例6如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC.探究1：在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P使得△ACP為等腰三角形．解：①若AC為等腰三角形的底邊時(shí)，AP＝________；類型三等腰三角形問(wèn)題函數(shù)微技能——分類討論思想確定動(dòng)點(diǎn)位置一階PC例6題圖①在圖①中畫出所有滿足條件的點(diǎn)P的示意圖(保留作圖痕跡)．例6題圖①【作圖依據(jù)】________________________________________________．線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．如解圖①，點(diǎn)P即為所求例6題解圖①【方法總結(jié)】二次函數(shù)中等腰三角形的存在性一般要分____種情況討論：常以已知邊為_______或______討論；以探究1為例，已知邊AC為底時(shí)，可以作已知邊的____________，所找點(diǎn)即為____________________________________的交點(diǎn)；若已知邊AC為腰時(shí)，作圖方法為：____________________________________________________________，所找點(diǎn)即為________________________________．【思考】若動(dòng)點(diǎn)在y軸上、x軸上時(shí)，確定動(dòng)點(diǎn)位置有什么不同呢？?jī)裳走叴怪逼椒志€

線段AC的垂直平分線與拋物線對(duì)稱軸以點(diǎn)A(C)為圓心，AC

長(zhǎng)為半徑畫圓交對(duì)稱軸于點(diǎn)P⊙A(或⊙C)與對(duì)稱軸的交點(diǎn)．沒(méi)有什么不同，一樣的方法．②若AC為等腰三角形的腰時(shí)，AC＝________或AC＝________；在圖②中畫出所有滿足條件的點(diǎn)P的示意圖(保留作圖痕跡).例6題圖②APCP例6題解圖②當(dāng)AC＝AP時(shí)，如解圖②，點(diǎn)P即為所求，當(dāng)AC＝CP時(shí)，畫出函數(shù)圖象如解圖③，點(diǎn)P即為所求．例6題解圖③探究2：在拋物線上找一點(diǎn)E，使得△BCE為等腰三角形．在圖③中畫出所有滿足條件的點(diǎn)E的示意圖(保留作圖痕跡)．例6題圖③如解圖④，點(diǎn)E1，E2，E3，E4即為所求．例6題解圖④【作法提示】當(dāng)BC為等腰三角形的底邊時(shí)，則CE＝BE，點(diǎn)E1即為所求；當(dāng)BC為等腰三角形的腰時(shí)，點(diǎn)E2、E3即為所求．探究3：在拋物線上找一點(diǎn)E，平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使得以E、P、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．在圖④中畫出所有滿足條件的點(diǎn)E、P的示意圖(保留作圖痕跡)．【作法提示】如解圖⑤，當(dāng)BC為菱形的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)E、P即為所求；如解圖⑥，當(dāng)BC為菱形的邊，且BE為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)E、P即為所求；如解圖⑦，當(dāng)BC為菱形的邊，且CE為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)E、P即為所求．例6題圖④畫出函數(shù)圖象如解圖⑤⑥⑦，點(diǎn)E，P即為所求．例6題解圖⑦例6題解圖⑤例6題解圖⑥【方法總結(jié)】二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題可考慮先轉(zhuǎn)化為等腰三角形的存在性問(wèn)題，如探究3中，可以先畫出△BCE為等腰三角形的點(diǎn)E，再過(guò)等腰△BCE的頂點(diǎn)向底邊作垂線，然后利用菱形對(duì)角線上的頂點(diǎn)關(guān)于另一條對(duì)角線對(duì)稱確定點(diǎn)P的位置．設(shè)問(wèn)突破二階一題多設(shè)問(wèn)例7

如圖，已知拋物線

y＝－

x2＋

x＋2與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N.例7題圖①【思維教練】由于點(diǎn)P在拋物線上，△PCO是以O(shè)C為底的等腰三角形，所以點(diǎn)P在OC的垂直平分線上，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，將y＝1代入拋物線表達(dá)式求解即可；(1)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△PCO是以O(shè)C為底的等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；例7題圖①(1)解：例7題圖①【解法提示】∵拋物線的解析式為y＝－

x2＋

x＋2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，∵△PCO是以O(shè)C為底的等腰三角形，∴點(diǎn)P在OC的垂直平分線上，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，當(dāng)y＝1時(shí)，－

x2＋

x＋2＝1，解得x＝∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

(2)連接AC，在x軸上是否存在一點(diǎn)E，使得△ACE是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；例7題圖②【思維教練】先設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由于△ACE是等腰三角形，可分為三種情況討論：①AE＝AC，②AC＝CE，③AE＝CE，當(dāng)AE＝AC時(shí)還要注意點(diǎn)E分別在點(diǎn)A的兩側(cè)兩種情況；(2)解：存在．∵拋物線的解析式為y＝－

x2＋

x＋2，∴當(dāng)y＝0時(shí)，－

x2＋

x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，∴A(－1，0)，B(3，0)，由(1)知C(0，2)，∴AC＝

，△ACE是等腰三角形，分以下三種情況：①當(dāng)AE＝AC時(shí)，AE＝AC＝

，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A左邊時(shí)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為－1－

