第八章第1節《基本立體圖形》提高訓練題（25）

一、單項選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.己知一個球的半輕為3。則該球內接正六校錐的體積的最大值為（）

A.10V3B."C.16行D.2

22

2.正三棱錐P-ABC中，PA=4,4B=4或，點E在棱PA上，且PE=3￡4.正三棱錐P-4BC的

外接球為球O,過E點作球O的截面a,a截球。所得截面面積的最小值為（）.

A.4兀B.37rC.27rD.n

3.如圖，正方體4BCO-的棱長為1,P為力4的中點，M在側面44道/上，有下列四個

命題：

①若QM1CP,則ABCM面積的最小值為信

②平面4BD內存在與56平行的直線；

③過A作平面a,使得棱40,D】G在平面a的正投影的長度相等，則這樣的平面a有4

個；

④過A作面夕與面&B0平行，則正方體4BC0在面￡的正投影面積為百

則上述四個命題中，真命題的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知三棱錐4-BCD的頂點均在球。的球面上，且4B=AC=AD乙BCD=p若”是點

A在平面BCD內的正投影，且CH=V5,則球。的表面積為

A.4遍兀B.2遮兀C.9兀D.4兀

5.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為（）

兇

俯視圖

A.67r

B.127r

C.12V3n-

D.——3TC

6.如圖，在長方體ABCD-AiBiGDi中，AB=1,AD=AA1=2,P為8C的中點，。為線段CQ上

的動點，過點A,P，。的平面截該長方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是（）

①當OVCQ工1時?，S的形狀為四邊形，且當CQ=1時，S的形狀為等腰梯形;

②當CQ=|時，S與6必的交點R,滿足G/?；；

③當I<CQ<2時，S的形狀為六邊形;

④當CQ=2時，S的面積為3.

A.①②③④B.②③④C.①②④D.②③

7.如圖，棱長為1的正方體4BCD—4避16。1中，P為線段Aa的中

點，M,N分別為線段AQ和棱/Ci上任意一點，貝U2PM+&MN的

最小值為（）

A.立

2

B.V2

C.V3

D.2

8.以A,B,C,D,E為頂點的多面體中，ACLCB,AD1DB,AE1EB,AB=10,CD=6,

則該多面體的體積的最大值為

A.30>/3B.80C.90D.50V3

二、多項選擇題（本大題共7小題，共28.0分）

9.在棱長為2的正方體力BCD-4B1GD1中，點P是棱8C的中點，點。是底面從當好劣上的動

點，且APLDiQ,則下列說法正確的有（）

A.。2與DiQ所成角的最大值為:

B.四面體ABPQ的體積不變

C.△44Q的面積有最小值學

D.平面QPQ截正方體所得截面面積不變

10.如圖，正方體4BC。-41勺（?1。1的棱長為“，線段當5上有兩個動點

E,F,且EF=殍a，以下結論正確的有（）

A.AC1BE

B.點4到ABEF的距離為定值

=

C.VA-BEF'^^ABCD-A1B1C1D1

D.異面直線AE,BF所成的角為定值

11.在棱長為2的正方體ABCD-AiBigZ）i中，點P是棱BC的中點，點0是底面A上

的動點，且APlOi。，則下列說法正確的有（）

A.OP與。［Q所成角的最大值為?

B.四面體ABPQ的體積不變

C.△AaQ的面積有最小值學

D.平面。/Q截正方體所得截面面積不變

12.我國古代《九章算術少中將上、下兩個面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖芻童4BCD-

EFGH有外接球，且力B=5,AD=由,EF=4,EH=2,平面ABC。與平面EFG”的距離為

1，則下列說法中正確的有（）

A.該芻童外接球的體積為36兀

B.該芻童為棱臺

C.該芻童中AC、EG在一個平面內

D.該芻童中二面角B-4。-H的余弦值為漁.

5

13.在長方體48co-中=1,AB=2,AD=3,下列選項中正確的有（）

A.BD1AC

B.長方體力BCD—4B1GD1的外接球的表面積為14兀

C.三棱錐4-BDC的體積為1

D.三棱錐為一8。6與三棱錐&一4B。的表面積相等

14.如圖，在正方體4BCD-48傳1。1中，點P在線段BCi上運動，則

下列判斷中正確的是（）

A.平面PBiD_L平面4CL?i

B.41Pli平面AC5

C.異面直線41P與AD1所成角的取值范圍是（0,§

D.三棱錐5-4PC的體積不變

15.如圖，正方體ABC。一4當6。1的棱長為。，線段當歷上有兩個動點E,F,且EF=ma，以

2

下結論正確的有（）

A.AC1BE

B.點A到回BEF所在平面的距離為定值

C.三棱錐4-BEF的體積是正方體ABCD-%B1C也體積的以

D.異面直線4E,8尸所成的角為定值

三、填空題（本大題共13小題，共65.0分）

16.已知正四棱錐P-4BCC的底面邊長為4在，高為6立，其內切球與面尸48切于點M,球面上與

P距離最近的點記為N,若平面a過點M,N且與AB平行，則平面a截該正四棱錐所得截面的面

積為.

