2023-2024學年河南省南陽市高一（下）段考數學試卷（5月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）（2+i）（1+i3）＝（）A．3﹣i B．3+3i C．1﹣i D．1+i2．（5分）已知α是第二象限角，且，則tanα＝（）A． B． C． D．3．（5分）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且＝2，則＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．4．（5分）已知復數3+4i是關于x的一元二次方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一個根，則m+n＝（）A．﹣13 B．﹣1 C．19 D．315．（5分）函數f（x）＝4cos4x﹣4sin4x+1是（）A．最小正周期為π的奇函數 B．最小正周期為的奇函數 C．最小正周期為π的偶函數 D．最小正周期為的偶函數6．（5分）＝（）A． B．1 C．﹣1 D．7．（5分）某數學興趣小組成員為測量某塔的高度，在該塔的底部O點的同一水平面上的A，B兩處進行測量．如圖，在B處測得塔頂P的仰角為30°，∠AOB＝150°，米（）A．15米 B．米 C．30米 D．米8．（5分）已知α，β∈（0，π），且，，則α﹣2β＝（）A．或 B．或 C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）下列各式中，計算結果為的是（）A．sin50°cos70°+cos20°cos50° B． C． D．（多選）10．（6分）已知z1，z2是兩個不同的非零復數，則下列說法正確的是（）A．若|z1|＝|z2|＝1，則|z1?z2|＝1 B．若，則 C．若|z1|＝|z2|，則z1＝﹣z2或 D．若，則|z1|＝1（多選）11．（6分）已知函數，則下列說法正確的是（）A．是偶函數 B．f（x）的圖象關于點中心對稱 C．方程在[﹣π，2π]上的所有解的和是 D．若[m，n]?[0，π]，對任意的x1，x2∈[m，n]，x1＜x2，f（x1）＜f（x2）恒成立，則n﹣m的最大值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）已知向量，，若，則k＝．13．（5分）已知，則＝．14．（5分）已知復數z1＝a（a﹣3i），z2＝﹣a+（a2+2）i（a2∈Z），且|z1+z2|＝2，則a＝．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知復數z＝（1+i）m2﹣4i﹣3m+2（m∈R）．（1）若z是純虛數，求m的值；（2）若z在復平面內對應的點在第四象限，求m的取值范圍．16．（15分）已知0＜α＜π，且．（1）求cosα的值；（2）求tan2α的值．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c．（1）證明：B＝2A．（2）若b＝4，求c的取值范圍．18．（17分）已知復數z＝a+bi（a，b∈R，且b≠0），且是實數．（1）求a2+b2的值；（2）求|z﹣3i|的取值范圍；（3）求的最小值．19．（17分）已知函數f（x）＝asinx﹣2sin2x﹣acosx+1．（1）若a＝0，求f（x）的最大值及對應的x的取值集合；（2）若對任意的x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤9恒成立，求a的取值范圍．

