人教A版(2019)選擇性必修第一冊第一章空間向量與

立體幾何

一、單選題

1.己知平面a內的兩個向量；=(1,1,1)2=(0,2,-1),且三麻+病+(4,T,1).若"為平

面a的法向量，則S〃的值分別為()

A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2

2.已知工是不共面的三個向量，則能構成空間的一個基底的一組向量是

()

A.3。,a-b,a+2b

B.2b?b-2ab+2a

C.a?2bb-c

一-11

D.c，a+c，a-c

3.已知圓G+,2+2%+4,+4=o,圓。2:爐+V_4%+2y+l=0,M,N分別為圓G

和圓G上的動點，2為直線/：y=%+2上的動點，則|MP|+|N尸|的最小值為()

A.2710-3B.2710+3C.V10-3D.而+3

4.已知a=(1,—2,1),a—b=(—1,2,-1)>貝()/?=()

A.(-2,0,—2)B.(-2,4,—2)

C.(2,-4,2)D.(2,1-3)

5.正三棱錐P-ABC的側面都是直角三角形，E,產分別是A5,5。的中點，則必

與平面PE歹所成角的正弦為()

A.6B.亞C."D.在

6633

6.如圖，在正方體ABC。-A耳G2中，M,N分別是棱A5,8耳的中點，點尸在

對角線上運動.當△尸MN的面積取得最小值時，點尸的位置是(

A.線段CA的三等分點，且靠近點AB.線段CA的中點

c.線段CA的三等分點，且靠近點cD.線段CA的四等分點，且靠近點c

7.已知萬=（1,5,-2）,b=（m,2,m+l）,若-J_⑤,則機的值為（）

A.-6B.-8C.6D.8

8.如圖，在正方體ABCD-A4G2中，。是AC中點，點尸在線段AG上，若直線

0P與平面所成的角為，，貝hin。的取值范圍是（）.

11

c—D.

4?3

9.在正方體ABC。-A4GA中，點E是線段CG的中點，則還=（）

A.AB+AD+^AA^B.AB+AD-^AA^

C.AB-^AD+AA1D.AB+^AD-AA,

10.已知空間四點A（4,1,3）,3（2,3,1）,C（3,7,-5）,D（x,—1,3）共面，則x的值為

()

A.4B.1C.10D.11

11.如圖，在平行六面體ABCD-中，A4[=a,AB=b9AD=c，點尸在

而上，且4P：PC=2:3,則衣等于（）

n3一2廠2一

A.-a+-b+-cB.-ClH---bH---C

555555

一2一2廠3一一3-212一

C.——a+—b+—cD.—a——b——c

555555

12.如圖，正方形ABCD與正方形互相垂直，3是,的中點，則（）

A.8E與CG異面但不互相垂直B.BE與CG異面且互相垂直

C.8E與CG相交但不互相垂直D.BE與CG相交且互相垂直

二、填空題

13.已知V為矩形4BCD所在平面外一點，且01=VB=VC=VD,

_1_________2__.__.2__?

VP=-VC,VM=-VB,VN=-VD,則也與平面PMN的位置關系是_________.

333

14.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A4GD中，點E是側面BBCC內的一個動

點（不包含端點），若點E滿足QE^CE；則忸目的最小值為

15.已知正方體ABCD-ABIGA棱長為4,M棱CG上的動點，AMJ_平面a,則下列

說法正確的是.

①若N為。R中點，當AM+MN最小時，器=1-孝；

②當點M與點CI重合時，若平面a截正方體所得截面圖形的面積越大，則其周長就越

大；

③直線AB與平面a所成角的余弦值的取值范圍為與，與；

④若點M為CG的中點，平面a過點8,則平面a截正方體所得截面圖形的面積為

18；

⑤當點M與點C重合時，四面體AM，片內切球表面積為嚶.

16.如圖，在三棱錐￡）—ABC中，AB=BC=CD=DA,ZABC=90°,E,F,。分別

為棱BC,DA,AC的中點，記直線E尸與平面3OD所成角為，，則夕的取值范圍是

三、解答題

17.如圖，在四面體ABC。中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,D4的中點.

