課時分層作業(二十六)球的表面積和體積一、選擇題1．兩個球的體積之比為8∶27，那么這兩個球的表面積之比為()A．2∶3 B．4∶9C．2∶3 D．8∶272．若一個實心球對半分成兩半后表面積增加了4π，則原來實心球的表面積為()A．4π B．8πC．12π D．16π3．過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為()A．316 B．C．38 D．4．我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑．“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d≈316V9．假如球的半徑為13，依據“開立圓術”A．π8 B．C．481 D．5．(多選)如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，則下列結論正確的是()A．圓柱的側面積為2πR2B．圓錐的側面積為2πR2C．圓柱的側面積與球面面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶2二、填空題6．一個正方體的八個頂點都在體積為43π的球面上，則正方體的表面積為________7．圓柱形容器內盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的鐵球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好沉沒最上面的鐵球(如圖所示)，則鐵球的半徑是________cm．8．若兩球的體積之和是12π，經過兩球球心的截面圓周長之和為6π，則兩球的半徑之差為________．三、解答題9．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．10．將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為()A．4π3C．3π211．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的表面積為()A．153π B．160πC．169π D．360π12．一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為323π，那么這個正三棱柱的體積是(A．963 B．163C．243 D．48313．圓柱內接于球，圓柱的底面半徑為3，高為8，則球的表面積為________．14．已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積．15．一個高為16的圓錐內接于一個體積為972π的球，在圓錐里又有一個內切球．求：(1)圓錐的側面積；(2)圓錐內切球的體積．課時分層作業(二十六)1．B[設兩個球的半徑分別為r，R，則43πr3∶43πR3＝r3∶R3＝8∶27，所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2．B[設實心球的半徑為R．由題意可得，2πR2＝4π，∴原來實心球的表面積為4πR2＝8π．故選B．]3．A[設球的半徑為R，所得的截面為圓M，圓M的半徑為r．易知R2＝14R2＋r2，∴34R2＝r則S球＝4πR2，截面圓M的面積為πr2＝34πR2，則所得截面的面積與球的表面積的比為34πR24．D[由題意，得r＝13，d＝2所以23≈316V9，解得5．CD[依題意得球的半徑為R，則圓柱的側面積為2πR×2R＝4πR2，所以A錯誤；圓錐的側面積為πR×5·R＝5πR2，所以B錯誤；球面面積為4πR2，因為圓柱的側面積為4πR2，所以C正確；因為V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，V圓錐＝13πR2·2R＝23πR3，V球＝43πR3，所以V圓柱∶V圓錐∶V球＝2πR3∶23πR3∶43πR3＝3∶1∶6．8[設球的半徑為R，正方體的棱長為a，則43πR3＝43π，故R＝1，由3a＝2R＝2，所以a＝23，所以正方體的表面積為S＝6a2＝6×7．4[設鐵球的半徑為rcm，由題意得πr2×8＝πr2×6r－43πr3×3，解得r＝8．1[設兩球的半徑分別為R，r(R>r)，則由題意得4π3R3+4π39．解：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．該組合體的體積V＝43πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝10．A[由題意知，此球是正方體的內切球，依據其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是43×π×13＝411．C[由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱補成長方體，其體對角線就是外接球的直徑，所以球O的半徑R＝1232+42+122＝132，所以球O12．D[由題意可知正三棱柱的高等于球的直徑，從棱柱中間平行棱柱底面截得球的大圓內切于正三角形，正三角形與棱柱底面三角形全等，設三角形邊長為a，球半徑為r，由V球＝43πr3＝323π，得r＝2．由S柱底＝12a×r×3＝34a2，得a＝23r＝43，所以V柱＝S柱底·2r13．100π[如圖，由條件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面積為100π．]14．解：因為AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°．又球心O到截面△ABC的投影O′為截面圓的圓心，也是Rt△ABC的外接圓的圓心，所以斜邊AC為截面圓O′的直徑(如圖所示)，設O′C＝r，OC＝R，則球半徑為R，截面圓半徑為r，在Rt△O′CO中，由題設知sin∠O′CO＝OO'OC所以∠O′CO＝30°，所以rR＝cos30°＝3即R＝23r，又2r＝AC＝30?r＝15，代入(*)得R＝103．所以球的表面積為S＝4πR2＝4π×(103)2＝1200π．球的體積為V＝43πR3＝43π×(103)3＝400015．解：(1)如圖所示，作出軸截面，則等腰三角形SAB內接于圓O，而圓O1內切于△SAB．設圓O的半徑為R，則有43πR3＝972π∴R＝9，∴SE＝2R＝18．∵SD＝16，∴ED＝2．連接AE，又SE是圓O的直徑，∴SA⊥AE，∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝122．∵AB⊥SD，D為AB中點，∴AD2＝SD