專題2.14有理數章末八大題型總結（拔尖篇）【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1數軸中的新定義問題】 1【題型2數軸中的動點問題】 2【題型3絕對值中的最值問題】 4【題型4分類討論多絕對值問題】 5【題型5有理數中的規律探究】 6【題型6有理數中的對折問題】 9【題型7幻方的應用】 10【題型8有理數的實際應用】 12【題型1數軸中的新定義問題】【例1】（2023春·浙江金華·七年級?？计谥校┒x：若A、B、C為數軸上三個不同的點，若點C到點A的距離和點C到點B的距離的2倍的和為10，我們就稱點C是A,B的美好點．例如：點M、N、P表示的數分別為?6、2、0，則點P到點M的距離是6，到點N的距離是2，那么點P是M,N的美好點，而點P就不是N,M的美好點．(1)若點M、N、P表示的數分別為3、6、7，則是[，]的美好點．（空格內分別填入M、N、P）(2)若點M、P表示的數分別為?4、?2，且P是M,N的美好點，則點N為．(3)如圖，數軸上A，B，C三點分別表示的數為?10、12、2，點Q從B點出發以每秒8個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，當它到達A點后立即以相同的速度返回往B點運動，并持續在A，B兩點間往返運動．在Q點出發的同時，點P從A點出發以每秒2個單位長度向右勻速運動，直到當點P達到C點時，點P，Q停止運動．當t為何值時，點C恰好為P,Q的美好點？【變式1-1】（2023春·江西景德鎮·七年級統考期中）材料一：對任意有理數a，b定義運算“?”，a?b=a+b?20232，如：1?2=1+2?2023材料二：規定a表示不超過a的最大整數，如3.1=3，?2=?2，(1)2?6=______，?ππ(2)求1?2?3?4…?2022?2023的值：(3)若有理數m，n滿足m=2n=3n+1【變式1-2】（2023春·廣西南寧·七年級南寧市第四十七中學校考期中）對于數軸上的A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與另外兩個點的距離恰好滿足2倍的數量關系，則稱該點是另外兩個點的“聯盟點”．例如：數軸上點A，B，C所表示的數分別為1，3，4，此時點B是點A，C的“聯盟點”．(1)若點A表示數?3，點B表示數3，下列各數，?1，0，1所對應的點分別是C1,C2,(2)點A表示數?10，點B表示數5，P為數軸上的一個動點：①若點P在點A的左側，且點P是點A，B的“聯盟點”，求此時點P表示的數；②若點P在點B的右側，點P，A，B中，有一個點恰好是另外兩個點的“聯盟點”，求此時點P表示的數．【變式1-3】（2023春·安徽滁州·七年級?？计谥校┮阎狝、B、C為數軸上三點，當點C到點A的距離是點C到點B的距離3倍時，則稱點C是A，B的三倍點，不是B，A的三倍點．若數軸上點A在原點的左邊，且到原點的距離為1，點(1)直接寫出A、B兩點表示的數；(2)若點C是A，B的三倍點，求點(3)若點C在點A的左邊，是否存在使得A、B、C中恰有一個點為其余兩點的三倍點的情況？若存在，請求出點C表示的數；若不存在，請說明理由．【題型2數軸中的動點問題】【例2】（2023春·湖南株洲·七年級統考期中）閱讀：如圖，已知數軸上有A、B、C三個點，它們表示的數分別是?18，?8，8．A到C的距離可以用AC表示，計算方法：C表示的數8，A表示的數?18，8大于?18，用8??18．用式子表示為：

(1)填空：AB=______，BC=______．(2)若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒4個單位長度和9個單位長度的速度向右運動，試探索：BC?AB的值是否隨著時間t的變化而改變？請說明理由．(3)現有動點P、Q都從A點出發，點P以每秒1個單位長度的速度向右移動，當點P移動6秒時，點Q才從A點出發，并以每秒2個單位長度的速度向右移動．設點P移動的時間為t秒0≤t≤19，寫出P、Q兩點間的距離（用含t的代數式表示）．【變式2-1】（2023春·吉林·七年級校聯考期末）如圖，已知點A在數軸上對應的數為a，點B對應的數為b，且a，b滿足a+20+（1）求點A與點B在數軸上對應的數a和b；（2）現動點P從點A出發，沿數軸向右以每秒4個單位長度的速度運動；同時，動點Q從點B出發，沿數軸向左以每秒2個單位長度的速度運動，設點P的運動時間為t秒.①若點P和點Q相遇于點C,求點C在數軸上表示的數；②當點P和點Q相距15個單位長度時，直接寫出t的值.【變式2-2】（2023春·陜西榆林·七年級統考期末）已知A，B在數軸上對應的數分別用a，b表示，且點B距離原點10個單位長度，且位于原點左側，將點B先向右平移35個單位長度，再向左平移5個單位長度，得到點A，P是數軸上的一個動點．(1)在數軸上標出A、B的位置，并求出A、B之間的距離；(2)已知線段OB上有點C且BC=6，當數軸上有點P滿足PB=2PC時，求P點對應的數；(3)動點P從原點開始第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動3個單位長度，第三次向左移動5個單位長度，第四次向右移動7個單位長度，…點P能移動到與A或B重合的位置嗎?若不能，請說明理由．若能，第幾次移動與哪一點重合?