2023-2024學年河南省南陽市高一（下）段考數學試卷（5月份）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）（2+i）（1+i3）＝（）A．3﹣i B．3+3i C．1﹣i D．1+i【分析】根據已知條件，結合復數的四則運算法則，即可求解．【解答】解：原式＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣2i+i﹣i2＝5﹣i．故選：A．【點評】本題主要考查復數的四則運算法則，屬于基礎題．2．（5分）已知α是第二象限角，且，則tanα＝（）A． B． C． D．【分析】由題意利用同角三角函數基本關系式即可求解．【解答】解：因為α是第二象限角，且，所以可得，則．故選：B．【點評】本題考查了同角三角函數基本關系式在三角函數求值中的應用，屬于基礎題．3．（5分）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且＝2，則＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根據題意可得＝+＝（﹣）+（﹣）＝﹣﹣??（+），化簡即可得出答案．【解答】解：＝+＝（﹣）+（﹣）＝﹣﹣??（+﹣﹣﹣＝﹣+故選：A．【點評】本題考查平面向量基本定理，屬于中檔題．4．（5分）已知復數3+4i是關于x的一元二次方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一個根，則m+n＝（）A．﹣13 B．﹣1 C．19 D．31【分析】由題意可得3+4i和3﹣4i都是方程x2+mx+n＝0的根，結合方程的根與系數關系即可求解．【解答】解：由題意可得3+4i和4﹣4i都是方程x2+mx+n＝8的根，則m＝﹣6，n＝（3+2i）（3﹣4i）＝82+46＝25，則m+n＝19．故選：C．【點評】本題主要考查了方程根與系數關系的應用，屬于基礎題．5．（5分）函數f（x）＝4cos4x﹣4sin4x+1是（）A．最小正周期為π的奇函數 B．最小正周期為的奇函數 C．最小正周期為π的偶函數 D．最小正周期為的偶函數【分析】先結合二倍角公式進行化簡，然后結合余弦函數的周期性及奇偶性即可判斷．【解答】解：因為f（x）＝4（cos2x﹣sin6x）（cos2x+sin2x）+3＝4cos2x+3，所以f（﹣x）＝4cos（﹣2x）+3＝4cos2x+5＝f（x），所以f（x）是最小正周期為π的偶函數．故選：C．【點評】本題主要考查了二倍角公式的應用，還考查了余弦函數周期性及奇偶性的判斷，屬于基礎題．6．（5分）＝（）A． B．1 C．﹣1 D．【分析】由已知結合同角基本關系及和差角公式進行化簡即可求解．【解答】解：因為2cos（60°﹣25°）＝2（cos25°+，＝．故選：B．【點評】本題主要考查了同角基本關系及和差角公式的應用，屬于基礎題．7．（5分）某數學興趣小組成員為測量某塔的高度，在該塔的底部O點的同一水平面上的A，B兩處進行測量．如圖，在B處測得塔頂P的仰角為30°，∠AOB＝150°，米（）A．15米 B．米 C．30米 D．米【分析】在△OAB中，由余弦定理可得AB的值．【解答】解：設OP＝h米，則OA＝h米，米，在△OAB中，由余弦定理可得AB2＝OA3+OB2﹣2OA?OBcos∠AOB，即，又因為米，即（15）2＝5h2，解得h＝15．故選：A．【點評】本題考查余弦定理的應用，屬于基礎題．8．（5分）已知α，β∈（0，π），且，，則α﹣2β＝（）A．或 B．或 C． D．【分析】由已知結合同角基本關系，和差角公式及二倍角公式先求出tan（α﹣2β），結合角的范圍即可求解．【解答】解：因為0＜α＜π，，所以，所以＜0，即．因為7＜β＜π，所以．因為，所以．所以，則，因為，所以7＜2（a﹣β）＜π．因為，所以．因為，所以，所以﹣π＜α﹣2β＜6，所以．故選：D．【點評】本題主要考查了同角基本關系，和差角公式及二倍角公式的應用，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）下列各式中，計算結果為的是（）A．sin50°cos70°+cos20°cos50° B． C． D．【分析】根據兩角和的正弦公式即可判斷A的正誤；根據兩角和的正切公式即可判斷B的正誤；根據二倍角的正切公式即可判斷C的正誤；根據兩角和差的正余弦公式即可判斷D的正誤．