2024屆高考材料（數學）匯編一一高中數學靜悟材料使用說明親愛的同學們,為了幫助大家高三沖刺階段高效地進行備考,奪取高考的勝利,老師們為大家量身定做了這份靜悟材料,助力大家梳理知識,提升能力,題名金榜。如何科學使用靜悟材料,讓靜悟材料成為高考前復習的重要輔助工具,特給同學們以下幾點建議,幫助同學們系統、深入理解和掌握數學概念、公式、定理和解題技巧。此份靜悟材料分為十四章,前十章涵蓋了高中必修和選擇性必修所有內容和考點,后四章講解選填題目、新定義題目的解答策略。每一章都分為四個環節:課標要求、思維導圖、易錯點提醒、典型考點。一.課標要求課程標準是高考命題的基礎。同學們高考前通過閱讀本部分內容,可以更清楚地了解高考每個模塊的命題方向和考試重點,明確高考對每部分內容考查要求,確保自己的復習方向正確、內容全面,不留漏點和盲點。二.思維導圖本部分思維導圖內容將復雜的知識點進行了梳理和歸納,使知識系統化、條理化。高中數學知識點瑣碎繁多,邏輯性強,思維導圖能夠幫助大家將這些知識點按照邏輯關系進行組織,形成清晰的知識框架?？焖俣ㄎ坏叫枰獜土暤闹R點,避免在復習時遺漏重要內容。同時,由于思維導圖的直觀性和簡潔性,大家可以在較短的時間內掌握大量的信息,提高復習效率。三.易錯點提醒易錯點是我們對某個知識點理解不夠深入或存在誤解的地方。通過復習易錯點,我們可以更深入地理解這些知識點,確保真正掌握,避免重復犯錯。本部分內容能幫助我們能提前識別并熟悉易錯點,在考試時遇到相關問題時,我們就能更快地找到解題思路和答案,從而提高答題速度。四.典型考點本部分內容是靜悟材料的核心部分,是歷年高考中考查的熱點、高中必須掌握的重點和難點知識,它反映了高考命題的規律和趨勢,是我們備考的重要參考。通過有針對性地復習這些考點,我們可以更加明確復習方向,避免盲目性,從而大大提高備考效率。而且這些考點不僅涵蓋了學科知識,還涉及到邏輯思維、問題解決能力等方面。通過復習這些考點,我們可以培養自己的綜合素質,以確保在高考中取得優異的成績。同學們要合理安排好靜悟材料的使用時間,結合自身的具體情況制定好復習計劃,有的放矢的進行靜悟材料的充分使用。追風趕月莫停留,平蕪盡處是春山。希望同學們合理安排時間,做好靜悟計劃,結合自身情況,科學進行復習反思、融會貫通,以達到最佳效果。加油,未來的你一定會感謝現在努力的自己!祝同學們筆尖流淌自信的墨水,書寫屬于你的精彩人生!目錄靜悟材料一:集合、常用邏輯用語、復數.1靜悟材料二:平面向量.10靜悟材料三:不等式19靜悟材料四:計數原理與二項式定理.32靜悟材料五:三角函數與解三角形.42靜悟材料六:數列55靜悟材料七:立體幾何.70靜悟材料八:概率與統計.89靜悟材料九:解析幾何.100靜悟材料十:函數與導數.123靜悟材料十一:單選題解答策略141靜悟材料十二:多選題解答策略.153靜悟材料十三:填空題的答題技巧163靜悟材料十四：新定義題解答策略.174靜悟材料一:集合、常用邏輯用語、復數主編單位:城陽第二中學【課標要求】1.集合的概念與表示(1)通過實例,了解集合的含義,理解元素與集合的屬于關系.(2)針對具體問題,能在自然語言和圖形語言的基礎上,用符號語言刻畫集合.(3)在具體情境中,了解全集與空集的含義.2.集合的基本關系理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.3.集合的基本運算(1)理解兩個集合的并集與交集的含義,能求兩個集合的并集與交集.(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義,能求給定子集的補集.(3)能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算,體會圖形對理解抽象概念的作用.4.必要條件、充分條件、充要條件(1)通過對典型數學命題的梳理,理解必要條件的意義,理解性質定理與必要條件的關系.(2)通過對典型數學命題的梳理,理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關系.(3)通過對典型數學命題的梳理,理解充要條件的意義,理解數學定義與充要條件的關系.5.全稱量詞與存在量詞通過已知的數學實例,理解全稱量詞與存在量詞的意義。