，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A右邊時(shí)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為

－1；②當(dāng)AC＝CE時(shí)，由三線合一知AO＝EO，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1；例7題圖②③當(dāng)AE＝CE時(shí)，點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(e，0)，由兩點(diǎn)之間距離公式得e＋1＝

，解得e＝

，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為

.綜上所述，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為－1－

或

－1或1或

；例7題圖②(3)如圖，若點(diǎn)F是對(duì)稱軸MN上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使得△CNF是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；例7題圖③【思維教練】未明確說(shuō)等腰三角形的腰和底，故要分類討論：①NF＝NC，②CF＝CN，③FC＝FN分別求解，若有解，則存在，若無(wú)解，則不存在；(3)解：存在．∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－

＝1，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1.△CNF是等腰三角形，分以下三種情況討論：①當(dāng)NF＝NC時(shí)，∵N(1，0)，C(0，2)，∴NC＝

，

∴NF＝

.當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，

)，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，－

)；②當(dāng)CF＝CN時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)知點(diǎn)C在線段NF的垂直平分線上，∴NF＝2OC＝4，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，4)；③當(dāng)FC＝FN時(shí)，例7題圖③如解圖①，點(diǎn)F在線段NC的垂直平分線上，設(shè)CN與其垂直平分線交于點(diǎn)H，∵N(1，0)，C(0，2)，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(，1)，直線NC的解析式為y＝－2x＋2，∴設(shè)直線HF的解析式為y＝

x＋b，將(，1)代入直線HF的解析式中，解得b＝

，∴直線HF的解析式為y＝

x＋

，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝

，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，

)，綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，

)或(1，－

)或(1，4)或(1，

)；例7題解圖①(4)如圖，在直線BC上是否存在一點(diǎn)Q，使得△ACQ是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；例7題圖④【思維教材】未明確說(shuō)等腰三角形的腰和底，故要分類討論：①AQ＝CQ；②AC＝AQ；③AC＝CQ，利用線段數(shù)量關(guān)系結(jié)合勾股定理分別求解即可；(4)解：存在．△ACQ是等腰三角形，分以下三種情況：①當(dāng)AQ＝CQ時(shí)，如解圖②，作AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)T，交直線BC于點(diǎn)Q1，

∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，2)，∴直線AC的解析式為y＝2x＋2，直線BC的解析式為y＝－

x＋2.設(shè)直線TQ1的解析式為y＝－

x＋b′，

∵直線TQ1過(guò)線段AC的中點(diǎn)(－

，1)，∴1＝－

×(－

)＋b′，解得b′＝

，∴直線TQ1的解析式為y＝－

x＋

，例7題解圖②令－

x＋

＝－

x＋2，解得x＝

，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為

；例7題解圖②例7題解圖②②當(dāng)AC＝AQ時(shí)，如解圖②，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作圓，交直線BC于點(diǎn)Q2，設(shè)點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為(q，－

q＋2)，∵A(－1，0)，C(0，2)，∴AC＝

，由勾股定理得

，解得q＝0(舍去)或q＝

，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為

；例7題解圖②③當(dāng)AC＝CQ時(shí)，如解圖②，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑作圓，交直線BC于點(diǎn)Q3、Q4，由②得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(q，－

q＋2)，AC＝

，∵C(0，2)，∴由勾股定理得

，解得q＝－

或q＝

，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為－

或

.綜上所述，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為

或

或－

或

；(5)如圖，點(diǎn)G是對(duì)稱軸MN上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G使得△CGB是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的縱坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；例7題圖⑤【思維教練】未明確說(shuō)等腰三角形的腰和底，故要分類討論：①CG＝CB，②CG＝BG，③BG＝BC分別求解即可；(5)解：存在．由(3)知拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，t)，△CGB是等腰三角形，分以下三種情況討論：①當(dāng)CG＝CB時(shí)，∵B(3，0)，C(0，2)，

∴BC＝

，∵G(1，t)，∴由兩點(diǎn)之間距離公式得

，解得t＝2＋2或t＝2－2，∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2＋2或2－2；②當(dāng)CG＝BG時(shí)，點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，∴由兩點(diǎn)之間距離公式得

，解得t＝

，∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為

；例7題圖⑤③當(dāng)BG＝BC時(shí)，∵BC＝

，∴由兩點(diǎn)之間距離公式得

解得t＝3或t＝－3，∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為3或－3.綜上所述，點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2＋2或2－2或

或－3或3；例7題圖⑤【思維教練】要求以G、S、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)點(diǎn)G、S的坐標(biāo)，只需以B、C、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，分①當(dāng)BC為對(duì)角線，GB

