第4章測評

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.等差數列缶1的首項為1,公差不為o,若%,%，%成等比數列，則缶」的前6項和為（）

A.-24B.-3C.3D.8

1

2.在等比數列(aJ中，Q3=1，叱"9=16，貝Jc：9=()

A.8B.-8C.16D.-16

3.已知數列層?是等差數列，且叱=1,、二一；,那么0am=()

A10101&10c2019n2019

A.1Dn.—C.11).一，

1011101120212021

4.在等差數列中，％=-2022,其前k項和為$.，若合一*=2,則$一=（）

A.2021B.-2021C.-2022D.2022

5.已知等差數列缶」的前n項和為5.，若57>。，5g<0,則字的取值范圍是（）

A.1-3,+8）B.3.+8）

C（"?-3）D.（一*）

6.意大利數學家斐波那契的《算經》中記載了一個有趣的數列：1,1,2,3,5,8,13,21,

34,55,89,144,…這就是著名的斐波那契數列，該數列的前2022項中奇數的個數為（）

A.1012B.1346C.1348D.1350

7.將數列｛2n—1］中的各項依次按第一個括號1個數，第二個括號2個數，第三個括號4個

數，第四個括號8個數，第五個括號16個數，.一進行排列：⑴,（3,5）-

（7,9,11,13）,（15,17,19^1^3^5,27,29），....則下列結論正確的是（）

A.第10個括號內的第一個數為1025

B.2021在第11個括號內

C.前10個括號內一共有1025個數

D.第10個括號內的數字之和5—）

8.已知數列的前林項和為5.,丐=1，（4=3,且Sgi+S-I=2"+2SK“N2），

若依一QD+2+7之（2—4對任意的neAT都成立，則實數2的最小值為（）

A.—B.C.—D.1

21632

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.記S.為等差數列（aJ的前71項和，若4+3牝=S：，則以下結論一定正確的是（）

A.a4=aB.S.的最大值為力c.51=5,D.|a3|<|as|

10.數列加J的通項公式滿足個=肥5€AT），下列描述正確的有（）

A.當k時，數列（a』一定有最大值

B.當*=:時，數列［an］為遞減數列

C.當kW（0,；）時，數列（a/為遞減數列

D.當*€（0口），且W為整數時，數列｛a』必存在兩項相等的最大項

11.如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.

“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，….設第H層有a”個球，從上

往下”層球的總數為《，記“，=（-DYj+i-an），則（）

A.a.“一。n二〃+1B.g+與+…+bjQ=20

C.5“一S“T=四旦,n>2D.2的最大值為三

12.己知是數列3」的前項和，2則（）

nSB41=-5?+n，

A.an+-2n-l（n>2）

B

-。一：-an=2

C.當巴=0時，5；0=1225

D.當數列g.j單調遞增時，01的取值范圍是（一:,3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知數列（aj的前兀項和為且滿足2a”+5*—3，則勺的值為.

14.設缶」是首項為1的正項數列，且（n+2Mli—V+則通項公式

Q=.

，:

15.已知數列｛a“）滿足/.、一（―1Ian-3.n-1>前16項和為540,貝=.

16.[2021新高考I]某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把

紙對折，規格為20dm,x12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm,x12dm，

20dmx6dm兩種規格的圖形，它們的面積之和其=240dm：,對折2次共可以得到

5dmX12dm，lOdm.x6dm，20dm.x3dm三種規格的圖形，它們的面積之和

S：=180dm2.以此類推，則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為；如果對折幾次，那

么￡5*=dm'.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知數列gj和滿足、=2，瓦=1>a=

n+12an>

bb

i+/+l3+?”+：%=bB+1-1

A9n

（1）求a.與兒；

（2）記數列（。〃4）的前幾項和為〃，求晨.

18.（12分）設數列（a.）滿足/=30n.i=3%—4n.

（1）計算猜想缶」的通項公式；

（2）用數學歸納法證明上述猜想，并求加」的前兀項和

19.（12分）已知數列1alJ中，0t=1，a,=2>=30M—2a.i（R12,R€JV），

設k?%.