【變式2-3】（2023春·江蘇連云港·七年級統考期中）伴隨著連淮揚鎮鐵路淮鎮段的首發運行，世界首座高速鐵路懸索橋——五峰山長江大橋正式開通運營.如圖，點O為原點，向右為正方向.甲動車位于AB處，向右行駛.乙動車位于CD處，向左行駛.五峰山長江大橋主橋為BC；甲、乙兩動車長度相等，速度均為80米/秒.A、B、C、(1)b=______，BC間的距離是______米，AC間的距離是______米；(2)從此刻開始算起，甲動車A處有個在座位上的乘客記為點M，求甲動車行駛多少秒時，點M到點C的距離等于100米？(3)從此刻開始算起，甲動車A處有個在座位上的乘客記為點M，求甲動車行駛多少秒時，點M到點B的距離與點M到點C的距離之和等于1700米？(4)兩車同時運行，若甲動車A處的乘客記為點M，向右走，速度為2米/秒、乙動車處于中點位置的座位上的乘客記為點N，乘客M從車尾走到車頭的過程中是否存在一段時間t，恰好M、N同時在五峰山長江大橋上？如存在，請直接寫出【題型3絕對值中的最值問題】【例3】（2023春·山東臨沂·七年級統考期中）數軸上表示數?5的點與原點的距離可記作|?5?0|=|?5|=5；表示數?5的點與表示數?2的點的距離可記作|?5?(?2)|=|?3|=3．也就是說，在數軸上，如果A點表示的數記為a，B點表示的數記為b．則A，回答下列問題：(1)數軸上表示?3和2的兩點之間的距離是_____________，數軸上表示?2和3的兩點之間的距離是_____________；(2)數軸上表示x與?2的兩點A和B之間的距離為5，那么x為_____________；(3)①找出所有使得|x+1|+|x?2|=3的整數x；②求|x+3|+|x?1|的最小值．【變式3-1】（2023·浙江杭州·七年級期中）如圖，已知數軸的單位長度為1．（1）如果點A，B表示的數的絕對值相等，求點C表示的數．（2）如果點B，D表示的數是互為相反數，求點A表示的數．（3）若點A為原點，在數軸上有一點F，當BF=3時，求點F表示的數．（4）如果點A，B，C，D，E五個點表示的數分別為a，b，c，d，e，記s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|，求s的最小值．【變式3-2】（2023春·浙江寧波·七年級余姚市梨洲中學校考期中）數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美結合．通過研究數軸，我們發現了許多重要的規律，比如：數軸上點A和點B表示的數為a，b，則A，B兩點之間的距離AB=a?b，若a>b，則可化簡為AB=a?b(1)已知點P為數軸上任一動點，點P對應的數記為m，若點P與表示有理數－2的點的距離是3個單位長度，則m的值為______；(2)已知點P為數軸上任一動點，點P對應的數記為m，若數軸上點P位于表示﹣5的點與表示2的點之間，則m?2+(3)已知點A，B，C，D在數軸上分別表示數a，b，c，d，四個點在數軸上的位置如圖所示，若a?d=12，?b?d(4)若b=a，c=1【變式3-3】（2023春·浙江·七年級期末）閱讀絕對值拓展材料：a表示數a在數軸上的對應點與原點的距離如：5表示5在數軸上的對應點到原點的距離而5=5?0，即5?0表示5、0在數軸上對應的兩點之間的距離，類似的，有：5+3=5??3表示5、?3在數軸上對應的兩點之間的距離．一般地，點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，那么A回答下列問題：（1）數軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數軸上表示1和?3的兩點之間的距離是；（2）數軸上表示x和?1的兩點A和B之間的距離是，如果A、B兩點之間的距離為2，那么x=．（3）x+2可以理解為數軸上表示x和的兩點之間的距離．（4）x?2+x?3可以理解為數軸上表示x的點到表示和這兩點的距離之和．x+2+x?1可以理解為數軸上表示x的點到表示（5）x?2+x?3最小值是，x+2+x?1【題型4分類討論多絕對值問題】【例4】（2023春·浙江金華·七年級校聯考期中）已知a,b表示兩個非零的實數，則aa+bA．2 B．–2 C．1 D．0【變式4-1】（2023春·廣東惠州·七年級校考期中）若ab<0，則aa?【變式4-2】（2023春·江西宜春·七年級宜春市第三中學校考期中）若ab≠0，a+b≠0，則|a|a+【變式4-3】（2023春·廣東惠州·七年級統考期中）滿足x?1+x+3=4的整數xA．2 B．3 C．4 D．5【題型5有理數中的規律探究】【例5】（2023春·山東青島·七年級統考期中）曹沖稱象是我國歷史上著名的故事，大家都說曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問題轉變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉變為一塊塊石塊的重量．轉變就是化歸的實質．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式．從字面上看，化歸就是轉化和歸結的意思．例如：我們在七年級數學上冊第二章中引入“相反數”這個概念后，正負數的減法就化歸為已經解決的正負數的加法了；而引入“倒數”這個概念后，正負數的除法就化歸為已經解決的正負數的乘法了．下面我們再通過具體實例體會一下化歸思想的運用：數學問題，計算19+192探究問題：為解決上面的數學問題，我們運用數形結合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．探究一：計算12第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為12第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分的面積之和為12第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，……；……第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為12+1根據第n次分割圖可得等式：12探究二：計算13第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為23第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，陰影部分的面積之和為23第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，……，……第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為23+2根據第n次分制圖可得等式：23兩邊同除2，得13探究三：計算14(仿照上述方法，在圖①中只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程)解決問題．計算19(在圖②中只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并完成以下填空)．(1)根據第n次分割圖可得等式：___________．(2)所以，19(3)拓廣應用：計算9?19【變式5-1】（2023·廣東東莞·七年級東莞市東華初級中學校考期中）某公園將免費開放一天，早晨6時30分有2人進公園，第一個30min內有4人進去并出來1人，第二個30min內進去8人并出來2人，第三個30min內進去16人并出來3人，第四個30min內進去32人并出來4人，······按照這種規律進行下去，到上午11時30分公園內的人數是（

）A．2001 B．4039 C．8124 D．16304【變式5-2】（2023春·全國·七年級期中）觀察下面算式的演算過程：1+11×31+13×5……（1）根據上面的規律，直接寫出下面結果：1+15×7=______________．1+12n×(2n+2)=（2）根據規律計算：(1+1【變式5-3】（2023春·江蘇泰州·七年級泰興市洋思中學校聯考期中）（1）①觀察一列數1，2，3，4，5，…，發現從第二項開始，每一項與前一項之差是一個常數，這個常數是；根據此規律，如果an（n為正整數）表示這個數列的第n項，那么a18=，②如果欲求1+2+3+4+?+n的值，可令S=1+2+3+4+...+n將①式右邊順序倒置，得S=n+...+4+3+2+1由②加上①式，得2S=；∴S=_________________；由結論求1+2+3+4+?+55=___________；（2）①觀察一列數2，4，8，16，32，…，發現從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數，這個常數是；根據此規律，如果an（n為正整數）表示這個數列的第n項，那么a18=，②為了求1+3+32+33+……+32018的值，可令即1+3+32仿照以上推理，計算1+5+【題型6有理數中的對折問題】【例6】（2023春·江蘇南京·七年級南京市金陵匯文學校校考階段練習）如圖，在一張長方形紙條上畫一條數軸．

(1)折疊紙條使數軸上表示?1的點與表示5的點重合，折痕與數軸的交點表示的數是_________；如果數軸上兩點之間的距離為11，經過上述的折疊方式能夠重合，那么左邊這個點表示的數是_________；(2)如圖2，點A、B表示的數分別是?2、4，數軸上有點C，使點C到點A的距離是點C到點B距離的2倍，那么點C表示的數是_________；(3)如圖2，若將此紙條沿A、B兩處剪開，將中間的一段紙條對折，使其左右兩端重合，這樣連續對折5次后，再將其展開，求最左端的折痕與數軸的交點表示的數．【變式6-1】（2023春·浙江金華·七年級校考期中）在數軸上剪下8個單位長度（從1到9）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）．若這三條線段的長度之比為1:1:2，則折痕處對應的點所表示的數可能是【變式6-2】（2023春·河北滄州·七年級?？茧A段練習）操作探究：已知在紙面上有一數軸左右對折紙面，折痕所在的直線與數軸的交點為“對折中心點”．（1）操作一：左右對折紙面，使1對應的點與-1對應的點重合，則-3對應的點與_____對應的點重合；（2）操作二：左右對折紙面，使-1對應的點與3對應的點重合，回答以下問題：①對折中心點對應的數為__________，對折后5對應的點與數_________對應的點重合；②若數軸上A、B兩點之間的距離為11（A在B的左側），且A、B兩點經折疊后重合，通過計算求A、B兩點對應的數分別是多少？（3）操作三：已知數軸上的點A對應的數是a，點B對應的數是b，對折中心點C對應的數是c，此時點A與點B對折重合，那么a，b，c三數滿足的關系式為__________．【變式6-3】（2023春·江西吉安·七年級統考期中）小聰在復習過程中，發現數軸上線段的長度可以用線段端點表示的數進行減法運算得到，例：如圖1，線段AB=4?2=2，線段CB=4?(?2)=6，線段AC=2?(?2)=4，線段CD=?2?(?4)=2結論：數軸上任意兩點表示的數分別為：a，b（b>a），則這兩點間的距離為：b?a（即：較大的數減去較小的數）.嘗試應用：（1）若數軸上點E，點F代表的數分別是－3，－1，則EF=______.（2）把一條數軸在數m處對折，表示－9和3兩數的點恰好互相重合，此時m=______.（3）數軸上的兩個點之間的距離為6，其中一個點表示的數為3，另一個點表示的數為n，則n=______.問題解決：（4）如圖2，點A表示數x，點B表示－2，點C表示2x+8且BC=4AB，問點A和點C分別表示什么數？為什么？（5）上述（4）的條件下，圖2所示的數軸上，是否存在滿足條件的點D，使用DA+DC=3DB？若存在，請直接寫出D所表示的數，若不存在，請說明理由？（點D不與點A，點B，點C重合）【題型7幻方的應用】【例7】（2023春·山西臨汾·七年級統考期中）閱讀下面材料，并完成相應任務．幻方相傳大禹治水時，洛水中出現了一只神龜，其背上有美妙的圖案，史稱“洛書”．用現在的數字翻譯出來，就是三階幻方．其每行、每列、每條對角線上的數字之和都相等，這個和叫做幻和，正中間的那個數叫做中心數，且幻和恰好等于中心數的3倍．如圖1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所組成的一個三階幻方，其幻和為15，中心數為5．

