江蘇省無錫市江陰市南閘實驗學校2025屆九年級數學第一學期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，則圖中相似三角形共有()A．1對 B．2對 C．3對 D．4對2．如圖，以點O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，則△ABC與△DEF的面積之比為()A．1:2 B．1:4 C．1:5 D．1:63．若a、b、c、d是成比例線段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，則線段d的長為（）A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm4．若將拋物線的函數圖象先向右平移1個單位，再向下平移2個單位后，可得到一個新的拋物線的圖象，則所得到的新的拋物線的解析式為()A． B．C． D．5．如圖，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為PQ，則△PQD的面積為（）A． B． C． D．6．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑，∠BAC=28o，則∠P的度數是（）A．50o B．58oC．56o D．55o7．菱形具有而矩形不具有的性質是（）A．對角相等 B．四個角相等 C．對角線相等 D．四條邊相等8．已知菱形的邊長為，若對角線的長為，則菱形的面積為（）A． B． C． D．9．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，則這個三角形的內切圓的半徑是()A．5 B．2 C．5或2 D．2或－110．據有關部門統計，2019年“五一小長假”期間，廣東各大景點共接待游客約14400000人次，將數14400000用科學記數法表示為（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知扇形的半徑為6，面積是12π，則這個扇形所對的弧長是_____．12．關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則整數的最大值是______．13．如圖，若被擊打的小球飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有的關系為，則小球從飛出到落地所用的時間為_____．14．如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，當水面的寬度為10m時，橋洞與水面的最大距離是5m．因為上游水庫泄洪，水面寬度變為6m，則水面上漲的高度為_____m．15．如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,點P為BC邊上一動點,若△PAB與△PCD是相似三角形,則BP的長為_____________16．計算sin245°+cos245°=_______．17．如圖，矩形中，，連接，將線段分別繞點順時針旋轉90°至，線段與弧交于點，連接，則圖中陰影部分面積為____．18．直線y＝2被拋物線y＝x2﹣3x+2截得的線段長為_____．三、解答題(共66分)19．（10分）指出“垃圾分類工作就是新時尚”．某小區為響應垃圾分類處理，改善生態環境，將生活垃圾分成三類：廚余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分別記為a，b，c，并且設置了相應的垃圾箱：“廚余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分別記為A，B，C．（1）若小明將一袋分好類的生活垃圾隨機投入一類垃圾箱，畫樹狀圖求垃圾投放正確的概率；（2）為了了解居民生活垃圾分類投放的情況，現隨機抽取了小區某天三類垃圾箱中總共10噸的生活垃圾，數據統計如下（單位：噸）：ABCa30.81.2b0.262.440.3c0.320.281.4該小區所在的城市每天大約產生500噸生活垃圾，根據以上信息，試估算該城市生活垃圾中的“廚余垃圾”每月（按30天）有多少噸沒有按要求投放．20．（6分）（1）計算：（2）已知，求的值21．（6分）如圖，，DB平分∠ADC，過點B作交AD于M．連接CM交DB于N．（1）求證：；（2）若，求MN的長．22．（8分）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C，且當x＝﹣1和x＝3時，y值相等．直線y＝與拋物線有兩個交點，其中一個交點的橫坐標是6，另一個交點是這條拋物線的頂點M．(1)求這條拋物線的表達式．(2)動點P從原點O出發，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點立即停止運動，設運動時間為t秒．①求t的取值范圍．②若使△BPQ為直角三角形，請求出符合條件的t值；③t為何值時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是多少？直接寫出答案．23．（8分）在平面直角坐標系中，對“隔離直線”給出如下定義：點是圖形上的任意一點，點是圖形上的任意一點，若存在直線：滿足且，則稱直線：是圖形與的“隔離直線”，如圖，直線：是函數的圖像與正方形的一條“隔離直線”.

