湖南省郴州市第五完全中學2025屆數學九上期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．對于拋物線，下列說法中錯誤的是（）A．頂點坐標為B．對稱軸是直線C．當時，隨的增大減小D．拋物線開口向上2．由兩個可以自由轉動的轉盤、每個轉盤被分成如圖所示的幾個扇形、游戲者同時轉動兩個轉盤，如果一個轉盤轉出了紅色，另一轉盤轉出了藍色，游戲者就配成了紫色下列說法正確的是（）A．兩個轉盤轉出藍色的概率一樣大B．如果A轉盤轉出了藍色，那么B轉盤轉出藍色的可能性變小了C．先轉動A轉盤再轉動B轉盤和同時轉動兩個轉盤，游戲者配成紫色的概率不同D．游戲者配成紫色的概率為3．已知二次函數的圖象如圖所示，分析下列四個結論：①abc＜0；②b2-4ac＞0；③；④a+b+c＜0.其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．二次函數化為的形式，結果正確的是（）A． B．C． D．5．舉世矚目的港珠澳大橋于2018年10月24日正式開通營運，它是迄今為止世界上最長的跨海大橋，全長約55000米.55000這個數用科學記數法可表示為()A．5.5×103 B．55×103 C．0.55×105 D．5.5×1046．如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，則∠BOC的度數為（）A．40° B．50° C．80° D．100°7．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A(3，0)，頂點B在y軸正半軸上，頂點D在x軸負半軸上，若拋物線y=－x2－5x+c經過點B、C，則菱形ABCD的面積為（）A．15 B．20 C．25 D．308．如圖，在中，，，則的值是（）A． B．1 C． D．9．下列事件中，屬于必然事件的是（）A．明天太陽從北邊升起 B．實心鉛球投入水中會下沉C．籃球隊員在罰球線投籃一次，投中 D．拋出一枚硬幣，落地后正面向上10．已知關于的一元二次方程兩實數根為、，則（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，點，分別在線段，上，若，，，，則的長為________．12．如圖，菱形AD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，BD=2，分別以AB、BC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為__________．13．將拋物線y＝x2﹣2x+3向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為____________________________14．分解因式：x3﹣4x2﹣12x=_____．15．一個容器盛滿純藥液40L，第一次倒出若干升后，用水加滿；第二次又倒出同樣體積的溶液，這時容器里只剩下純藥液10L，則每次倒出的液體是__________L．16．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，點D、E分別在BC、AC上（點D不與點B、C重合），且∠ADE＝45°，若△ADE是等腰三角形，則CE＝_____．17．正方形ABCD的邊長為4，點P在DC邊上，且DP＝1，點Q是AC上一動點，則DQ＋PQ的最小值為______．18．若是關于的一元二次方程，則__________．三、解答題(共66分)19．（10分）為推進“傳統文化進校園”活動，我市某中學舉行了“走進經典”征文比賽，賽后整理參賽學生的成績，將學生的成績分為四個等級，并將結果繪制成不完整的條形統計圖和扇形統計圖．請根據統計圖解答下列問題:（1）參加征文比賽的學生共有人；（2）補全條形統計圖；（3）在扇形統計圖中，表示等級的扇形的圓心角為__圖中；（4）學校決定從本次比賽獲得等級的學生中選出兩名去參加市征文比賽，已知等級中有男生一名，女生兩名，請用列表或畫樹狀圖的方法求出所選兩名學生恰好是一名男生和一名女生的概率．20．（6分）已知：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點D是BC邊上的一個動點(不與B，C點重合)，∠ADE＝45°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）設BD＝x，AE＝y，求y關于x的函數關系式；（3）當△ADE是等腰三角形時，請直接寫出AE的長．21．（6分）如圖，在中，弦垂直于直徑，垂足為，連結，將沿翻轉得到，直線與直線相交于點．（1）求證：是的切線；（2）若為的中點，①求證：四邊形是菱形；②若，求的半徑長．22．（8分）市射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加省比賽，對他們進行了六次測試，測試成績如下表（單位：環）：