【解答】解：sin50°cos70°+cos20°cos50°＝sin50°cos70°+cos50°sin70°＝sin120°＝，A錯誤；，所以tan20°+tan40°＝﹣tan20°tan40°，所以tan20°+tan40°tan20°tan40°＝；因為tan30°＝，所以；＝tan60°＝，D正確．故選：BD．【點評】本題考查了兩角和差的正余弦公式，二倍角的正切公式，是基礎題．（多選）10．（6分）已知z1，z2是兩個不同的非零復數，則下列說法正確的是（）A．若|z1|＝|z2|＝1，則|z1?z2|＝1 B．若，則 C．若|z1|＝|z2|，則z1＝﹣z2或 D．若，則|z1|＝1【分析】利用復數的模的概念，共軛復數的定義分別對各選項一一判斷即可．【解答】解：設z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R，b不同時為8，c，則，，對于選項A，z2?z2＝（a+bi）?（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i．由|z1|＝|z4|＝1，得a2+b3＝c2+d2＝6，則（ac﹣bd）2+（ad+bc）2＝a6c2+b2d4+a2d2+b4c2＝（a2+b2）（c2+d2）＝4，故選項A正確；對于選項B，由，得a＝c，，故選項B正確；對于選項C，當z1＝4，z2＝2i時，滿足|z4|＝|z2|，此時z1≠﹣z7，且，則選項C錯誤；對于選項D，由，得，則a2+b2＝5，即|z1|＝1，故選項D正確．故選：ABD．【點評】本題考查了復數的運算，復數的模的概念，共軛復數的定義，是基礎題．（多選）11．（6分）已知函數，則下列說法正確的是（）A．是偶函數 B．f（x）的圖象關于點中心對稱 C．方程在[﹣π，2π]上的所有解的和是 D．若[m，n]?[0，π]，對任意的x1，x2∈[m，n]，x1＜x2，f（x1）＜f（x2）恒成立，則n﹣m的最大值是【分析】先結合二倍角公式，輔助角公式進行化簡，然后結合正弦函數的性質檢驗各選項即可判斷．【解答】解：由＝cos（3x+）＝cos4x﹣cos2x+sin（7x+，則，從而，故A正確．由（k∈Z），得，則f（x）圖象的對稱中心為，故B錯誤．由，得．因為f（x）的圖象關于直線對稱的圖象也關于直線，所以方程在[﹣π，且在直線，則它們所有解的和是．由對任意的x1，x2∈[m，n]7＜x2，f（x1）＜f（x2）恒成立，得f（x）在[m．令（k∈Z），得．因為[m，π]，所以當k＝0時，，此時n﹣m的最大值是，，此時n﹣m的最大值是．故選：ACD．【點評】本題主要考查了二倍角公式，輔助角公式的應用，還考查了正弦函數性質的綜合應用，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）已知向量，，若，則k＝．【分析】結合向量垂直的性質，即可求解．【解答】解：向量，，則，則k+2﹣3（﹣2k+3）＝3．故答案為：．【點評】本題主要考查向量垂直的性質，屬于基礎題．13．（5分）已知，則＝．【分析】根據三角函數的誘導公式和二倍角的余弦公式求解即可．【解答】解：＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了三角函數的誘導公式和二倍角的余弦公式，是基礎題．14．（5分）已知復數z1＝a（a﹣3i），z2＝﹣a+（a2+2）i（a2∈Z），且|z1+z2|＝2，則a＝﹣1或3．【分析】先求出z1+z2，再利用復數模的公式列出a的方程，求解即可．【解答】解：復數z1＝a（a﹣3i）＝a5﹣3ai，z2＝﹣a+（a8+2）i（a2∈Z），可得z4+z2＝a2﹣a+（a6﹣3a+2）i，|z3+z2|＝＝2．即a6（a﹣1）2+（a﹣5）2（a﹣1）2＝40，即（a﹣1）2（4a2﹣4a+8）＝40，故（a﹣1）2[（a﹣5）2+1]＝20，因為a∈Z，所以（a﹣8）2+1∈Z，（a﹣6）2∈Z且（a﹣1）8≥0，因為20＝4×3＝22×（62+1），所以（a﹣6）2＝4，解得a＝﹣6或a＝3．