專題13特殊的平行四邊形中的的圖形變換模型之翻折（折疊）模型幾何變換中的翻折（折疊、對稱)問題是歷年中考的熱點問題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學生的識圖能力及靈活運用數學知識解決問題的能力。翻折以矩形對稱最常見，變化形式多樣。無論如何變化，解題工具無非全等、相似、勾股以及三角函數，從條件出發，找到每種對稱下隱藏的結論，往往是解題關鍵。本專題以各類幾個圖形（菱形、矩形、正方形等）為背景進行梳理及對應試題分析，方便掌握。【知識儲備】折疊問題的解決,大都是以軸對稱圖形的性質作為切入點，而數形變化,是解決這類問題的突破口。有了“折”就有了”形”--軸對稱圖形、全等形；有了“折”就有了“數”--線段之間、角與角之間的數量關系。"折”就為“數”與“形”之間的轉化搭起了橋梁。特殊平行四邊形中的折疊問題,還要考慮特殊平行四邊形本身的性質,有時也需要用到計算工具：相似和勾股定理。折疊的性質:重合部分是全等圖形,對應邊、對應角相等；對稱點的連線被對稱軸垂直平分。【知識儲備】1）矩形的翻折模型【模型解讀】例1．（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統考期末）如圖，在矩形中，是的中點，將沿翻折得到，延長交于點，若，，則的長度為（

）

A． B． C． D．3例2．（2023春·陜西西安·八年級校考期末）如圖，在矩形中，，，是上一個動點，是上一點點不與點重合．連接，將沿翻折，使點的對應點落在邊上，連接，若，則的面積為(

)

A． B． C． D．例3．（2023春·安徽安慶·九年級校聯考階段練習）如圖，長方形沿著對角線翻折，點C落在點處，與相交于點E，若，，求的長．例4．（2023春·湖北·八年級專題練習）如圖，在長方形中，，，為上一點，將沿翻折至，，與分別相交于點，，且．則的長為（

）A． B． C． D．例5．（2023春·陜西商洛·八年級統考期末）如圖，在矩形中，，，將矩形折疊，使點C與點A重合，則的長為（

）

A．20 B．18 C．16 D．15例6．（2023春·江蘇宿遷·八年級統考期末）如圖，在矩形中，，．點O為矩形的對稱中心，點E為邊上的動點，連接并延長交于點F．將四邊形沿著翻折，得到四邊形，邊交邊于點G，連接，則的面積的最小值為（

）

A．18－3 B． C． D．例7．（2023春·浙江金華·八年級統考期末）如圖，在矩形中，，，點P，Q分別為AB，AD上的動點，將沿翻折得到，將沿翻折得到在動點P，Q所有位置中，當F，E，P三點共線，時，．

例8．（2023秋·山西·九年級專題練習）綜合與實踐：在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數學活動．在矩形中，E為邊上一點，F為邊上一點，連接、，分別將和沿、翻折，點D、B的對應點分別為點G、H，且C、H、G三點共線．(1)如圖1，若F為邊的中點，，點G與點H重合，則＝

°，＝

；(2)如圖2，若F為的中點，平分，，，求的度數及的長；(3)，，若F為的三等分點，請直接寫出的長．2）菱形的翻折模型【模型解讀】例1．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處不與、重合，折痕為，若，，則的長為．例2．（2023·安徽·統考一模）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A’MN，連結A’C，則A’C長度的最小值是（

）.A． B． C． D．2例3．（2023·山東八年級統考期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點P處，折痕為MN，點M，N分別在邊AB，AD上，則BM：AM的值為（

）A． B． C． D．例4．（2023秋·廣西九年級專題練習）如圖，在菱形紙片中，，P為中點．折疊該紙片使點C落在點處且點P在上，折痕為，則的大小為（

）A． B． C． D．例5．（2023春·浙江·八年級專題練習）對角線長分別為6和8的菱形如圖所示，點O為對角線的交點，過點O折疊菱形，使B，兩點重合，是折痕．若，則的長為（）

A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5例6．（2023·山東九年級課時練習）如圖，在折疊千紙鶴時，其中某一步需要將如圖所示的菱形紙片分別沿，所在直線進行折疊，使得菱形的兩邊，重合于．若此時，則．3）正方形的翻折模型【模型解讀】例1．（2023·湖南郴州·八年級校考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是AD邊的中點，連接BE，將△ABE沿直線BE翻折至△FBE，延長EF交CD于點G，則CG的長度是（）A． B． C． D．例2．（2023·江蘇·八年級假期作業）如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，將△AED沿著AE翻折得到△AEF，點D的對應點F恰好落在對角線AC上，連接BF．若EF＝2，則BF2＝（

）A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4例3．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，ABCD是一張邊長為4cm的正方形紙片，E，F分別為AB，CD的中點，沿過點D的折痕將A角翻折，使得點A落在EF上的點A′處，則EG＝cm．例4．（2023·山西朔州·校聯考模擬預測）如圖，在正方形中，，將其沿翻折，使，頂點恰好落在線段上的點處，點的對應點為點．則線段的長為．

例5．（2023·廣東九年級課時練習）如圖，正方形中，，點E在邊上，且．將沿對折至，延長交邊于點G，連接，則下列結論：①；②③；④AG//CF；其中正確的有（填序號）．例6．（2023·江蘇揚州·校考二模）如圖，將正方形沿著、翻折，點、的對應點分別是點、，若，則．