(1)請在圖2的空格中填上合適的數，使其構成一個三階幻方；(2)請將?7，【變式7-1】（2023春·河南濮陽·七年級統考階段練習）在一個3×3的方格中填寫9個數字，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，得到的3×3的方格稱為一個三階幻方．(1)在圖1中空格處填上合適的數字，使它構成一個三階幻方；(2)圖2的方格中填寫了一些數和字母，要使它能構成一個三階幻方，求x，y的值，并將空格補充完整．【變式7-2】（2023春·山東青島·七年級統考期末）下列各組中的九個數不滿足三階幻方要求的（

）A．－2，－1，0，1，2，3，4，5，6 B．2，3，4，5，6，7，8，9，10C．3，6，9，12，15，18，21，24，27 D．4，6，7，10，12，14，16，18，20【變式7-3】（2023春·廣西南寧·七年級南寧二中?？奸_學考試）如圖，在探究“幻方”、“幻圓”的活動課上，學生們感悟到我國傳統數學文化的魅力．一個小組嘗試將數字?5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5,6這12個數填入“六角幻星”圖中，使6條邊上四個數之和都相等．部分數字已填入圓圈中，則a的值為（

）A．?4 B．?3 C．3 D．4【題型8有理數的實際應用】【例8】（2023·上海·六年級假期作業）小錢和小塘是同班同學且住在同一幢樓。早上7：40分，小錢出發騎車去學校，7：46分時追上一直勻速步行的小塘，這時想起未帶馬克筆，立即將速度提高到原來的2倍返回，到家拿好筆之后繼續出發去學校，結果兩人在8：00同時到達學校，已知小錢在家找筆花了6分鐘，那么小塘是幾時從家出發的？【變式8-1】（2023春·江蘇泰州·七年級周測）傳銷是一種危害極大的非法商業詐騙活動，國家是明令禁止的，參與傳銷活動的人，最終是要上當受騙的．據報道，某公司利用傳銷活動詐騙，謊稱“每位投資者每投資一股450元，買到一件價值10元的商品后，另外可得到530元的回報，每一期投資到期后，若投資人繼續投資，下一期追加的投資股數必須是上一期的2倍”．退休的張大爺先投資了1股，以后每期到期時，不斷追加投資，當張大爺某一期追加的投資數為16股時，被告知該公司破產了．(1)假設張大爺在該公司破產的前一期停止投資，他的投資回報率是多少?回報率=(2)張大爺在參與這次傳銷活動中共損失了多少錢?【變式8-2】（2023·浙江·七年級假期作業）大數據時代出現了滴滴打車服務，二孩政策的放開使得家庭中有兩個孩子的現象普遍存在．某城市關系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個孩子共8人，他們準備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個孩子恰有2個來自于同一個家庭的乘坐方式共有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種【變式8-3】（2023春·全國·七年級專題練習）現在有三個倉庫A1、A2、A3，分別存有7噸、12噸、11噸某原材料；要將這種原材料運往三個加工廠B1、B2、B3，每個加工廠都需要BBBA1（7126A2（12042A3（11315現在要讓每個倉庫清倉、每個加工廠都得到足夠的材料，（1）如果從A3運10噸到B1、運1噸到B2，從A1運7噸到B2，那么從A（2）考慮各種方案，運費最低為元．