（1）在直線①，②，③，④中，是圖函數的圖像與正方形的“隔離直線”的為.（2）如圖，第一象限的等腰直角三角形的兩腰分別與坐標軸平行，直角頂點的坐標是，⊙O的半徑為，是否存在與⊙O的“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線”的表達式：若不存在，請說明理由；（3）正方形的一邊在軸上，其它三邊都在軸的左側，點是此正方形的中心，若存在直線是函數的圖像與正方形的“隔離直線”，請直接寫出的取值范圍.24．（8分）請完成下面的幾何探究過程：(1)觀察填空如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點D為斜邊AB上一動點(不與點A，B重合)，把線段CD繞點C順時針旋轉90°得到線段CE，連DE，BE，則①∠CBE的度數為____________；②當BE=____________時，四邊形CDBE為正方形．(2)探究證明如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=4，點D為斜邊AB上一動點(不與點A，B重合)，把線段CD繞點C順時針旋轉90°后并延長為原來的兩倍得到線段CE，連DE，BE則：①在點D的運動過程中，請判斷∠CBE與∠A的大小關系，并證明；②當CD⊥AB時，求證：四邊形CDBE為矩形(3)拓展延伸如圖2，在點D的運動過程中，若△BCD恰好為等腰三角形，請直接寫出此時AD的長．25．（10分）一件商品進價100元，標價160元時，每天可售出200件，根據市場調研，每降價1元，每天可多售出10件，反之，價格每提高1元，每天少售出10件．以160元為基準，標價提高m元后，對應的利潤為w元．（1）求w與m之間的關系式；（2）要想獲得利潤7000元，標價應為多少元？26．（10分）某校薛老師所帶班級的全體學生每兩人都握一次手，共握手1540次，求薛老師所帶班級的學生人數．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽CBD，△ABC∽CBD，所以有三對相似三角形．故選C．2、B【解析】試題分析：利用位似圖形的性質首先得出位似比，進而得出面積比．∵以點O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC與△DEF的面積之比為：1：1．故選B．考點：位似變換．3、C【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．根據定義ad=cb，將a，b及c的值代入即可求得d．【詳解】已知a，b，c，d是成比例線段，根據比例線段的定義得：ad=cb，代入a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，解得：d=5.故線段d的長為5cm.故選：C.【點睛】本題主要考查成比例線段，解題突破口是根據定義ad=cb，將a，b及c的值代入計算.4、C【分析】根據函數圖象平移的法則“左加右減，上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】由“左加右減”的原則可知，將拋物線先向右平移1個單位可得到拋物線；由“上加下減”的原則可知，將拋物線先向下平移2個單位可得到拋物線．