（1）證明：數列（"J是等比數列;

（2）設數列3J的前n項和為S”，求

設，=______0-1______,設數列｛Cj的前”項和為心，求證：J<1

20.（12分）某中學有在校學生2000人，沒有患感冒的同學.由于天氣驟冷，在校學生患流

行性感冒人數劇增，第一天新增患病同學10人，之后每天新增的患病同學人數均比前一天多9

人.由于學生患病情況日益嚴重，學校號召同學接種流感疫苗以控制病情.從第8天起，新增患

病同學的人數均比前一天減少50篁，并且每天有10名患病同學康復.

（1）求第n天新增患病同學的人數a<l<13,n6N）

（2）按有關方面規定，當天患病同學達到全校人數的15置時必須停課，問該校有沒有停課的

必要？請說明理由.

21.（12分）已知數列滿足片工r/+L急

（1）若入-1,

①求數列01的通項公式；

②若k=OWG+i）求（"J的前”項和二.

（2）若，=2，且對Vn￡lC，有0<a.<l，證明：-011V三二

22.（12分）設Itwir,若無窮數列｛aj滿足以下性質，則稱（aj為Q數列:

①(4一-a.-i)>0(?€AT且n>2)

|an—a匕的最大值為

（1）若數列｛aJ為公比為q的等比數列，求q的取值范圍，使得加」為Ck數列.

（2）若數列［a［滿足：VnwAT，使得a,成等差數列.

①數列（aj是否可能為等比數列？并說明理由.

②記數列他J滿足耳=%_「數列&）滿足，=%，且%>%，判斷與（qj的單

調性，并求出|a“一a『：|=k時，n的值.

第4章測評

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.A

2.A

3.B

4.C

［解析］因為數列Sn］為等差數列，故5n="生，則為=中.當HN2時，嗎=占字4

則為■蚪=空3-沖口=岑二，所以數列四是等差數列，設其公差為d,又

兀n122.一

W-&=2d=2,所以d=l.又*=5=-2022,所以占=-2022+n-l=-2023

10811n.

所以』=-2023+2022=-1,即￡皿2=-2022.故選C

3V22卬“

5.C

［解析］由題意得，S-='dJ?7a4>0,則a.>0因為%=細0=4a+%）<0,

22

可得04+05<0,則OsV-a+C。.設等差數列1%?］的公差為d,則d=a5-a.<0,由題意

得性：血?乎>?.C可得-Z<-<-3.即上的取值范圍是（-N,F故選C

區+%=21+7d<0,2ddk2"

6.C

［解析］由已知可得為奇數，為奇數，。3為偶數?因為+；ar,所以A為奇數，a$

為奇數，％為偶數，一所以為奇數，。力+2為奇數，CIMH為偶數.又2022=3x67%

故該數列的前2022項中共有1348個奇數.故選C.

7.D

［解析］由題意可得，第n個括號內有2RT個數.對于A,由題意得，前9個括號內共有

1+2+2:+-+28=—^29-1511（個）數，所以第10個括號內的第一個數為數列

1-2

（2n-I）的第512項，所以第10個括號內的第一個數為2x512-1=1023,故A錯誤；對于C,

前10個括號內共有1+2+22+…+29=三一=2W-1=1023（個）數，故C錯誤；對于B,

令2n-1=2021,得n=1011,所以2021為數列｛2n-1）的第1011項，由A,C選項的分

析可得2021在第10個括號內，故B錯誤；對于D,因為第10個括號內的第一個數為

2x512-1=1023,最后一個數為2x1023-1=2045；所以第10個括號內的數字之和為

S=1KtM=2?x1534E（2M,2*）,故D正確.故選D.