例7．（2023春·江蘇宿遷·八年級統考期末）問題情境：如圖1，在正方形中，，點是邊上一點（點不與重合），將沿直線翻折，點落在點處．(1)如圖2，當點落在對角線上時，求的長．(2)如圖3，連接分別交于點，點，連接并延長交于點，當為中點時，試判斷與的位置關系，并說明理由．

(3)如圖4，在線段上取一點，且使，連接，則在點從點運動到點的過程中，的值是否存在最小值？如果存在，請求出其值；若果不存在，請說明理由．課后專項訓練1．（2023·湖北隨州·八年級統考期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=4，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F，G分別在邊AB，AD上，則EF的長為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江西新余·八年級統考期末）如圖，正方形的邊長為6，點是上的一點，連接并延長，交射線于點，將沿直線翻折，點落在點處，的延長線交于點，當時，則的長為（

）

A． B．1 C． D．3．（2023春·江蘇宿遷·八年級校考階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊CD上，且CE=1，連結AE，點F在邊AD上，連結BF，把沿BF翻折，點A恰好落在AE上的點G處，下列結論：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正確的是（

）A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③4．（2023春·山西長治·八年級統考期末）如圖，在菱形中，，將邊沿折疊得到交于點，當為中點時，的大小為（

）

A． B． C． D．5．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）將矩形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕，，，折疊后，點C落在AD邊上的處，并且點B落在邊上的處．則BC的長為（

）

A．6 B． C．4 D．6．（2023春·浙江杭州·八年級統考期末）如圖，將菱形沿折疊，點B的對應點為F，若E、F、D剛好在同一直線上，設，，，則關系正確的是（）

A．B．C．D．7．（2023·廣東江門·統考二模）如圖，在矩形片中，邊，，將矩形片沿折疊，使點A與點C重合，折疊后得到的圖形是圖中陰影部分．給出下列結論：①四邊形是菱形；②的長是1.5；③的長為；④圖中陰影部分的面積為5.5，其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，將矩形ABCD的四個角向內翻折后，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，cm，cm，則邊AB的長度等于．9．（2023·河北衡水·八年級校聯考期中）如圖，在矩形中，，，是邊上一點，將矩形沿向上翻折，點落在點處，點落在點處，與交于點，設的長為．（1）當點與點A重合時，的長為；（2）當時，的取值范圍是．10．（2023·廣東深圳·統考二模）如圖，已知正方形紙片，，、分別是邊、的中點，把邊向上翻折，使點恰好落在上的點處，為折痕，且交于點，則的面積為．11．（2023春·廣西崇左·八年級統考期末）在矩形中，，，點是邊的中點，連接并延長交射線于點，將沿直線翻折到延長與直線交于點，則的長為．

12．（2023春·江蘇宿遷·八年級統考期末）如圖，在矩形中，，，M為的三等分點（），N是從B出發，以每秒1個單位的速度沿方向運動的動點，點N運動t秒后沿所在直線，將矩形紙片進行翻折，若點B恰好落在邊上，則t的值為．

13．（2023春·安徽淮南·八年級統考階段練習）如圖，在矩形中，，，將沿翻折，使得點D落在邊上處，則（1）的長是；（2）折痕的長是．

14．（2023·江蘇·八年級假期作業）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD邊的中點E處，折痕為FG，點F、G分別在邊AB、AD上，則GE＝．15．（2023春·重慶南岸·八年級校考期末）如圖，正方形邊長為6，點為邊的中點，連接，將沿翻折得到，延長交于點，則長為．16．（2023春·河南南陽·八年級統考期末）如圖，在矩形中，，，E為邊上一點，將沿翻折，點B落在點F處．當為直角三角形時，．

17．（2023·重慶巴南·九年級統考期中）如圖，在邊長為9的正方形中，為上一點，連接、，將四邊形沿翻折，使點恰好落在上的處，若，則的長為．18．（2023春·江蘇泰州·八年級校聯考階段練習）如圖，中，已知，于，，，把、分別以、為對稱軸翻折變換，點的對稱點為，，延長、相交于點．（1）求證：四邊形是正方形；（2）求的長．19．（2023春·廣西南寧·八年級統考期末）綜合與實踐綜合實踐課上，老師讓同學們以“簡單矩形折疊”為主題開展數學活動，同學們積極參與了矩形的折疊活動．

(1)操作與證明：①小李將矩形沿折疊后，使得點C與點A重合，如圖1，若，則__________；②小張將矩形沿對角線折疊后，使得點C與點E重合，如圖2所示，求證：是等腰三角形；(2)遷移與應用：在（1）②的前提下，連接，如圖3所示，若，，求的長．20．（2023春·河南商丘·八年級統考期末）如圖，點在正方形的邊上（不與點重合），連接，將沿翻折，使點落在點處，作射線交于點，交于點，連接．

(1)求證：．(2)過點作交射線于點．①求的度數；②直接寫出線段與之間的數量關系．21．（2023·山西臨汾·統考二模）綜合與實踐問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數學活動．在矩形中，為邊上一點，為邊上一點，連接，分別將和沿翻折，的對應點分別為，且三點共線．觀察發現：（1）如圖1，若為邊的中點，，點與點重合，則__________，__________．問題探究：（2）如圖2，若，求的長．拓展延伸：（3），若為的三等分點，請直接寫出的長．

