第11講分式方程1分式方程的概念分母中含有未知數的方程叫分式方程.要點詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數.（2）分式方程和整式方程的區別就在于分母中是否有未知數（不是一般的字母系數）.分母中含有未知數的方程是分式方程，分母中不含有未知數的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯系：分式方程可以轉化為整式方程.【例題精選】例1(2023春?鯉城區校級期中）在下列各式中，是關于x的分式方程的是（）A．2x﹣3y＝0 B． C． D．【隨堂練習】1．(2023春?靜安區期末）下列方程中，是分式方程的為（）A． B． C． D．2．(2023春?南江縣期末）下列各式中是分式方程的是（）A． B．x2+1＝y C．+1＝0 D．2分式方程的解【例題精選】例1(2023春?淮陰區期中）已知關于x的分式方程＝3的解是5，則m的值為（）A．3 B．﹣2 C．﹣1 D．8【隨堂練習】1．(2023?滕州市一模）關于x的分式方程+＝0的解為x＝4，則常數a的值為（）A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝103解分式方程解分式方程的基本思想：將分式方程轉化為整式方程.轉化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產生增根，所以解分式方程時必須驗根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.【例題精選】例1(2023?道外區一模）方程＝的解為（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3例2(2023?成都模擬）分式方程的解是（）A．﹣2 B．0 C．﹣2或0 D．無解例3(2023?西城區二模）解方程：+1＝．【隨堂練習】1.(2023?埇橋區模擬）方程的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣32．(2023春?新蔡縣期中）把分式方程﹣＝0轉化為整式方程時，方程兩邊需乘（）A．x B．x+4 C．x（x﹣4） D．x（x+4）3．(2023?安徽二模）方程的解是（）A．﹣1 B．1 C． D．﹣94分式方程的應用分式方程的應用主要就是列方程解應用題.列分式方程解應用題按下列步驟進行：（1）審題了解已知數與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數量關系；（2）設未知數；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關系，列出分式方程；（4）解這個分式方程；（5）驗根，檢驗是否是增根；（6）寫出答案.【例題精選】例1(2023?高州市模擬）2018年8月中國鐵路總公司宣布，京津高鐵將再次提速，擔任此次運營任務是最新的復興號動車組，提速后車速是之前的1.5倍，100千米縮短了10分鐘，問提速前后的速度分別是多少千米與小時？例2(2023?岳陽一模）某市為治理污水，需要鋪設一段全長為3000m的污水排放管道，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加25%，結果提前30天完成這一任務，實際每天鋪設多長管道？【隨堂練習】1．(2023?武昌區模擬）某單位向一所希望小學贈送1080本課外書，現用A、B兩種不同的包裝箱進行包裝，單獨使用B型包裝箱比單獨使用A型包裝箱可少用6個；已知每個B型包裝箱比每個A型包裝箱可多裝15本課外書．若設每個A型包裝箱可以裝書x本，則根據題意列得方程為（）A． B． C． D．2．(2023?越秀區校級一模）一種商品原來的銷售利潤率是47%．現在由于進價提高了5%，而售價沒變，所以該商品的銷售利潤率變成了_________．（注：銷售利潤率＝（售價﹣進價）÷進價）3．(2023?長春模擬）為中華人民共和國成立70周年獻禮，某燈具廠計劃加工6000套彩燈，為盡快完成任務，實際每天加工彩燈的數量是原計劃的1.5倍，結果提前5天完成任務．求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量．綜合練習一．選擇題（共2小題）1．解分式方程﹣＝時，去分母后得到的方程正確的是（）A．x﹣2x+1＝x﹣1 B．2x﹣4x+2＝x﹣1 C．2x+4x﹣2＝x﹣1 D．x+2x﹣1＝x﹣12．某市為解決部分市民冬季集中取暖問題，需鋪設一條長4000米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，施工時“…”，設實際每天鋪設管道x米，則可得方程﹣＝20，根據此情景，題中用“…”表示的缺失的條件應補為（）A．每天比原計劃多鋪設10米，結果延期20天完成 B．每天比原計劃少鋪設10米，結果延期20天完成 C．每天比原計劃多鋪設10米，結果提前20天完成 D．每天比原計劃少鋪設10米，結果提前20天完成二．解答題（共5小題）3．解方程：﹣＝14．某自動化車間計劃生產40個零件，當生產任務完成一半時，停止生產進行自動化程序升級改造，用時20分鐘，恢復生產后工作效率比原來提高了，結果完成任務時比原計劃提前了40分鐘，求升級改造前每小時生產多少個零件？5．解下列分式方程：（1）＝1（2）＝﹣36．某商店第一次用300元購進2B鉛筆若干支，第二次又用300元購進該款鉛筆，但這次每支的進價是第一次進價的倍，購進數量比第一次少了30支．