湖南省吉首市河溪中學2025屆數學九上期末達標檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，、分別與相切于、兩點，點為上一點，連接，，若，則的度數為（）A． B． C． D．2．方程的解是（）A． B． C．， D．，3．如圖，一塊直角三角板的30°角的頂點P落在⊙O上，兩邊分別交⊙O于A、B兩點，若⊙O的直徑為8，則弦AB長為（）A． B． C．4 D．64．如圖，從半徑為5的⊙O外一點P引圓的兩條切線PA，PB（A，B為切點），若∠APB＝60°，則四邊形OAPB的周長等于（）A．30 B．40 C． D．5．對于拋物線，下列說法中錯誤的是（）A．頂點坐標為B．對稱軸是直線C．當時，隨的增大減小D．拋物線開口向上6．受益于電子商務發展和法治環境改普等多重因素，“快遞業”成為我國經濟發展的一匹“黑馬”，2018年我國快遞業務量為600億件，預計2020年快遞量將達到950億件，若設快遞平均每年增長率為x，則下列方程中，正確的是（）A．600（1+x）＝950 B．600（1+2x）＝950C．600（1+x）2＝950 D．950（1﹣x）2＝6007．設A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是拋物線y=﹣(x+1)2+a上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為()A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y28．下列事件是必然事件的是()A．打開電視播放建國70周年國慶閱兵式B．任意翻開初中數學書一頁，內容是實數練習C．去領獎的三位同學中，其中有兩位性別相同D．食用保健品后長生不老9．在陽光的照射下，一塊三角板的投影不會是（）A．線段 B．與原三角形全等的三角形C．變形的三角形 D．點10．如圖，拋物線與直線交于，兩點，與直線交于點，將拋物線沿著射線方向平移個單位．在整個平移過程中，點經過的路程為（）A． B． C． D．11．如圖，已知．按照以下步驟作圖：①以點為圓心，以適當的長為半徑作弧，分別交的兩邊于，兩點，連接．②分別以點，為圓心，以大于線段的長為半徑作弧，兩弧在內交于點，連接，．③連接交于點．下列結論中錯誤的是（）A． B．C． D．12．若要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A．先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度B．先向左平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度C．先向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度D．先向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度二、填空題（每題4分，共24分）13．圖甲是小張同學設計的帶圖案的花邊作品，該作品由形如圖乙的矩形圖案設計拼接面成（不重疊，無縫隙）．圖乙中，點E、F、G、H分別為矩形AB、BC、CD、DA的中點，若AB＝4，BC＝6，則圖乙中陰影部分的面積為_____．14．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧AB，點O是這段弧所在圓的圓心，AB＝40m，點C是的中點，且CD＝10m，則這段彎路所在圓的半徑為__________m．15．如圖，已知⊙O的半徑為2，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，則圖中陰影部分的面積等于______．16．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，4），B（4，1），以原點O為位似中心，在點O的異側將△OAB縮小為原來的，則點B的對應點的坐標是________.17．如圖，某數學興趣小組將邊長為4的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細)，則所得的扇形DAB的面積為__________．18．設、是一元二次方程的兩實數根，則的值為_________三、解答題（共78分）19．