專題13特殊的平行四邊形中的的圖形變換模型之翻折（折疊）模型幾何變換中的翻折（折疊、對稱)問題是歷年中考的熱點問題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學生的識圖能力及靈活運用數學知識解決問題的能力。翻折以矩形對稱最常見，變化形式多樣。無論如何變化，解題工具無非全等、相似、勾股以及三角函數，從條件出發，找到每種對稱下隱藏的結論，往往是解題關鍵。本專題以各類幾個圖形（菱形、矩形、正方形等）為背景進行梳理及對應試題分析，方便掌握。【知識儲備】折疊問題的解決,大都是以軸對稱圖形的性質作為切入點，而數形變化,是解決這類問題的突破口。有了“折”就有了”形”--軸對稱圖形、全等形；有了“折”就有了“數”--線段之間、角與角之間的數量關系。"折”就為“數”與“形”之間的轉化搭起了橋梁。特殊平行四邊形中的折疊問題,還要考慮特殊平行四邊形本身的性質,有時也需要用到計算工具：相似和勾股定理。折疊的性質:重合部分是全等圖形,對應邊、對應角相等；對稱點的連線被對稱軸垂直平分。【知識儲備】1）矩形的翻折模型【模型解讀】例1．（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統考期末）如圖，在矩形中，是的中點，將沿翻折得到，延長交于點，若，，則的長度為（

）

A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據題意連接，證明，得出，在中運用勾股定理即可解答；【詳解】連接，為矩形，是的中點由翻折得到，，，，設，則.在和中在中即解得：故選A

【點睛】該題考查了矩形知識點和勾股定理的運用，掌握矩形性質和勾股定理是解答該題的關鍵例2．（2023春·陜西西安·八年級校考期末）如圖，在矩形中，，，是上一個動點，是上一點點不與點重合．連接，將沿翻折，使點的對應點落在邊上，連接，若，則的面積為(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】由折疊可知，，設則在中，利用勾股定理可建立方程，解得，則，，再根據等腰三角形的性質得到，進而算出，設則在中，利用勾股定理可建立方程，解得，則，再利用三角形面積公式計算即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，

四邊形為矩形，，，，，，由折疊可知，，，，，設則在中，，，解得：，，，，四邊形為矩形，，，，，，設則在中，，，解得：，，故選：B．【點睛】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、等腰三角形的性質、勾股定理，熟練掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關鍵．例3．（2023春·安徽安慶·九年級校聯考階段練習）如圖，長方形沿著對角線翻折，點C落在點處，與相交于點E，若，，求的長．【答案】【分析】根據翻折的性質，證明，然后求出，最后根據勾股定理即可求出結果．【詳解】由翻折的性質可知，在與中，，，，，，長方形，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質、勾股定理和矩形的性質，掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．例4．（2023春·湖北·八年級專題練習）如圖，在長方形中，，，為上一點，將沿翻折至，，與分別相交于點，，且．則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由折疊的性質得出，，，證明，得出，，設，則，，求出，，根據勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，根據題意得：，∴，，，∵，，，∴，∴，，∴，設，則，，∴，，根據勾股定理得：，即，解得：，∴，故選：D【點睛】本題考查了矩形的性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質以及勾股定理的運用，熟練掌握翻折變換和矩形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．例5．（2023春·陜西商洛·八年級統考期末）如圖，在矩形中，，，將矩形折疊，使點C與點A重合，則的長為（

）

A．20 B．18 C．16 D．15【答案】D【分析】設，則，根據勾股定理列出關于x的方程，據此即可求解．【詳解】解：設，則，∵沿翻折后點C與點A重合，∴，在中，，即，解得，∴，由翻折的性質得，，∵矩形的對邊，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了折疊的性質，勾股定理，矩形的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握折疊的性質和矩形的性質．例6．（2023春·江蘇宿遷·八年級統考期末）如圖，在矩形中，，．點O為矩形的對稱中心，點E為邊上的動點，連接并延長交于點F．將四邊形沿著翻折，得到四邊形，邊交邊于點G，連接，則的面積的最小值為（

）

A．18－3 B． C． D．【答案】D【分析】在上截取，連接，證明，所以，即可得最短時，也就最短，而當時，最短，且，再過點作，得，又因為，就可以根據勾股定理計算、的長，從而計算出最小面積．【詳解】解：在上截取，連接，

由折疊得：，又，，，最短時，也就最短，而當時，最短，此時，點為矩形的對稱中心，，即的最小值是4，在中，點為矩形的對稱中心，長度是矩形對角線長度的一半，即是5，定值，度數也不變，是定值，當最小值時，面積最小．過點作，點為矩形的對稱中心，

，中，，中，，，面積的最小值是．故選：D．【點睛】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定與性質及垂線段最短等知識，解題關鍵是找到最小值．例7．（2023春·浙江金華·八年級統考期末）如圖，在矩形中，，，點P，Q分別為AB，AD上的動點，將沿翻折得到，將沿翻折得到在動點P，Q所有位置中，當F，E，P三點共線，時，．

【答案】3【分析】利用矩形和翻折的性質求出，，，，在中利用勾股定理求出，設，則，，，根據可構建關于x的方程，然求解即可解答．【詳解】解：在矩形中，，，∴，，∵翻折，∴，，，，∴，又，∴，設，則，，，∴，∴，∴．故答案為：3．

【點睛】本題考查矩形的性質，翻折的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．例8．（2023秋·山西·九年級專題練習）綜合與實踐：在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數學活動．在矩形中，E為邊上一點，F為邊上一點，連接、，分別將和沿、翻折，點D、B的對應點分別為點G、H，且C、H、G三點共線．(1)如圖1，若F為邊的中點，，點G與點H重合，則＝