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

第6次

甲

10

9

8

8

10

9

乙

10

10

8

10

7

9

（1）根據表格中的數據，分別計算出甲、乙兩人的平均成績；（2）分別計算甲、乙六次測試成績的方差；（3）根據（1）、（2）計算的結果，你認為推薦誰參加省比賽更合適，請說明理由．23．（8分）已知反比例函數的圖象過點P（－1，3），求m的值和該反比例函數的表達式．24．（8分）如圖，把一個木制正方體的表面涂上顏色，然后將正方體分割成64個大小相同的小正方體．從這些小正方體中任意取出一個，求取出的小正方體：（1）三面涂有顏色的概率；（2）兩面涂有顏色的概率；（3）各個面都沒有顏色的概率．25．（10分）如圖,在平面直角坐標系中,點,過點作軸的垂線,垂足為.作軸的垂線,垂足為點從出發,沿軸正方向以每秒個單位長度運動;點從出發,沿軸正方向以每秒個單位長度運動；點從出發,沿方向以每秒個單位長度運動.當點運動到點時,三點隨之停止運動.設運動時間為.(1)用含的代數式分別表示點,點的坐標.(2)若與以點,,為頂點的三角形相似,求的值.26．（10分）在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式——利用函數圖象研其性質——運用函數解決問題”的學習過程．如圖，在平面直角坐標系中己經繪制了一條直線．另一函數與的函數關系如下表：…－6－5－4－3－2－10123456……－2－0.2511.7521.751－0.25－2－4.25－7－10.25－14…（1）求直線的解析式；（2）請根據列表中的數據，繪制出函數的近似圖像；（3）請根據所學知識并結合上述信息擬合出函數的解折式，并求出與的交點坐標．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】A.將拋物線一般式化為頂點式即可得出頂點坐標，由此可判斷A選項是否正確；B.根據二次函數的對稱軸公式即可得出對稱軸，由此可判斷B選項是否正確；C.由函數的開口方向和頂點坐標即可得出當時函數的增減性，由此可判斷C選項是否正確；D.根據二次項系數a可判斷開口方向，由此可判斷D選項是否正確.【詳解】，∴該拋物線的頂點坐標是，故選項A正確，對稱軸是直線，故選項B正確，當時，隨的增大而增大，故選項C錯誤，，拋物線的開口向上，故選項D正確，故選：C．【點睛】本題考查二次函數的性質.對于二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤時，y隨x的增大而減小；當x≥時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x≤時，y隨x的增大而增大；當x≥時，y隨x的增大而減小．在本題中能將二次函數一般式化為頂點式（或會用頂點坐標公式計算）得出頂點坐標是解決此題的關鍵.2、D【解析】A、A盤轉出藍色的概率為、B盤轉出藍色的概率為，此選項錯誤；B、如果A轉盤轉出了藍色，那么B轉盤轉出藍色的可能性不變，此選項錯誤；C、由于A、B兩個轉盤是相互獨立的，先轉動A轉盤再轉動B轉盤和同時轉動兩個轉盤，游戲者配成紫色的概率相同，此選項錯誤；D、畫樹狀圖如下：由于共有6種等可能結果，而出現紅色和藍色的只有1種，所以游戲者配成紫色的概率為，故選D．3、B【解析】①由拋物線的開口方向，拋物線與y軸交點的位置、對稱軸即可確定a、b、c的符號，即得abc的符號；

②由拋物線與x軸有兩個交點判斷即可；③由，a＜1，得到b＞2a，所以2a-b＜1；④由當x=1時y＜1，可得出a+b+c＜1．【詳解】解：①∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸左側，與y軸交于正半軸，