故選：C．【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．5、D【分析】由折疊的性質可得AQ＝QD，AP＝PD，由勾股定理可求AQ的長，由銳角三角函數分別求出AP，HQ的長，即可求解．【詳解】解：過點D作DN⊥AC于N，∵點D是BC中點，∴BD＝3，∵將△ABC折疊，∴AQ＝QD，AP＝PD，∵AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，∴AC＝，∵sin∠C＝＝，∴DN＝，∵cos∠C＝，∴CN＝，∴AN＝，∵PD2＝PN2+DN2，∴AP2＝（﹣AP）2+，∴AP＝，∵QD2＝DB2+QB2，∴AQ2＝（9﹣AQ）2+9，∴AQ＝5，∵sin∠A＝＝，∴HQ＝＝∵∴△PQD的面積＝△APQ的面積＝××＝，故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，三角形面積公式，銳角三角函數，求出HQ的長是本題的關鍵．6、C【分析】利用切線長定理可得切線的性質的PA=PB，，則，，再利用互余計算出，然后在根據三角形內角和計算出的度數．【詳解】解：∵PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，∴PA=PB，，∴在△ABP中∴故選：C．【點睛】本題主要考查了切線長定理以及切線的性質，熟練掌握切線長定理以及切線性質是解題的關鍵．7、D【分析】菱形和矩形都是平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質，菱形還具有獨特的性質：四邊相等，對角線垂直；矩形具有獨特的性質：對角線相等，鄰邊互相垂直．【詳解】解答：解：A、對角相等，菱形和矩形都具有的性質，故A錯誤；B、四角相等，矩形的性質，菱形不具有的性質，故B錯誤；C、對角線相等是矩形具有而菱形不具有的性質，故C錯誤；D、四邊相等，菱形的性質，矩形不具有的性質，故D正確；故選D．考點：菱形的性質；矩形的性質．8、B【分析】先求出對角線AC的長度，再根據“菱形的面積等于對角線乘積的一半”，即可得出答案.【詳解】根據題意可得：AB=BC=CD=AD=13cm，BD=10cm∵ABCD為菱形∴BD⊥AC，BO=DO=AO=AC=2AO=24cm∴故答案選擇B.【點睛】本題考查的是菱形，難度適中，需要熟練掌握菱形面積的兩種求法.9、D【解析】分AC為斜邊和BC為斜邊兩種情況討論.根據切線定理得過切點的半徑垂直于三角形各邊，利用面積法列式求半徑長.【詳解】第一情況：當AC為斜邊時，如圖，設⊙O是Rt△ABC的內切圓，切點分別為D,E,F,連接OC,OA,OB,∴OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，,∵,∴,∴,∴r=2.第二情況：當BC為斜邊時，如圖，設⊙O是Rt△ABC的內切圓，切點分別為D,E,F,連接OC,OA,OB,∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，,∵,∴,∴,∴r=.故選：D.【點睛】本題考查了三角形內切圓半徑的求法及勾股定理，依據圓的切線性質是解答此題的關鍵.等面積法是求高度等線段長的常用手段.10、A【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同；當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【詳解】14400000=1.44×1．故選：A．【點睛】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．二、填空題(每小題3分,共24分)11、4π．【分析】根據扇形的弧長公式解答即可得解．【詳解】設扇形弧長為l，面積為s，半徑為r．∵，∴l=4π．故答案為：4π．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，弧長的計算，熟悉扇形的弧長公式是解題的關鍵，屬于基礎題．12、1【分析】若一元二次方程有兩不等實數根，則而且根的判別式△，建立關于的不等式，求出的取值范圍．【詳解】解：一元二次方程有兩個不相等的實數根，△且，解得且，故整數的最大值為1，故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，特別要注意容易忽略方程是一元二次方程的前提即二次項系數不為2．13、1．【分析】根據關系式，令h=0即可求得t的值為飛行的時間.【詳解】解：依題意，令得：∴得：解得：（舍去）或∴即小球從飛出到落地所用的時間為故答案為1．【點睛】本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．此題為數學建模題，關鍵在于讀懂小球從飛出到落地即飛行的高度為0時的情形，借助二次函數解決實際問題．此題較為簡單.14、.【分析】先建立適當的平面直角坐標系，然后根據題意確定函數解析式，最后求解即可.【詳解】解：如圖：以水面為x軸、橋洞的頂點所在直線為y軸建立平面直角坐標系，根據題意，得A（5，0），C（0，5），設拋物線解析式為：y＝ax2+5，把A（5，0）代入，得a＝﹣，所以拋物線解析式為：y＝﹣x2+5，當x＝3時，y＝，所以當水面寬度變為6m，則水面上漲的高度為m．故答案為．【點睛】本題考查了二次函數的應用，建立適當的平面直角坐標系是解決本題的關鍵.15、1或2【分析】設BP=x，則CP=BC－BP=3－x，易證∠B=∠C=90°，根據相似三角形的對應頂點分類討論：①若△PAB∽△PDC時，列出比例式即可求出BP；②若△PAB∽△DPC時，原理同上.【詳解】解：設BP=x，則CP=BC－BP=3－x∵AB∥CD,∠B=90°,∴∠C=180°－∠B=90°①若△PAB∽△PDC時∴即解得：x=1即此時BP=1；②若△PAB∽△DPC時∴即解得：即此時BP=1或2；綜上所述：BP=1或2.故答案為：1或2.