°，＝

；(2)如圖2，若F為的中點，平分，，，求的度數及的長；(3)，，若F為的三等分點，請直接寫出的長．【答案】(1)45；2(2)；(3)2或【分析】（1）根據正方形的性質和翻折的性質，可得出；設，用x表示出的三條邊，然后根據勾股定理列出方程，即可得出的長；（2）如圖，由折疊性質和平分，得出，即可求出的度數；先證明和是等腰直角三角形，得出，，即可求出的長；（3）根據F為的三等分點，分兩種情況：當時，過點E作，交的延長線于點P，連接，證明，得出，進而求出的長；當時，點E作，交的延長線于點P，連接，根據，計算即可求出的長．【詳解】（1）∵，四邊形是矩形，∴四邊形是正方形，∴，，∵將和沿、翻折，點D、B的對應點分別為點G、H，∴，，∵，∴，∵F為的中點，∴，∵將和沿、翻折，點D、B的對應點分別為點G、H，∴，，設，則，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：45；2；（2）如圖2，延長，交于點M，∵平分，∴，由折疊的性質可知，，，∴，∴，∵，，∴和均為等腰直角三角形，∴，，∴，即，解得．（3）分兩種情況：①當時，如圖3，過點E作，交的延長線于點P，連接，則四邊形為矩形，，，由折疊的性質可知，，，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，設，，，∴，解得，∴．②當時，如圖4，過點E作，交的延長線于點P，連接，則四邊形為矩形，，，由折疊的性質可知，，，∴，∵，∴，，設，，，∵，∴，解得，∴．綜上可知，的長為2或．【點睛】本題主要綜合考查了矩形的折疊問題，涉及到正方形的性質，矩形的判定和性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，屬于壓軸題，難度較大，熟練掌握并靈活運用相關知識進行分類討論是解題的關鍵．2）菱形的翻折模型【模型解讀】例1．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處不與、重合，折痕為，若，，則的長為．【答案】【分析】作于，根據折疊的性質得到，根據菱形的性質、等邊三角形的判定定理得到為等邊三角形，得到，根據勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：作于，由折疊的性質可知，，由題意得，，四邊形是菱形，，，為等邊三角形，，設，則，在中，，，在中，，即，解得，，即，故答案為：．【點睛】本題考查的是翻轉變換的性質、菱形的性質、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．例2．（2023·安徽·統考一模）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A’MN，連結A’C，則A’C長度的最小值是（

）.A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據題意，在N的運動過程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，當A′C取最小值時，由兩點之間線段最短知此時M、A′、C三點共線，得出A′的位置，進而利用銳角三角函數關系求出A′C的長即可．【詳解】如圖所示：∵MA′是定值，A′C長度取最小值時，即A′在MC上時，過點M作MF⊥DC于點F，∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M為AD中點，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FM=DM×cos30°=，∴MC=，∴A′C=MC-MA′=-1．故選B．例3．（2023·山東八年級統考期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點P處，折痕為MN，點M，N分別在邊AB，AD上，則BM：AM的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，證明是等邊三角形，證得，由折疊可得，由可求出的長，進而得出答案．【詳解】解：如圖，連接，，四邊形為菱形，，，，是等邊三角形，是中點，，，，，，，由折疊可得，設，∴，，，即，，．故答案為：B．【點睛】本題主要考查折疊的性質、菱形的性質、勾股定理及等邊三角形的性質與判定，熟練掌握折疊的性質、菱形的性質、勾股定理及等邊三角形的性質與判定是解題的關鍵．例4．（2023秋·廣西九年級專題練習）如圖，在菱形紙片中，，P為中點．折疊該紙片使點C落在點處且點P在上，折痕為，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，易得為等邊三角形，根據三線合一，易得，利用菱形的性質，易得：，根據折疊的性質，易得，再利用三角形的內角和求出的度數即可．【詳解】解：∵在菱形紙片中，，∴，連接，∴為等邊三角形，∵P為中點，∴，∵，∴，∴，∵折疊該紙片使點C落在點處且點P在上，折痕為，∴，∴；故選D．【點睛】本題考查菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，折疊的性質，三角形的內角和個定理．熟練掌握并靈活運用相關知識點，是解題的關鍵．例5．（2023春·浙江·八年級專題練習）對角線長分別為6和8的菱形如圖所示，點O為對角線的交點，過點O折疊菱形，使B，兩點重合，是折痕．若，則的長為（）

A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6.5【答案】A【分析】連接、，利用菱形的性質得，，，再利用勾股定理計算出，由證得得到，然后根據折疊的性質得，則，即可得出結果．【詳解】解：連接、，如圖，