（1）求證：E,F,G,H四點共面;

（2）求證：BD//平面EFGH；

(3)設M是EG和W的交點，求證：對空間任意一點O,有

OM=^-(OA+OB+OC+OD^

18.已知四邊形ABC。為菱形（如圖1）,AB=5BD=2,將△ABD沿折起到

A處，使得平面AB。，平面BCD(如圖2),E為4c的中點.

圖1圖2

⑴求直線48與OE所成角的余弦值；

(2)若點/在8c上且滿足5斤=!BC,求二面角P-DE-C的平面角的正弦值.

4

19.在三棱錐A—8C。中，已知CB=CD=BBD=2,。為2。的中點，AO_L平面

BCD,A0=2,E為AC的中點.

(1)求直線4?與QE所成角的余弦值；

(2)若點廠在2C上，滿足設二面角足-DE—C的大小為仇求sind的

4

值.

20.如圖所示，在平行六面體ABCO-A4GR中，設懸=1矗=Z，A3=7

M，N,P分別是A4，BC,CQ的中點，試用［工［表示以下各向量:

AB

(1)運

⑵EN；

(3)MP+NC^

21.在三棱錐P—ABC中，平面ABC,AB1BC,AB=PB=2,BC=2y/3,

E、G分別為PC、上4的中點.

(1)求證：平面BCG_L平面PAC；

(2)假設在線段AC上存在一點N,使PN工BE,蔡=；，求直線8E與平面P3N

所成角的正弦值.

參考答案:

1.A

CQ=0

由空間向量線性關系的坐標運算求"坐標，再根據2為平面a的法向量有一一，即可求

c-b-0

【詳解】

111

c=ma+nb+(4,—4,1)=(m,tn,m)+(0,2n,—ri)+(4,—4,1)=(m+4,m+2n—4,m—zi+1).

c-a=0f3m+n+l=0fm=-1

由c為平面a的法向量，得一一，即,八八，解得).

c^b=0[m+5n-9=0[n=2

故選：A

2.C

逐一判斷選項中的向量是否共面，可得選項.

【詳解】

對于A,有3萬=2（及-5）+（萬+25）,則32a-b,2+2B共面，不能作為基底，故A不正

確；

對于B,因為23=（5-2萬）+0+2Z）,所以2人5-2萬，B+2￡共面，不能作為基底，故

B不正確；

對于D,因為"=,所以c，〃+c，a-c共面，不能作為基底，故D不

正確，

對于C,設￡=923）+〃6二）（九〃為不同時為0的實數），解得幾=0,4=0與題意不

符，所以￡，2b，,二不共面，可以作為基底，故C正確，

故選：C.

3.A

答案第1頁，共21頁

分析圓C1與圓G的圓心和半徑，求出與圓關于直線/對稱的圓C',再設圓c'上的點

與圓C|上點M對稱，分析可得原問題可以轉化為P到圓C'和圓c2上的動點距離之和最小

值問題，據此分析可得答案.

【詳解】

圓G+y2+2x+4y+4=0,即（x+l）2+（y+2）2=1,圓心為（一1,一2）,半徑R=l,

2

IDC2:%+/-4x+2y+l=0,即（x-2y+（y+l）2=4,圓心為（2,-1）,半徑廠=2,

設點（T-2）關于直線/:y=x+2對稱的點為（a,6）

力+2_]

〃+],[u=~4

則，解得:,,，

b-2a-11.o=l

-------=----------1-2、

I22

圓G關于直線/：y=x+2對稱的圓為圓C',其圓心為（-4,1）,半徑R=l,則其方程為

(x+4)2+(y-l)2=l,

設圓C'上的點AT與圓G上點M對稱，則有歸河|=|尸

原問題可以轉化為P到圓C'和圓C之上的動點距離之和最小值問題,

連接C4'，與直線/交于點P,此時點尸是滿足|尸時+|尸河1最小的點，

此時歸兇+戶”|=|。2。|-3=2亞-3,即|〃?|+|即|的最小值為2歷-3,

故選：A.

關鍵點點睛：本題考查直線與圓的位置關系，涉及圓與圓關于直線的對稱問題，解答本題

答案第2頁，共21頁

的關鍵是求出圓C1直線/:y=x+2對稱的圓的方程(x+4)2+(y_l)2=l,原問題可以轉化為

產到圓C'和圓C之上的動點距離之和最小值問題.

4.C

利用空間向量的坐標運算即可求解.

