC中，已知a=10,8=75。，C=60。，試求c及△ABC的外接圓半徑R.

【答案】C=5#,R=5X/L

【解析】

【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求解角A=45。，再由正弦定理，求得c=5#,進(jìn)而利用正弦定理,

即可求解三角形外接圓的半徑.

【詳解】VA+B+C=180°,：.A=180o-750-60o=45°.

由正弦定理，得￡=rJ=2R,三=5加,

ctnA?in<0rlA/

10

???2K=魯=正=1收?R=50

T)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形的應(yīng)用，其中合理應(yīng)用正弦定理是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，

著重考查了推理與運(yùn)算能力.

【即學(xué)即練7】在一A3C中，4,A>B,,>llcos2A<cos2B,,W().

A.充要條件B.充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

可以由cos'AVcosZB反向推導(dǎo)得到A>8.

【詳解】由cos^AVcos*得，l-sin2AVl-sin2B,sin2A>sin?8,

在▲ABC中siMX),sinBX),所以sinA>sin/?,

由正弦定理得,

由大邊對(duì)大角的結(jié)論知A>B.

所以為充要條件.

故選：A

【即學(xué)即練8】已知點(diǎn)。是［ABC的外接圓的圓心，A8=3,AC=2&,44c=￡,則外接圓。的面積為

4

【答案】《

【解析】

【分析】

利用給定條件結(jié)合余弦定理求出邊8C,再利用正弦定理求出圓。半徑即可得解.

【詳解】

在」ABC中，因A8=3,AC=2貶,NBAC=J,則由余弦定理得：

BC=y/AB2+AC2-2ABACCOSZBAC=3+(2⑸_2■3?2夜cos?=6，

令“LBC的外接圓半徑為R,由正弦定理得：2/?=-=710,解得/?=巫，則5=萬(wàn)片=當(dāng),

sinZ.BAC22

所以外接圓。的面積為等.

故答案為：

分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.在“ABC中，AB=>/3,A=45°,C=75,則8C=()

A.3-GB.V2C.2D.3+耳

【答案】A

【解析】

【分析】

宜接根據(jù)正弦定理求出8c.

【詳解】

在AABC中，A=45°,AC=75°.

由正弦定理得-^=」冬，

smAsmC

nV2

__ABsinA百sin45""*2r

sinCsin75J2+V6

4

故選A.

【點(diǎn)睛】

解三角形時(shí)注意三角形中的隱含條件，如三角形的內(nèi)角和定理，三角形中的邊角關(guān)系等，解題時(shí)要靈活應(yīng)

用.同時(shí)解三角形時(shí)還要根據(jù)所給出的邊角的條件，選擇運(yùn)用正弦定理還是余弦定理求解.

2.在△ABC中，a=6sinA,則△ABC一定是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

n

由正弦定理可得57九4=s歷Kw九4,可得$力出=LB=—,可作出判斷.

2

【詳解】

\?在,ABC中，a=bsinA,

/.由正弦定理可得s訕4=smBsiiiA,

jr

同除以s%A可得s加8=1,B=-

2

：..ABC一定是直角三角形，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形形狀的判斷，涉及正弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

3.已知中，AC=2,8=45。，若aABC有兩解，則邊長(zhǎng)8c的取值范圍是（）

A.（2,272）B.（2,2>/3）C.（也2&）D.（五,2句

【答案】A

【解析】

【分析】

由三角形有兩解的條件可得asin45即求.

【詳解】

設(shè)角A、B、C所對(duì)邊為a、b、c,由三角形有兩解的條件可得，

C

B

asin45<b<a<BP^-a<2<a,

2

解得2<a<2&即邊氏BC的取值范圍是僅,2夜）.

故選：A.

4.已知.ABC中，4c分別為角ARC的對(duì)邊，則根據(jù)條件解三角形時(shí)有兩解的一組條件是（）

A.d=1,b=2,A=—B.a=2,b=lA=—

4f4

C.a=2,b=3,A=§D.a=4,b=3,A=

63

【答案】C

【解析】

【分析】

由正弦定理與大邊對(duì)大角逐項(xiàng)判斷即可求解

【詳解】

2

b---=

對(duì)于A：由，一=.八得：.乃sinB，所以sinB=0>l，無(wú)解，A錯(cuò)誤；

sinAsinBsin-

4

.a=b得:.兀~

對(duì)于B：由「一7sinB，所以sin8=，乂a>b,故A>8，此時(shí)有一個(gè)解，B錯(cuò)誤;

sinAsin8sin-4

4

2—^―3

,ah

對(duì)于C：由sinA=二得：.乃一sin8，所以sm3=：,又〃<h,故A<3，此時(shí)有兩個(gè)解，C正確；

sin8sm-4

0

b4-,33a

對(duì)于D：由三=----得：.2萬(wàn)sinB，所以sinB=---,3La>b,故A>3,此時(shí)有一個(gè)解，D錯(cuò)誤?