∵點O為菱形的對角線的交點，∴，，，在中，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵過點O折疊菱形，使B，兩點重合，是折痕，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了菱形與折疊問題，熟練掌握菱形的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定和折疊的性質是解題的關鍵．例6．（2023·山東九年級課時練習）如圖，在折疊千紙鶴時，其中某一步需要將如圖所示的菱形紙片分別沿，所在直線進行折疊，使得菱形的兩邊，重合于．若此時，則．【答案】30°/30度【分析】根據菱形的性質得∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，再由折疊的性質得∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，所以∠AOM=∠AON=(360°-∠MON)=140°，所以∠B=∠AOM=140°,從而可求得∠BAD=40°,繼而求得∠OAM=10°,再由三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，由折疊的性質得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，∵∠MON=80°，∴∠AOM=∠AON=(360°-80°)=140°，∴∠B=∠AOM=140°,∴∠BAD=40°,∴∠OAM=10°,∴∠AMO=180°-140°-10°=30°,故答案為:30°．【點睛】本題考查菱形的性質，折疊的性質，三角形內角和定理，熟練掌握菱形的性質、折疊的性質是解題的關鍵．3）正方形的翻折模型【模型解讀】例1．（2023·湖南郴州·八年級校考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是AD邊的中點，連接BE，將△ABE沿直線BE翻折至△FBE，延長EF交CD于點G，則CG的長度是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接BG，根據折疊的性質和正方形的性質可得AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，即可證明Rt△BFG≌Rt△BCG得到FG＝CG，設CG＝FG＝x，則DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理進行求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接BG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝DC＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，由折疊的性質可得，AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，∵∠BFE+∠BFG＝180°，∴∠C＝∠BFG＝90°，又∵BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），∴FG＝CG，設CG＝FG＝x，則DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理得，EG2＝DE2+DG2，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，解得x＝，即CG＝，故選C．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，折疊的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．例2．（2023·江蘇·八年級假期作業）如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，將△AED沿著AE翻折得到△AEF，點D的對應點F恰好落在對角線AC上，連接BF．若EF＝2，則BF2＝（

）A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4【答案】D【分析】點F作FG⊥BC交于G點，設正方形的邊長為x，則ACx，由折疊可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（x﹣x）2，解得x，即為正方形的邊長為22，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG，BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（2）2+2＝8+4．【詳解】解：過點F作FG⊥BC交于G點，由折疊可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，設正方形的邊長為x，∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，解得x＝22，∴FC＝x﹣x＝2，∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG，∴BG2，在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4，故選：D．【點睛】本題考查正方形性質，翻折的性質，熟練掌握翻折的性質，靈活應用勾股定理是解題的關鍵．例3．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，ABCD是一張邊長為4cm的正方形紙片，E，F分別為AB，CD的中點，沿過點D的折痕將A角翻折，使得點A落在EF上的點A′處，則EG＝cm．【答案】【分析】由ABCD是一張邊長為4cm的正方形紙片，E，F分別為AB，CD的中點，可得AE=DF=2cm，EF=AD=4cm，由翻折的性質可得AG=A′G，AD=A′D，在Rt△DFA′與Rt△A′EG中，用勾股定理可求得答案．【詳解】解：∵ABCD是一張邊長為4cm的正方形紙片，E、F分別為AB，CD的中點，∴AE＝DF＝2cm，EF＝AD＝4cm，∵沿過點D的折痕將A角翻折，使得點A落在EF上的點A′處，∴AG＝A′G，AD＝A′D＝4cm，在Rt△DFA′中，，∴，在Rt△A′EG中，設EG＝x，則A′G=AG=(2?x)cm，，即，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質及圖形的翻折問題；利用相關知識找出等量關系，兩次利用勾股定理是正確解答本題的關鍵．例4．（2023·山西朔州·校聯考模擬預測）如圖，在正方形中，，將其沿翻折，使，頂點恰好落在線段上的點處，點的對應點為點．則線段的長為．

【答案】【分析】設，則，由翻折性質，得，，所以，在中，利用三角函數可求出，從而得到線段的長．【詳解】解：設，正方形中，，，，，，四邊形是四邊形折疊得到，，，，在中，，即，解得，經檢驗是原方程的解，原方程的解為，，故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換，正方形的性質，解直角三角形，熟練運用相關圖形的性質是解題的關鍵．例5．（2023·廣東九年級課時練習）如圖，正方形中，，點E在邊上，且．將沿對折至，延長交邊于點G，連接，則下列結論：①；②③；④AG//CF；其中正確的有（填序號）．【答案】①②③④【分析】根據折疊，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可證明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判斷①正確；根據，進而可得，根據三角形內角和定理即可得∠AEF+∠ADF＝135°，得到∠AGB+∠AED＝135°，進而判斷②正確；設BG＝GF＝x，則CG＝6﹣x，EG＝x+2，CE＝4，在Rt△EGC中，根據勾股定理建立方程（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解方程可得，即可判斷③正確；根據BG=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出∠GCF=∠GFC，根據∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即可判斷④正確【詳解】∵四邊形是正方形，∴，AB＝BC＝CD=AD＝6，∵，∴DE＝2，∴CE＝4，∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴∠AFE＝∠ADE＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝2，∴∠AFG＝∠ABG＝90°，AF＝AB，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正確；∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴，∵，∴，∴∠AEF+∠ADF＝135°，∴∠AGB+∠AED＝135°，∴②正確；設BG＝GF＝x，則CG＝6﹣x，EG＝x+2，∵CE＝4，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得x＝3，∴BG＝GF＝3，∴③正確；∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC，∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正確；故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了正方形性質，折疊圖形全等的性質，三角形全等的判斷和性質，三角形內角和定理，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．例6．（2023·江蘇揚州·校考二模）如圖，將正方形沿著、翻折，點、的對應點分別是點、，若，則．