∴a＜1，，c＞1，∴b＜1，

∴abc＞1，結論①錯誤；

②∵二次函數圖象與x軸有兩個交點，

∴b2-4ac＞1，結論②正確；③∵，a＜1，

∴b＞2a，

∴2a-b＜1，結論③錯誤；

④∵當x=1時，y＜1；

∴a+b+c＜1，結論④正確．

故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系．二次函數y=ax2+bx+c（a≠1）系數符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數確定．4、A【分析】將選項展開后與原式對比即可；【詳解】A：，故正確；B：，故錯誤；C：，故錯誤；D：，故錯誤；故選A.【點睛】本題主要考查了二次函數的三種形式，掌握二次函數的三種形式是解題的關鍵.5、D【解析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值>1時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數．【詳解】55000的小數點向左移動4位得到5.5，所以55000用科學記數法表示為5.5×104，故選D.【點睛】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．6、D【分析】由題意直接根據圓周角定理求解即可．【詳解】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故選：D．【點睛】本題考查圓周角定理的運用，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．7、B【分析】根據拋物線的解析式結合拋物線過點B、C，即可得出點C的橫坐標，由菱形的性質可得出AD=AB=BC=1，再根據勾股定理可求出OB的長度，套用平行四邊形的面積公式即可得出菱形ABCD的面積．【詳解】解：拋物線的對稱軸為，∵拋物線y=-x2-1x+c經過點B、C，且點B在y軸上，BC∥x軸，