【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質，掌握相似三角形的對應邊成比例列方程是解決此題的關鍵.16、1【分析】根據特殊角的三角函數值先進行化簡，然后根據實數運算法則進行計算即可得出結果．【詳解】原式=()2+()2=+=1．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數值，需要熟記，比較簡單．17、【分析】根據勾股定理得到、由三角函數的定義得到、根據旋轉的性質得到、求得，然后根據圖形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：∵四邊形是矩形∴∵，∴，∴∵線段分別繞點順時針旋轉至∴∴∴．故答案是：【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理、銳角三角函數、直角三角形的面積、扇形的面積、將求不規則圖形面積問題轉化為求規則圖形面積相加減問題，解題的關鍵在于面積問題的轉化．18、1【分析】求得直線與拋物線的交點坐標，從而求得截得的線段的長即可．【詳解】解：令y＝2得：x2﹣1x+2＝2，解得：x＝0或x＝1，所以交點坐標為（0，2）和（1，2），所以截得的線段長為1﹣0＝1，故答案為：1．【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是求得直線與拋物線的交點，難度不大．三、解答題(共66分)19、（1）垃圾投放正確的概率為；（2）該城市生活垃圾中的“廚余垃圾”每月（按30天）沒有按要求投放的數量為3000（噸）．【分析】（1）列表得出所有等可能的情況數，找出垃圾投放正確的情況數，即可求出所求的概率．（2）用樣本中投放不正確的數量除以廚余垃圾的總質量，再乘以每月的廚余垃圾的總噸數即可得．【詳解】解：（1）列表如下：abcA（a，A）（b，A）（c，A）B（a，B）（b，B）（c，B）C（a，C）（b，C）（c，C）所有等可能的情況數有9種，其中垃圾投放正確的有（a，A）；（b，B）；（c，C）3種，∴垃圾投放正確的概率為＝；（2）該城市生活垃圾中的“廚余垃圾”每月（按30天）沒有按要求投放的數量為500×30××＝3000（噸）．【點睛】考核知識點：概率.運用列舉法求概率是關鍵.20、（1）1；（2）.【分析】（1）先計算乘方并對平方根化簡，最后進行加減運算即可；（2）用含b的代數式表示a，代入式子即可求值.【詳解】解：（1）==1（2）已知，可得，代入=.【點睛】本題考查實數的運算以及代入求值，熟練掌握相關計算法則是解題關鍵.21、（1）見解析；（2）.【分析】（1）通過證明，可得，可得結論；（2）由平行線的性質可證即可證，由和勾股定理可求MC的長，通過證明，可得，即可求MN的長．【詳解】證明：（1）∵DB平分，，且，（2），且，且，，且【點睛】考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，求MC的長度是本題的關鍵．22、（1）；（2）①，②t的值為或，③當t＝2時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是．【分析】（1）求出對稱軸，再求出y=與拋物線的兩個交點坐標，將其代入拋物線的頂點式即可；（2）①先求出A、B、C的坐標，寫出OB、OC的長度，再求出BC的長度，由運動速度即可求出t的取值范圍；②當△BPQ為直角三角形時，只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°兩種情況，分別證△BPQ∽△BOC和△BPQ∽△BCO，即可求出t的值；③如圖，過點Q作QH⊥x軸于點H，證△BHQ∽△BOC，求出HQ的長，由公式S四邊形ACQP=S△ABC-S△BPQ可求出含t的四邊形ACQP的面積，通過二次函數的圖象及性質可寫出結論．【詳解】解：（1）∵在拋物線中，當x＝﹣1和x＝3時，y值相等，∴對稱軸為x＝1，∵y＝與拋物線有兩個交點，其中一個交點的橫坐標是6，另一個交點是這條拋物線的頂點M，∴頂點M（1，），另一交點為（6，6），∴可設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2，將點（6，6）代入y＝a（x﹣1）2，得6＝a（6﹣1）2，∴a＝，∴拋物線的解析式為（2）①在中，當y＝0時，x1＝﹣2，x2＝4；當x＝0時，y＝﹣3，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3），∴在Rt△OCB中，OB＝4，OC＝3，∴BC＝＝5，∴，∵＜4，∴②當△BPQ為直角三角形時，只存在∠BPQ＝90°或∠PQB＝90°兩種情況，當∠BPQ＝90°時，∠BPQ＝∠BOC＝90°，∴PQ∥OC，∴△BPQ∽△BOC，∴，即，∴t＝；當∠PQB＝90°時，∠PQB＝∠BOC＝90°，∠PBQ＝∠CBO，∴△BPQ∽△BCO，∴，即，∴t＝，綜上所述，t的值為或；③如右圖，過點Q作QH⊥x軸于點H，則∠BHQ＝∠BOC＝90°，∴HQ∥OC，∴△BHQ∽△BOC，∴，即，∴HQ＝，∴S四邊形ACQP＝S△ABC﹣S△BPQ＝×6×3﹣（4﹣t）×t＝（t﹣2）2+，∵＞0，∴當t＝2時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是．【點睛】本題考查了待定系數法求解析式，相似三角形的判定及性質，二次函數的圖象及性質等，熟練掌握并靈活運用是解題的關鍵．23、(1)①④;(2);(3)或【分析】(1)根據的“隔離直線”的定義即可解決問題；(2)存在，連接，求得與垂直且過的直接就是“隔離直線”，據此即可求解；(3)分兩種情形正方形在x軸上方以及在x軸下方時，分別求出正方形的一個頂點在直線上時的t的值即可解決問題．【詳解】(1)根據的“隔離直線”的定義可知，是圖1函數的圖象與正方形OABC的“隔離直線”；直線也是圖1函數的圖象與正方形OABC的“隔離直線”；而與不滿足圖1函數的圖象與正方形OABC的“隔離直線”的條件；