6.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定.(2)能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定.7.復數的概念(1)通過方程的解,認識復數。(2)理解復數的代數表示及其幾何意義,理解兩個復數相等的含義.8.復數的運算掌握復數代數表示式的四則運算,了解復數加、減運算的幾何意義.【思維導圖】【易錯點提醒】1.已知集合A={xA.?∞,12B.?∞,12【錯解】忽略y=lgx的定義域限制,漏掉【正解】由x>0lgx<由2x?12<1得x?2.若集合A=xA.{0,1,2}【錯解】集合A未看到整數的要求,錯選C項.【正解】由題意,得A={?因為x+1x?5>?則?RB={3.設集合A={xA.{x∣?1≤x≤【錯解】看錯交、并符號,誤選C項.【正解】由A={x∣?4.設集合A={x∣?3≤xA.{a∣?3<a≤【錯解】端點的取舍易出現錯誤,導致錯選C項.【正解】因為A={x∣?所以a>?3,即實數a的取值范圍是{a∣?∞,?2]?C.【錯解】集合B中誤將y當成元素,錯選C項.【正解】集合A={x∣B={x∣6.命題“?xA.?x∈C.?x∈【錯解】誤將前后都否定,錯選D.?x【正解】命題“?x∈Z7.復數2i?z=i?A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【錯解】誤將z看成z,錯選A項.【正解】由2i?z=i?∴z=12?8.歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然對數的底數c,虛數單位在一起,被譽為“數學的天橋”.若復數z滿足z+eA.2B.22C.5D.【錯解】讀不懂新概念或看不懂新情境,導致無從下手.【正解】由歐拉公式得ei3π2=cos3π則z?i=2?i所以z=?【典型考點】1.集合間的基本關系(1)【&2023新高考II卷】設集合A={0,?aA.2B.1C.23【答案】B【分析】本題主要考查集合的子集,屬于容易題.根據A?【解答】解:若a=2,此時若a=1,此時若a=23若a=?1,此時(2)【&2021全國乙卷】已知集合S={s∣sA.?B.SC.TD.Z【答案】C【分析】本題考查集合的包含關系,以及交集運算,屬于基礎題.首先判斷集合T中任意元素都是集合S的元素,從而得出集合T是集合S的子集,然后即可求它們的交集.【解答】解:因為當n∈Z時,集合T所以T?S,于是2.集合的基本運算(1)【&2023新高考I卷】已知集合M={?2A.{?2,?1,0,【答案】C【分析】本題考查集合的交集運算,為基礎題.對一元二次不等式求解求出N,再計算M∩【解答】解:N=?∞,?2]∪[3,+∞A.{x∣0≤x<【答案】D【分析】本題主要考查了集合的交集運算,屬于基礎題.先求出集合M,【解答】解:因為M={x∣3.常用邏輯用語等差數列,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】本題考查等差數列的判定、等差數列前n項和、充分必要條件的判定,屬于中檔題.結合等差數列的判斷方法,依次證明充分性、必要性即可.【解答】解:方法1:an為等差數列,設其首項為a1,公差為d,則S故Sn反之,Snn為等差數列,即S即nan+1兩式相減有:an=nan則甲是乙的必要條件,故甲是乙的充要條件,故選C.方法2:因為甲:an為等差數列,設數列an的首項a1,公差為d則Snn=反之,乙:Snn為等差數列.即即Sn當n≥2時,上兩式相減得:an所以an=a又an+1則甲是乙的必要條件,故甲是乙的充要條件.(2)【&2023全國甲卷】“sin2α+sinA.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【分析】本題考查充分、必要條件的判斷,涉及同角三角函數的基本關系,屬于中檔題.先根據特殊值法判斷,再結合同角三角函數的基本關系即可得出.