8.C

［解析］數列｛aj的前口項和為5.,也?￡且Sn“+SnT=2n+25n（?lN2）,所以

1

51a.i-Su=2*+51r故0^14-a1t=Z.因為gj—4=2，所以01t44-0^=2^,

所以^兀一。11T=2"T，an-1-aw-2-一叼一/二外，則

12

i*a-=2+2+??+2"-^故4t=l+2'+…+2"T=上力=2"-1，所以

5”=2,+2Z+23+-+2"-n=-靠=2"+1-n-2.所以$"一/=2n-n-1

因為4（5.-a.）+4+7N（2對任意的nWAT都成立，所以二）.設

42/max

J=苔，則當》?M4時，>Q?當nN5時，

因此JVQ<Cj<C4<Cg>>C-7>…，即a之Cj=三，故a的最小值為三.故選c

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.AC

［解析］設等差數列(a"的公差為d.由/+初后=可得的+3(at+4d)=7al+21d,解得

Of=-3d.又由tin=+(n—i)d=(n—4)d,得?<=0，故A正確；因為公差d的正負不能

確定，所以$3可能為最大值或最小值，故B錯誤；由

=a?+a?，+a*+Qg+a&=5a$=0,得S.=&,故C正確；因為a?+=2a$=0,

所以-=-a6,即111=|%，故D錯誤.故選AC

10.ACD

［解析］由題意，只需考慮ke(0」〕的情況.由

、<01H4O■?上?<(■+Oft<(II+onV

w

0Vt>01H4on-Jk>(B+1)on>(n+l)Jron>-可知，當k=機寸,=2,

當n>2時，數列｛%｝遞減，所以也］一定有最大值，故A正確；當左=沙

di=ja2?2xg)=￡故、故數列&］不是遞減數列，故B錯誤；當kE(0,》時，

<1,所以時，數列(。口為遞減數列，故C正確；設=W，當n>HI,即

nN切+1時，數列faJ為遞減數列，當l?VE時，數列(a”］為遞增數列，k=-^,最大項為

am=二j*■g+1)?仁:廣’-所以數列(aj必存在兩項相等的最大項，

故D正確.故選ACD.

11.ACD

［解析］叼-q=2,aj-aj=3,?z0MaW4i-an^n+L故選項A正確；

因為％nJQkT-aJ=(■!)?&+1),所以

bi+也+…+b2a=-2+3—41+5-6+7―2Q+21=10,故選項B錯誤；因為

一叼一%=一,所以

%=1,%4=2,3,0n-Oy^i=■,=1+2+3+…+fi=——，

所以當空2時，5.-51=%=專已故選項C正確；言=壬=等，

誓-言=*寓"=所以當n=l時，￥＞黑；當“2時，

2*JK-IJ*jaja-1

工；當時，2〈上，所以當或時，有最大值為三，故選項正

2型=”7n23*”711=2n=32?一|2D

確.故選ACD.

12.ACD

［解析］由題意可知，因為］所以當時，一尸，兩式相

5.+=—Sn+M，nN2=—S111Tl+(“1

減可得，故選項正確；且

an4i+*=2h-l(n>2),Aan4：+aW4i=2n?1,

兩式相減可得，因為叫未知，故選項錯

an4x+an-2n-l(n>2)，an42-an=2(n32),B

誤；當巴=。時，因為所以貝！

2dt+〃=1,=1,

550=(a#+a2)+(A3+&4)+(。5+a—+…+(^49+a50)=1+5+9+…+97=

￥=49x25=1225

，故選項C正確；由a二力=1-2@］+2(n-1)=2n-2al-L

要使數列｛單調遞增，則必有

.*=a?+2(n-1)=2?2a*+2n-2=2n-b2araj

。加-2>。為“>。,且叼>%,所以2ft+2-2a*-1>~--2U［—1,且

—2。］?1>a「解得一：<的<：,故選項D正確.故選ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.1—6

81

14.—5—

Rur^l)

［解析］由、,-得［.因為

Gt+2)0+201H4aM=0，(it+2)0^1+<O=0

所以+所以產所以工，所以

0n>0,(M+2)a“i->UQ0,M=

色*%%3n-2、掾=扁6^21又/=】滿足

an=atX-XX*X...X—

0員一a3?w

上式,所以：

15.7

［解析］a..?+(-1)乜j=3n-3當it為奇數時，/乜=。.」+3n—1；當i?為偶數時，

+an=3n-1.設數列gj的前11項和為5.,則

S|6'=a［+c12++,,,+a,6=ai+。3+。5+,,,+a|5+(a；+。$)++(。］4，+%.)=

at+(hj+2)+(A+10)+(d+24)+(at+44>+(ax+70)+(如+102>+

(ax+140)+(5+17+29+41)=8al+392+92=&h+484=540

，解得%=7.