專題2.14有理數章末八大題型總結（拔尖篇）【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1數軸中的新定義問題】 1【題型2數軸中的動點問題】 8【題型3絕對值中的最值問題】 14【題型4分類討論多絕對值問題】 19【題型5有理數中的規律探究】 22【題型6有理數中的對折問題】 29【題型7幻方的應用】 34【題型8有理數的實際應用】 38【題型1數軸中的新定義問題】【例1】（2023春·浙江金華·七年級?？计谥校┒x：若A、B、C為數軸上三個不同的點，若點C到點A的距離和點C到點B的距離的2倍的和為10，我們就稱點C是A,B的美好點．例如：點M、N、P表示的數分別為?6、2、0，則點P到點M的距離是6，到點N的距離是2，那么點P是M,N的美好點，而點P就不是N,M的美好點．(1)若點M、N、P表示的數分別為3、6、7，則是[，]的美好點．（空格內分別填入M、N、P）(2)若點M、P表示的數分別為?4、?2，且P是M,N的美好點，則點N為．(3)如圖，數軸上A，B，C三點分別表示的數為?10、12、2，點Q從B點出發以每秒8個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，當它到達A點后立即以相同的速度返回往B點運動，并持續在A，B兩點間往返運動．在Q點出發的同時，點P從A點出發以每秒2個單位長度向右勻速運動，直到當點P達到C點時，點P，Q停止運動．當t為何值時，點C恰好為P,Q的美好點？【答案】(1)M，P，N(2)?6或2(3)119或97或359【分析】（1）先求出點M到點P和點N的距離，再根據美好點的定義，即可得到答案；（2）設點N表示的數為n，得到點P到點M和點N的距離，再根據美好點的定義，即可得到答案；（3）分三種情況討論：①當0<t<114時，此時點Q第一次從B點出發向左勻速運動；②當114≤t<112時，此時點Q第一次到達A點這番折返出發向右勻速運動；③當112≤t≤6時，此時點【詳解】（1）解：點M、N、P表示的數分別為3、6、7，∴點M到點P的距離是4，到點N的距離是3，∵4+3×2=10，∴點M是P,N的美好點，故答案為：M，P，N;（2）解：設點N表示的數為n，∵點M、P表示的數分別為?4、?2，∴點P到點M的距離是2，到點N的距離是n?∵點P是M,N的美好點，∴2+2n+2∴n=?6或2；（3）解：①當0<t<114時，此時點Q第一次從根據題意得：點P表示的數為?10+2t，點Q表示的數為12?8t，∵點C表示的數為2，∴CP=2??10+2t=12?2t，∵點C恰好為P,Q的美好點，∴12?2t+210?8t當0<t<54時，解得：t=11當54≤t<11解得：t=9②當114≤t<112時，此時點根據題意得：點P表示的數為?10+2t，點Q表示的數為?10+8t?∵點C表示的數為2，∴CP=2??10+2t=12?2t，∵點C恰好為P,Q的美好點，∴12?2t+28t?34當114<t<17解得：t=35當174≤t<11解得：t=33③當112≤t≤6時，此時點Q第二次從點P表示的數為?10+2t，點Q表示的數為12?8t?∴CP=2??10+2t=12?2t，∵點C恰好為P,Q的美好點，∴12?2t+254?8t解得：t=55綜上可知，當t值為119或97或359或337秒時，點【點睛】本題考查了數軸上兩點的距離，動點問題，正確理解美好點的定義，利用分類討論的思想解決問題是解題關鍵．【變式1-1】（2023春·江西景德鎮·七年級統考期中）材料一：對任意有理數a，b定義運算“?”，a?b=a+b?20232，如：1?2=1+2?2023材料二：規定a表示不超過a的最大整數，如3.1=3，?2=?2，(1)2?6=______，?ππ(2)求1?2?3?4…?2022?2023的值：(3)若有理數m，n滿足m=2n=3n+1【答案】(1)?20072(2)2023(3)?【分析】（1）根據材料1新定義的運算“?”的概念即可求出2?6的值，根據材料2中的定義即可求出?ππ（2）根據新定義函數把1?2?3?4…?2022?2023變形為加減運算，再根據運算順序即可求出1?2?3?4…?2022?2023的值；（3）根據m=2n=3n+1求出m的值和n的范圍，再求出m+n【詳解】（1）解：∵a?b=a+b?2023∴2?6=∵?π∴?ππ=故答案為：?20072，（2）依題意，1?2?3?4…?2022?2023=1+2+3+……+2023+2022×==2023；（3）∵n+1=n+1∴2n∴n=?3∴m=2×?3=?6∴m+n=?6+n∴m?m+n=?9?【點睛】本題考查了新定義運算，有理數的混合運算，理解新定義是解題的關鍵．【變式1-2】（2023春·廣西南寧·七年級南寧市第四十七中學?？计谥校τ跀递S上的A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與另外兩個點的距離恰好滿足2倍的數量關系，則稱該點是另外兩個點的“聯盟點”．例如：數軸上點A，B，C所表示的數分別為1，3，4，此時點B是點A，C的“聯盟點”．(1)若點A表示數?3，點B表示數3，下列各數，?1，0，1所對應的點分別是C1,C2,(2)點A表示數?10，點B表示數5，P為數軸上的一個動點：①若點P在點A的左側，且點P是點A，B的“聯盟點”，求此時點P表示的數；②若點P在點B的右側，點P，A，B中，有一個點恰好是另外兩個點的“聯盟點”，求此時點P表示的數．【答案】(1)C1，(2)①?25；②20或35或12.5【分析】（1）根據“聯盟點”的定義列出絕對值方程即可求解；（2）根據數軸上兩點的距離公式以及新定義，分類討論，列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：設C點表示的數為x，且C點是點A，∴根據?1，0，1三個數在數A、B之間，可得CA=2CB或CB=2CA，∴x+3=2|x?3|或|x?3|=2當x+3=2|x?3|時，解得x=1或x=9當|x?3|=2x+3時，解得x=?∴C1，C故答案為：C1，C（2）①設P點表示的數是a，點P在點A的左側，∴PA＜PB，PA=?10?a，∵點P是點A，∴PB=2PA，∴2?10?a解得a=?25，即P點表示的數是?25；②設P點表示的數是b，點P在點B的右側，當P是點A，B的“聯盟點”時，∴b+10=2b?5解得b=20；當A是點P，B的“聯盟點”時，PA=2AB，∴b+10=2×15，解得b=20；當B是點P，A的“聯盟點”時，PB=2AB或AB=2PB，∴b?5=2×15或15=2b?5解得b=35或b=12.5；綜上所述：P點表示的數為20或35或12.5．【點睛】本題考查了幾何新定義，數軸上兩點的距離，絕對值的意義，數形結合是解題的關鍵．【變式1-3】（2023春·安徽滁州·七年級?？计谥校┮阎狝、B、C為數軸上三點，當點C到點A的距離是點C到點B的距離3倍時，則稱點C是A，B的三倍點，不是B，A的三倍點．若數軸上點A在原點的左邊，且到原點的距離為1，點(1)直接寫出A、B兩點表示的數；(2)若點C是A，B的三倍點，求點(3)若點C在點A的左邊，是否存在使得A、B、C中恰有一個點為其余兩點的三倍點的情況？若存在，請求出點C表示的數；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點A表示的數為?1，點B表示的數為3(2)點C表示的數為2或5(3)存在，?13或?73或?9【分析】（1）根據數軸上點A在原點的左邊，且到原點的距離為1可得出點A表示的數，根據點B在原點的右邊，且到點A的距離為4可得出點B表示的數；（2）設點C表示的數為a，根據題意可得a??1（3）分四種情況：①若點A是C，B的三倍點；②若點A是B，C的三倍點；③若點B是C，A的三倍點；④若點B是【詳解】（1）解：∵數軸上點A在原點的左邊，且到原點的距離為1，∴點A表示的數為?1，∵點B在原點的右邊，且到點A的距離為4，∴點B表示的數為3；（2）解：設點C表示的數為a，由題意可得a??1a+1=±33?a解得a=2或a=5，點C表示的數為2或5；（3）解：存在．假設存在點C為b，滿足題意，①若點A是C，由題意可得，?1?b=33?解得：b=?13，點C為?13；②若點A是B，由題意可得，3?1?b解得：b=?7點C為?7③若點B是C，由題意可得，3?b=33?解得b=?9，點C為?9；④若點B是A，由題意可得，3??1解得b=5點C在點A的左邊，即b<?1，因為53所以不符合題意；⑤若C是B，由題意可得，3?b=3?1?b解得b=?3，故點C表示的數為?13或?73或?9或?3時使得【點睛】本題主要考查了用數軸上的點表示有理數，數軸上兩點之間的距離，正確理解“三倍點”的定義，采用分類討論的思想解題，是解題的關鍵．【題型2數軸中的動點問題】【例2】（2023春·湖南株洲·七年級統考期中）閱讀：如圖，已知數軸上有A、B、C三個點，它們表示的數分別是?18，?8，8．A到C的距離可以用AC表示，計算方法：C表示的數8，A表示的數?18，8大于?18，用8??18．用式子表示為：

(1)填空：AB=______，BC=______．(2)若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒4個單位長度和9個單位長度的速度向右運動，試探索：BC?AB的值是否隨著時間t的變化而改變？請說明理由．(3)現有動點P、Q都從A點出發，點P以每秒1個單位長度的速度向右移動，當點P移動6秒時，點Q才從A點出發，并以每秒2個單位長度的速度向右移動．設點P移動的時間為t秒0≤t≤19，寫出P、Q兩點間的距離（用含t的代數式表示）．【答案】(1)10，16(2)不會改變，見解析(3)t或?t+12或t?12【分析】（1）根據數軸上兩點間距離公式計算即可；（2）根據題意求出點A，B，C向右移動后表示的數，然后根據數軸上兩點間距離公式出表示AB，BC的值，最后再進行計算即可；（3）分三種情況討論，點Q在點A處，點P在點Q的右邊，點Q在點P的右邊．【詳解】（1）解：AB=?8??18=10，（2）解：不變，因為：經過t秒后，A，B，C三點所對應的數分別是?18?t，?8+4t，8+9t，所以：BC=8+9t??8+4t=16+5t，所以：BC?AB=16+5t?10+5t所以BC?AB的值不會隨著時間t的變化而改變；（3）解：經過t秒后，P，Q兩點所對應的數分別是?18+t，?18+2t?6當點Q追上點P時，?18+t?[?18+2t?6解得：t=12，①當0<t≤6時，點Q在還點A處，所以：PQ=t，②當6<t≤12時，點P在點Q的右邊，所以：PQ=?18+t??18+2③當12<t≤19時，點Q在點P的右邊，所以：PQ=?18+2t?6綜上所述，P、Q兩點間的距離為t或?t+12或t?12．【點睛】本題考查了列代數式，數軸，熟練掌握用數軸上兩點間距離表示線段長是解題的關鍵，同時滲透了分類討論的數學思想．【變式2-1】（2023春·吉林·七年級校聯考期末）如圖，已知點A在數軸上對應的數為a，點B對應的數為b，且a，b滿足a+20+（1）求點A與點B在數軸上對應的數a和b；（2）現動點P從點A出發，沿數軸向右以每秒4個單位長度的速度運動；同時，動點Q從點B出發，沿數軸向左以每秒2個單位長度的速度運動，設點P的運動時間為t秒.①若點P和點Q相遇于點C,求點C在數軸上表示的數；②當點P和點Q相距15個單位長度時，直接寫出t的值.【答案】（1）a=?20，b=40；（2）①20；②t=7.5或12.5秒【分析】(1)由絕對值和偶次方的非負性即可求出a、b值；(2)①t秒后P點表示的數為：?20+4t，t秒后Q點表示的數為：40?2t，根據t秒后P點和Q點表示的是同一個數列式子即可得出t的值；②分當P和Q未相遇時相距15個單位及當P和Q相遇后相距15個單位列式子即可得出答案．【詳解】解：（1）由題意中絕對值和偶次方的非負性知，a+20=0且b?40=0.解得a=?20，b=40.