【解答】解:當sin2α+sin2即sin2α+當sinα+cosβ綜上可知,sin2α+(3)【&2023天津】“a2=bA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件【答案】B【分析】本題主要考查充分條件、必要條件定義,屬于基礎題.根據已知條件,先對原等式變形,再結合充分條件、必要條件的定義,即可求解.【解答】解:a2=b2,即a+a2+b2=故“a2=b“a2+b故“a2=b4.復數的概念及幾何意義(1)【&2023新高考II卷】在復平面內,1+A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【分析】本題考查復數的乘法運算和復數在復平面內的幾何意義,為基礎題.【解答】解:1+3i3(2)【&2023全國甲卷】若復數a+iA.-1B.0C.1D.2【答案】C【分析】本題考查復數的乘法運算、復數間的相等關系,屬于基礎題.利用復數的乘法運算法則,得到2a+【解答】解:由題知a+∴2a=2(3)【&2022全國乙卷】已知z=1?2i,且z+A.a=1C.a=1【答案】A【分析】本題主要考查共軛復數和復數相等,屬于基礎題.根據題干表示z,再出列出復數相等的等式,即可求解a,【解答】解:由題設,z=1?故a=5.復數的四則運算(1)【&2023新高考【卷】已知z=1A.?iB.i【答案】A【分析】本題考查復數的四則運算、共軛復數,為基礎題.【解答】解:z=1?(2)【&2023全國乙卷】設z=2A.1?2iB.1+2i【答案】B【分析】本題考查共軛復數,復數的運算,屬于基礎題.利用復數的運算化簡求出z,可得z.【解答】解:因為z=2+(3)【&2022新高考II卷】2A.?2+4iB.?2【答案】D【分析】本題考查復數的四則運算,為基礎題.【解答】解:2+靜悟材料二:平面向量主編單位:即墨第二中學【課標要求】1.內容要求:(1)了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義(2)理解平面向量數量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數量積,會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系(3)能用坐標表示平面向量的數量積,會表示兩個平面向量的夾角(4)通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義(5)會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題,體會向量在解決數學和實際問題中的作用2.學業要求:(1)能夠從多種角度理解向量概念和運算法則,掌握向量基本定理(2)能夠運用向量運算解決簡單的幾何和物理問題,知道數學運算與邏輯推理的關系【思維導圖】【易錯點提醒】1.向量夾角定義不明致誤例1已知等邊△ABC的邊長為1,則錯解∵△ABC為等邊三角形,∴BC=CA=AB=錯因分析數量積的定義a?b=a?b?cosθ,這里θ是a與b的夾角,本題中BC與CA夾角不是正解如圖BC與CA的夾角應是∠ACB的補角∠即180°?∠ACB所以BC?同理得CA?故BC?2.忽視向量共線致誤例2已知a=2,1,b=λ,錯解:?∵cosθ=a?∴2λ+15?錯因分析:當向量a,b同向時,θ=正解∵θ為銳角,∴又∵cosθ=a∴2λ+∴λ的取值范圍是λλ>?3.錯誤使用向量a//b的等價條件例&3.已知a=2錯解:a+2b42k錯因分析:錯誤的運用向量平行的等價條件,對于mm//n?正解:a=2,1,1+2k?2k?4.混淆向量點乘運算和實數乘法運算例&4.已知a=4,b=6,且向量a錯解:2a錯因分析:混淆了a?b和實數正解:a?2a【典型考點】1.向量線性運算例1.如圖所示,在△ABC中,AN=13NC,P311解析:設BP=λBN=BA+AN=?方法總結:向量線性運算的基本原則和求解策略(1)基本原則:向量的加法、減法和數乘運算統稱為向量的線性運算.向量的線性運算的結果仍是一個向量.因此,對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意向量的大小和方向兩個方面.(2)求解策略:(1)向量是一個有“形”的幾何量,因此在進行向量線性運算時,一定要結合圖形,這是研究平面向量的重要方法與技巧.