sinAsin8sin—8

故選：c

5.在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知加in（A+。）=asin8,則角A等于（）

【答案】B

【解析】

己知邊角關(guān)系式，利用正弦定理把邊化角，即可求出角A

【詳解】

由正弦定理得，sinBsin[A=sinAsinB

?.'sinBwO,sin（A+§）=sinA,即sinA=V^cosA，tanA=-73

TT

0<A<7r,4=5.選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考察了正弦定理的應(yīng)用——邊角互化.利用。=2RsinA,b=2RsinB化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系即可.

6.在AA3C中，若sMA+sin28VsiYC，則AA3C的形狀是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.不能確定

【答案】A

【解析】

【分析】

由正弦定理得“2+z>2<c2,再由余弦定理求得cosC="、'-c2<理得到Ce?M）,即可得到答案.

2ah2

【詳解】

因?yàn)樵贏A5C中，滿足sin^A+sin3?<sin?C,

由正弦定理知sinA=4,sin8=3,sinC=三，代入上式得a2+Z）2<c2,

2A2A2R

又由余弦定理可得cosC=）+'-c'2<。因?yàn)閏是三角形的內(nèi)角，所以

2ah2

所以AABC為鈍角三角形，故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C

的范圍是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、J已知4=60。,6=1,該三角形的面積為G，貝I」

〃+b+cg/±/、

—;~—~~—的值為（）

sinA+sin8+sinC

A2aRV39-26n2如

3333

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)面積可求得c=4,然后根據(jù)余弦定理得到a=JR,再由正弦定理的變形可得所求的值.

【詳解】：AA3c的面積為6，A=6O°,Z?=1,.,.l^sinA--xlxcxsin60°=—c=^.

224

/.c=4.

由余弦定理得/=匕2+/—2Z?ccosA=1+16-2xlx4x—=13,a=V13.

2

由正弦定理得-----a+b+c----=，_=1叵=2場(chǎng).故選A.

sinA+sin3+sinCsinAsin6003

【點(diǎn)睛】

正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式都能反應(yīng)三角形中的邊角關(guān)系，因此這些內(nèi)容常綜合在一起考查,

成為命題的熱點(diǎn).在解題是要注意公式的靈活應(yīng)用，特別是在應(yīng)用正弦定理時(shí)要注意公式的常用變形，如

本題中所涉及的式子等.

8.在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,h,c,已知sin（3—A）+sin（3+A）=3sin2A,

j_—71

且c=幣，。=石,則_ABC的面積是（)

B.拽「V21D,在或拽

A.373Vx?---

~T~6346

【答案】D

【解析】

【詳解】

分析：由題意得sinBcosA=3sinAcosA,分cosA=0和cosA兩種情況求解，然后結(jié)合三角形面積

公式可得結(jié)果.

詳解：*/sin（B-A）+sin（jB+A）=3sin2A,

:.sinBcosA=3sinAcosA.

①當(dāng)cosA=0時(shí)，二ABC為直角三角形，且A=].

,**c=5/7,C=—,

SV21

?b7=-----=----

②當(dāng)cosAw0時(shí)，則有sinB=3s譏4,

由正弦定理得b=3a.

由余弦定理得c2=cr+/?2-lahcosC

即7=/+（3a）2-2a-（3a）q,

解得a=l.

.c1,.?11a.兀373

??S.——absmC=—xlx3xsin—=---?

MIASRrC2234

綜上可得一ABC的面積是述或型.

46

故選D.

【點(diǎn)睛】在判斷三角形的形狀時(shí)，對(duì)于形如sin5cosA=3sinAcosA的式子，當(dāng)需要在等式的兩邊約去

cosA時(shí)，必須要考慮cosA是否為0,否則會(huì)丟掉一種情況.

9.在A48C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,C,若a=0,b=2,sinB+cos8=>/5,則角A的

大小為

A.60°B.30°C.150°D.45°

【答案】B

【解析】

IllsinB+cosB=V2.平方可求sin23,進(jìn)而可求得8；然后利用正弦定理可求出sinA,根據(jù)三角形中大邊

對(duì)大角的原則可求出A.

【詳解】

EllsinB+cosB=>/2>兩邊平方可得：l+2sinBcos3=2

/.2sinBcosB=l,即：sinIB=1

8e(O,;r).?,B=45

又a=b=2,由正弦定理得：巫=」—

sinAsin45

解得：sinA=-

2

a<b:.A<BA=30

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了同角平方關(guān)系及正弦定理在求三角形中的應(yīng)用，解題時(shí)要注意大邊對(duì)大角的應(yīng)用，避免出

現(xiàn)增根.