（8分）已知：直線與y軸交于A，與x軸交于D，拋物線y＝x2+bx+c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為（1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線AE下方拋物線上一動點，求△PAE面積的最大值；（3）動點Q在x軸上移動，當△QAE是直角三角形時，直接寫出點Q的坐標；（4）若點M在y軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、E、M、F為頂點的平行四邊形，若存在直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．20．（8分）如圖，一次函數y＝kx+b與反比例函數y＝的圖象交于A（2，3），B（﹣3，n）兩點．（1）求反比例函數的解析式；（2）過B點作BC⊥x軸，垂足為C，若P是反比例函數圖象上的一點，連接PC，PB，求當△PCB的面積等于5時點P的坐標．21．（8分）已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣2的頂點為A，且經過點（3，﹣3）.（1）求拋物線的解析式及頂點A的坐標;（2）將原拋物線沿射線OA方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點，如圖，請問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是否為定值？若是，請求出這個定值;若不是，請說明理由.22．（10分）如圖，在同一平面直角坐標系中，正比例函數y＝2x的圖象與反比例函數y＝的圖象交于A，B兩點，過點A作AC⊥x軸，垂足為點C，AC＝2，求k的值．23．（10分）解分式方程：．24．（10分）鄂州某個體商戶購進某種電子產品的進價是50元/個，根據市場調研發現售價是80元/個時，每周可賣出160個，若銷售單價每個降低2元，則每周可多賣出20個．設銷售價格每個降低x元（x為偶數），每周銷售量為y個．（1）直接寫出銷售量y個與降價x元之間的函數關系式；（2）設商戶每周獲得的利潤為W元，當銷售單價定為多少元時，每周銷售利潤最大，最大利潤是多少元？25．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，∠AOB=90°，AB∥x軸，OA=2，雙曲線經過點A．將△AOB繞點A順時針旋轉，使點O的對應點D落在x軸的負半軸上，若AB的對應線段AC恰好經過點O．（1）求點A的坐標和雙曲線的解析式；（2）判斷點C是否在雙曲線上，并說明理由26．若一條圓弧所在圓半徑為9，弧長為，求這條弧所對的圓心角．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】先利用切線的性質得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四邊形的內角和計算出∠AOB的度數，然后根據圓周角定理計算∠ACB的度數．【詳解】解：連接、，∵、分別與相切于、兩點，∴，，∴．∴，∴．故選C．【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理．2、C【分析】先把從方程的右邊移到左邊，并把兩邊都除以4化簡，然后用因式分解法求解即可.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，.故選C.【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關鍵.3、C【分析】連接AO并延長交⊙O于點D，連接BD，根據圓周角定理得出∠D＝∠P＝30°，∠ABD＝90°，再由直角三角形的性質即可得出結論．【詳解】連接AO并延長交⊙O于點D，連接BD，∵∠P＝30°，∴∠D＝∠P＝30°．∵AD是⊙O的直徑，AD＝8，∴∠ABD＝90°，∴AB＝AD＝1．故選：C．【點睛】此題考查圓周角定理，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，由于三角板的直角邊不經過圓心，所以連接出直徑的輔助線是解題的關鍵.4、D【分析】連接OP，根據切線長定理得到PA＝PB，再得出∠OPA＝∠OPB＝30°，根據含30°直角三角形的性質以及勾股定理求出PB，計算即可．【詳解】解：連接OP，∵PA，PB是圓的兩條切線，∴PA＝PB，OA⊥PA，OB⊥PB，又OA=OB，OP=OP，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OPA＝∠OPB＝30°，∴OP=2OB=10，∴PB＝=5＝PA，∴四邊形OAPB的周長＝5+5+5+5＝10（+1），故選：D．【點睛】本題考查的是切線的性質、切線長定理、勾股定理以及全等三角形的性質等知識，作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．