(2)字符表示下線性運算的常用技巧:首尾相接用加法的三角形法則,如AB+BC=2.平面向量數量積的運算例2(1)已知點A?1,1,BA.322B.3152(2)如圖,在梯形ABCD中,AB//CD,AB(1)A(2)3解析:(1)AB=2,1,CD=5,(2)因為AC?BM=方法總結:向量數量積的求解策略(1)利用數量積的定義、運算律求解.,在數量積運算律中,有兩個形似實數的完全平方公式在解題中的應用較為廣泛,即a+b2即借助“圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”,再合理地進行向量的移項以及平方等變形,求解數量積.(3)借助平行向量與垂直向量.,即借助向量的拆分,將待求的數量積轉化為有垂直向量關系或平行向量關系的向量數量積,借助a⊥b,則(4)建立坐標系,利用坐標運算求解數量積.3.平面向量的坐標運算例3(1)(2018-北京高考)設向量a=1,0(2)設a=(1)若λa?b(2)若m=λa+μ思路分析:(1)用坐標表示出ma解析:(1)-1∵由a⊥ma?b(2)(1)因為a=2,又λa?b⊥b所以2λ?1?3=(2)因為a=因為m=所以2λ+即λ2+λμ+μ所以λ=1,方法總結:向量的坐標運算:若a=則:(1)a+(2)a?(3)λa(4)a?b=a1(6)a⊥(7)a(8)若θ為a與b的夾角,則cos4.平面向量的平行與垂直問題例4(1)已知向量m=λ+1A.-4B.?3?C.?2?(2)設A,B,(1)若AB=CD,求(2)設向量a=AB,b=BC,若解析:(1)B因為m+n=所以m+解得λ=?(2)[解](1,1)設Dx,y.因為AB=CD所以x?4=1,(2)因為a=所以ka因為ka?b與a+31.證明共線問題常用的方法(1)向量a,ba≠0共線?(2)向量a=x1(3)向量a與b共線?a(4)向量a與b共線?存在不全為零的實數λ1,λ2.證明平面向量垂直問題的常用方法a⊥b?5.平面向量的模、夾角問題例5已知向量e1,e2,且e1(1)求證2e(2)若m=n,求(3)若m⊥n,求(4)若m與n的夾角為π3,求λ思路分析:利用兩向量垂直則數量積為零,關于向量模的問題,先對其平方,以及合理使用夾角公式.[解析]:(1)證明:因為e1=e2=所以2e1?(2)由m=n得λe因為e1=e所以λ2?9×1+2λ(3)由m⊥n知m?n=因為e1=e所以3λ+3?(4)由前面解答知e1而m2所以m=m?因為?m,n?=π化簡得3λ2?5λ?經檢驗知λ=?13方法總結:1.解決向量模的問題常用的策略(1)應用公式:a=x2(2)應用三角形或平行四邊形法則.(3)應用向量不等式∥a(4)研究模的平方a±2.求向量的夾角設非零向量a=x1,y16.平面向量在平面幾何和物理中的應用例6(1)用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個物體,如圖所示,已知物體的重力大小為10(2)如圖所示,在正方形ABCD中,P為對角線AC上任一點,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分別為解析:(1)10?N因繩子等長,所以每根繩子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于60°,故每根繩子的拉力大小都是(2)證明:法一:(基向量法)設正方形ABCD的邊長為1,AE=a∴==?∴DP⊥EF法二:(坐標法)設正方形邊長為1,建立如圖所示的平面直角坐標系,設Px,x,則D0,由DP?EF=x1方法總結:平面向量兩個方面的應用(1)平面幾何應用向量幾何問題共線向量點共線問題、直線與直線平行數乘向量求線段長度之比數量積線段的長度、直線與直線的夾角(2)物理應用:速度、位移、力、功.靜悟材料三:不等式主編單位：萊西實驗學?！菊n標要求】1.相等關系與不等關系相等關系與不等關系是數學中最基本的數量關系,是構建方程、不等式的基礎.內容包括:等式與不等式的性質、基本不等式.(1)等式與不等式的性質:梳理等式的性質,理解不等式的概念,掌握不等式的性質.(2)基本不等式:掌握基本不等式ab≤2.