16.5(720-嘿^

［解析］對折4次可得到如下規格：-dmx12dm,；dmx6dm,5dmx3dli1,10dmx-dm^

42?-

20dmx?dm，共5種.由題意得，&=2x120,Sj=3x60,=4x30,S.=5x15,

4,

e12OU+1J-n-129X2,120X3.UBX4,120(，+U

5.=-^，設5==+=+百+A-+~^，則

11：口》：.120-3,1ZC-<詼T氏*4日

-rs=---------+―—+???+--+——--,兩式作差得

2,Z-2s；一泮

齊=240+】206+染~+馬-中=240+鉀-卓=360-

UOUB("D?八3(*1)

——----——=360----——

，因此5=720---——=720—一一

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(1)解由修=2aB，得>.由題意知，當口N1時,，二片一1,故與?2.

當?工2時,機?:壇+3b$+…十-^^-］1①,

A+3如+衿+-?+：%■>%「1②，一,得，4,■以“_.,整理得法二/，所以

%=力

(2)由(1)知，a?^=-n-2w,因此％,=2+2-22+3?23+…+n-2"@，

2343

2Tn=2+2*2+3，I*，”+ft，2"T④，一，得一，=2+2,+2+…+2"-n，

所以兀=5-42*+'+2-

18.(1)解因為數列:滿足%=3，。，:-「二M一一：；*,所以

a2=3^-4x1=3X3—4-S,aj■=3a2—4X,Z=3x3-8=7，由此可猜想

ar=2JI+1.

(2)①當n=l?時，顯然成立.

②假設當R=k時，命題成立，即&&=2k+1,則當n=k+l時，

a*M=3a*一砍=3(2Jk+l)-4fc=2k+3=20t+l)+l,所以R=4+1時也成立，

由①②可得，a,.=2n+1.

因為a“”-n*=2(川+1)+1-(2n+1)=2,所以數列[《口是以3為首項，2為公差的等差

數列，所以Sn=ftOi+'0^=3a+W?—l)=j^+2B.

19.(1)證明因為a11rHSag-2。11T(R22*n€N。，Wan4i-a?-2(a?-an-i).

因為1=0^-%,所以h=2ij,kl=a3-a1=L所以數列(4」是首項為1,公比為

2的等比數列.

(2)解由(1)得，點-=遑__，Q=所以當R22時,

-t-I

B?=(aw-?.?-*)+(??-j-aw-2)+-+藥)+叫=2"+2"+->+2+1+1=

I'RTT

------i+1=Li

2-1

,當n=i時也成立，所以、.e.因為魯=q=i，所以數列是首項為i,公比為

2的等比數列，所以數列(a/的前二項和為S1二>二”=；：*-.]

⑶證明因為％N自由■而必可.2金一S'所以數歹的前

n項科:2+“,+&-&)=2《-急)<2吟=L即心<1

20.(1)解當1WK三乙：三%時，因為%=10,公差為9,所以

%,=40+(n-f),9=9n+L當時，因為叼=64,公比為去

T-11

所以o'0rQ"-?Q"=2?~"，

所以“配,二浜W

(2)該校沒有停課的必要.理由：設S.為第n天患病總人數，則當2Wn47時，

1J

S.-511T=口。>0,當813時，S1171tT=%一.=2-?-如.令

-10:>0=>n<9，

=S,—(%+<>2+,—+叼)+/+S—10x2=「**;+<ig+5-20=

?X(^M：4-2s-b24-20=287<2000x15%=300

所以該校沒有停課的必要.

2i.(i)①解當a=i時，?因為叱=；>°，所以匕可知、>0,所

以二一=9=3+1,即」一一2=1,所以數列百是首項為2,公差為1的等差數列，

蛔004.1.5

所以L=7J+1?即0.-―---

■?r"1

②由①得所以，》=(三—1)+it{?+OG*+2)=w*+3B*+2#,

所以

q=4+%+%+5+%=1’+3Kl-+2“1+產+3K2-+2x2+3s+3x3-+

2X3+-+n34an2+2n=(P42》+3’$…+n1)+3(1?+歲+3?+…+冷*

2(1七243+…￥n)=咚為2+3x?^--'

2'62,4

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（2）證明當;1=2時，a..1二三J，則j—0aH