5、C【分析】A.將拋物線一般式化為頂點式即可得出頂點坐標，由此可判斷A選項是否正確；B.根據二次函數的對稱軸公式即可得出對稱軸，由此可判斷B選項是否正確；C.由函數的開口方向和頂點坐標即可得出當時函數的增減性，由此可判斷C選項是否正確；D.根據二次項系數a可判斷開口方向，由此可判斷D選項是否正確.【詳解】，∴該拋物線的頂點坐標是，故選項A正確，對稱軸是直線，故選項B正確，當時，隨的增大而增大，故選項C錯誤，，拋物線的開口向上，故選項D正確，故選：C．【點睛】本題考查二次函數的性質.對于二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤時，y隨x的增大而減小；當x≥時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x≤時，y隨x的增大而增大；當x≥時，y隨x的增大而減小．在本題中能將二次函數一般式化為頂點式（或會用頂點坐標公式計算）得出頂點坐標是解決此題的關鍵.6、C【分析】設快遞量平均每年增長率為，根據我國2018年及2020年的快遞業務量，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【詳解】設快遞量平均每年增長率為x，依題意，得：600(1+x)2=1．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．7、A【分析】根據函數解析式畫出拋物線以及在圖象上標出三個點的位置，根據二次函數圖像的增減性即可得解．【詳解】∵函數的解析式是，如圖：∴對稱軸是∴點關于對稱軸的點是，那么點、、都在對稱軸的右邊，而對稱軸右邊隨的增大而減小，于是．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖象的對稱性以及增減性，畫出函數圖像是解題的關鍵，根據題意畫出函數圖象能夠更直觀的解答．8、C【分析】根據必然事件指在一定條件下，一定發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，對每一項進行分析即可．【詳解】A.打開電視播放建國70周年國慶閱兵式是隨機事件，故不符合題意；B.任意翻開初中數學書一頁，內容是實數練習是隨機事件，故不符合題意；C.去領獎的三位同學中，其中有兩位性別相同是必然事件，符合題意；D.食用保健品后長生不老是不可能事件，故不符合題意；故選C.【點睛】本題考查的是事件的分類，事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件．9、D【分析】將一個三角板放在太陽光下，當它與陽光平行時，它所形成的投影是一條線段；當它與陽光成一定角度但不垂直時，它所形成的投影是三角形．【詳解】解：根據太陽高度角不同，所形成的投影也不同．當三角板與陽光平行時，所形成的投影為一條線段；當它與陽光形成一定角度但不垂直時，它所形成的投影是三角形，不可能是一個點，故選D.【點睛】本題考查了平行投影特點，不同位置，不同時間，影子的大小、形狀可能不同，具體形狀應視其外在形狀，及其與光線的夾角而定．10、B【分析】根據題意拋物線沿著射線方向平移個單位，點A向右平移4個單位，向上平移2個單位，可得平移后的頂點坐標．設向右平移a個單位，則向上平移a個單位，拋物線的解析式為y=(x+1-a)2-1+a，令x=2,y=(a-)2+,由0≤a≤4,推出y的最大值和最小值,根據點D的縱坐標的變化情形，即可解決問題．【詳解】解：由題意，拋物線沿著射線方向平移個單位，點A向右平移4個單位，向上平移2個單位，∵拋物線=(x+1)2-1的頂點坐標為(-1,-1),設拋物線向右平移a個單位，則向上平移a個單位，拋物線的解析式為y=(x+1-a)2-1+a令x=2,y=(3-a)2-1+a,∴y=(a-)2+,∵0≤a≤4∴y的最大值為8，最小值為，∵a=4時，y=2，∴8-2+2(2-)=故選：B【點睛】本題考查的是拋物線上的點在拋物線平移時經過的路程問題，解決問題的關鍵是在平移過程中點D的移動規律．11、C【分析】利用基本作圖得出是角平分線的作圖，進而解答即可．【詳解】由作圖步驟可得：是的角平分線，∴∠COE=∠DOE，∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，∴△COE≌△DOE，∴∠CEO=∠DEO，∵∠COE=∠DOE，OC=OD，∴CM=DM，OM⊥CD，∴S四邊形OCED=S△COE+S△DOE=，但不能得出，∴A、B、D選項正確，不符合題意，C選項錯誤，符合題意，故選C．