17.已知正方體的ABCD-&B1GD1棱長為2,點M,N分別是棱BC、G5的中點，點尸在平面

內，點。在線段&N上，若PM=再，則PQ長度的最小值為.

18.母線長為2b，底面半徑為我的圓錐內有一球O,與圓錐的側面、底面都相切，現放入一些小

球，小球與圓錐底面、側面、球。都相切，這樣的小球最多可放入個.

19.已知正三棱錐P-4BC,點P、4、B、C都在半徑為8的求面上，若P4PB,PC兩兩互相垂直，

則球心到截面ABC的距離為.

20.已知棱長為1的正方體ABC。-4當。1劣，尸是BC的中點，M是線段4#上的動點，則AMO/

與4MCQ的面積和的最小值是.

21.如圖1,四邊形ABCO是邊長為10的菱形，其對角線ZC=12,現將團ABC沿對角線AC折起,

連接8。，形成如圖2的四面體ABC。，則異面直線4c與B0所成角的大小為；在圖2

中，設棱4c的中點為M,8。的中點為M若四面體ABC。的外接球的球心。在四面體的內部，

當銳二面角B-AC-D的大小為60。時，.

22.己知菱形A8C。邊長為3,^BAD=60s,E為對角線AC上一點，AC=6AE.將△ABD沿B。翻

折到△A'BD的位置，E記為E'且二面角A-BD-C的大小為120。，則三棱錐4一BCD的外接球

的半徑為:過E'作平面a與該外接球相交，所得截面面積的最小值為

23.已知三棱錐4—BCD,力B=l,AC=2.AD=2,當SAABC+SAABD+SA.CD取最大值時，三棱錐

A-BCD的外接球表面積是.

24.點A,B,C,。均在同一球面上，4。1平面A8C,其中△4BC是等邊三角形，AD=2AB=6,

則該球的表面積為.

25.三棱錐S—力BC的各個頂點都在同一個球面上，若AB=2,AC=3,BC=4,側面SAB為正三

角形，且與底面ABC垂直，則此球的表面積等于.

26.已知三棱錐P-4BC外接球的表面積為IOOTT,P4J■平面ABC,PA=8,JLBAC6(),則三棱

錐體積的最大值為

27.已知直四棱柱4BCD—4B1GD1的所有棱長均為4,且44BC=120。，點E是棱BC的中點，則

過點E且與BQ】垂直的平面截該四棱柱所得截面的面積為.

28.如圖，在棱長為1的正方體48CO中，點E,F分別是棱BC,CCi的

中點，P是側面BB1CG內一點，若41P平行于平面AEF,則線段&P長度的

取值范圍是.

四、解答題(本大題共2小題，共24.0分)

29.(1)一個長方體的各頂點均在同一球面上，且同一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3,則此球的表

面積為.

(2)已知兩圓/+y2=10和(X-1)2+(y-3)2=10相交于4B兩點，則直線AB的方程

是.

(3)正三棱柱ABC-A.B.C,的底面邊長為2，側棱長為，。為8c中點，則三棱錐A-BtDCt

的體積為.

(4)已知拋物線y2=2px(p>0),F為其焦點，/為其準線，過產任作一條直線交拋物線于4B兩

點，4,B'分別為48在/上的射影，M為AB'的中點，給出下列命題：

①4F1B'F;

②4M1BM;

③

④AF與AM的交點在y軸上；

⑤4B'與AB交于原點.

其中真命題是.(寫出所有真命題的序號)

30.如圖，正三棱錐P—ABC的側面是直角三角形，PA=6,頂點P在平面ABC內的正投影為點D,

D在平面PAB內的正投影為點E,連結PE并延長交AB于點G.

(1)證明：G是4B的中點;

(2)在圖中作出點E在平面PAC內的正投影“說明作法及理由)，并求四面體尸CEF的體積.

【答案與解析】

1.答案：C

解析:

本題考查球的內接多面體、棱錐的體積計算，解題的關鍵是利用位置關系求得相關的幾何量，屬于

中檔題.

由題意知棱錐的高經過球心，設高為上通過已知條件把正六棱錐的體積用含有人的代數式表示,

得到V=再由基本不等式求得最值.