＝GC；②當(dāng)BC為邊，CB

＝CG；③當(dāng)BC為邊，BC＝BG三種情況，列方程求解即可．(6)若點(diǎn)G是對(duì)稱軸MN上一點(diǎn)，點(diǎn)S為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G、S，使得以點(diǎn)G、S、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)G、S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例7題圖⑥(6)解：存在．分以下三種情況，①當(dāng)BC為對(duì)角線，GB＝GC時(shí)，如解圖③，作BC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)P，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)G，以P為圓心，PG長(zhǎng)為半徑畫圓，交垂直平分線于點(diǎn)S，點(diǎn)G、S即為所求，∵B(3，0)，C(0，2)，∴BC中點(diǎn)的坐標(biāo)為(，1)，直線BC的解析式為y＝－

x＋2，∵以點(diǎn)G、S、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，例7題解圖③∴BC⊥GS，∴設(shè)直線GS的解析式為y＝

x＋d，將(，1)代入直線GS的解析式中，解得d＝－

，∴直線GS的解析式為y＝

x－

，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝

，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，

)，∵將點(diǎn)G向右平移2個(gè)單位，向下平移

個(gè)單位，即可得到點(diǎn)B，∴將點(diǎn)C向右平移2個(gè)單位，向下平移

個(gè)單位，即可得到點(diǎn)S，∴點(diǎn)S的坐標(biāo)為(2，

)；例7題解圖③②當(dāng)BC為邊，CB＝CG時(shí)，如解圖④，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫圓，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)G1、G2，作BG1、BG2的垂直平分線分別交BG1、BG2于點(diǎn)H、I，以點(diǎn)H為圓心，HC長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線CH于點(diǎn)S1，以點(diǎn)I為圓心，IC長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線CI于點(diǎn)S2，點(diǎn)G1、G2、S1、S2即為所求，∵B(3，0)，C(0，2)，∴CB＝

，設(shè)點(diǎn)G1的坐標(biāo)為(1，m)，∴＝12＋(m－2)2＝13，解得m1＝2＋2，m2＝2－2(舍去)，例7題解圖④∴點(diǎn)G1的坐標(biāo)為(1，2＋2)，∴由平移的性質(zhì)得點(diǎn)S1的坐標(biāo)為(4，2)，同理可得G2的坐標(biāo)為(1，2－2)，S2的坐標(biāo)為(4，－2)；例7題解圖④③當(dāng)BC為邊，BC＝BG時(shí)，如解圖⑤，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫圓，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)G3、G4，作CG3、CG4的垂直平分線分別交CG3、CG4于點(diǎn)K、Q，以點(diǎn)K為圓心，KB長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線BK于點(diǎn)S3，以點(diǎn)Q為圓心，QB長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線BQ于點(diǎn)S4，點(diǎn)G3、G4、S3、S4即為所求，設(shè)點(diǎn)G3的坐標(biāo)為(1，n)，∵BC＝

，∴＝22＋n2＝13，解得n1＝－3(舍去)，n2＝3，∴點(diǎn)G3的坐標(biāo)為(1，3)，例7題解圖⑤∴由平移的性質(zhì)得點(diǎn)S3的坐標(biāo)為(－2，5)，同理可得G4的坐標(biāo)為(1，－3)，S4的坐標(biāo)為(－2，－1)．綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，

)或(1，2＋2)或(1，2－2)或(1，3)或(1，－3)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)S的坐標(biāo)為(2，

)或(4，2)或(4，－2)或(－2，5)或(－2，－1)．例7題解圖⑤綜合訓(xùn)練三階3.(2023黔東南州24題12分)如圖，已知二次函數(shù)y1＝－x2＋

x＋c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(4，0)，與y軸的交點(diǎn)為B，過(guò)A、B的直線為y2＝kx＋b.(1)求二次函數(shù)y1的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；第3題圖(1)解：∵點(diǎn)A(4，0)在拋物線y1＝－x2＋

x＋c上，∴－42＋

×4＋c＝0，解得c＝3，∴拋物線解析式為y1＝－x2＋

x＋3，

(2分)∵點(diǎn)B是拋物線y1與y軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，3)；(4分)(2)由圖象寫出滿足y1＜y2的自變量x的取值范圍；第3題圖(2)解：根據(jù)圖象可知，當(dāng)x＞4或x＜0時(shí)，y1<y2；

(7分)(3)在兩坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．第3題圖(3)解：兩坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)P，使得△ABP是以AB為底邊的等腰三角形．如解圖，取AB的中點(diǎn)C，∵A(4，0)，B(0，3)，∴C(2，

)，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F.第3題圖CFE在Rt△ABO中，AO＝4，BO＝3，

∴AB＝5，∵C是AB的中點(diǎn)，

∴AC＝BC＝

，∵∠ACE＝∠AOB＝90°，∠EAC＝∠BAO，∴△AEC∽△ABO，

∴，即

，

解得AE＝

，

∴OE＝OA－AE＝4－

＝

，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，坐標(biāo)為(，0)．第3題圖CFE∵∠FBC＝∠ABO，∠FCB＝∠AOB，∴△FBC∽△ABO，

∴，即

，

解得OF＝

，∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，坐標(biāo)為(0，－)．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，0)或(0，－)．(12分)第3題圖CFE4.(2022黔西南州26題16分)如圖，二次函數(shù)y＝－x2＋3x＋m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(4，0)，另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸相交于C點(diǎn)．(1)求m的值及C點(diǎn)坐標(biāo)；第4題圖(1)解：將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝－x2＋3x＋m，解得

m＝4,∴拋物線解析式為y＝－x2＋