10.在,ABC中，內(nèi)角A、8、C所對(duì)的邊分別是a,b,c且氐sin8=6sin(B+C)tanC,則8sC=()

A.；B.--C.2D.-立

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意可知6asinB=bsinAtanC,再根據(jù)正弦定理，可得力sinAsinB=sinBsinAtanC,可得tanC=G，

由此即可求出角C,進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】

在；ABC中，sin(3+C)=sinA

所以/?5出(8+。)匕口。=/?5抽24匕。。，

所以CasinB=bsinAtanC，

由正弦定理可知，y/3sinAsinB=sinBsinAtanC?

又A,〃￡（0,乃）,

所以tanC=6，

又Ce(O,;r),所以C=(,

所以cosC=1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.對(duì)于下列說(shuō)法正確的是()

A.若sin2A=sin28,則ABC為等腰三角形

B.若sinA=cosB,則..ABC為直角三角形

C.若siYA+si/B+cos2c<1,則-ABC為鈍角三角形

D.若AB=6AC=\,8=30。，則ABC的面積為且

3

【答案】C

【解析】

【分析】

通過(guò)三角函數(shù)與角的關(guān)系判斷三角形的形狀，從而判定A,B的正誤；利用正弦定理與余弦定理判斷C的

正誤：利用正弦定理及三角形面積公式判斷D的正誤.

【詳解】

對(duì)于A：sin2A=sin2B.

:.2A=2B^2A+2B=7r,

TT

:.A=B^A+B=-,

2

所以為等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B:sinA=cosB,

.\A=B+-^A=--B,

22

所以一ABC不一定是直角三角形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：,sin2A+sin2B+cos2C<1?

sin2A+sin2B<l-cos2C=sin2C，

由正弦定理得“2+b2<c2,又8SC="+'lJo,

2ab

所以角C為鈍角，所以JRC為鈍角三角形，故C正確;

對(duì)于D:48=6，AC=i,3=30。,

.廠ABsinB>/3,

sinC=--------=——，乂AABD>AC，

AC2

.?.C=60°或120,.?.A=90或30,

??ARCsinA=—■或——,故D錯(cuò)誤.

ABC224

故選：C

12.中，AB=AC=5,BC=6,則此三角形的外接圓半徑是（）

「7-25-25

A.4B.-C.—D.--

289

【答案】c

【解析】

7

在.ABC中，根據(jù)AB=AC=5,BC=6,由余弦定理求得cosA=云，再由平方關(guān)系得到sinA,然后由正

弦定理2/?=當(dāng)求解.

sinA

【詳解】

在AABC中，AB=AC=5.BC=6,

所以sinA=Vl-cos2A=—■,

25

2R=軍=9="25

由正弦定理得：sin/l_24_4,所以R=1，

25&

此三角形的外接圓半徑是《25故選：C

O

【點(diǎn)睛】

本題主要考查余弦定理，正弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

13.在三角形ABC中，若三個(gè)內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別是a,尻c,a=l,c=40，8=45。，則sinC的值等

于（）

474?

【答案】B

【解析】

【分析】

b「

在三角形MC中,根據(jù)〃c=4&,8=45。，利用余弦定理求得邊"再利用正弦定理嬴萬(wàn)=碇求

解.

【詳解】

在三.角形ABC中，a=l,c=4五,5=45。,

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB,

=1+32-2x1x472x—=25,

2

所以6=5,

b

由正弦定理得:

sinBsinC

所以sinC=*="^=M

h55

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，所以考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

14.己知a,b,c分別為qABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，bsinC=2丘c-cosB,b=6,則當(dāng)-ABC的周長(zhǎng)最大

時(shí)，_ABC的面積為（）

A3&口36C.唯

D.3也

444

【答案】A

【解析】

利用正弦定理將bsinC=2&c-cos3進(jìn)行邊化角，可得tanB,sin8,cosB的值，再結(jié)合余弦定理和基本不等

式即得.

【詳解】

解析：由正弦定理得sin3sinC=20sinCeos3，

Op)1

VCe(0,^),sinC*OtanB=272-sinB=------,cosfi=-,由余弦定理得:

33

2

a+c

h2=3=a2+c2-2accosB=(a+c)2--8ac>(a+c)21--8x|=-(a+c)2,a+c43,

~2~

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=g時(shí)取等號(hào)，此時(shí)S=1acsin8=^

224

15.在一ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,那么下列給出的各組條件能確定三角形有兩解

的是（）

A.a=10,b=8,A=30B.a=8,6=10,A=45°

C.a=10,b=8,A=150D.a=8,6=10,A=60

【答案】B

【解析】

【分析】

在角A為銳角的前題下，判