解：設正六棱錐為P-4BCDEF,其底面A8CDEF的中心為0',易知P。'是正六棱錐的高，

因為正六棱錐各頂點都在球面上，可知棱錐的高P。'經過球心O,設P0'=/i(0</i<6),

則底面六角形所在的圓的半徑0，B=Q_(h_3產=V6/1-/12.

正六棱錐的底面積S=6x^O'B2'sin60°=芋(6八一/)，

正六棱錐體積V=[sh=1x^(6h-h2)xh=手(12—2帥?h《手產智幺邛=16次，

當且僅當12—2八=八，即八=4時，正六棱錐體積有最大值分3=16百.

故選C.

2.答案：B

解析：

本題考查了球與三棱錐的綜合應用，考查了空間想象能力，轉化思想，解題關鍵是要確定何時取最

值，屬于中檔題.

通過補體可得球。的直徑及0E=3,平面a截球。的截面面積最小時，應有平面a，從而可計

算截面圓的半徑從而得到其面積的大小.

解：由題意，正三棱錐P-ABC中，也PA=AB=4近,

所以PA=PC=PB=4,AB=AC=BC=4vL

所以P/+PC2=AC?,

所以NCP.4J,同理=ABPA:,故可把正三棱錐補成正方體(如圖所示)，

其外接球即為球0,直徑為正方體的體對角線，令半徑為R,故2R=4g,

設PA的中點為F,連接OF,則OF=2魚且OF,PA，

所以。E=倔彳1=3,

當OE_L平面a時，平面a截球。的截面面積最小，此時截面為圓面，其半徑為同恭二=仃，

故所得截面面積的最小值為37r.

故選B.

3.答案：C

解析：

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象

能力與思維能力，考查運算求解能力，是難題.

對于①建立空間坐標系，得到M點應該滿足的條件，再根據二次函數的最值的求法求解即可；

對于②D1G//DC,DCO平面&BD=D,所以久的也與平面&BC相交；

對于③過A作平面a,使得棱AD,A4,DiG在平面a的正投影的長度相等，因為。心〃48,且=

AB,所以A8在平面a的正投影長度與01Ci在平面a的正投影長度相等，然后分情況討論即可得到平

面a的個數；

對于④面6與面4BD平行，則正方體4BCD-AiBiGDi在面0的正投影為正六邊形，且正六邊形的

邊長為正三角形4BD外接圓的半徑，故其面積為次.

解：對于①，以。為原點，D4為x軸，OC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，如圖1所

示；

過M作MG_L平面ABC。，G是垂足，則G在線段A5上，

則。(0,0,0),C(0,l,0),力(1,0,0),

P(l,0,i),5(0,0,1),0),

設M(l,a,b),

則原=(l,db-1),CP=

vDXM1CP,

-CP=l-a+ih-|=0,解得2a-b=L

???BG=1—Q,MG=b=2a-19

222

MB=\/GB+MG=J(1—Q)2+(2Q—1)2=V5a-6a+2,

11i_---------

?**S?BCM=2xBCxMB=--1-yJ5a—6a+2

=”5(a—|)2+瀉

當a=|時，^BCM)min=①正確；

對于DiG〃DC,OCn平面AiBD=D,所以也與平面&BO相交.

故②錯;

③過A作平面a,使得棱A。，AA1,DiG在平面a的正投影的長度相等,

因為D1C//4B,且AG=血

故。也1在平面a的正投影的長度等于AB在平面a的正投影的長度，

使得棱4。，力4,0]G在平面支的正投影的長度相等，

即使得棱A。，a&，AB在平面a的正投影的長度相等，

若棱A。，AAr,AB在平面a的同側，則a為過A且與平面&BD平行的平面,

若棱A。，AAr,A8中有一條棱和另外兩條棱分別在平面a的異側，

則這樣的平面a有3個，

故滿足使得棱AD,AAltDiCi在平面a的正投影的長度相等的平面a有4個;

③正確.

④過A作面.與面4BD平行，

則正方體力BCD-4B1QD1在面0的正投影為一個正六邊形，

其中4cl，平面氏而4cl分別垂直于正三角形為B。和CB15，

所以根據對稱性，正方體的8個頂點中，4,G在平面/?內的投影點與正六邊形的中心重合，

其它六個頂點投影恰是正六邊形的六個頂點，

且正六邊形的邊長等于正三角形力1BD的外接圓半徑(投影線與正三角形為80、CBiDi垂直),

所以正六邊形的邊長為a=立+sin60°=漁，

23

所以投影的面積為6xxa2=6Xx(^)2=V3.

④對.

故選：C.