【詳解】

因為〃=(1,—2,1),a—b=(—1,2,—1),

所以萬二Q-(q-b)=(l,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,—4,2),

故選：C.

5.C

建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標及平面平面尸環的法向量就代入

sin6=即可得解.

\PB\-\n\

【詳解】

以點尸為原點，以為無軸，尸8為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示,

設=尸5=PC=2,則A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(l,l,0),F(0,1,1),

PB=(0,2,0),PE=(1,1,0),PF=(0,1,1),

答案第3頁，共21頁

設平面PEF的法向量〃=(x,y,z),

n-PE=尤+y=0

取x=1得w=(1,-1,1),

n-PF=y+z=0

\PB-n\_2_73

設平面尸3與平面尸￡尸所成角為。，貝I]sin6=

|麗|.而一2若一3

故選：C

本題考查線面角的求法，建立適當坐標系用空間向量法進行求解，屬于基礎題.

6.B

將問題轉化為動點P到直線的距離最小時，確定點尸的位置，建立空間直角坐標系，

取肱V的中點Q,通過坐標運算可知即1尸。1是動點尸到直線施V的距離，再由

空間兩點間的距離公式求出IP。I后，利用二次函數配方可解決問題.

【詳解】

設正方體的棱長為1,以A為原點，分別為XMZ軸，建立空間直角坐標系，如

圖所示：

1131

則M(：,0,0),W,0,-),腦V的中點。(7,0,丁),

2244

A(o,o,i),c(i,i,o),則而i),

設尸(rj,z),PC=(l-M-r,-z),

答案第4頁，共21頁

由而與正共線，可得9=9=—，所以U1-Z,所以P(l-Z,l-z,z),其中

11—1

0<z<l,

因為|兩'|=J(l-z-1)2+(l-z-0)2+(z-0)2=,3Z2-3Z+；,

2222

|7W|=^(l-z-l)+(l-Z-0)+(z-1)=/z-3z+：,

所以|麗j=|西I，所以尸Q，MN,即IPQI是動點P到直線MN的距離，

由空間兩點間的距離公式可得|PQ|=^(l-z-|)2+(l-z-0)2+(z-，=止-3z+：

小-夕+|，

所以當c=J時，1尸。1取得最小值逅，此時尸為線段C&的中點，

24

由于|MN|=XZ為定值，所以當△尸的V的面積取得最小值時，P為線段CA的中點.

4

故選：B

本題考查了空間向量的坐標運算，考查了空間兩點間的距離公式，考查了數形結合法，考

查了二次函數求最值，屬于基礎題.

7.D

由乙_1_5，可得萬石=0，則有〃7+10-2(m+1)=0,從而可求出加的值,

【詳解】

解：因為萬_1_5,所以萬-5=o,

因為7=(1,5,-2),b=(m,2,m+l),

所以"7+10-20+1)=0,解得〃z=8,

故選：D

8.A

先設棱長為1,算=2(04力41),建立如圖坐標系，根據守=2而計算點P坐標和向

量而，再寫出平面ABG的一個法向量函的坐標，根據sind-cos(而，函構建關系，

答案第5頁，共21頁

求其值域即可.

【詳解】

如圖，設正方體棱長為1,-^=2(0<2<1),則“=幾而,

以。為原點，分別以QA,DC,所在直線為x,y,，軸建立空間直角坐標系.

則A(i,o,o),c(o,i,o),o[,g,o],故而=恁=(_1,1,0),乖=(-4九0),又4。，0，1),

則所以無=(1乂_川.

在正方體中，可知體對角線平面A8G,

所以西=(1,1,1)是平面ABCI的一個法向量，

所以sin。[cos(而，函)=

所以當4=:時，sin。取得最大值立，當x=o或1時，si“取得最小值Y2.

233

g、1.A/2y/3

所以sm6a?e—.

故選：A.

方法點睛：

求空間中直線與平面所成角的常見方法為：

(1)定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角;

(2)等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線

答案第6頁，共21頁

面成角的正弦值；

(3)向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正

弦值.

9.B

利用空間向量的加法法則和數乘運算可得.

【詳解】

A^E=A^A+AB+BC+CE^-A\+AB+Ai)+~A\=AB+AD-^AAl.

故選：B.