故答案為：a=?20，b=40.（2）①P點向右運動，其運動的路程為4t，t秒后其表示的數為：?20+4t，Q點向左運動，其運動的路程為2t，t秒后其表示的數為：40?2t，由于P和Q在t秒后相遇，故t秒后其表示的是同一個數，∴?20+4t=40?2t解得t=10.

∴此時C在數軸上表示的數為：?20+4×10=20.

故答案為：20.②情況一：當P和Q未相遇時相距15個單位，設所用的時間為t故此時有：4解得t1情況二：當P和Q相遇后相距15個單位，設所用的時間為t故此時有：4解得t2故答案為：t=7.5或12.5秒【點睛】本題考查了一元一次方程的應用、兩點間的距離、數軸、絕對值以及偶次方的非負性，根據兩點間的距離結合線段間的關系列出一元一次方程是解題的關鍵．【變式2-2】（2023春·陜西榆林·七年級統考期末）已知A，B在數軸上對應的數分別用a，b表示，且點B距離原點10個單位長度，且位于原點左側，將點B先向右平移35個單位長度，再向左平移5個單位長度，得到點A，P是數軸上的一個動點．(1)在數軸上標出A、B的位置，并求出A、B之間的距離；(2)已知線段OB上有點C且BC=6，當數軸上有點P滿足PB=2PC時，求P點對應的數；(3)動點P從原點開始第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動3個單位長度，第三次向左移動5個單位長度，第四次向右移動7個單位長度，…點P能移動到與A或B重合的位置嗎?若不能，請說明理由．若能，第幾次移動與哪一點重合?

【答案】（1）A、B位置見解析，A、B之間距離為30；（2）2或-6；（3）第20次P與A重合；點P與點B不重合．【分析】（1）點B距離原點10個單位長度，且位于原點左側，得到點B表示的數，再根據平移的過程得到點A表示的數，在數軸上表示出A、B的位置，根據數軸上兩點間的距離公式，求出A、B之間的距離即可；（2）設P點對應的數為x，當P點滿足PB=2PC時，得到方程，求解即可；（3）根據第一次點P表示-1，第二次點P表示2，點P表示的數依次為-3，4，-5，6…，找出規律即可得出結論．【詳解】解：（1）∵點B距離原點10個單位長度，且位于原點左側，∴點B表示的數為-10，∵將點B先向右平移35個單位長度，再向左平移5個單位長度，得到點A，∴點A表示的數為20，∴數軸上表示如下：

AB之間的距離為：20-（-10）=30；（2）∵線段OB上有點C且BC=6，∴點C表示的數為-4，∵PB=2PC，設點P表示的數為x，則x+10=2解得：x=2或-6，∴點P表示的數為2或-6；（3）由題意可知：點P第一次移動后表示的數為：-1，點P第二次移動后表示的數為：-1+3=2，點P第三次移動后表示的數為：-1+3-5=-3，…，∴點P第n次移動后表示的數為（-1）n?n，∵點A表示20，點B表示-10，當n=20時，（-1）n?n=20；當n=10時，（-1）n?n=10≠-10，∴第20次P與A重合；點P與點B不重合．【點睛】本題考查的是數軸，絕對值，數軸上兩點之間的距離的綜合應用，正確分類是解題的關鍵．解題時注意：數軸上各點與實數是一一對應關系．【變式2-3】（2023春·江蘇連云港·七年級統考期中）伴隨著連淮揚鎮鐵路淮鎮段的首發運行，世界首座高速鐵路懸索橋——五峰山長江大橋正式開通運營.如圖，點O為原點，向右為正方向.甲動車位于AB處，向右行駛.乙動車位于CD處，向左行駛.五峰山長江大橋主橋為BC；甲、乙兩動車長度相等，速度均為80米/秒.A、B、C、(1)b=______，BC間的距離是______米，AC間的距離是______米；(2)從此刻開始算起，甲動車A處有個在座位上的乘客記為點M，求甲動車行駛多少秒時，點M到點C的距離等于100米？(3)從此刻開始算起，甲動車A處有個在座位上的乘客記為點M，求甲動車行駛多少秒時，點M到點B的距離與點M到點C的距離之和等于1700米？(4)兩車同時運行，若甲動車A處的乘客記為點M，向右走，速度為2米/秒、乙動車處于中點位置的座位上的乘客記為點N，乘客M從車尾走到車頭的過程中是否存在一段時間t，恰好M、N同時在五峰山長江大橋上？如存在，請直接寫出【答案】(1)100；1400；1600(2)754秒或85(3)58秒或175(4)2675【分析】（1）先求出a、c、d的值，然后根據甲、乙兩動車長度相等求解；（2）根據速度、路程、時間的關系，分兩種情況計算即可；（3）根據速度、路程、時間的關系，分兩種情況計算即可；（4）確定M、【詳解】（1）解：∵a+100∴a+100=0，c?1500=0，d?1700=0∴a=?100，c=1500，d=1700∵甲、乙兩動車長度相等∴b=?100+(1700?1500)=100BC=1500?100=1400（米）AC=1500?(?100)=1600（米）故答案為：100，1400，1600；（2）解：1600?100=1500（米），1600+100=1700（米）1500÷80=751700÷80=85答：甲動車行駛754秒或854秒時，，點M到點C的距離等于（3）解：分兩種情況，當點M在點B左側時；1700?1400=300（米）300÷2=150（米）200?150=50（米）50÷80=5當點M在點C右側時；1700?1400=300（米）300÷2=150（米）1600+150=1750（米）1750÷80=175答：甲動車行駛58秒或1758秒時，點M到點B的距離與點M到點C的距離之和等于（4）解：存在；乘客M到達點B的時間為：200÷(80+2)=100乘客M到達點C的時間為：1600÷(80+2)=800乘客N到達點C的時間為：(1600?1500)÷80=5乘客N到達點B的時間為：(1600?100)÷80=7510041>754故t的值為：2675164【點睛】本題考查了數軸上的動點問題、有理數的混合運算；熟練根據數軸上的兩點求距離是解題的關鍵．【題型3絕對值中的最值問題】【例3】（2023春·山東臨沂·七年級統考期中）數軸上表示數?5的點與原點的距離可記作|?5?0|=|?5|=5；表示數?5的點與表示數?2的點的距離可記作|?5?(?2)|=|?3|=3．也就是說，在數軸上，如果A點表示的數記為a，B點表示的數記為b．則A，回答下列問題：(1)數軸上表示?3和2的兩點之間的距離是_____________，數軸上表示?2和3的兩點之間的距離是_____________；(2)數軸上表示x與?2的兩點A和B之間的距離為5，那么x為_____________；(3)①找出所有使得|x+1|+|x?2|=3的整數x；②求|x+3|+|x?1|的最小值．【答案】(1)5，5(2)3，?7(3)①?1，0，1，2．