4.答案：C

解析：

本題主要考查了三棱錐外接球的表面積計算、簡單組合體的結構特征，屬于基礎題.

由AB=4C=40=6，乙BCD若”是點A在平面BC。內的正投影,

可得”為底面直角三角形的外心，球心在A”上，由8〃求出設外接球的半徑為R

由直角三角形可求出R進而求出外接球的表面積.

解：因為AB=AC=AD=舊，

所以由三角形全等可得HB=HC=HD,

即”是△BCD的外心，

即H是斜邊的中點，

則球心。在A”上，

由勾股定理可得力"一=A“2,得AH=1,

設球。的半徑為七則R2=（R-1）2+2,

所以R=|.

所以球。的表面積為ATTR'-ATTXg）~=9萬，

故選：C.

5.答案：B

解析：

本題考查空間幾何體的三視圖以及求的表面積的求法，關鍵是根據三視圖還原出幾何體，求其外接

球的表面積即可，屬基礎題.

解：由三視圖可知該幾何體底面是棱長為2的正方形，

由一條側棱垂直底面，高為2的四棱錐，

結合圖形可知該幾何體為棱長為2的正方體的一部分，

其外接球也是棱長為2的正方體的外接球，

所以外接球半徑廠滿足：2r=722+22+22=2昭,

故球的半徑為r=百，表面積為S，4開/ITTx127r.

故選B.

6.答案：C

解析:

本題考查命題真假的判斷與應用，考查了截面的性質，關犍是利用面面平行、面面相交的性質確定

截面的頂點.屬中檔題.由題意作出滿足條件的圖形，由線面位置關系找出截面可判斷選項的正誤.

解：如圖當CQ=1時，即。為CC1中點，此時可得PQ〃/ID〉AP=QDr=V2，故可得截面APQD1為

等腰梯形，

由上圖當點。向C移動時，滿足0<CQ<1,只需在DDi上取點M滿足AM〃PQ,即可得截面為四

邊形APQM,故①正確;

當CQ=|時，延長DDi至N,使D]N=1,連接AN交久久于E,連接NQ交的劣于R,連接ER,

可證AN〃PQ,由AQRQ,可得GR：DrR=CrQ：DrN=1：2,故可得（?小=],故②正

確；

由上可知當|<CQ<2,只需點。上移即可，此時的截面形狀仍然上圖所示的APQRE,顯然為五邊

形，故③錯誤；

當CQ=2時，。與G重合，取的中點F,連接AF,可證PCJ/AF,且PG=AF=后,FQ=AP=四,

對角線可知截面為尸為平行四邊形，故其面積為故④正確.

AQ=3,FP=V5,APGS=2SAAFP=3,

故選C.

7.答案：D

解析:

主要考查考查棱柱的結構特征，考查平面內兩點之間線段，最短考查計算能力，空間想象能力，是

中檔題.

取AC中點E,過M作MF_1面4當。以1，可得當MN1BiQ時，用N最小.再根據2PM+&MN>2AAt

即可求出答案.

解：取4c中點E,過M作MF1面4B1GD1，

易得4M=AM,Z.APM=Z.AEM=90°,AP=AE=^AC,

故△APM三AAEM,故PM=EM,

而對固定的點M，當MNJ.B1G時，MN最小.

此時由MF_1面481。山1，

可知為等腰直角三角形，MF=^-MN,

2

故2PM+&MN=2(PM+yMN)

=2(fM+MF)>244]=2.

當MN1BiG時取等號，

故選D

8.答案：C

解析:

本題考查簡單組合體及其結構特征，棱柱、棱錐、棱臺的側面積、表面積和體積，球的結構特征,

函數的最值，屬于綜合題.

由題意分析點c，D,E在以AB為直徑的球面。上，根據求得結構特征和圓的性質可得結論.

解：取

A8的點

0,因為

AC1

CB,

AD1

DB,

AE1

EB,所以。4=OB=OC=OD=OE,

故點C,D,E在以AB為直徑的球面。上.

設A,8到平面COE的距離分別為d2,則B+dzWAB,

所以該多面體的體積U=^A-CDE+KB-CDE=,SAC￡)E，((A+d2)4~5ACD￡-AB,

過點C,D,E作球的截面圓O',

設圓。'的半徑為r,則「23,S.r<^AB,即rW5,所以3WrW5,

又點E到CD的距離最大值為r+Jr2—(言)2=廠+Vr2-92>

所以SmcDE<|x6x(r4-Vr2-9)=3(r+Vr2-9),

因為函數/(r)=r+尸F在［3,5］單調遞增，所以f(r)ma*=/(5)=5+4=9,

從而U<|SACDE?AB《￡x3x9=90.