（1）求第一次每支鉛筆的進價是多少元？（2）若要求這兩次購進的鉛筆按同一價格全部銷售完畢后獲利不低于210元，問每支售價至少是多少元？7．服裝店去年10月以每套500元的進價購進一批羽絨服，當月以標價銷售，銷售額14000元，進入11月份搞促銷活動，每件降價50元，這樣銷售額比10月份增加了5500元，售出的件數是10月份的1.5倍．（1）求每件羽絨服的標價是多少元；（2）進入l2月份，服裝店決定把剩余羽絨服按10月份標價的八折銷售，結果全部賣掉，而且這批羽絨服總獲利不少于15000元，問這批羽絨服至少購進多少件？第11講分式方程1分式方程的概念分母中含有未知數的方程叫分式方程.要點詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數.（2）分式方程和整式方程的區別就在于分母中是否有未知數（不是一般的字母系數）.分母中含有未知數的方程是分式方程，分母中不含有未知數的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯系：分式方程可以轉化為整式方程.【例題精選】例1(2023春?鯉城區校級期中）在下列各式中，是關于x的分式方程的是（）A．2x﹣3y＝0 B． C． D．分析：根據分式方程的定義：分母中含有未知數的方程叫做分式方程逐一判斷可得．【解答】解：A．此方程是二元一次方程，不符合題意；B．此方程是一元一次方程，不符合題意；C．是代數式，不是方程，不符合題意；D．此方程是分式方程；故選：D．【點評】本題主要考查分式方程的定義，解題的關鍵是掌握判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數．【隨堂練習】1．(2023春?靜安區期末）下列方程中，是分式方程的為（）A． B． C． D．【解答】解：A、該方程是一元一次方程，故本選項錯誤；B、該方程是無理方程，故本選項錯誤；C、該方程符合分式方程的定義，故本選項正確；D、該方程是無理方程，故本選項錯誤；故選：C．2．(2023春?南江縣期末）下列各式中是分式方程的是（）A． B．x2+1＝y C．+1＝0 D．【解答】解：A、不是方程，故本選項錯誤；B、方程x2+1＝y的分母中不含未知數x，所以它不是分式方程．故本選項錯誤；C、方程+1＝0的分母中不含未知數x，所以它不是分式方程．故本選項錯誤；D、方程的分母中含有未知數，所以它是分式方程．故本選項正確；故選：D．2分式方程的解【例題精選】例1(2023春?淮陰區期中）已知關于x的分式方程＝3的解是5，則m的值為（）A．3 B．﹣2 C．﹣1 D．8分析：把x＝5代入分式方程求得m的值即可．【解答】解：把m＝5代入關于x的分式方程＝3得：＝3，解得：m＝﹣1，故選：C．【點評】此題主要考查了分式方程的解，要熟練掌握，在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數的取值范圍，可能產生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．【隨堂練習】1．(2023?滕州市一模）關于x的分式方程+＝0的解為x＝4，則常數a的值為（）A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10【解答】解：把x＝4代入分式方程+＝0，得+＝0，解得a＝10，經檢驗a＝10是方程的解，故選：D．3解分式方程解分式方程的基本思想：將分式方程轉化為整式方程.轉化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產生增根，所以解分式方程時必須驗根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.【例題精選】例1(2023?道外區一模）方程＝的解為（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3分析：方程去分母轉化為整式方程，整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3（x﹣2）＝5x，去括號得：3x﹣6＝5x，移項合并得：﹣2x＝6，解得：x＝﹣3，經檢驗x＝﹣3是分式方程的解．故選：D．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．例2(2023?成都模擬）分式方程的解是（）A．﹣2 B．0 C．﹣2或0 D．無解分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：（x+1）2＝1，開方得：x+1＝1或x+1＝﹣1，解得：x＝0或x＝﹣2，經檢驗x＝﹣2是增根，分式方程的解為x＝0，故選：B．【點評】此題考查了解分式方程，以及分式方程的解，解分式方程利用了轉化的思想，解完注意要檢驗．例3(2023?西城區二模）解方程：+1＝．分析：根據解分式方程的步驟解答即可．【解答】解：+1＝，方程的兩邊同乘3（x﹣1）得：3x+3x﹣3＝2x，解這個方程得：，經檢驗，是原方程的解．【點評】本題主要考查了解分式方程，會把分式方程轉化為整式方程是解答本題的關鍵，注意，解分式方程需要驗根．【隨堂練習】1.(2023?埇橋區模擬）方程的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3【解答】解：去分母得：2x﹣1＝x+2，解得：x＝3，經檢驗x＝3是分式方程的根，故選：C．2．(2023春?新蔡縣期中）把分式方程﹣＝0轉化為整式方程時，方程兩邊需乘（）A．x B．