②4【分析】（1）根據數軸上兩點間的距離公式直接代入計算即可；（2）根據數軸上兩點間的距離公式直接代入可得A，B之間的距離為x+2；當AB=5時，即x+2=5（3）①從數軸上可以看出只要x取?1和2之間的數（包括?1，2）就有|x+1|+|x?2|=3，可得這樣的整數是﹣1②對x進行討論，可得|x+3|+|x?1|的最小值．【詳解】（1）表示?3和2的兩點之間的距離是|?3?2|=5，表示?2和3的兩點之間的距離是|?2?3|=5；故答案為：5，5；（2）由題意可得，x+2=5∴x+2=5或x+2=?5，∴x=3或x=?7；故答案為：3，?7．（3）①從數軸上可以看出只要x取?1和2之間的數（包括?1，2），就有|x+1|+|x?2|=3，因此這樣的整數是?1，②對x進行討論：當?3<x<1時，|x+3|+|x?1|=當x≤?3時，|x+3|+|x?1|=當x≥1時，|x+3|+|x?1|綜上，|x+3|+|x?1|的最小值為4．【點睛】本題主要考查數軸上兩點間的距離，絕對值的性質等內容，根據題意進行分類討論是解決本題的關鍵．【變式3-1】（2023·浙江杭州·七年級期中）如圖，已知數軸的單位長度為1．（1）如果點A，B表示的數的絕對值相等，求點C表示的數．（2）如果點B，D表示的數是互為相反數，求點A表示的數．（3）若點A為原點，在數軸上有一點F，當BF=3時，求點F表示的數．（4）如果點A，B，C，D，E五個點表示的數分別為a，b，c，d，e，記s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|，求s的最小值．【答案】（1）5；（2）0.5；（3）-1或5；（4）13【分析】（1）先確定原點，再求點C表示的數；（2）先確定原點，再求點A表示的數；（3）根據題意得到點B表示的數，再分點F在點B左側和右側分別得出結果；（4）理解題意，將各個點作為原點分別求解，再比較即可．【詳解】解：（1）∵A、B表示的數的絕對值相等，且AB之間距離2個單位，∴點A表示的數為-1，點B表示的數為1，∴點C表示的數為5；（2）∵點B，D表示的數是互為相反數，且BD之間距離5個單位，∴點B表示的數為2.5，點D表示的數為-2.5，∴點A表示的數為0.5；（3）∵點A表示原點，∴點B表示的數為2，∵BF=3，∴點F表示的數為-1或5；（4）由題意可得：在數軸上找一點作為原點，使得該點到A、B、C、D、E的距離之和最小，當點A為原點時，a=0，b=2，c=6，d=-3，e=-2，s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=13，當點B為原點時，a=-2，b=0，c=4，d=-5，e=-4，s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=15，當點C為原點時，a=-6，b=-4，c=0，d=-9，e=-8，s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=27，當點D為原點時，a=3，b=5，c=9，d=0，e=1，s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=18，當點E為原點時，a=2，b=4，c=8，d=-1，e=0，s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=15，綜上：s的最小值為13．【點睛】本題主要考查了數軸，解題的關鍵是熟記數軸的特點，理解數軸上兩點之間的距離．【變式3-2】（2023春·浙江寧波·七年級余姚市梨洲中學?？计谥校递S是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美結合．通過研究數軸，我們發現了許多重要的規律，比如：數軸上點A和點B表示的數為a，b，則A，B兩點之間的距離AB=a?b，若a>b，則可化簡為AB=a?b(1)已知點P為數軸上任一動點，點P對應的數記為m，若點P與表示有理數－2的點的距離是3個單位長度，則m的值為______；(2)已知點P為數軸上任一動點，點P對應的數記為m，若數軸上點P位于表示﹣5的點與表示2的點之間，則m?2+(3)已知點A，B，C，D在數軸上分別表示數a，b，c，d，四個點在數軸上的位置如圖所示，若a?d=12，?b?d(4)若b=a，c=1【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54【分析】（1）由題意可知，a??2（2）由點P位于表示﹣5的點與表示2的點之間，得到m?2+m+5表示點P到2和﹣5的距離和，由（3）由題意得到?a?c=AC，a?d=AD（4）由題意可得b?1+2c+2+3【詳解】（1）解：∵點P與表示有理數﹣2的點的距離是3個單位長度，∴a??2∴a+2=3或a+2=?3，解得a=1或a=?5，故答案為：1或﹣5；（2）∵點P位于表示﹣5的點與表示2的點之間，∴m?2+m+5表示點∵?5?2=7∴m?2+故答案為：7；（3）∵?a?c=AC，∴?b?c故答案為：4（4）∵b=a?∴b?1==a?1根據絕對值的幾何意義，相當于找一點，使得這個點到，1，﹣4，9，﹣16，25距離和最小，只能取a=1，當a=1時，a?1+此時原式＝1?1＝54，故答案為：54．【點睛】此題考查了數軸，熟練掌握數軸上點的特征，兩點間距離的求法，絕對值的意義是解題的關鍵．【變式3-3】（2023春·浙江·七年級期末）閱讀絕對值拓展材料：a表示數a在數軸上的對應點與原點的距離如：5表示5在數軸上的對應點到原點的距離而5=5?0，即5?0表示5、0在數軸上對應的兩點之間的距離，類似的，有：5+3=5??3表示5、?3在數軸上對應的兩點之間的距離．一般地，點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，那么A回答下列問題：（1）數軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數軸上表示1和?3的兩點之間的距離是；（2）數軸上表示x和?1的兩點A和B之間的距離是，如果A、B兩點之間的距離為2，那么x=．（3）x+2可以理解為數軸上表示x和的兩點之間的距離．（4）x?2+x?3可以理解為數軸上表示x的點到表示和這兩點的距離之和．x+2+x?1可以理解為數軸上表示x的點到表示（5）x?2+x?3最小值是，x+2+x?1【答案】（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3【分析】（1）根據兩點之間的距離公式計算即可；（2）根據兩點之間的距離公式計算即可；（3）根據絕對值的意義可得；（4）根據絕對值的意義可得；（5）分別得出x?2+x?3和【詳解】解：（1）數軸上表示2和5的兩點之間的距離是3，數軸上表示1和-3的兩點之間的距離是4；（2）數軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是|x+1|，如果|AB|=2，即|x+1|=2，∴x=1或-3；（3）|x+2|可以理解為數軸上表示x和-2的兩點之間的距離；（4）|x-2|+|x-3|可以理解為數軸上表示x的點到表示2和3這兩點的距離之和，|x+2|+|x-1|可以理解為數軸上表示x的點到表示-2和1這兩點的距離之和；（5）由（4）可知：當x在2和3之間時，|x-2|+|x-3|最小值是1，當x在-2和1之間時，|x+2|+|x-1|的最小值是3．【點睛】本題考查的是絕對值的問題，涉及到數軸應用問題，只要理解絕對值含義和數軸上表示數值的關系（如：|x+2|表示x與-2的距離），即可求解．【題型4分類討論多絕對值問題】【例4】（2023春·浙江金華·七年級校聯考期中）已知a,b表示兩個非零的實數，則aa+bA．2 B．–2 C．1 D．0【答案】C【詳解】∵當a>0時，aa=aa=1當b>0時，bb=bb=1∴①當a>0，b>0時，②當a<0，b<0時，③當a>0，b<0時，④當a<,b>0時，aa∴綜上所述，aa故選：C．【點睛】本題考查化簡絕對值，（1）正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數；（2）分情況討論時，雖然③④兩種情況在本題中的計算結果是一樣的，但在分類討論時，還是要分為兩種．【變式4-1】（2023春·廣東惠州·七年級?？计谥校┤鬭b<0，則aa?【答案】3或?1/?1或3【分析】根據ab<0分a>0、b<0和a<0、b>0【詳解】解：∵ab<0，∴a<0，b>0或a>0，b<0若a>0、b<0，則aa若a<0、b>0，則a綜上所述，aa?b故答案為：3或?1．【點睛】本題考查絕對值的性質，掌握分情況討論思想是解題的關鍵．【變式4-2】（2023春·江西宜春·七年級宜春市第三中學校考期中）若ab≠0，a+b≠0，則|a|a+【答案】-2或0或4【分析】對a和b，以及a+b的正負進行分類討論，然后去絕對值求出對應的值．【詳解】解：①當a>0，b>0時，ab>0，a+b>0，原式=a②當a<0，b<0時，ab>0，a+b<0，原式=?a③當a>0，b<0，且a+b>0時，ab<0，原式=a④當a>0，b<0，且a+b<0時，ab<0，原式=a⑤當a<0，b>0，且a+b>0時，ab<0，原式=?a⑥當a<0，b>0，且a+b<0時，ab<0，原式=?a故答案是：-2或0或4．【點睛】本題考查絕對值的性質，解題的關鍵是利用分類討論的思想去化簡絕對值．【變式4-3】（2023春·廣東惠州·七年級統考期中）滿足x?1+x+3=4的整數xA．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據絕對值的性質化簡即可求出答案．【詳解】當x≥1時，x?1+令2x+2=4，解得：x=1；當?3<x<1時，x?1+此時整數x=?2或當x≤?3時，x?1+令?2x?2=4，解得：x=?3綜上，整數x可能為?3、?2、?1、0、1，共有5個．故選：D．【點睛】本題考查了絕對值的化簡，熟練掌握絕對值的意義及性質，利用絕對值的性質解題是關鍵．【題型5有理數中的規律探究】【例5】（2023春·山東青島·七年級統考期中）曹沖稱象是我國歷史上著名的故事，大家都說曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問題轉變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉變為一塊塊石塊的重量．轉變就是化歸的實質．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式．從字面上看，化歸就是轉化和歸結的意思．例如：我們在七年級數學上冊第二章中引入“相反數”這個概念后，正負數的減法就化歸為已經解決的正負數的加法了；而引入“倒數”這個概念后，正負數的除法就化歸為已經解決的正負數的乘法了．下面我們再通過具體實例體會一下化歸思想的運用：數學問題，計算19+192探究問題：為解決上面的數學問題，我們運用數形結合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．探究一：計算12第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為12第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分的面積之和為12第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，……；……第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為12+1根據第n次分割圖可得等式：12探究二：計算13第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為23第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，陰影部分的面積之和為23第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，……，……第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為23+2根據第n次分制圖可得等式：23兩邊同除2，得13探究三：計算14(仿照上述方法，在圖①中只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程)解決問題．計算19(在圖②中只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并完成以下填空)．(1)根據第n次分割圖可得等式：___________．(2)所以，19(3)拓廣應用：計算9?19【答案】探究三：14+142解決問題：圖見解析；（1）18?18×【分析】探究三：根據探究二的分割方法依次進行分割，然后表示出陰影部分的面積，再除以3即可；解決問題：(1)根據第n次分割圖得出等式8(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出陰影部分的面積及，再除以(m?1)即可得解；(3)拓廣應用：先把每一個分數分成1減去一個分數，然后應用公式進行計算即可得解．【詳解】探究三：第1次分割，把正方形的面積四等分，其中陰影部分的面積為34第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，陰影部分的面積之和為34第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，…，第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后四等分，所有陰影部分的面積之和為：34最后的空白部分的面積是14根據第n次分割圖可得等式：34+342兩邊同除以3，得14+142解決問題：（1）89+故答案為：8（2）19+1故答案為：18（3）拓廣應用：9?1=1?=n?=n?=n?1故答案為：n?1【點睛】本題考查了應用與設計作圖，圖形的變化規律，讀懂題目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解題的關鍵．【變式5-1】（2023·廣東東莞·七年級東莞市東華初級中學?？计谥校┠彻珗@將免費開放一天，早晨6時30分有2人進公園，第一個30min內有4人進去并出來1人，第二個30min內進去8人并出來2人，第三個30min內進去16人并出來3人，第四個30min內進去32人并出來4人，······按照這種規律進行下去，到上午11時30分公園內的人數是（