故選C.

9.答案：BCD

解析：

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查四面體體積，平面與多面體截面積等有關知

識，屬于較難題，解題時取中點W,AB1中點S,可先根據4PJLD1Q,確定。位置就在/S上,

然后根據體積，面積等公式逐項檢驗即可.

解：如圖,

取4B中點W,必當中點S,連接WS,OVV,￡)iS,

在正方形A8CO中，易得4P1DW,又AP1DC1，

DWnDDX-D,U平面OH'SOi,

所以APd.平面。H'SDi,

因為點Q是底面上的動點，且4P1D1Q,

故點。在QS上運動，DrS//DW,

所以OP與DiQ所成角就是DP與OW所成的角，即NODP,

易得0。=竽,0P=言，

直角三角形。OP不是等腰直角三角形，故A錯誤；

由于三角形A8P面積固定，。在上底面，Q到面ABP距離為2不變，故四面體ABPQ體積不變，B

正確；

因為。點在DiS上，過4向DA作垂線，垂足為“，即是符合條件的。點,

△44Q的面積有最小值就是△441”的面積，

44］和上底面垂直，4441”是直角，

所以面積為3/UIXAIH=：X2X,=誓，C正確;

平面01PQ就是過點P與QS確定的平面，不因。變化而變化，故平面截正方體的截面面積不會改變,

。正確，

故選BCD.

10.答案：ABC

解析：

本題考查異面直線所成的角及線面垂直的判定與性質，同時考查棱錐的體積及空間距離，為較難題.

結合正方體的性質及己知逐一分析求解即可，解此題的關鍵是對正方體的性質要熟練.

解：對于A,

連接BD,交AC于。，在正方體中，有AC1BD,

又在正方體中，DDrABCD,ACABCD,

則1AC,

y.BDnDDX=D,BD、D%u平面8皿。8,

AC1平面BiDiDB,

又BEu平面B/iDB,

:.AC1BE,

所以A正確；

對于B,A到平面8EF的距離等于A到平面BiDiDB的距離,

又ACJ■平面8也08,

???在正方體中，A到平面8皿。8的距離為AO,為定值字a，

所以8正確；

2

對于C,由已知，得：S^BEF--xax—a=—a>

所以三棱錐A-BE尸的體積為V=[SABEFx4。=-^a3,

而正方體力BCD-4B1C1D1的體積為a3,

所以三棱錐4-BEF的體積是正方體ABCD-4出。也體積的方

所以C正確；

對于。，設異面直線AE,B尸所成的角為a,

當E與Di重合時，尸為反。1中點，連接AD】和BG，

在正方體中易知四邊形4BGD1為平行四邊形，貝IJ4DJ/BG，

???a=乙FBC],

因為C】F_￡平面所以C1F1BF,

所以sina=翳=：,a-30°；

DLiZ

當尸與當重合時，E為B】Di中點，

在正方體中有44i〃BB「

則Q=Z_E44I，tana=aR30。,

???異面直線AE、所成的角不是定值，

所以。錯誤.

故選ABC.

11.答案：BCD

解析：

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查四面體體積，平面與多面體截面積等有關知

識，屬于較難題，解題時取AB中點W,中點S,可先根據APLDiQ,確定。位置就在上,

然后根據體積，面積等公式逐項檢驗即可.

解：如圖，

取AB中點W,41當中點S,連接WS,￡)W,DiS,

在正方形ABC。中，易得4PJ.DVV,又API.。。1，

DWClDD1=D,。。1U平面。l「SDi，

所以.4PJ.平面。H'S",

因為點。是底面48道1。1上的動點，且4P1D1Q,

故點Q在上運動，D^f/DW,

所以OP與。1Q所成角就是DP與。卬所成的角，即NODP,

易得OD=延,OP=延，

55

直角三角形。OP不是等腰直角三角形，故A錯誤；

由于三角形ABP面積固定，。在上底面，Q到面ABP距離為2不變，故四面體A3P。體積不變，B

正確；

因為。點在上，過4向DA作垂線，垂足為“，即是符合條件的。點，

△44Q的面積有最小值就是△441”的面積，

44］和上底面垂直，4441”是直角，

所以面積為3/UIX&H=：X2X,=笫,C正確；

平面QPQ就是過點P與QS確定的平面，不因。變化而變化，故平面截正方體的截面面積不會改變，

。正確，

故選BCD.

12.答案：AD

解析：

本題考查簡單多面體的結構特征，球的體積公式，二面角的計算，屬于較難題.