10.D

求得通、AC＞通的坐標，根據題意可知存在實數幾、〃，使得亞=2而+〃/，利

用空間向量的坐標運算可得出關于幾、〃、x的方程組，進而可求得實數x的值.

【詳解】

依題意得荏=(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),A5=(.X-4,-2,0),

?.?A、B、C、D四點共面，；.而、AC,而共面，

???存在實數X、〃，使得知=4麗+〃/，

x—4=-24—Ju4二—4

即(x—4,—2,0)=(—24—4,22+64—24—8〃)，所以，—2=22+6〃,

解得＜〃=1

0=—2A—8〃x=ll

故選：D.

本題考查利用空間向量法處理四點共面的問題，考查計算能力，屬于中等題.

11.B

—■2—?

根據題意得到結合空間向量的運算法則，準確運算，即可求解.

答案第7頁，共21頁

【詳解】

__.2__-

因為A2：PC=2：3,所以=

根據空間向量的運算法則，可得而=硒+守=硒+|(正-麗)=1麗+|正

=］麗+|(通+耐=|麗+g(通+而)=g麗+|南+|而，

UU.1322

又因為AAjU。，AB=b>AD=c>所以AP=y6+15+二乙

故選：B.

12.A

根據異面直線的定義可判斷仍與CG異面，由題意建立空間直角坐標系，利用向量法可判

斷BE與CG不互相垂直.

【詳解】

解：因為AD〃BC,AD//EF,所以BC//EF,

所以BC與￡F確定一個平面a,

所以BEua,

因為Cwc,Gea,所以8E與CG異面，

因為正方形ABCD與正方形ADEF互相垂直，平面ABCDn平面ADEF=AD,

￡>Eu平面ADEF且DE_LAD,所以DE_L平面ABC。，又DC_LA。，

所以建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,設正方形的邊長為1,則3(1,1,0),

￡(0,0,1),c(o,i,o),G1,O,￡|,

所以麗=西=11,-1,￡|,

因為而.由=_lxl+(_l)x(_l)+lx：=jw0,

答案第8頁，共21頁

所以而與旃不垂直，即的與CG不互相垂直,

故選：A.

13.平行

利用圖形，設函=工VB=b,VC=c,再結合比例關系代換出麗，麗，通過運算可得

_3__?3_?

VAk=-PM+-PN,由此判斷西麗，西共面，從而得出結論

【詳解】

如圖，設誣=￡,VB=b,VC=C,貝U麗=

—.?--1-2-2-1--.3.3—.

PN=-VD——VC=-a——b+-c^itVA=-PM+-PN

3333322

誣，麗，麗共面.

又01C平面PMN,

；.以〃平面PMN.

故答案為：平行

本題考查空間坐標系中關于線面平行的判斷，屬于中檔題

14.75-1

建立空間直角坐標系，根據空間向量互相垂直的性質，結合空間兩點間距離公式、三角換

元、輔助角公式進行求解即可.

答案第9頁，共21頁

【詳解】

建立如下圖所示的空間直角坐標系,

設E(x,2,z),0,(0,0,2),C(0,2,0),所以率=(x,2,z-2),CE=(x,0,z),

因為D】E_LCE,所以瓦g.函=0一爐+2(2-2)=0=爐+(2一1)2=1,

\BE\=7(2-X)2+(2-2)2+(0-Z)2=&-4X+4+Z2,

因為f+(z-1)2=1,所以令x=cose,2=l+sin*代入上式得：

\BE\=Jcos?夕一4cos，+4+(l+sin=j2sin，-4cos，+6=君sin(，+0)+6,

其中tan^>=2(^e(0,—)),

所以46-2由<\BE\<46+2際=>^-l<|BE|<^+l,

因此忸目的最小值為占一1,

故答案為：舊-1

方法點睛：對于正方體中關于線段長度最值問題可以利用解析法.

15.①④⑤

利用展開圖判定A、M,N三點共線，進而利用相似三角形判定選項①正確;

答案第10頁，共21頁

通過兩個截面的面積不相等且周長相等判定②錯誤；

建立空間直角坐標系，利用空間向量求線面角的余弦值的取值范圍，進而判定③錯誤；

利用線面垂直得出點E的位置、判定截面的形狀是梯形，利用空間向量求梯形的高，進而

求出截面的面積，判定④正確.利用正四面體內切球半徑為其正四面體高的可得內切

球的表面積.