從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式用函數理解方程和不等式是數學的基本思想方法.內容包括:從函數觀點看一元二次方程、從函數觀點看一元二次不等式.(1)從函數觀點看一元二次方程:會結合一元二次函數的圖象,判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數,了解函數的零點與方程與方程根的關系.(2)從函數觀點看一元二次不等式:經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程,了解一元二次不等式的現實意義.能借助一元二次函數求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.借助一元二次函數的圖象,了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系.學業要求:能夠從函數觀點認識方程和不等式,感悟數學知識之間的關聯,認識函數的重要性.掌握等式與不等式的性質.【思維導圖】ab叫做幾何平均數(等比中項):a+b2叫做算術平均數(等差中項)內容ab≤a+b2成立條件騰當且僅當a=b時，等號成立a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時，等號成立)ab≤a+b2【易錯點提醒】1.誤用不等式性質已知a,b,c為實數,則A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【錯解】C【錯因分析】誤用a>【正解】B【糾錯筆記】p是q的充分條件?p?q2.忽略限制條件若loga2<【錯解】因為loga2<2,兩邊取倒數得【錯因分析】忽略0<【正解】當0<a<1時loga2<a>2,所以a【糾錯筆記】若a<b,則ab>3.同向相乘出錯若?1<x【錯解】?【錯因分析】利用不等式同向相乘,忽略不等式兩邊為正.的前提條件【正解】當0<x<2,3<y<4時得0<xy<8,當【糾錯筆記】若a>b>4.利用同向相加求范圍出錯設fx=ax2【錯解】由已知得1≤a?b≤2(1),(2)+(3)得0≤2b≤∴f?2【錯因分析】范圍擴大.【正解】由f1=∴又∵1≤f【糾錯筆記】在求式子的范圍時,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等號不能同時取到,會導致范圍擴大.5.解分式不等式忽略分母不為零解不等式2x?【錯解】2x?1x【錯因分析】忽略x?【正解】2x?1x?2所以2x?1【糾錯筆記】f6.連續使用基本不等式忽略等號能否同時成立已知x>0,y>【錯解】∵x∴x+y的最小值為42.【錯因分析】即x=2,y=【正解】∵x>0,y>0,∴x【糾錯筆記】多次使用基本不等式要驗證等號成立的條件.7.使用基本不等式求和的最值忽略各項為正函數fx【錯解】f所以fx的值域為[【錯因分析】忽略0<x【正解】當x>1時log2x>0,fx8.解含有參數的不等式分類不當致誤解關于x的不等式ax【錯解】原不等式化為ax∴當a>1當a<1時,不等式的解集為【錯因分析】解本題容易出現的錯誤是:(1)認定這個不等式就是一元二次不等式,忽視了對a=0時的討論;(2)在不等式兩端約掉系數a時,若【正解】當a=0時,不等式的解集為{x∣當a<0時,原不等式等價于x?當0<a<1時,當a>1時,1a當a=1時,不等式的解集為綜上所述,當a<0時,不等式的解集為當a=0時,不等式的解集為當0<a<當a=1時,不等式的解集為?;當a>【糾錯筆記】解形如ax2+bx+【典型考點】1.比較大小(2022年全國甲,第12題)已知9m=A.a>0>bB.a思路分析:(1)求m,m=(2)比較m與lg11的大小,觀察m=lg者的結構統一,借助基本不等式進行放縮思路探求(3)比較m與log8(4)構造函數,研究其單調性詳細答案:A方法一:由9m=10而lg9所以lg10lg9>lg又lg8所以lg9lg8>lg綜上,a>方法二:由9m=10可得m=log910∈1,32,由于a=又f9=9方法總結:比較大小的常用方法有單調性法、中間量法、