對于A,假設。為芻童外接球的球心，連接”凡EG交于點。「連接AC,交于點3，由球的兒

何性質可知0,。「。2在同一條直線上，。。1平面ABCD,。。1，平面EFGH,0r02=1,設。。2=r,

利用勾股定理和球的半徑相等的條件列式，求出，的值，進而求出外接球的半徑，即可求出體積；

對于8,由棱臺的性質可得結論；對于C,利用反證法，由等角定理與實際結論矛盾可判定；對于。，

直接構建二面角的平面角NQP02計算可得結論.

解：假設。為芻童外接球的球心，連接”尸，EG交于點01，連接AC,交于點。2，

由球的兒何性質可知。，外在同一條直線上，

由題意可知，。。1J■平面ABCZ),。。11平面EFGH,0102=1,

設。。2=r,

在RtzlOGOi中，0G2=0。/+01G2,

在矩形EFGH中，EG=VEF2+FG2=V16T4=2遙，01G=攀=花，

0G2=。0/+。傳2=(r++5,

22

在RtZiOBO?中，。加=002+02B,

在矩形ABC。中，DB=VW+4,2=757T7=4&,02B=號=2近,

2222

OB=002+O2B=r+8,

設外接球的半徑0G=0B=R,(r++5=N+8,解得r=1,

則R=0B=Vl2+8=3,則該芻童外接球的體積V=g兀R'=36乃，故A正確;

對于8,因為黑=專，喘所以由累力黑可得，該芻童不是棱臺，故B錯誤；

AD77AB5ADAB

對于C,由題意，面ABCD"面EFGH，旦面ABCDn面ABFE=AB,面EFGHn面ABFE=EF,所

以AB//EF,若4C,EG在同一個平面內，同理可得4C〃EG,

由同角定理可得4a4B=4GEF或NCAB+NGEFTT,

又因為Rt^CB.A中，tan“4B=^=亞，R2GFE中，tanzGEF=啜=；,這與兩角相等或互補

AB5EF2

矛盾，所以AC,EG不在同一個平面內，故C錯誤；

對于D,過。1作OiQ1EH且相交于點Q,過。2作02P1力D且相交于點P,連接PQ,易得/QP。?即

為二面角—H的平面角，在直角梯形QPO20中，（?。1=拶=2,P02=^-=|，。1。2=1，

5QL

八八八P0O-Q0A--2IV5

所以8SNQPO2=PQ-="岸2）2=而=與，故O正確；

故選AD.

13.答案:BC

解析：

本題考查簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結構特征，棱柱、棱錐、棱臺的側面積、表面積和體

積，球的表面積和體積，空間中直線與直線的位置關系，涉及三角形面積公式，余弦定理，同角三

角函數關系式，屬于較難題.

由題意，根據長方體的結構特點對選項逐一判斷即可.

解：對于A,如圖1,連接4C,

由長方體性質可得&CJ/AC,

又?：AB=2,AD=3,

二四邊形ABCD是矩形，不是正方形，3。與AC不垂直,

BD與4修1不垂直，故A錯誤；

對于B,?1-44i=1,AB=2,AD=3,長方體4BCD—4B1GD1的外接球的直徑為長方體的體對角

線長，

2R=Vl2+22+32=V14>

故長方體力BCD-的外接球的表面積為垢儲Ux（旺產=HTT，故8正確;

對于C,三棱錐&-BDC的體積為以「Boe=|5A6DC-AA,

=ix|x2x3xl=l,故C正確；

對于￡>,如圖2,

三棱錐&-BOQ的四個面是全等的三角形,

2222

而△&B。中，ArD=Vl+3=V10，BD=V2+3=V13,=縣,

：?cosZ,-nBA4,D八=-AI-M-+-A--B-2-B-0-210+5-13V2

1=——尸=—,

2A1DA1B2xV10xV510

sin/BAiD=yjl-=J1-(^j)2=飛,

???三棱錐為-BDCi的表面積為4xgxV10xV5x^=14>

而三棱錐&TBD的表面積苦X3X1+N2X1+"2X3+NAUX^XM=9K14^。

錯誤.

故選BC.

14.答案：ABD

解析：

本題主要考查命題真假的判斷，解題時要注意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、垂直的判

定，要注意使用轉化的思想.利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解.

連結DB,容易證明_L平面力CZ\,從而可以證明面面垂直；連接&B,aG容易證明平面BaCJ/

平面ZCD1，從而由線面平行的定義可得；分析出4P與ADi所成角的范圍，從而可以判斷真假

■V,D1_APC=VP_AD1C,P到平面的距離不變，且三角形4D1C的面積不變，從而可以判斷真假.

