PAGE高考數學一輪復習課時作業-圓錐曲線中的存在性問題【原卷版】(時間:45分鐘分值:40分)1.(10分)(2024·鄭州模擬)已知拋物線Γ:x2=2py(p>0)上一點到焦點F的距離比它到直線y=-4的距離小3.(1)求拋物線Γ的準線方程;(2)若過點F的直線l與拋物線Γ交于A,B兩點,線段AB的中垂線與拋物線Γ的準線交于點C,請問:是否存在直線l,使得tan∠ACB=43?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由2.(10分)(2024·揚州模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A,過右焦點F且平行于y(1)求△APQ的內心坐標;(2)是否存在定點D,使過點D的直線l交C于M,N,交PQ于點R,且滿足MR·ND=MD·RN?若存在,求出該定點坐標;若不存在,請說明理由.3.(10分)(2024·梅州模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點、右頂點分別為F,A,B(0,b),|AF|=1,點M在線段AB上,且滿足|BM|=3|MA(1)求雙曲線C的方程.(2)過點F的直線l與雙曲線C的右支相交于P,Q兩點,在x軸上是否存在與F不同的定點E,使得|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|恒成立?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.4.(10分)已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過點B(0,b)且與直線BF2垂直的直線交x軸負半軸于D,且2(1)求橢圓Γ的離心率;(2)若過B,D,F2三點的圓恰好與直線l:x-3y-6=0相切,求橢圓Γ的方程;(3)設a=2.過橢圓Γ右焦點F2且不與坐標軸垂直的直線l與橢圓Γ交于P,Q兩點,點M是點P關于x軸的對稱點,在x軸上是否存在一個定點N,使得M,Q,N三點共線?若存在,求出點N的坐標;若不存在,說明理由.【加練備選】(2024·南京模擬)橢圓E的方程為x24+y28=1,左、右頂點分別為A(-2,0),B(2,0),點P為橢圓E(1)若直線l分別交x,y軸于C,D兩點,若PD=2,求PC的長;(2)若直線l過點(-1,0),且交橢圓E于另一點Q(異于點A,B),記直線AP與直線BQ交于點M,試問:點M是否在一條定直線上?若是,求出該定直線方程;若不是,說明理由.2025年高考數學一輪復習課時作業-圓錐曲線中的存在性問題【解析版】(時間:45分鐘分值:40分)1.(10分)(2024·鄭州模擬)已知拋物線Γ:x2=2py(p>0)上一點到焦點F的距離比它到直線y=-4的距離小3.(1)求拋物線Γ的準線方程;【解析】(1)因為拋物線Γ:x2=2py上一點到焦點F的距離比它到直線y=-4的距離小于3,所以拋物線Γ:x2=2py上一點到焦點F的距離等于它到直線y=-1的距離,所以-p2=-1,解得p=2,故拋物線Γ的方程是x2=4y,拋物線的準線方程為y=-1(2)若過點F的直線l與拋物線Γ交于A,B兩點,線段AB的中垂線與拋物線Γ的準線交于點C,請問:是否存在直線l,使得tan∠ACB=43?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由【解析】(2)由題意得F(0,1),且l斜率一定存在,設l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+1x2=4y,消去y可得x2-4kx-4=0,Δ=16k2+16>0,則x1+x2=4k設AB中點為M,如圖,則tan∠ACB=tan2∠ACM=2tan∠ACM1-tan解得|CM|=2|AM|,即|CM|=|AB|.當k=0時,易知|CM|=2,|AB|=|x1-x2|=(x當k≠0時,設C(x3,y3),M(x4,y4).因為CM垂直平分AB,所以CM的斜率為-1k易知|CM|=1+k2|y3-y因此有1+k2|y3-y4|=1+k2|x1-因為M為AB的中點,所以y4=y1+y22=由題意,y3=-1,即|x1-x2|=2k2+2,16k2+16=2兩邊平方整理可得k4-2k2-3=0,解得k=±3,故存在直線l使得tan∠ACB=43,且直線l的方程為y=3x+1或y=-3x+12.(10分)(2024·揚州模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A,過右焦點F且平行于y(1)求△APQ的內心坐標;【解析】(1)因為a2=b2+c2,2b2a=a+c=3,所以a=2,b=3所以橢圓C的標準方程為x24+不妨取P(1,32),Q(1,-32),A(-2,0),F(1,0),則AP=352,因為在△APQ中,AP=AQ,所以△APQ的內心在x軸上,設直線PT平分∠APQ,交x軸于T,則T為△APQ的內心,且ATTF=APPF=5=AT3-AT,所以AT=3(2)是否存在定點D,使過點D的直線l交C于M,N,交PQ于點R,且滿足MR·ND=MD·RN?若存在,求出該定點坐標;若不存在,請說明理由.【解析】(2)因為橢圓和弦PQ均關于x軸對稱.