【點睛】本題考查了作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的面積等，熟練掌握5種基本作圖(作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線)是解題的關鍵.12、A【分析】找出兩拋物線的頂點坐標，由a值不變即可找出結論．【詳解】∵拋物線y=（x-1）1+1的頂點坐標為（1，1），拋物線y=x1的頂點坐標為（0，0），∴將拋物線y=x1先向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度即可得出拋物線y=（x-1）1+1．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，通過平移頂點找出結論是解題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】根據S陰＝S菱形PHQF﹣2S△HTN，再求出菱形PHQF的面積，△HTN的面積即可解決問題．【詳解】如圖，設FM＝HN＝a．由題意點E、F、G、H分別為矩形AB、BC、CD、DA的中點，∴四邊形DFBH和四邊形CFAH為平行四邊形，∴DF∥BH,CH∥AF，∴四邊形HQFP是平行四邊形又HP=CH=DP=PF，∴平行四邊形HQFP是菱形，它的面積＝S矩形ABCD＝×4×6＝6，∵FM∥BJ，CF＝FB，∴CM＝MJ，∴BJ＝2FM＝2a，∵EJ∥AN，AE＝EB，∴BJ＝JN＝2a，∵S△HBC＝?6?4＝12，HJ＝BH，∴S△HCJ＝×12＝，∵TN∥CJ，∴△HTN∽△HCJ，∴＝（）2＝，∴S△HTN＝×＝，∴S陰＝S菱形PHQF﹣2S△HTN＝6﹣＝，故答案為．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知矩形的性質、菱形的判定與性質及相似三角形的性質.14、25m【分析】根據垂徑定理可得△BOD為直角三角形，且BD=AB，之后利用勾股定理進一步求解即可.【詳解】∵點C是的中點，∴OC平分AB，∴∠BOD=90°，BD=AB=20m，設OB=x，則：OD=(x-10)m，∴，解得：，∴OB=25m，故答案為：25m.【點睛】本題主要考查了垂徑定理與勾股定理的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.15、π﹣【分析】根據題意可以得出三角形ACD是等邊三角形，進而求出∠AOD，再根據直角三角形求出OE、AD，從而從扇形的面積減去三角形AOD的面積即可得出陰影部分的面積．【詳解】解：連接AC，OD，過點O作OE⊥AD，垂足為E，∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵AD＝CD，∴△ACD是正三角形，∴∠AOD＝120°，OE＝2×cos60°＝1，AD＝2×sin60°×2＝2，∴S陰影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣，故答案為：π﹣．【點睛】本題主要考察扇形的面積和三角形的面積，熟練掌握面積公式及計算法則是解題關鍵.16、(－2，)【分析】平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心且在點O的異側，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于解答．【詳解】以O為位似中心且在點O的異側，把△OAB縮小為原來的，

則點B的對應點的坐標為，

即，

故答案為：．【點睛】本題考查的是位似變換的性質，平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．17、【詳解】設扇形的圓心角為n°，則根據扇形的弧長公式有：，解得所以18、27【詳解】解：根據一元二次方程根與系數的關系，可知+=5，·=-1，因此可知=-2=25+2=27.故答案為27.【點睛】此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，解題時靈活運用根與系數的關系：，，確定系數a，b，c的值代入求解，然后再通過完全平方式變形解答即可.三、解答題（共78分）19、（1）；（2）；（3）或；（4）存在，【分析】（1）求出點A坐標后再利用待定系數法求解；（2）先聯立直線與拋物線的解析式求出點E坐標，然后過點P作y軸的平行線交拋物線于點N，如圖，設點P的橫坐標為m，則PN的長可與含m的代數式表示，而△PAE的面積==，于是求△PAE面積的最大值轉化為求PN的最大值，再利用二次函數的性質求解即可；（3）先求出AE的長，再設出P點的坐標，然后分三種情況利用勾股定理得到有關P點的橫坐標的方程，解方程即可；（4）分兩種情況討論：若AE為對角線，則AM∥EF，由于過點E與y軸平行的直線與拋物線再無交點，故此種情況不存在；若AE為邊，根據平行四邊形的性質可設M（0，n），則F（6，n+3）或（﹣6，n－3），然后代入拋物線的解析式求解即可．