）A．2001 B．4039 C．8124 D．16304【答案】B【分析】由每個30分鐘進去的人數可構成一列數，利用觀察法求出這一列數的規律，由于從早晨6時30分到上午Il時30分共有10個30分鐘，故求這一列數的前11個數的和，即可得上午11時30分公園內的人數．【詳解】解：根據題意知：早晨6時30分有2人進公園，則a1第一個30min內有4人進去并出來1人，則a2第二個30min內進去8人并出來2人，則a3第三個30min內進去16人并出來3人，則a4第四個30min內進去32人并出來4人，則a5……∴第十個30min（即上午11時30分）內進去的人和出來的人數可表示為a11∴到上午11時30分公園內的人數為：2?0=設a=2+22∴2a=22+∴2a?a=2b+b=10+9+8+?+1+∴a=212?2∴2?0===4096?57=4039．故選：B．【點睛】本題考查數字的變化規律，有理數的混合運算，運用了歸納推理、轉化的解題方法．解題時要善于將實際問題轉化為數學問題，運用數學知識解決問題．解題的關鍵是歸納出題干所給式子的規律．【變式5-2】（2023春·全國·七年級期中）觀察下面算式的演算過程：1+11×31+13×5……（1）根據上面的規律，直接寫出下面結果：1+15×7=______________．1+12n×(2n+2)=（2）根據規律計算：(1+1【答案】（1）625×7，726×8，【分析】（1）根據已知算式的演算過程即可得；（2）根據（1）的結論，先將各括號進行轉化，再計算有理數的乘法即可得．【詳解】（1）1+11+11+1故答案為：625×7，72（2）原式=2=2=2=2=200【點睛】本題考查了有理數乘方、乘法、加法的規律型問題，根據演算過程，正確發現規律是解題關鍵．【變式5-3】（2023春·江蘇泰州·七年級泰興市洋思中學校聯考期中）（1）①觀察一列數1，2，3，4，5，…，發現從第二項開始，每一項與前一項之差是一個常數，這個常數是；根據此規律，如果an（n為正整數）表示這個數列的第n項，那么a18=，②如果欲求1+2+3+4+?+n的值，可令S=1+2+3+4+...+n將①式右邊順序倒置，得S=n+...+4+3+2+1由②加上①式，得2S=；∴S=_________________；由結論求1+2+3+4+?+55=___________；（2）①觀察一列數2，4，8，16，32，…，發現從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數，這個常數是；根據此規律，如果an（n為正整數）表示這個數列的第n項，那么a18=，②為了求1+3+32+33+……+32018的值，可令即1+3+32仿照以上推理，計算1+5+【答案】（1）①1，18，n；②n1+n，n1+n2，1540；（2）①2，218，【分析】(1)①觀察一列數1，2，3，4，5，…，發現從第二項開始，每一項與前一項之差都為1，從而可得常數為1；根據此規律，如果an②觀察可得2S=n(n+1)，從而求得S；根據上面得到的式子進行計算即可求得1+2+3+4+?+55(2)①觀察一列數2，4，8，16，32，…，發現從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數2，根據此規律，可得an(n②根據推理進行計算即可求得1+5+5【詳解】(1)①觀察一列數1，2，3，4，5，…，發現從第二項開始，每一項與前一項之差是一個常數，這個常數是1；根據此規律，如果an(n為正整數)表示這個數列的第n項，那么a故答案為1，18，n；②令S=1+2+3+4+...+將①式右邊順序倒置，得S=②+①，得2S=1+n∴S=n1+n1+2+3+4+?+55=55×55+1故答案為n1+n，(2)①觀察一列數2，4，8，16，32，…，發現從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數，這個常數是2；根據此規律，如果an(n為正整數)表示這個數列的第n項，那么a18=218故答案為2，218，2②令M=1+5+則5M=5+∴5M?∴4M∴M即1+5+5【點睛】本題考查了閱讀理解題，根據題目的內容以及問題的求解方法進行求解，正確分析并仿照題目中的解題方法進行求解是解題的關鍵.【題型6有理數中的對折問題】【例6】（2023春·江蘇南京·七年級南京市金陵匯文學校校考階段練習）如圖，在一張長方形紙條上畫一條數軸．