【詳解】

對于①：將矩形ACC|A與正方形CGDQ展開成一個平面（如圖所示），

若AV+MV最小，則A、M、N三點共線,

因為eq//。'，

所以如=如=4=2-夜，

DNAD4V2+4

所以=（2-虛）ON=2TCC1；

2-72,V2―

BnPn—MC=^^=1-^-,故①正確；

對于②：當點M與點C1重合時，連接A。、BD、48、AC、AG，（如圖所示）,

B

答案第11頁，共21頁

在正方體ABCZ)-A<B[C[_D]中，CC[_I_平面ABCD,

3Z)u平面ABCD,

所以8OJ_CG，

又因為3。LAC,且ACp|CG=C,

所以BO_L平面ACG,

又AC；u平面ACQ,

所以8OJ.AG，

同理可證AD，AG，

因為4。中。=。，

所以AG，平面A片。，

易知△AB。是邊長為40的等邊三角形，

其面積為Si。=#x(4夜了=8。，

周長為40x3=120;

設E、F、。、N,G,H分別是AA，44、BBt,BC,CD,的中點，

易知六邊形分QNG〃是邊長為20的正六邊形，

且平面EFQNGH//平面\BD,

正六邊形EFQNGH的周長為120，面積為6x3x(2&?=124，

4

則△480的面積小于正六邊形所QVG7?的面積，它們的周長相等，即②錯誤；

對于③：以點。為坐標原點，DA,DC、所在直線分別為x、V、z軸建立空間直角

坐標系，

答案第12頁，共21頁

則A(4,0,0),8(4,4,0),設M(0,4,〃)(噴必4),

因為AM_L平面a,

所以而是平面a的一個法向量，

且說=(-4,4,a),AB=(0,4,0),

|c°s<M麗=烏，

4Va+32>/a+3232

所以直線AB與平面a所成角的正弦值的取值范圍為pg,與,

則直線與平面a所成角的余弦值的取值范圍為[[,?],故③錯誤;

對于④，連接AC、BD,

設平面。交棱4。于點E(6,0,4),M(0,4,2),

所以畫？=(T,4,2),

因為AM_L平面a,￡>Eu平面a,

所以

答案第13頁，共21頁

即國乙屁=-46+8=0，得6=2，

所以E(2,0,4),

即點E是A2的中點，

同理點尸是48的中點，

則￡尸〃13D且￡FwBD,

所以四邊形ERftD是梯形，且3。=4應，EF=2拒,

設萬=詼=(2,0,4),口\,廣(辛,,0),

貝以2=20,小"=/,

所以梯形EFBD的高，即點E到直線的距離，為以?-@好=，20-2=3點,

所以梯形EFBD的面積為S=1x(2應+472)x372=18,故④正確；

對于⑤，當點〃與點C重合時，四面體AMR4即為ACR及為正四面體，

棱長心4應，由正四面體的性質可得，其內切球半徑片4后乎、；=手

所以表面積為4萬/=(

故答案為：①④⑤.

解決本題的關鍵在于熟悉正方體的常見截面形狀，及正四面體的內切外接球的性質特征,

涉及動直線與平面的夾角問題一般用空間向量法.

7171

16.了‘5

易證得OD,AC,03,AC,引入輔助角變量，設N30D=a0w(0,萬)，以。為原點建立

空間直角坐標系，利用向量法求得線面角的正弦值，從而可判斷所求角的范圍.

【詳解】

解：因為AB=3C=Cr>=ZM,AB=BA,

所以△ABC=△">(?,

所以NADC=/ASC=90。，

答案第14頁，共21頁

又因為。為AC的中點，

所以OD_LAC,O3_LAC,

又ODcOB=O,所以AC_L平面BOD,

設Z.BOD=a,aG（0,,

如圖，以。為原點建立空間直角坐標系,

則平面3OD與平面xOz重合，

不妨設AB=BC=CD=DA=C，

貝1JQ4=O3=OC=OD=1,

則A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(cosa,0,sin?),

111.

￡—cosa,—,—sinCL

iT°r222

則而=

因為AC_L平面28,

所以反=（0,1,。）即為平面BOD的一條法向量,

JT

因為直線班與平面28所成角為凡0e0,-

因為ae（0,萬），所以cosae（-l,l）,

所以sin。e

所以

故答案為:

答案第15頁，共21頁

DAZ

17.(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析

(1)根據題意得出赤=癡可證；

(2)通過證明HE//即可得；

(3)可得四邊形EFGH為平行四邊形，M為EG中點，即可證明.