【答案】【分析】由正方形的性質及折疊的性質可得，，，利用角之間的和差關系可得，進而求得，再利用即可求得結果．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，由折疊可知，，，∵，，∴，即：，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查正方形與折疊的性質，利用正方形與折疊的性質得到的度數是解決問題的關鍵．例7．（2023春·江蘇宿遷·八年級統考期末）問題情境：如圖1，在正方形中，，點是邊上一點（點不與重合），將沿直線翻折，點落在點處．(1)如圖2，當點落在對角線上時，求的長．(2)如圖3，連接分別交于點，點，連接并延長交于點，當為中點時，試判斷與的位置關系，并說明理由．

(3)如圖4，在線段上取一點，且使，連接，則在點從點運動到點的過程中，的值是否存在最小值？如果存在，請求出其值；若果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析．(3)【分析】（1）可證得為等腰直角三角形，，結合，可得．（2）連接，交于點，可知，根據三角形的中位線定理，即可求得與的位置關系．（3）在線段上取一點，使，連接，，可證得，則，觀察圖形可知，當點，，在同一條直線上時，最小，最小值為．【詳解】（1）根據折疊的性質可知，，∴．∵，∴為等腰直角三角形．∴．∴．∴．∴．∴．∴．（2），理由如下：如圖所示，連接，交于點．

根據題意可知為線段的垂直平分線，∴．∵為中點，∴，即．（3）如圖所示，在線段上取一點，使，連接，．在和中，∴．∴．∴．觀察圖形可知，當點，，在同一條直線上時，最小，最小值為．∴．【點睛】本題主要考查圖形折疊的性質、全等三角形的判定及性質、勾股定理、等腰三角形的判定及性質、三角形的中位線定理，能根據題意作出輔助線是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023·湖北隨州·八年級統考期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=4，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F，G分別在邊AB，AD上，則EF的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BE，BD，則△BCD是等邊三角形，則求出BE的長度，由折疊的性質和勾股定理，即可求出EF的長度．【詳解】解：如圖，連接BE，BD，∵AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，∴△BCD是等邊三角形，∵E是CD中點∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，∴BE=CE=2，∵CD∥AB，∴∠ABE=∠CEB=90°，由折疊可得AF=EF，∵EF2=BE2+BF2，∴EF2=12+（4-EF）2，∴EF=．故選：A．【點睛】本題考查了折疊問題，菱形的性質，勾股定理，關鍵是添加恰當的輔助線構造直角三角形，利用勾股定理求線段長度．2．（2023春·江西新余·八年級統考期末）如圖，正方形的邊長為6，點是上的一點，連接并延長，交射線于點，將沿直線翻折，點落在點處，的延長線交于點，當時，則的長為（

）

A． B．1 C． D．【答案】A【分析】由折疊的性質可得，，再由平行線的性質得到，則可證明得到，設，則，，在中，由勾股定理得，解方程求出，則．【詳解】解：∵沿直線翻折，點落在點處，∴，，∵正方形中，，∴，∴，∴，設，∵，∴，∴，，在中，由勾股定理得，，即，解得，∴，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理，等腰三角形的判定，證明是解題的關鍵．3．（2023春·江蘇宿遷·八年級校考階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊CD上，且CE=1，連結AE，點F在邊AD上，連結BF，把沿BF翻折，點A恰好落在AE上的點G處，下列結論：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正確的是（

）A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③【答案】B【分析】根據翻折的性質證△ABF≌△DAE（ASA），得出AF＝DE＝3，BF＝AE，即可判斷①正確；根據DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，即可判斷②錯誤；由勾股定理得出BF＝5，由S△ABF求出即可求得③正確；根據S△ABF＝AB?AF＝BF?AH，求出AH，即可判斷④正確，進而得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，∵CE＝1，∴DE＝3，由折疊的性質可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正確；∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，∴AD＝4DF，故②錯誤；在Rt△ABF中，∵BF＝＝＝5∴S△ABF＝AB?AF＝×4×3＝6，故③正確；∵S△ABF＝AB?AF＝BF?AH，∴4×3＝5AH，∴AH＝，∴AG＝2AH＝，∵AE＝BF＝5，∴GE＝AE﹣AG＝5﹣＝0.2，故④正確；綜上所述：正確的是①③④，故選：B．【點睛】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質，勾股定理，正方形的性質，解決本題的關鍵是掌握翻折的性質．4．（2023春·山西長治·八年級統考期末）如圖，在菱形中，，將邊沿折疊得到交于點，當為中點時，的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】延長交的延長線于點，過點作于點，可證，故，即，即可求解．【詳解】解：延長交的延長線于點，過點作于點

∵，∴，∵為中點，∴，∵，∴，∵在菱形中，∴，∴，∵，，∴，∵，∴在中：，∴，∴，由折疊可知：，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、含角的直角三角形以及折疊的性質．掌握相關幾何結論是解題關鍵．5．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）將矩形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕，，，折疊后，點C落在AD邊上的處，并且點B落在邊上的處．則BC的長為（

）

A．6 B． C．4 D．【答案】A【分析】由勾股定理得出，求出，，根據翻折和對邊平行可得和為等邊三角形，那么就得到，相加即可．【詳解】解：連接，

在中，，，，∴，，∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴為等邊三角形，同理也為等邊三角形，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，勾股定理等邊三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．6．（2023春·浙江杭州·八年級統考期末）如圖，將菱形沿折疊，點B的對應點為F，若E、F、D剛好在同一直線上，設，，，則關系正確的是（）