(1)折疊紙條使數軸上表示?1的點與表示5的點重合，折痕與數軸的交點表示的數是_________；如果數軸上兩點之間的距離為11，經過上述的折疊方式能夠重合，那么左邊這個點表示的數是_________；(2)如圖2，點A、B表示的數分別是?2、4，數軸上有點C，使點C到點A的距離是點C到點B距離的2倍，那么點C表示的數是_________；(3)如圖2，若將此紙條沿A、B兩處剪開，將中間的一段紙條對折，使其左右兩端重合，這樣連續對折5次后，再將其展開，求最左端的折痕與數軸的交點表示的數．【答案】(1)2，?3.5(2)2或10(3)?【分析】（1）設折痕與數軸的交點表示的數為x，根據折痕與數軸的交點是?1與5對應點的中點可得方程x??1=5?x，解方程即可求得答案；按照（1）的折疊方式，中點為2，兩點之間的距離為11，則左邊數到中點的距離為（2）分點C在A、B之間和B點右側兩種情況利用數軸上兩點距離公式建立方程求解即可；（3）A、B兩點之間距離為4??2=6，連續對折5次后，共有25段，每兩條相鄰折痕間的距離為3【詳解】（1）解：設折痕與數軸的交點表示的數為x，由題意得，x??1解得x=2，∴折痕與數軸的交點表示的數是2，設左邊點表示的數為m，則2?m=11×12，解得∴左邊這個點表示的數是?3.5；故答案為：2，?3.5；（2）解：設點C表示的數為y，∵AC=2BC，∴點C離點B較近，只有兩種情況：①點C在線段AB上時，y??2=24?y②當點C在點B的右邊數軸上時，y??2=2y?4綜上所述，點C表示的數為2或10，故答案為：2或10；（3）解：對折5次后，每兩條相鄰折痕間的距離為4??2∴最左端的折痕與數軸的交點表示的數為?2+3【點睛】本題主要考查了有理數與數軸，數軸上兩點距離公式，解題的關鍵是掌握數軸上點的特點，以及理解圖形對稱的性質．【變式6-1】（2023春·浙江金華·七年級?？计谥校┰跀递S上剪下8個單位長度（從1到9）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）．若這三條線段的長度之比為1:1:2，則折痕處對應的點所表示的數可能是【答案】4或5或6【分析】由線段總長度及三條線段的長度之比，可得三條線段的長度，再分情況討論即可．【詳解】解：∵線段長為8，這三條線段的長度之比為1:1:2，∴8÷1+1+2∴這三條線段的長度分別為2，2，4，若剪下的第一條線段長為2，第2條線段長度也為2，則折痕表示的數為：1+2+1=4；若剪下的第一條線段長為2，第2條線段長度為4，則折痕表示的數為：1+2+2=5；若剪下的第一條線段長為4，第2條線段長度為2，則折痕表示的數為：1+4+1=6；∴折痕表示的數為4或5或6，故答案為：4或5或6．【點睛】本題考查數軸與線段綜合，列出三條線段所有可能的順序是解題的關鍵．【變式6-2】（2023春·河北滄州·七年級?？茧A段練習）操作探究：已知在紙面上有一數軸左右對折紙面，折痕所在的直線與數軸的交點為“對折中心點”．（1）操作一：左右對折紙面，使1對應的點與-1對應的點重合，則-3對應的點與_____對應的點重合；（2）操作二：左右對折紙面，使-1對應的點與3對應的點重合，回答以下問題：①對折中心點對應的數為__________，對折后5對應的點與數_________對應的點重合；②若數軸上A、B兩點之間的距離為11（A在B的左側），且A、B兩點經折疊后重合，通過計算求A、B兩點對應的數分別是多少？（3）操作三：已知數軸上的點A對應的數是a，點B對應的數是b，對折中心點C對應的數是c，此時點A與點B對折重合，那么a，b，c三數滿足的關系式為__________．【答案】（1）3；（2）①1，-3，②-4.5，6.5；（3）a+b=2c【分析】（1）1與-1重合，可以發現1與-1互為相反數，因此-3表示的點與3表示的點重合；（2）①-1表示的點與3表示的點重合，則折痕點為1，因此5表示的點與數-3表示的點重合；②由①知折痕點為1，且A、B兩點之間距離為11，則A表示1-5.5=-4.5，B點表示1+5.5=6.5．（3）根據題意得a+b2【詳解】解：（1）∵1與-1重合，∴折痕點為原點，∴-3表示的點與3表示的點重合．故答案為：3．（2）①∵由表示-1的點與表示3的點重合，∴可確定折痕點是表示1的點，∴5表示的點與數-3表示的點重合．故答案為：1，-3．②由題意可得，A、B兩點距離折痕點的距離為11÷2=5.5，∵折痕點是表示1的點，∴A、B兩點表示的數分別是-4.5，6.5．（3）根據題意得a+b2∴a+b=2c．【點睛】題目考查了數軸上點的對稱，通過點的對稱，發現對稱點的規律，題目設計新穎，難易程度適中，適合課后訓練．【變式6-3】（2023春·江西吉安·七年級統考期中）小聰在復習過程中，發現數軸上線段的長度可以用線段端點表示的數進行減法運算得到，例：如圖1，線段AB=4?2=2，線段CB=4?(?2)=6，線段AC=2?(?2)=4，線段CD=?2?(?4)=2結論：數軸上任意兩點表示的數分別為：a，b（b>a），則這兩點間的距離為：b?a（即：較大的數減去較小的數）.嘗試應用：（1）若數軸上點E，點F代表的數分別是－3，－1，則EF=______.（2）把一條數軸在數m處對折，表示－9和3兩數的點恰好互相重合，此時m=______.（3）數軸上的兩個點之間的距離為6，其中一個點表示的數為3，另一個點表示的數為n，則n=______.問題解決：（4）如圖2，點A表示數x，點B表示－2，點C表示2x+8且BC=4AB，問點A和點C分別表示什么數？為什么？（5）上述（4）的條件下，圖2所示的數軸上，是否存在滿足條件的點D，使用DA+DC=3DB？若存在，請直接寫出D所表示的數，若不存在，請說明理由？（點D不與點A，點B，點C重合）【答案】（1）2；（2）－3；（3）－3或9；（4）點A表示－3，點C表示2；（5）?1【分析】（1）根據點F、E代表的數分別為-1和-3，可得線段EF=-1-（-3）=2；（2）由題意可知m是－9和3的中點，據此可解；（3）分兩種情況討論，3-n=6或n-3=6，解方程即可；（4）先表示出BC和AB，再根據BC=4AB列出方程，解之即可；（5）分四種情況分析：①當點D在點C右側時；②當點D在點B與C之間時;③當點D在點A與B之間時；④當點D在點A左側時.【詳解】解：嘗試應用（1）EF=-1-（-3）=2；（2）由題意可知3-m=m-(-9)∴m=－3;（3）由題意可知3-n=6或n-3=6，∴n=－3或n=9;問題解決：（4）∵BC=2x+8?(?2)=2x+10，AB=?2?x又∵BC=4AB∴2x+10=4(?2?x)∴x=?3,∴點A表示－3，點C表示2;（5）設點D表示的數是m，①當點D在點C右側時，(m+3)+(m?2)=3(m+2)∴m=?5（不符合題意）;②當點D在點B與C之間時，(m+3)+(2?m)=3(m+2)∴m=?1③當點D在點A與B之間時，(m+3)+(2?m)=3(?2?m)∴m=?11④當點D在點A左側時，(?3?m)+(2?m)=3(?2?m)∴m=?5;故存在點D表示的數是?1【點睛】此題考查了有理數的減法及數軸上兩點間的距離，分類討論是解本題的關鍵．【題型7幻方的應用】【例7】（2023春·山西臨汾·七年級統考期中）閱讀下面材料，并完成相應任務．幻方相傳大禹治