∴點C的橫坐標為-1．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC=AD=1，

∴點D的坐標為（-2，0），OA=2．

在Rt△ABC中，AB=1，OA=2，∴OB=，∴S菱形ABCD=AD?OB=1×4=3．

故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質、菱形的性質以及平行四邊形的面積，根據二次函數的性質、菱形的性質結合勾股定理求出AD=1、OB=4是解題的關鍵．8、A【分析】利用相似三角形的性質：相似三角形的面積比等于相似比的平方得到，即可解決問題．【詳解】∵，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．9、B【解析】必然事件就是一定會發生的事件，依據定義即可判斷．【詳解】A、明天太陽從北邊升起是不可能事件，錯誤；B、實心鉛球投入水中會下沉是必然事件，正確；C、籃球隊員在罰球線投籃一次，投中是隨機事件，錯誤；D、拋出一枚硬幣，落地后正面向上是隨機事件，錯誤；故選B．【點睛】考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件是指在一定條件下，一定發生的事件.10、A【解析】根據根與系數的關系求解即可.【詳解】∵關于的一元二次方程兩實數根為、，∴.故選：A．【點睛】本題考查了根與系數的關系，二次項系數為1，常用以下關系：、是方程的兩根時，，．二、填空題(每小題3分,共24分)11、7.1【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【詳解】解：，，即，解得，，，故答案為：7.1．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．12、－【分析】設BC的中點為M，CD交半圓M于點N，連接OM，MN．易證?BCD是等邊三角形，進而得∠OMN=60°，即可求出；再證四邊形OMND是菱形，連接ON，MD，求出，利用，即可求解．【詳解】設BC的中點為M，CD交半圓M于點N，連接OM，MN．∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴兩個半圓都經過點O，∵BD=BC=CD=2，∴?BCD是等邊三角形，∴∠BCD=60°，∴∠OCD=30°，∴∠OMN=60°，∴，∵OD=OM=MN=CN=DN=1，∴四邊形OMND是菱形，連接ON，MD，則MD⊥BC，?OMN是等邊三角形，∴MD=CM=，ON=1，∴MD×ON=，∴．故答是：－【點睛】本題主要考查菱形的性質和扇形的面積公式，添加輔助線，構造等邊三角形和扇形，利用割補法求面積，是解題的關鍵．13、或【分析】根據函數圖象向上平移加，向右平移減，可得函數解析式．【詳解】解：將y=x1-1x+3化為頂點式，得：y=（x-1）1+1．將拋物線y=x1-1x+3向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為：y=（x-1-3）1+1+1；即y=（x-4）1+3或.故答案為：或.【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，函數圖象的平移規律是：左加右減，上加下減．14、x（x＋2）（x－6）．【分析】因式分解的步驟：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要徹底．首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解，【詳解】解:x3﹣4x2﹣12x=x（x2﹣4x﹣12）=x（x+2）（x﹣6）．【點睛】本題考查因式分解-十字相乘法；因式分解-提公因式法，掌握因式分解的技巧正確計算是本題的解題關鍵.15、1【分析】設每次倒出液體xL，第一次倒出后還有純藥液（40﹣x），藥液的濃度為，再倒出xL后，倒出純藥液?x，利用40﹣x﹣?x就是剩下的純藥液10L，進而可得方程．【詳解】解：設每次倒出液體xL，由題意得：40﹣x﹣?x=10，解得：x=60（舍去）或x=1．答：每次倒出1升．故答案為1．【點睛】本題考查一元二次方程的應用．16、2﹣或．【分析】當△ABD∽△DCE時，可能是DA＝DE，也可能是ED＝EA，所以要分兩種情況求出CE長．【詳解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°．∵∠ADE＝45°，∴∠B＝∠C＝∠ADE．∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，∴∠ADB＝∠DEC．∵∠ADC+∠B+∠BAD＝180，∠DEC+∠C+∠CDE＝180°，∴∠ADC+∠B+∠BAD＝∠DEC+∠C+∠CDE，∴∠EDC＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE∵∠DAE＜∠BAC＝90°，∠ADE＝45°，∴當△ADE是等腰三角形時，第一種可能是AD＝DE．∴△ABD≌△DCE．∴CD＝AB＝．∴BD＝2﹣=CE，當△ADE是等腰三角形時，第二種可能是ED＝EA．∵∠ADE＝45°，∴此時有∠DEA＝90°．即△ADE為等腰直角三角形．∴AE＝DE＝AC＝．∴CE=AC＝當AD＝EA時，點D與點B重合，不合題意，所以舍去，因此CE的長為2﹣或．故答案為：2﹣或．【點睛】此題主要考查相似三角形的應用，解題的關鍵是熟知全等三角形的性質及等腰直角三角形的性質.17、1【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化DQ，PQ的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：如圖，連接BP，∵點B和點D關于直線AC對稱，∴QB=QD，則BP就是DQ+PQ的最小值，∵正方形ABCD的邊長是4，DP=1，∴CP=3，∴BP=∴DQ+PQ的最小值是1．【點睛】本題考查軸對稱-最短路線問題；正方形的性質．18、1【分析】根據一元二次方程的定義可知的次數為2，列出方程求解即可得出答案．【詳解】解：∵是關于的一元二次方程，∴，解得：m=1，故答案為：1．【點睛】本題重點考查一元二次方程定義，理解一元二次方程的三個特點：（1）只含有一個未知數；（2）未知數的最高次數是2；（1）是整式方程；其中理解特點（2）是解決這題的關鍵．三、解答題(共66分)19、（1）30；（2）圖見解析；（3）144°，30；（4）．【分析】（1）根據等級為A的人數除以所占的百分比即可求出總人數；（2）根據條形統計圖得出A、C、D等級的人數，用總人數減A、C、D等級的人數即可；（3）計算C等級的人數所占總人數的百分比，即可求出表示等級的扇形的圓心角和的值；（4）利用列表法或樹狀圖法得出所有等可能的情況數，找出一名男生和一名女生的情況數，即可求出所求的概率．【詳解】解：（1）根據題意得成績為A等級的學生有3人，所占的百分比為10%，則3÷10%=30，即參加征文比賽的學生共有30人；（2）由條形統計圖可知A、C、D等級的人數分別為3人、12人、6人，則30?3?12?6=9（人），即B等級的人數為9人補全條形統計圖如下圖（3），，∴m=30（4）依題意，列表如下:男女女男(男，女)(男，女)女(男，女)(女，女)女(男，女)(女，女)由上表可知總共有6種結果，每種結果出現的可能性相同，其中所選兩名學生恰好是一男一女的結果共有4種，所以；或樹狀圖如下由上圖可知總共有6種結果，每種結果出現的可能性相同，其中所選兩名學生恰好是一男一女的結果共有4種，所以．【點睛】本題考查了條形統計圖、扇形統計圖以及利用列表法或者樹狀圖法求概率，弄清題意是解題的關鍵．20、（1）證明見解析；（2）y=x2-x+1=（x-）2+；（3）AE的長為2-或．【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質及三角形內角與外角的關系，易證△ABD∽△DCE．