A．B．C．D．【答案】C【分析】可求，，可求，可證，即可求解．【詳解】解：，，，根據折疊可知，，，，，在菱形中，，，，，，，，．故選：C．【點睛】本題主要考查了折疊的性質，菱形的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，掌握相關的性質是解題的關鍵．7．（2023·廣東江門·統考二模）如圖，在矩形片中，邊，，將矩形片沿折疊，使點A與點C重合，折疊后得到的圖形是圖中陰影部分．給出下列結論：①四邊形是菱形；②的長是1.5；③的長為；④圖中陰影部分的面積為5.5，其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據矩形、折疊性質即可得出CF=CE=AE=AF，則證明結論①正確；設DF=x，故DF=BE=x，在Rt△ADF中，利用勾股定理即可求解結論②正確；過點F作FH⊥AB于點H，利用矩形判定與性質并結合勾股定理求得EF的長，則可推出結論③正確；由DF=BE可知陰影部分的面積為矩形ABCD面積的一半與△CGF面積的和，利用面積公式即可求得結果，證明結論④正確．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴AB∥CD，∴∠AEF=∠CFE，由折疊性質可知：AE=CE，AF=CF，∠AEF=∠CEF，∴∠CFE=∠CEF，∴CF=CE，∴CF=CE=AE=AF，∴四邊形是菱形；故①正確；∵四邊形是菱形，∴CF=AE，∵四邊形是矩形，，，∴AB=CD=4，∠D=90°，∴AB-CF=CD-AE，即DF=BE，設DF=x，則CF=AF=4-x，在Rt△ADF中，DF2+AD2=AF2，即x2+22=（4-x）2解得x=1.5，即的長是1.5；故②正確；過點F作FH⊥AB于點H，∴四邊形是矩形，∴FH=AD=2，AH=DF=1.5，∵AE=AB-BE=2.5，∴HE=AE-AH=1，由勾股定理得；故③正確；∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF=，∴S陰影部分=S四邊形BCFE+S△CGF，=S矩形ABCD+S△CGF，=AB?AD+CG?GF，=×4×2+×2×，=4+=；故④正確．故選：D．【點睛】本題考查了四邊形的綜合問題，熟練掌握菱形的判定與性質、矩形的判定與性質及折疊的性質等知識是解題的關鍵．8．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，將矩形ABCD的四個角向內翻折后，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，cm，cm，則邊AB的長度等于．【答案】【分析】由翻折的規律證明四邊形EFGH是矩形及AB=2EM，再由矩形的性質結合已知條件求出EM的長度，即可求出AB的長度．【詳解】解：如圖所示，∵將矩形ABCD的四個角向內翻折后，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，∴EA=EM，BE=EM，∠AEH=∠HEM，∠BEF=∠FEM，∠EMH=∠A=90°，∴AB=AE+EB=2EM，∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM=180°，∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°，同理，∠EFG=∠FGH=90°，∴四邊形EFGH是矩形，∵EH=3cm，EF=4cm，∴，∵EM·HF=EH·EF，∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的判定與性質，掌握翻折變換的規律，矩形的判定與性質，勾股定理，等積法是解決問題的關鍵．9．（2023·河北衡水·八年級校聯考期中）如圖，在矩形中，，，是邊上一點，將矩形沿向上翻折，點落在點處，點落在點處，與交于點，設的長為．（1）當點與點A重合時，的長為；（2）當時，的取值范圍是．【答案】/【分析】（1）當點與點A重合時，BP平分∠ABC，則∠ABP=∠ABC=45°，進而得即可求解；（2）當時，AM=0；當時，F、P、D重合，此時AM最大，再由勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：（1）如圖，當點與點A重合時，BP平分∠ABC，則∠ABP=∠ABC=45°，∵∠BAP=90°，∴，∵，∴，故答案為：．（2）由（1）可知，當時，AM=0；當時，F、P、D重合，此時AM最大，如圖：在矩形ABCD中，∵AD//BC，∴∠BPM=∠PBC，∵BP平分∠MBC，∴∠BPM=∠PBM，∴BM=PM，設AM=x，，在RT中，，∴，解得：，∴AM的長m的取值范圍是：，故答案為：．【點睛】本題主要考查矩形中的翻折問題，解題的關鍵是掌握翻折的性質，能熟練應用勾股定理列方程解決問題．10．（2023·廣東深圳·統考二模）如圖，已知正方形紙片，，、分別是邊、的中點，把邊向上翻折，使點恰好落在上的點處，為折痕，且交于點，則的面積為．【答案】【分析】根據折疊的性質和正方形的性質得出BP=BC=AB=2，∠PBQ=∠CBQ，∠BPQ=∠C=90°，得出BN=BC=BP，證出∠BPN=30°，∠PBN=60°，根據翻折不變性得出∠PBQ=∠QBC=30°=∠BPN，證出△PEQ是等邊三角形，由直角三角形的性質得出BC=CQ=2，得出CQ=2，BQ=2CQ=4，求出BE=EQ=2，作PF⊥BQ于F，PF=BP=，由三角形面積公式即可得出結果．【詳解】根據折疊的性質知：BP=BC=AB=2，∠PBQ=∠CBQ，∠BPQ=∠C=90°，∴BN=BC=BP，∵∠BNP=90°，∴∠BPN=30°，∴∠PBN=90°-30°=60°，根據翻折不變性，∠PBQ=∠QBC=30°=∠BPN，∴∠QPE=∠PEQ=60°，∴△PEQ是等邊三角形，∵∠C=90°，∴BC=CQ=2，∴CQ=2，BQ=2CQ=4，∵MN∥CD，BN=CN，∴BE=EQ=2，作PF⊥BQ于F，如圖所示：則PF=BP=，∴△PEQ的面積=×2×=；故答案為【點睛】本題考查了翻折變換的性質、正方形的性質、直角三角形的性質、等邊三角形的判定、三角形面積公式等知識；熟練掌握翻折變換的性質，證出∠BPN=30°是解題的關鍵．11．（2023春·廣西崇左·八年級統考期末）在矩形中，，，點是邊的中點，連接并延長交射線于點，將沿直線翻折到延長與直線交于點，則的長為．