解：對于A,連結。B,因為正方體中，_L平面ABC。，AC在平面ABC。內，所以8當_1_4。，

又因為DB1AC,DB,BBi為平面OB/內兩條相交直線，所以AC_L平面CBB1，因為。在平面。8當

內，所以。當，力（?，同理可得DB114D1，AD1、4c為平面ACD1內兩條相交直線，可得Da1平面

ACDltOB1在平面PBi。內，從而平面PBi。_L平面AC。1，A正確；

對于3,連接&B,&G，A^J/AC,&G不在平面AC%內，AC在平面ACQ內，所以&G〃平面

ACDr,同理BCi〃平面4CDi，又&G、BCi為平面B&Ci內兩條相交直線，所以平面B&C1〃平面AC/,

4止在平面84G內，所以&P〃平面AC。1，故B正確；

對于C,4P與4劣所成角即為4P與BQ的所成角，&B=BCi=ACi，當P與線段BC1的兩端點重

合時，&P與4劣所成角取最小值會當P與線段BQ的中點重合時，&P與AD1所成角取最大值會故

A』與45所成角的范圍是槨，耳，故C不正確：

對于。，由選項B得BCJ/平面4%C,故BCi上任意一點到平面4%C的距離均相等，所以以P為

頂點，平面4。道為底面，則三棱錐。一4。道為的體積不變，又%LAPC=%TD|C，所以三棱錐久一

4PC的體積不變，故。正確.

故選ABD.

15.答案：AB

解析：

本題考查異面直線所成的角及線面垂直的判定與性質，同時考查棱錐的體積及空間距離，為較難題.

結合正方體的性質及已知，逐一分析求解即可，解此題的關鍵是對正方體的性質要熟練.

解：對于A,

連接BD,交AC于。，在正方體中，有AC1BD,

又在正方體中，DDrABCD,ACu平面48CD,

則1AC,

又BDn叫=D,BD、DDiu平面&。山3,

???AC1平面8也。8,

又BEu平面B/iDB,

AC1BE,所以A正確；

對于B,A至IJ/BEF所在平面的距離等于A到平面&D1DB的距離，

乂AC1平面B/iDB,

在正方體中，A到平面當。1。8的距離為A。，為定值/a，所以8正確；

對于C,由已知SABEF=巳xaxja='a?,

所以三棱錐A-BEF的體積為V=況BEFx4。=》3,

而正方體力BCD-AiBiQDi的體積為a3,

所以三棱錐4-BEF的體積是正方體ABCD-&81的。1體積的專,

所以C錯誤；

對于。，當點E在Q處，尸為D/1的中點時，異面直線AE,8F所成的角是NFBCi，

當E在仇當的中點時，尸在當的位置，異面直線AE,B尸所成的角是NE44「顯然兩個角不相等，

命題。錯誤；

故選AB.

16.答案：9遍

解析：

本題考查空間幾何體的截面問題，需要熟練掌握組合體的結構特征，屬于難題.

根據題干條件正確畫出圖形，進行分析確定球心的位置，并結合條件求出球的半徑，確定截面的形

狀，進一步計算截面面積即可.

解：結合題意可得下圖，設AB的中點為E,CO的中點為F,連PE,PF,則〃在PE上，ABCD的

中心為H,球心O和N都在PH上，

因為平面a過點M,N且與AB平行，所以截面STY'S'為等腰梯形，

HE=2^6,PH=6近,PE=4拈

由4PM0-4PHE得二=亞Mr=272.

2V64v6

乙EPH=30°,所以PM=2V2xV3=2V6=)E,M為PE的中點,

MN2=(2A/6)2+(2V2)2-2x2>/6x2V2xy=8,MA/=2日

所以AOMN為正三角形，所以NPMN=30。，

又乙EPF=60°,所以“G=2V6Xy=3近，

而ST==2>/6,=V6,

-2AB2PG=-PM=?4ST=-PF

所以截面的面積為?x3夜x(2V6+V6)=9百，

故答案為9次.

17.答案：誓一1

解析：

本題考查線段長的最小值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推

理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，屬于中檔題.

取&Ci中點。，則M。1面4當6。1，即MOLOP,可得點尸在以。為圓心，以1為半徑的位于平

面4aGD1內的半圓上.即。到&N的距離減去半徑即為P0長度的最小值，作0H_L4N于從可

得OH,PQ長度的最小值為。H—1.

解：如圖，取BiG中點O,且M為8C中點，

則M。平面A/iCiDi，且OPu平面&8停1。1，

???MO1OP,

?:PM=相,則0P=J（而/-22=1，

???點尸在以。為圓心，以1為半徑的位于平面4B1GD1內的半圓上.