故答案為：①④；(2)存在，理由如下：連接，過點作軸于點，如圖，在Rt△DGO中，，∵⊙O的半徑為，

∴點D在⊙O上．

過點D作DH⊥OD交y軸于點H，

∴直線DH是⊙O的切線，也是△EDF與⊙O的“隔離直線”．設直線OD的解析式為，將點D(2，1)的坐標代入得，解得：，∵DH⊥OD，∴設直線DH的解析式為，將點D(2，1)的坐標代入得，解得：，∴直線DH的解析式為，∴“隔離直線”的表達式為；(3)如圖：由題意點F的坐標為()，當直線經過點F時，，

∴，

∴直線，即圖中直線EF，

∵正方形A1B1C1D1的中心M(1，t)，

過點作⊥y軸于點G，∵點是正方形的中心，且，∴B1C1，，∴正方形A1B1C1D1的邊長為2，

當時，，∴點C1的坐標是()，此時直線EF是函數)的圖象與正方形A1B1C1D1的“隔離直線”，∴點的坐標是(-1，2)，此時；

當直線與只有一個交點時，，消去y得到，由，可得，

解得：，同理，此時點M的坐標為：()，∴，

根據圖象可知:當或時，直線是函數)的圖象與正方形A1B1C1D1的“隔離直線”．【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的性質、正方形的性質、一次函數的應用、二元二次方程組．一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．24、（1）①45°，②；（2）①，理由見解析，②見解析；（3）或【分析】（1）①由等腰直角三角形的性質得出，由旋轉的性質得：，，證明，即可得出結果；②由①得，求出，作于，則是等腰直角三角形，證出是等腰直角三角形，求出，證出四邊形是矩形，再由垂直平分線的性質得出，即可得出