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高中數(shù)學(xué)■數(shù)列的奇偶分類討論

匚觀察發(fā)現(xiàn)、探究規(guī)律］

引例：“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的"帕

斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角

形數(shù)陣，記,為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10....構(gòu)成的數(shù)列｛q｝的

第”項(xiàng)，貝！1q8的值為一.

1

11

12/

13y1

14/41

15ml05I

例題講解

伊噩：城數(shù)糠源于《乾坤港》

中對(duì)《易傳》大行之?dāng)?shù)五十的

鰥,主要用于耀中國(guó)傳筑文化

鋪j太極行生磔.礴所示，數(shù)

列中的每一項(xiàng),都代表太極后生過(guò)

程中曾皖歷過(guò)的兩憾逗頡1,

麗10項(xiàng)依次是0.2,4,8,12,

18,24,32,40,50，.一崢

初礴g｝,痢

則/一____：S--___■《乾坤譜》大衍數(shù)列示意圖

問(wèn)題1:觀察圖形，如何得到數(shù)列的遞推關(guān)系式？

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，=

a4-as=^

et.-18

a-a=4

人口14<9)54

。6-。5=6

<<?-40

————十(10

a7-a6=6

《乾坤譜》大衍數(shù)列示意圖

問(wèn)題2:如何由數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的通項(xiàng)公式？

當(dāng)"為明時(shí)，o

t解答】

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，a？-a?i=n-l.

4=/+(附_%)+&_%)+…+&—4T)

=2+2+4-H4+--+(n-2)+(?-21)+?

=4xfl+2+--卜閥=；/

問(wèn)題2:如何由數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的通項(xiàng)公式？

當(dāng)”為明時(shí)，a,-a,,t=n;

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，an-a^=n-l.

<7“=4+(藥一a)+33-。2)+?一+3”-4-1)=2+2+4+4+--+(n-l)+(n-l)

=4xfl+2+--+^i-l=?-1

I2)2

經(jīng)驗(yàn)證：符合上式。

沙-I)口為領(lǐng)?

仿為寓數(shù))

問(wèn)題3:數(shù)列求和時(shí)應(yīng)注意的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？

1解答】（”為奇數(shù)）

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),I"'（"為曲數(shù)）

*=q+%+--+%

=-xll2-l)+-x22+--h-xn2

2'22

12+22+-?21n

--------------------------------X-

222

礁+2)(2”1)

問(wèn)題3:數(shù)列求和時(shí)應(yīng)注意的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？當(dāng)X為破品>1.

S_赤+2煬-1)

當(dāng)”為翎時(shí),-12

&=/+4++4

=1^-l)+jx2J+-+lp-l)"T空mi（”為奇物

P+24+1n+1M，"；?，，一1）（“為喇

=----------------------------------——X-----------

222

_(?-l)(n+l)(2n+3)

或暮U4-"券也以擁斗配叫嚴(yán)+3）

問(wèn)題4:能否根據(jù)項(xiàng)本身的值，直接得到數(shù)列的通項(xiàng)公式？

。②④⑧④一。，回?,gg,...

【解答】

a=2=—x2*>。,=8=一x4*>a=18=—x6l(L,-32=-x8*?i

?2222

q=0,03=4=4x1,《=12=4x3=4x(1+2),a.=24=4x6=4x(1+2+3卜?

當(dāng)H為偶魏時(shí)，&

當(dāng)H為奇數(shù)時(shí)，4=4x(l+2+…+與1)=展

三、課堂練習(xí)

練習(xí)1：設(shè)數(shù)列5｝的百;頁(yè)4=1,且黃足。“：=%>故；與。則$*=—.

【解】

;數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)q=1.且41VH=2a211T.

，繳刊｛4”,是以4=1為3項(xiàng)，2為公論的等論繳列?

二4-1=2”".

1%*—“a”-i+1

l

；.c2,n=<3ln.l+l=2"'+l.

三、課堂練習(xí):

絳習(xí)〕：設(shè)數(shù)列5｝的首項(xiàng)4=1.且超￡&*：=陰卬；與%==〃-+1，則Sx=—.

二5式,=lo(+%)—(a；+。/+…+1。”-a：0)J21+2——…-2")+10-2056或

S==(6*a3*%)，(%+a」?％3)=(2"?2'■+2'|+|2"-2?+->2*?10)=2056

三.課堂練習(xí)|

練習(xí)2：數(shù)列｛4中，J+(-1)*j=%-1,賜嫁前12項(xiàng)第于()

A.76B.78C.SOD.82

【解】

?'把一I，⑷-6二尸3產(chǎn)S，的。尸7,a-劣=911G+圖=11,…,0ir+aw=19,

9口-川=21

.'.d=2，a，+a;二8，???,aiLaio=4。_

?.?酷一項(xiàng)刑&，?取2個(gè)相滿睦(酬汗2,■21黨碉，

依次取2個(gè)相鄰蹦項(xiàng)曲n構(gòu)成以8為首項(xiàng)，以16為公部等詡列.

I三解M習(xí)I

朝2:數(shù)列｛嗎中，&-+《-1)乜=2-1，則數(shù)列前(B)

A.76B.78C.80D.82

以上式子相加可得，

S)2=。「迎一'"ri2

二(aiP3)十(at*ar)-r(6*xni)T(sp4)十一<di<r?JU)

=3*2*210=78

I以方法歸納I

Q)奇偶分類討論問(wèn)題的常見(jiàn)題型：

①數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或租的問(wèn)題(為+的-1=4”)或。疝/工1=>/("))；

②含有(-1)你I類型；

⑤含有｛Qj，｛Gn-l｝的類型；

④已知條件明確的奇偶項(xiàng)問(wèn)題。

(2)通項(xiàng)公式分奇偶不同的數(shù)列｛〃｝求與時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的

和與儡敕項(xiàng)的和。

五、課后作業(yè)|

%+L”=2￡

【緣習(xí)1】已知數(shù)列：4｝的的”項(xiàng)和為s“，qt，q(ieAT).

2alM+1.”=2￡-1

則下列選耍正確的為<>

B.散列｛里川+可心￡.▽)是哄2為公比的等比JB列

c.對(duì)于任意的*■e.N”，oa=2*-'-J

D.s.>1000的屆4、正整的"的侑為15

I五、課后作業(yè)I

【絳習(xí)2】在數(shù)列｛6｝中，已知5=1,,記S*為⑹的前"項(xiàng)和,

%=g+G"」，rWn"

(1審斷數(shù)列。J是否為等比數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式J

(2加數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

(3涿&

再課后作業(yè)I

［<>)31已i?刷［4｝滿足修=1，。：二。3〉1),反.「。』二。「。」十3國(guó)0四

(1)當(dāng)d-a2時(shí)，號(hào)出內(nèi)而訐可能的信i

《2)當(dāng)d=l時(shí)，若的且內(nèi),>g7對(duì)任5〃JV*恒成立，求的列｛q｝的通項(xiàng)公

式.

［五，藻后作業(yè)I

I練習(xí)4】〈制東義界〉對(duì)干豺列｛6卜若R第二項(xiàng)起的若一項(xiàng)均大干諼項(xiàng)之花的所有響的

和，則稱｛6｝為［數(shù)列.

<1>豹列｛mJ九1,I,3,5,7,先列｛d｝為-1.-.1.--判斷船列3卜(3

248

懸否為尸數(shù)