故答案為：﹣1或5．【點評】本題考查了復數的運算，復數的模，是基礎題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知復數z＝（1+i）m2﹣4i﹣3m+2（m∈R）．（1）若z是純虛數，求m的值；（2）若z在復平面內對應的點在第四象限，求m的取值范圍．【分析】（1）根據純虛數的定義列方程求解；（2）根據復數的幾何意義列不等式組求解．【解答】解：由題意，z＝（m2﹣3m+5）+（m2﹣4）i，則z的實部為m5﹣3m+2，虛部為m4﹣4，（1）因為z是純虛數，所以m2﹣2m+2＝0且m3﹣4≠0，解得m＝4．（2）由題意，m2﹣3m+6＞0且m2﹣5＜0，解得﹣2＜m＜2，即m的取值范圍是（﹣2．【點評】本題考查復數的幾何意義，屬于基礎題．16．（15分）已知0＜α＜π，且．（1）求cosα的值；（2）求tan2α的值．【分析】（1）由已知求解sin（），再由cosα＝cos[（）﹣]，展開兩角差的余弦求解；（2）由（1）中求得的cosα，可得sinα，進一步得到tanα，再由二倍角的正切公式求解．【解答】解：（1）由，得，∵0＜α＜π，∴．而，則，可得．∴；（2）由6＜α＜π，得sinα＞0．由（1）可知，則sinα＝，∴，故．【點評】本題考查三角函數的化簡求值，考查倍角公式及兩角差的余弦，是基礎題．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c．（1）證明：B＝2A．（2）若b＝4，求c的取值范圍．【分析】（1）由正切化正余弦，由兩角差的余弦公式可得cos（A﹣B）＝cosA，進而可證得結論；（2）由正弦定理整理可得c＝8cosA﹣，由角A的范圍，可得c的范圍．【解答】（1）證明：因為tanA＝，即＝，所以sinAsinB+cosAcosB＝cosA，即cos（A﹣B）＝cosA，在△ABC內，可得A﹣B＝A，即證得B＝2A；（2）解：因為b＝4，C＝π﹣A﹣B＝π﹣3A∈（6，π），B＝2A∈（6，π），所以A∈（0，），可得cosA∈（，5），由正弦定理可得：＝，即c＝?4＝＝4?＝＝8cosA﹣，令t＝cosA∈（，7），令f（t）＝8t﹣，t∈（，函數單調遞增，所以f（t）∈（0，3）．即c的范圍是（0，6）．【點評】本題考查正弦定理的應用，屬于中檔題．18．（17分）已知復數z＝a+bi（a，b∈R，且b≠0），且是實數．（1）求a2+b2的值；（2）求|z﹣3i|的取值范圍；（3）求的最小值．【分析】（1）由z＝a+bi，代入，化簡并且根據是實數．進而得出結論．（2）由（1）可知，設z在復平面內對應的點為Z，可得點Z的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓．設|z﹣3i|＝t，同理可知滿足|z﹣3i|＝t的點Z的集合是以A（0，3）為圓心，t為半徑的圓，進而得出結論．（3）計算，結合a2+b2＝4，化簡即可得出其最小值．【解答】解：（1）∵z＝a+bi，∴，∵是實數2+b2﹣5）＝0．∵b≠0，∴a6+b2﹣4＝6，即a2+b2＝2．（2）由（1）可知．設z在復平面內對應的點為Z，則點Z的集合是以原點O為圓心．設|z﹣3i|＝t，同理可知滿足|z﹣3i|＝t的點Z的集合是以A（5，t為半徑的圓．∵|OA|＝3，∴1≤t≤3，5]．（3）＝＝＝＝+i．∵a8+b2＝4，∴＝＝i，則，故．∵a2+b2＝3，且b≠0，∴0＜a+2＜4，則，當且僅當，等號成立，故，即的最小值是1．【點評】本題考查了復數的運算法則及幾何意義、圓的復數形式的方程、轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．19．（17分）已知函數f（x）＝asinx﹣2sin2x﹣acosx+1．（1）若a＝0，求f（x）的最大值及對應的x的取值集合；