高等數(shù)學(xué)成人試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=|x|$在$x=0$處（）A.可導(dǎo)B.連續(xù)但不可導(dǎo)C.不連續(xù)D.以上都不對2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.∞3.函數(shù)$y=x^3$的導(dǎo)數(shù)為（）A.$3x$B.$3x^2$C.$x^2$D.34.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(2x)dx=$（）A.$F(2x)+C$B.$\frac{1}{2}F(2x)+C$C.$2F(2x)+C$D.$F(x)+C$5.$\int_{0}^{1}x^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.36.設(shè)$z=xy$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=$（）A.$y$B.$x$C.$xy$D.17.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$（）A.收斂B.條件收斂C.絕對收斂D.發(fā)散8.方程$y''+2y'+y=0$的通解是（）A.$y=C_1e^x+C_2e^{-x}$B.$y=(C_1+C_2x)e^{-x}$C.$y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}$D.$y=C_1+C_2x$9.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-1,m)$，若$\vec{a}\perp\vec{b}$，則$m=$（）A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.2D.$-2$10.曲線$y=\lnx$在點(diǎn)$(1,0)$處的切線方程是（）A.$y=x$B.$y=x-1$C.$y=x+1$D.$y=-x+1$答案：1.B2.B3.B4.B5.A6.A7.D8.B9.A10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=e^x$D.$y=\ln|x|$2.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$C.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$3.以下哪些是求導(dǎo)公式（）A.$(x^n)'=nx^{n-1}$B.$(\sinx)'=\cosx$C.$(\lnx)'=\frac{1}{x}$D.$(e^x)'=e^x$4.計(jì)算定積分$\int_{-a}^{a}f(x)dx$，當(dāng)$f(x)$為奇函數(shù)時(shí)結(jié)果為0，當(dāng)$f(x)$為偶函數(shù)時(shí)結(jié)果可能為（）A.0B.$2\int_{0}^{a}f(x)dx$C.$-2\int_{0}^{a}f(x)dx$D.$\int_{0}^{a}f(x)dx$5.多元函數(shù)$z=f(x,y)$的偏導(dǎo)數(shù)存在，則（）A.$z$一定連續(xù)B.不一定能保證$z$連續(xù)C.與$z$的連續(xù)性無關(guān)D.函數(shù)沿各方向?qū)?shù)都存在6.冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$有收斂區(qū)間，下列說法正確的是（）A.收斂區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱B.收斂半徑可通過公式求C.在收斂區(qū)間端點(diǎn)一定收斂D.收斂區(qū)間內(nèi)絕對收斂7.下列方程中是一階線性微分方程的有（）A.$y'+y\sinx=\cosx$B.$y'+xy^2=0$C.$xy'+y=x$D.$y'+\frac{y}{x}=\frac{1}{x}$8.向量的運(yùn)算包括（）A.加法B.數(shù)量積C.向量積D.數(shù)乘9.二次曲面中，以下屬于旋轉(zhuǎn)曲面的有（）A.球面B.旋轉(zhuǎn)拋物面C.柱面D.圓錐面10.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可微的充分必要條件是（）A.$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)B.$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)C.$\Deltay=A\Deltax+o(\Deltax)$（$A$為常數(shù)）D.函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)都存在答案：1.ABD2.BCD3.ABCD4.B5.BC6.ABD7.ACD8.ABCD9.ABD10.BC三、判斷題（每題2分，共10題）1.無窮小量與無窮大量互為倒數(shù)。（）2.函數(shù)$y=\sqrt{1-x^2}$的定義域是$[-1,1]$。（）3.若函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0，則該點(diǎn)一定是極值點(diǎn)。（）4.$\int\frac{1}{x}dx=\lnx+C$。（）5.二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則該函數(shù)可微。（）6.正項(xiàng)級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$，若$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$，則級數(shù)收斂。（）7.方程$y''-y=0$的通解是$y=C_1e^x+C_2e^{-x}$。（）8.向量$\vec{a}=(1,-1,2)$與向量$\vec{b}=(2,-2,4)$平行。（）9.若$f(x)$在$[a,b]$上可積，則$f(x)$在$[a,b]$上一定連續(xù)。（）10.函數(shù)$y=\sinx$是周期函數(shù)，周期是$2\pi$。（）答案：1.×2.√3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處極限存在的條件。答：函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處極限存在的充要條件是左極限$\lim_{x\tox_0^{-}}f(x)$與右極限$\lim_{x\tox_0^{+}}f(x)$都存在且相等，即$\lim_{x\tox_0^{-}}f(x)=\lim_{x\tox_0^{+}}f(x)$。2.用換元法求$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$。答：令$x=\sint$，$dx=\costdt$。則$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int\frac{\cost}{\sqrt{1-\sin^2t}}dt=\intdt=t+C$，再將$t=\arcsinx$代回，得$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsinx+C$。3.求函數(shù)$z=x^2+y^2$的全微分。答：先求偏導(dǎo)數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$，$\frac{\partialz}{\partialy}=2y$。所以全微分$dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy=2xdx+2ydy$。4.簡述求冪級數(shù)收斂半徑的方法。答：對于冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，常用公式法，若$\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$（$\rho\geq0$），則收斂半徑$R=\begin{cases}\frac{1}{\rho}&(\rho\neq0)\\\infty&(\rho=0)\\0&(\rho=\infty)\end{cases}$五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=x^3-3x$的單調(diào)性與極值。答：求導(dǎo)得$y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令$y'=0$，得$x=\pm1$。當(dāng)$x<-1$或$x>1$時(shí)，$y'>0$，函數(shù)遞增；當(dāng)$-1<x<1$時(shí)，$y'<0$，函數(shù)遞減。所以極大值為$y(-1)=2$，極小值為$y(1)=-2$。2.探討多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。答：可微能推出函數(shù)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)能推出可微；但連續(xù)推不出可導(dǎo)，可導(dǎo)也推不出可微。總之，可微的要求最高，連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)存在是較弱條件。3.討論如何判斷常系數(shù)線性齊次微分方程解的類型。答：對于常系數(shù)線性齊次微分方程$y^{(n)}+p_1y^{(n