若存在定點D,則點D必在x軸上,所以設D(t,0),當直線l斜率存在時,設其方程為y=k(x-t),M(x1,y1),N(x2,y2),直線方程與橢圓方程聯立y=消去y得(4k2+3)x2-8k2tx+4(k2t2-3)=0,則Δ=48(4k2+3-k2t2)>0,x1+x2=8kx1x2=4(k因為點R的橫坐標為1,M,R,N,D均在直線l上,MR·ND=MD·RN,所以(1+k2)(1-x1)(t-x2)=(1+k2)(t-x1)(x2-1),所以2t-(1+t)(x1+x2)+2x1x2=0,所以2t-(1+t)8k2t4k因為點D在橢圓外,則直線l的斜率必存在,所以存在定點D(4,0)滿足題意.3.(10分)(2024·梅州模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點、右頂點分別為F,A,B(0,b),|AF|=1,點M在線段AB上,且滿足|BM|=3|MA(1)求雙曲線C的方程.【解析】(1)設c2=a2+b2(c>0),所以F(c,0),A(a,0),B(0,b),因為點M在線段AB上,且滿足|BM|=3|MA|,所以點M(33+1a,1因為直線OM的斜率為1,所以13+1b33因為|AF|=1,所以c-a=1,解得a=1,b=3,c=2.所以雙曲線C的方程為x2-y23(2)過點F的直線l與雙曲線C的右支相交于P,Q兩點,在x軸上是否存在與F不同的定點E,使得|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|恒成立?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.【解析】(2)假設在x軸上存在與F不同的定點E,使得|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|恒成立,當直線l的斜率不存在時,E在x軸上任意位置,都有|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|;當直線l的斜率存在且不為0時,設E(t,0),直線l的方程為x=ky+2,直線l與雙曲線C的右支相交于P,Q兩點,則-33<k<33且設P(x1,y1),Q(x2,y2),由x2-y23=1x=ky+2,得(3k2-1)y2+12所以y1+y2=-12k3k2-1,y因為|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|,即|EP||EQ|=|FP||FQ|,所以EF有y1x1-t+y2x2-t=0,即y1ky1+2-所以2k93k2-1+(2-t)(-12k3綜上所述,存在與F不同的定點E,使得|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|恒成立,且E(12,0)4.(10分)已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過點B(0,b)且與直線BF2垂直的直線交x軸負半軸于D,且2(1)求橢圓Γ的離心率;【解析】(1)由題意知F1(-c,0),F2(c,0),由2F1F2+F2D=0得F1是線段F2D的中點,故又因為直線BD與BF2垂直,所以|BF1|=12|DF2|,即b2+c2=a=1所以橢圓Γ的離心率為e=ca=1(2)若過B,D,F2三點的圓恰好與直線l:x-3y-6=0相切,求橢圓Γ的方程;【解析】(2)由(1)得過B,D,F2三點的圓的圓心為F1(-c,0),半徑為r=2c.因為過B,D,F2三點的圓恰好與直線l:x-3y-6=0相切,所以2c=|-c-6|又a=2c,所以a=4,從而b2=12.故橢圓Γ的方程為x216+y(3)設a=2.過橢圓Γ右焦點F2且不與坐標軸垂直的直線l與橢圓Γ交于P,Q兩點,點M是點P關于x軸的對稱點,在x軸上是否存在一個定點N,使得M,Q,N三點共線?若存在,求出點N的坐標;若不存在,說明理由.【解析】(3)由(1)及a=2得c=1,b=3,F2(1,0),橢圓Γ的方程為x24+y設直線l的方程為x=ty+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),則M(x1,-y1),聯立得x24+y23=1x=Δ=36t2+36(4+3t2)>0,y1+y2=-6t4+3t2,y1直線MQ的方程為x-x1=x2-x1y1令y=0得x=(x2-xx2y=(=2ty1y2+故在x軸上存在一個定點N(4,0),使得M,Q,N三點共線.【加練備選】(2024·南京模擬)橢圓E的方程為x24+y28=1,左、右頂點分別為A(-2,0),B(2,0),點P為橢圓E(1)若直線l分別交x,y軸于C,D兩點,若PD=2,求PC的長;【解析】(1)設P(x,y),D(0,yD),則x24+y28=1①,x2+(y-yD)由①②可得y22=因為y>0,所以y2=|y-yD|,即y|y因為|PC||PD|=y|y(2)若直線l過點(-1,0),且交橢圓E于另一點Q(異于點A,B),記直線AP與直線BQ交于點M,試問:點M是否在一條定直線上?若是,求出該定直線方程;若不是,說明理由.【解析】(2)依題可設直線l的方程為x=my-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0).聯立方程得x=my-1x24+yΔ=16m2+24(2m2+1)>0,則y1+y2=4m2m2+1,y1直線AP的方程為y=y1x1+2(x+2),直線BQ的方程為y=