【答案】【分析】根據中點的性質，根據利用矩形的性質，，，推得，根據折疊的性質可得，推得，根據等角對等邊可得，根據全等三角形的判定和性質可得，設，根據勾股定理即可求解．【詳解】解：∵點是邊的中點，∴，∵四邊形是矩形，，∴，，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，設，∴，，在中，，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了中點的性質，利用矩形的性質，折疊的性質，等角對等邊，全等三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握以上性質是解題的關鍵．12．（2023春·江蘇宿遷·八年級統考期末）如圖，在矩形中，，，M為的三等分點（），N是從B出發，以每秒1個單位的速度沿方向運動的動點，點N運動t秒后沿所在直線，將矩形紙片進行翻折，若點B恰好落在邊上，則t的值為．

【答案】或7【分析】分兩種情況進行討論：①點在上；②點在上，結合折疊的性質，可得直角三角形，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：①如圖，過點作交于點，在上，

可得四邊形是矩形，，，是的三等分點，，由折疊性質得，在中，，，設，則，在中，，解得：，，即；②如圖，過點作交于點，在上，

∴四邊形是矩形，，，在中，，，設，則，，在中，，解得：，即，．綜上所述，或7．故答案為：或7．【點睛】本題考查矩形性質，翻折變換的性質，勾股定理，熟練掌握分類討論及方程思想是解題關鍵．13．（2023春·安徽淮南·八年級統考階段練習）如圖，在矩形中，，，將沿翻折，使得點D落在邊上處，則（1）的長是；（2）折痕的長是．

【答案】2/【分析】（1）根據矩形的性質及折疊的性質可得，，然后利用勾股定理求出的長，進而求出的長；（2）設，在中利用勾股定理即可求出的值，繼而再利用勾股定理即可求得答案．【詳解】解：（1）四邊形是矩形，，，，將沿翻折，點D落在邊上處，，，，；故答案為：2；（2）設，則，在中，，即，解得，即，，故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質，折疊的性質，勾股定理解直角三角形等，解題的關鍵是掌握折疊前后對應邊相等．14．（2023·江蘇·八年級假期作業）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD邊的中點E處，折痕為FG，點F、G分別在邊AB、AD上，則GE＝．【答案】【分析】過點E作EH⊥AD于H，根據勾股定理可求DH的長度，由折疊的性質得出AG＝GE，在Rt△HGE中，由勾股定理可求出答案．【詳解】解：過點E作EH⊥AD于H，∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝4，∴∠BAD＝∠HDE＝60°，∵E是CD中點，∴DE＝2，在Rt△DHE，中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH＝1，HE＝，∵將菱形紙片翻折，使點A落在CD邊的中點E處，∴AG＝GE，在Rt△HGE中，GE2＝GH2+HE2，∴GE2＝（4﹣GE+1）2+3，∴GE＝2.8．故答案為：2.8．【點睛】本題考查了折疊問題，菱形的性質，勾股定理，關鍵是添加恰當的輔助線構造直角三角形，利用勾股定理求線段長度．15．（2023春·重慶南岸·八年級校考期末）如圖，正方形邊長為6，點為邊的中點，連接，將沿翻折得到，延長交于點，則長為．【答案】【分析】先判定，即可得出，設為，則，，，由勾股定理得：，解方程得出的值，即可得到的長．【詳解】解：如圖，連接，由折疊可得，，，，，是的中點，，，又，，，設為，則，，，由勾股定理得：，即，解得．，．故答案為：．【點睛】此題考查了翻折變換的性質，全等三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．解題時，我們常常設要求的線段長為，然后根據折疊和軸對稱的性質用含的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案．16．（2023春·河南南陽·八年級統考期末）如圖，在矩形中，，，E為邊上一點，將沿翻折，點B落在點F處．當為直角三角形時，．

【答案】2或5/5或2【分析】分三種情形計算．【詳解】解：當時，連接，∵四邊形是矩形，，，∴，，，

∵，∴，∴三點共線，根據折疊的性質，得，∴，設，則，根據勾股定理，得，解得，故；當時，∵四邊形是矩形，，，∴，，∵，∴四邊形是矩形，根據折疊的性質，得，∴四邊形是正方形，∴，∴，故；當時，∵，∴點不可能落到上，故不成立，故或，答案：2或5．【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，正方形的判定和性質，勾股定理，分類思想，熟練掌握矩形的性質，折疊的性質，正方形的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．17．（2023·重慶巴南·九年級統考期中）如圖，在邊長為9的正方形中，為上一點，連接、，將四邊形沿翻折，使點恰好落在上的處，若，則的長為．【答案】2【分析】連接B′E，則B′E＝BE，設CE＝x，則DE＝9－x，根據，，構建方程求出x即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接B′E，則B′E＝BE，設CE＝x，則DE＝9－x，∵，∴，∵∠D＝∠C＝90°，∴，，∴，解得