x+4 C．x（x﹣4） D．x（x+4）【解答】解：把分式方程﹣＝0轉化為整式方程時，方程兩邊需乘x（x+4）．故選：D．3．(2023?安徽二模）方程的解是（）A．﹣1 B．1 C． D．﹣9【解答】解：方程兩邊乘x﹣3，得2x+6＝﹣x+3，解得：x＝﹣1，檢驗：x＝﹣1時，x﹣3≠0，則x＝﹣1是原分式方程的解．故選：A．4分式方程的應用分式方程的應用主要就是列方程解應用題.列分式方程解應用題按下列步驟進行：（1）審題了解已知數與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數量關系；（2）設未知數；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關系，列出分式方程；（4）解這個分式方程；（5）驗根，檢驗是否是增根；（6）寫出答案.【例題精選】例1(2023?高州市模擬）2018年8月中國鐵路總公司宣布，京津高鐵將再次提速，擔任此次運營任務是最新的復興號動車組，提速后車速是之前的1.5倍，100千米縮短了10分鐘，問提速前后的速度分別是多少千米與小時？分析：設列車提速前的速度為x千米每小時和列車提速后的速度為1.5千米每小時，根據關鍵語句“100千米縮短了10分鐘”可列方程，解方程即可．【解答】解：設提速前后的速度分別為x千米每小時和1.5x千米每小時，根據題意得，﹣＝，解得：x＝200，經檢驗：x＝200是原方程的根，∴1.5x＝300，答：提速前后的速度分別是200千米每小時和300千米每小時．【點評】此題主要考查了分式方程的應用，關鍵是弄懂題意，根據時間關系列出方程．例2(2023?岳陽一模）某市為治理污水，需要鋪設一段全長為3000m的污水排放管道，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加25%，結果提前30天完成這一任務，實際每天鋪設多長管道？分析：首先設原計劃每天鋪設x米，則實際每天鋪設（1+25%）x米，由題意找出等量關系：原計劃的工作時間﹣實際的工作時間＝30，然后列出方程可求出結果，最后檢驗并作答．【解答】解：設原計劃每天鋪設x米，依題意得：＝+30，解得：x＝20米，經檢驗x＝20是原方程式的根，實際每天鋪設1.25x＝1.25×20＝25（米）．答：實際每天鋪設25米長管道．【點評】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．本題應用了工作時間＝工作總量÷工效這個等量關系．【隨堂練習】1．(2023?武昌區模擬）某單位向一所希望小學贈送1080本課外書，現用A、B兩種不同的包裝箱進行包裝，單獨使用B型包裝箱比單獨使用A型包裝箱可少用6個；已知每個B型包裝箱比每個A型包裝箱可多裝15本課外書．若設每個A型包裝箱可以裝書x本，則根據題意列得方程為（）A． B． C． D．【解答】解：根據題意，得：．故選：C．2．(2023?越秀區校級一模）一種商品原來的銷售利潤率是47%．現在由于進價提高了5%，而售價沒變，所以該商品的銷售利潤率變成了_________．（注：銷售利潤率＝（售價﹣進價）÷進價）【解答】解：設原來的售價是b，進價是a，×100%＝47%b＝1.47a．×100%＝40%．故答案為：40%．3．(2023?長春模擬）為中華人民共和國成立70周年獻禮，某燈具廠計劃加工6000套彩燈，為盡快完成任務，實際每天加工彩燈的數量是原計劃的1.5倍，結果提前5天完成任務．求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量．【解答】解：設原計劃每天加工x個，根據題意，得，解得：x＝400，經檢驗，x＝400是原方程的解且符合題意．答：原計劃每天加工400個．綜合練習一．選擇題（共2小題）1．解分式方程﹣＝時，去分母后得到的方程正確的是（）A．x﹣2x+1＝x﹣1 B．2x﹣4x+2＝x﹣1 C．2x+4x﹣2＝x﹣1 D．x+2x﹣1＝x﹣1【解答】解：去分母得：2x+2（2x﹣1）＝x﹣1，即2x+4x﹣2＝x﹣1，故選：C．2．某市為解決部分市民冬季集中取暖問題，需鋪設一條長4000米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，施工時“…”，設實際每天鋪設管道x米，則可得方程﹣＝20，根據此情景，題中用“…”表示的缺失的條件應補為（）A．每天比原計劃多鋪設10米，結果延期20天完成 B．每天比原計劃少鋪設10米，結果延期20天完成 C．每天比原計劃多鋪設10米，結果提前20天完成 D．每天比原計劃少鋪設10米，結果提前20天完成【解答】解：∵利用工作時間列出方程：﹣＝20，∴缺失的條件為：每天比原計劃多鋪設10米，結果提前20天完成．故選：C．二．解答題（共5小題）3．解方程：﹣＝1【解答】解：2（x+1）2﹣（x﹣1）2＝x2﹣16x＝﹣2，經檢驗，x＝﹣是原方程的根，所以原方程的解為：x＝﹣．4．某自動化車間計劃生產40個零件，當生產任務完成一半時，停止生產進行自動化程序升級改造，用時20分鐘，恢復生產后工作效率比原來提高了，結果完成任務時比原計劃提前了40分鐘，求升級改造前每小時生產多少個零件？【解答】解：設升級改造前每小時生產x個零件，則升級改造前每小時生產（1+）x個零件，依題意，得：﹣＝+，解得：x＝10，經檢驗，x＝10是所列分式方程的解，且符合題意．答：升級改造前每小時生產10個零件．5．解下列分式方程：（1）＝1（2）＝﹣3【解答】解：（1）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，經檢驗x＝1是