可得。到&N的距離減去半徑即為PQ長度的最小值，

作1&N于H,

???△為0N的面積為2x2-1x2xlx2-|xlxl=|,

??A&NXOH=|,可得。”=逆，；.PQ長度的最小值為逆一1.

/N55

18.答案：10

解析：

本題考查了圓錐的結構特征，球與幾何體的問題，考查了空間想象力，將立體圖轉化為平面圖是解

決本題的關鍵，屬于難題.

先作出圓錐軸截面圖，根據幾何關系求出球。半徑R,小球半徑為，?，再根據小球相鄰相切，排在一

起，則球心在一個半徑為空的圓M上，結合三角函數性質得到單個球在圓M上所占的圓心角28的

3

取值范圍，然后求出警的范圍即可求解.

解：由題意可知圓錐軸截面為正三角形，高為3,如圖所示：

￡

B

設球。半徑為R,由NOCB=30。，可得0C=2R,

故04=0C=2R,所以R+2R=3,

???R=l,OC=2,故得EC=1,

設小球半徑為r,同理可得。'C=2r,故3r=1,所以小球半徑為r=%

且。。'=：,這時。'到直線A0的距離為±sin60。=越，

這些小球相鄰相切，排在一起，則球心在一個半徑為瑟的圓M上，如圖所示:

3

”為相鄰兩球切點，M1，“2分別為相鄰兩球球心，設乙。，則

則SE。=盤=qtan”言=券

由三角函數的性質可知sin。<9<land,

,■<4<28<言,

VTTTT<^<2V37T,

2u

■：x/ilw=/ll亓2>1()>2瓜K=，⑵2<：II，

故可得能放入小球個數最多為10,

故答案為10.

19.答案:更

3

解析:

本題考查球的內接三棱錐和內接正方體間的關系及其相互轉化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，

屬于中檔題.，

先利用正三棱錐的特點，將球的內接三棱錐問題轉化為球的內接正方體問題，從而將所求距離轉化

為正方體中，中心到截面的距離問題，.

解：??,正三棱錐P-48C,PA,PB,PC兩兩垂直，

;此正三棱錐的外接球即以PA,PB,PC為三邊的正方體的外接球。，

??,球0的半徑為百，

二正方體的邊長為2,即PA=PB=PC=2,

球心到截面A8C的距離即正方體中心到截面ABC的距離，

設P到截面ABC的距離為h,則正三棱錐P-力BC的體積V=1sA4ecxh=|sAP4exPC=ixix

4

2x2x2=-,

3

△ABC為邊長為2近的正三角形，S-8c=—x（2近＞=2V3.

4

.3V2\[3

???h==——,

S&ABC3

???球心（即正方體中心）0到截面ABC的距離為我一竽=?.

故答案為理.

3

20.答案：工+在

25

解析：

由題意，就是求M到。么與CCi距離和的最小值，由于4/在平面4BCO上的射影為AF,故問題轉

化為正方形ABCO中，AF上的點到。，C距離和的最小值.本題考查棱柱的結構特征，考查余弦定

理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

解：由題意，就是求M到。％與CG距離和的最小值，

由于&F在平面ABC。上的射影為AF,故問題轉化為正方形ABCZ）中，

AF上的點到。，C距離和的最小值，如圖所示，

D

AEB

。為所求，則由射影定理，

21

可得，DO=布，sin乙40。=cos乙CD0=再，

?，?CO=J1+g-2x1x-j=x店=1?

???△MOD1與AMCG的面積和的最小值是+^)=|+y.

故答案為工+些.

25

21.答案：%;七

解析：

本題重點考查二面角、異面直線的夾角和棱錐的外接球問題，屬于較難題.

連8歷，DM,通過說明AC_L平面BOM,得ACJ.BD,即可求得異面直線AC與8。所成角的大小為

7T

2；

先說明四面體A8CQ的外接球的球心在線段上，設為0,由余弦定理求出。M,由等面積法求

出NO,進一步可求比值.

解：連BM,DM,因為4B=ZC,M是AC的中點，

所以BM14C,

同理DMJ.AC,

又BMnOM=M,BM,DMu平面BOM

所以AC，平面BDM,

又BDu平面BDM,

所以AC1BD,即異面直線AC與5。所成角的大小為，

由4CJ■平面BOM,MNu平面BOM,可得4c_LMN,

易得△84C三A/MC,又M為AC中點，貝=

所以BD1M/V,

所以四面體ABC。的外接球的球心在線段MN上，設為0,

因為MB=J102-(y)2=8=MD.M4=與=6,

由VAL42+。“2=yjBM2+M02_2BM-MO-coszfiMO

得、62+0Af2=V82+0M2-2x8xOMxcos30°.

解得。M=型，

6