（2）由△ABD∽△DCE，對應邊成比例及等腰直角三角形的性質可求出y與x的函數關系式；

（3）當△ADE是等腰三角形時，因為三角形的腰和底不明確，所以應分AD=DE，AE=DE，AD=AE三種情況討論求出滿足題意的AE的長即可．【詳解】（1）證明：

∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠B=∠C=∠ADE=45°

∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE

∴∠BAD=∠CDE

∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE，

∴=，

∵∠BAC=90°，AB=AC=1，

∴BC=，CD=-x，EC=1-y，

∴=，

∴y=x2-x+1=（x-）2+；

（3）當AD=DE時，△ABD≌△CDE，

∴BD=CE，

∴x=1-y，即x-x2=x，

∵x≠0，

∴等式左右兩邊同時除以x得：x=-1

∴AE=1-x=2-，

當AE=DE時，DE⊥AC，此時D是BC中點，E也是AC的中點，

所以，AE=；

當AD=AE時，∠DAE=90°，D與B重合，不合題意；

綜上，在AC上存在點E，使△ADE是等腰三角形，

AE的長為2-或．【點睛】本題考查相似三角形的性質、等腰直角三角形的性質、等腰三角形的判定和性質、二次函數的性質等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．21、（1）見解析；（2）①見解析，②1【分析】（1）連接OC，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，結合折疊的性質得∠OCA=∠FAC，于是可判斷OC∥AF，然后根據切線的性質得直線FC與⊙O相切；（2）①連接OD、BD，利用直角三角形斜邊上的中線的性質可證得CB=OC=OD=BD，再根據菱形的判定定理即可判定；②首先證明△OBC是等邊三角形，在Rt△OCE中，根據，構建方程即可解決問題；【詳解】（1）如圖，連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，由翻折的性質，有∠OAC=∠FAC，∠AEC=∠AFC=90°，∴∠FAC=∠OCA，∴∥AF，∴∠OCG=∠AFC=90°，故FG是⊙O的切線；（2）①如圖，連接OD、BD，∵CD垂直于直徑AB，∴OC=OD，BC=BD，又∵B為OG的中點，∴，∴CB=OB，又∵OB=OC，∴CB=OC，則有CB=OC=OD=BD，故四邊形OCBD是菱形；②由①知，△OBC是等邊三角形，∵CD垂直于直徑AB，∴，∴，設⊙O的半徑長為R，在Rt△OCE中，有，即，解之得：，⊙O的半徑長為：1．【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定，等邊三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用方程的思想解決問題．22、（1）9,9（2）23,3【詳解】（1）x甲=＝（10＋9＋8＋8＋10＋9）÷6x乙＝（10＋10＋8＋10＋7＋9）÷6＝（2）S（3）∵x甲∴推薦甲參加省比賽更合適【點睛】方差的基本知識是判斷乘積等一些頻率圖形分布規律的常考點23、2；．【分析】把點P的坐標代入函數解析式求得m的值即可【詳解】解：把點P（-1，3）代入，得．解得．把m=2代入，得，即．∴反比例函數的表達式為．【點睛】本題考查了待定系數法確定函數關系式，反比例函數圖象上點的坐標特征．難度不大，熟悉函數圖象的性質即可解題．24、（1）；（2）；（3）【分析】（1）三面涂有顏色的小正方體是在8個頂點處，共8個，再根據概率公式解答即可；

（2）兩面涂有顏色的小正方體是在12條棱的中間處，共24個，再根據概率公式解答即可