【詳解】

(1)F,G,H分別是AB,BC,CD,ZM的中點，

：.EF=^AC,HG=^AC,.-.EF=HG，

又E,F,G,H四點不共線，故E,F,G,H四點共面；

(2)：E,X分別是AB,A。的中點，

—.1—、

:.HE=-DB,.-.HE//DB,:.HE//BD,

；HEu平面EFGH,3Da平面EFGH,，8D//平面EFGH；

(3)由(1)知四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點，

-E,G分別是AS,C。的中點，

:.OM=-(OE+OG)=--(OA+OB)+-(OC+OD)\=-(OA+OB+OC+OD)

22|_22J4

18.⑴姮

15

亞

13

答案第16頁，共21頁

(1)證得。A，OB，OC兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角坐標公式即

可求出異面直線成角；

(2)利用空間向量的夾角坐標公式求出二面角的余弦值，再利用同角的平方關系即可求出

結果.

⑴

取助的中點0,連接AQ,0C,因為ABC。為菱形，所以4。，8。，。，3。,且

COcAO=O,故平面A。。，又因為平面A3。，平面BC。，所以平面

BCD,因此O4,OB，OC兩兩垂直，從而以。為原點，。3所在直線為x軸，0C所在直線

為y軸，。4所在直線為z軸建立空間直角坐標系，

所以。(0,0,0)，4(0,0,2),。(0,2,0),2(1,0,0),。(一1,0,0),石(0,1,1),歹(；,：0

所以常=(1,0,—2),痂=(1,1,1),

所以直線與/汨所成角的余弦值為

|福?詼||lxl+0x2+(-2)xl|715

研|西^12+02+(-2)2XV12+12+12*15，

故直線AB與DE所成角的余弦值為叵.

15

(2)

由⑴中過程知覺=。,2,0),而=\,；,0),

設平面DEF和平面DEC的法向量分別為7〃=(%,%,%),D尸=(x?,%,Z2),

m?DE=玉+%+Z[=0

則，一71，令%=2,則m=(2,—7,5),

m?DF=—%]+—y=0

I4121

答案第17頁，共21頁

則「三=尤2+%+22=。

令%=1,貝U〃=(-2,1,1)，

、1萬?DC=x2+2y2=0

設二面角b-DE-C的平面角為a,由圖可知

|2x(-2)+(-7)xl+5xl|

m-n6_1

貝°cosa-22222

^2+(-7)+5X7(-2)+1^+1

屈x卮岳

所以二面角尸-DE-C的平面角的正弦值為觀.

13

19.(1)姮(2)獨^

1513

(1)建立空間直角坐標系，利用向量數量積求直線向量夾角，即得結果；

(2)先求兩個平面法向量，根據向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關

系得結果.

【詳解】

(1)連COQBC=CD,BO=OD:.COLBD

以OB,OC,OA為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則

A(0,0,2),3(1,0,0),C(0,2,0),￡>(-1,0,0)/.E(0,l,l)

uunuumuunuum_i后

AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1)?.cos<AB,DE>=^二-

V5V315

從而直線AB與DE所成角的余弦值為姮

15

答案第18頁，共21頁

(2)設平面DEC一個法向量為1=(x,y,z),

^-DC=0x+2y=0

■,-DC=(1,2,0),

^-DE=0x+y+z=0

u

令y=1x=—2,z=1二.4=(—2,1,1)

uu

設平面DEF一個法向量為%=a，x，Z1),

一一一一1—71n-DF=0

?.Z)F=Z)B+BF=Z)B+-BC=(-,-,0)J2

442%?DE=0

xi+yi+zl=0

LU

令y=—7Xy=2,Z]=5二.％=(2,—7,5)

ITw_61

COS<%%>=-7=~~=—

V6V78V13

中八八V122回

因止匕sine=S==W—

V1313

本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

20.(1)aH—Z?+c；(2)—Q+b~\—c；(3)—QH—b-\—c.

22222

(1)(2)根據向量加法的三角形法則表示即可；

(3)根據空間向量的線性表示，用e和G分別表示出加和的