【詳解】解：（1）∵直線與y軸交于A，∴A點的坐標為（0，2），又∵B點坐標為（1，0），∴解得：∴；（2）根據題意得：，解得：或，∴A（0，2），E（6，5），過點P作y軸的平行線交拋物線于點N，如圖，設P（m，）則N（m，）則PN=（）－（）=（0<m<6），=+==，∴==，∴當m=3時，△PAE面積有最大值；（3）∵A（0，2），E（6，5），∴AE＝3，設Q（x，0），則AQ2=x2+4，EQ2＝(x﹣6)2+25，①若Q為直角頂點，則AQ2+EQ2＝AE2，即x2+4+(x﹣6)2+25＝45，此時方程無解，故此時不存在x的值；②若點A為直角頂點，則AQ2+AE2＝EQ2，即x2+4+45＝(x﹣6)2+25，解得：x＝1，即Q（1，0）；③若E為直角頂點，則AQ2＝AE2+EQ2，即x2+4＝45+(x﹣6)2+25，解得：x＝，即Q（，0）；∴Q（1，0）或（，0）；（4）若AE為對角線，則AM∥EF，由于過點E與y軸平行的直線與拋物線再無交點，故此時不存在符合題意的點M；若AE為邊，設M（0，n），則F（6，n+3）或（﹣6，n－3），當F（6，n+3）時，此時點E、F重合，不合題意；當F（﹣6，n－3）時，n－3=，解得：n=38，此時點M坐標為（0，38）；綜上，存在點M，使以A、E、M、F為頂點的平行四邊形，且點M的坐標是（0，38）．【點睛】本題是二次函數的綜合題，主要考查了待定系數法求拋物線的解析式、二次函數的圖象與性質、兩函數的交點、一元二次方程的解法、勾股定理以及平行四邊形的性質等知識，涉及的知識點多、綜合性強，屬于中考壓軸題，熟練掌握上述知識、靈活應用數形結合以及分類的思想是解題的關鍵．20、（1）y＝；（2）點P的坐標為（﹣8，﹣），（2，3）．【分析】（1）將A坐標代入反比例函數解析式中求出m的值，即可確定出反比例函數解析式；

（2）由B點（-3，n）在反比例函數y＝的圖象上，于是得到B（-3，-2），求得BC=2，設△PBC在BC邊上的高為h，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論．【詳解】（1）∵反比例函數y＝的圖象經過點A（2，3），∴m＝1．∴反比例函數的解析式是y＝；（2）∵B點（﹣3，n）在反比例函數y＝的圖象上，∴n＝﹣2，∴B（﹣3，﹣2），∴BC＝2，設△PBC在BC邊上的高為h，則BC?h＝5，∴h＝5，∵P是反比例函數圖象上的一點，∴點P的橫坐標為：﹣8或2，∴點P的坐標為（﹣8，﹣），（2，3）．【點睛】此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，涉及的知識有：待定系數法求函數解析式，坐標與圖形性質，一次函數與坐標軸的交點，以及反比例函數的圖象與性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．21、（1）y=﹣x2+2x，頂點A的坐標是（1，1）；（2）CD長為定值.【分析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式，根據配方法，可得頂點坐標；（2）根據平移規律，可設出新拋物線解析式，聯立拋物線與直線OA，可得C、D點的橫坐標，根據勾股定理，可得答案．【詳解】解：（1）把（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m-2得：﹣3=﹣32+3m+m-2，解得m=2，∴y=﹣x2+2x，∴y=﹣x2+2x=﹣（x-1）2+1，∴頂點A的坐標是（1，1）；（2）易得直線OA的解析式為y=x，平移后拋物線頂點在直線OA上，設平移后頂點為（a，a），∴可設新的拋物線解析式為y=﹣（x﹣a）2+a，聯立解得：x1=a，x2=a﹣1，∴C（a-1，a-1），D(a，a)，即C、D兩點間的橫坐標的差為1，縱坐標的差也為1，∴CD=∴CD長為定值．【點睛】本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式，再利用解析式確定頂點坐標；根據平移規律確定拋物線解析式，通過聯立解析式確定交點坐標，利用勾股定理求解．22、k＝1【分析】根據題意A的縱坐標為1，把y＝1代入y＝1x，求得A的坐標，然后根據待定系數法即可求得k的值．【詳解】解：∵AC⊥x軸，AC＝1，∴A的縱坐標為1，∵正比例函數y＝1x的圖象經過點A，∴1x＝1，解