序列相關性

SerialCorrelation一、序列相關性概念二、實際經濟問題中的序列相關性

三、序列相關性的后果四、序列相關性的檢驗五、具有序列相關性模型的估計六、案例序列相關性

一、序列相關性概念

如果對于不同的樣本點，隨機誤差項之間不再是不相關的，而是存在某種相關性，則認為出現了序列相關性。

對于模型

Yi=

0+

1X1i+

2X2i+…+

kXki+

i

i=1,2,…,n隨機項互不相關的基本假設表現為

Cov(

i

,

j)=0

i

j,i,j=1,2,…,n或稱為一階列相關，或自相關（autocorrelation）其中：

被稱為自協方差系數（coefficientofautocovariance）或一階自相關系數（first-ordercoefficientofautocorrelation）

i是滿足以下標準的OLS假定的隨機干擾項：如果僅存在

E(

i

i+1)0

i=1,2,…,n

自相關往往可寫成如下形式：

i=

i-1+

i-1<

<1

由于序列相關性經常出現在以時間序列為樣本的模型中，因此，本節將用下標t代表i。

（a）正自相關6（b）負自相關7（c）無自相關8

二、實際經濟問題中的序列相關性

大多數經濟時間數據都有一個明顯的特點:慣性，表現在時間序列不同時間的前后關聯上。由于消費習慣的影響被包含在隨機誤差項中，則可能出現序列相關性（往往是正相關）。例如，絕對收入假設下居民總消費函數模型：

Ct=

0+1Yt+tt=1,2,…,n

1、經濟變量固有的慣性

2、模型設定的偏誤

所謂模型設定偏誤（Specificationerror）是指所設定的模型“不正確”。主要表現在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數形式有偏誤。

例如，本來應該估計的模型為

Yt=

0+1X1t+2X2t+3X3t+t但在模型設定中做了下述回歸：

Yt=

0+1X1t+1X2t+vt因此，vt=

3X3t+t，如果X3確實影響Y，則出現序列相關。

但建模時設立了如下模型：

Yt=

0+1Xt+vt

因此，由于vt=

2Xt2+t,

，包含了產出的平方對隨機項的系統性影響，隨機項也呈現序列相關性。又如：如果真實的邊際成本回歸模型應為：

Yt=

0+1Xt+2Xt2+t其中：Y=邊際成本，X=產出，

3、數據的“編造”

例如：季度數據來自月度數據的簡單平均，這種平均的計算減弱了每月數據的波動性，從而使隨機干擾項出現序列相關。還有就是兩個時間點之間的“內插”技術往往導致隨機項的序列相關性。

在實際經濟問題中，有些數據是通過已知數據生成的。因此，新生成的數據與原數據間就有了內在的聯系，表現出序列相關性。

計量經濟學模型一旦出現序列相關性，如果仍采用OLS法估計模型參數，會產生下列不良后果：

二、序列相關性的后果1、參數估計量非有效

因為，在有效性證明中利用了

E(NN’)=

2I

即同方差性和互相獨立性條件。而且，在大樣本情況下，參數估計量雖然具有一致性，但仍然不具有漸近有效性。2、變量的顯著性檢驗失去意義

在變量的顯著性檢驗中，統計量是建立在參數方差正確估計基礎之上的，這只有當隨機誤差項具有同方差性和互相獨立性時才能成立。

其他檢驗也是如此。3、模型的預測失效

區間預測與參數估計量的方差有關，在方差有偏誤的情況下，使得預測估計不準確，預測精度降低。所以，當模型出現序列相關性時，它的預測功能失效。三、序列相關性的檢驗

然后，通過分析這些“近似估計量”之間的相關性，以判斷隨機誤差項是否具有序列相關性。

序列相關性檢驗方法有多種，但基本思路相同：

基本思路:

三、序列相關性的檢驗1、圖示法2、回歸檢驗法……

如果存在某一種函數形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在序列相關性。

回歸檢驗法的優點是：（1）能夠確定序列相關的形式，（2）適用于任何類型序列相關性問題的檢驗。3、杜賓-瓦森（Durbin-Watson）檢驗法

D-W檢驗是杜賓（J.Durbin）和瓦森(G.S.Watson)于1951年提出的一種檢驗序列自相關的方法，該方法的假定條件是：（1）解釋變量X非隨機；（2）隨機誤差項

i為一階自回歸形式：

i=i-1+i（3）回歸模型中不應含有滯后應變量作為解釋變量，即不應出現下列形式：

Yi=

0+1X1i+kXki+Yi-1+i（4）回歸含有截距項

該統計量的分布與出現在給定樣本中的X值有復雜的關系，因此其精確的分布很難得到。但是，他們成功地導出了臨界值的下限dL和上限dU

，且這些上下限只與樣本的容量n和解釋變量的個數k有關，而與解釋變量X的取值無關。

杜賓和瓦森針對原假設：H0:=0，即不存在一階自回歸，構如下造統計量：

D.W.統計量:D.W檢驗步驟:（1）計算DW值（2）給定，由n和k的大小查DW分布表，得臨界值dL和dU（3）比較、判斷

若0<D.W.<dL

存在正自相關

dL<D.W.<dU

不能確定

dU<D.W.<4－dU

無自相關

4－dU<D.W.<4－dL

不能確定

4－dL<D.W.<4存在負自相關

0dLdU24-dU4-dL

正相關不能確定無自相關不能確定負相關

當D.W.值在2左右時，模型不存在一階自相關。

證明：展開D.W.統計量：

(*)如果存在完全一階正相關，即

=1，則D.W.0

完全一階負相關，即

=-1,則D.W.4

完全不相關，即

=0，則D.W.2這里，為一階自回歸模型

i=

i-1+

i的參數估計。4、拉格朗日乘數（Lagrangemultiplier）檢驗

拉格朗日乘數檢驗克服了DW檢驗的缺陷，適合于高階序列相關以及模型中存在滯后被解釋變量的情形。它是由布勞殊（Breusch）與戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也被稱為GB檢驗。

對于模型如果懷疑隨機擾動項存在p階序列相關：

GB檢驗可用來檢驗如下受約束回歸方程

約束條件為：

H0:

1=

2=…=

p=0約束條件H0為真時，大樣本下其中，n為樣本容量，R2為如下輔助回歸的可決系數：

給定

，查臨界值

2(p)，與LM值比較，做出判斷，實際檢驗中，可從1階、2階、…逐次向更高階檢驗。

如果模型被檢驗證明存在序列相關性，則需要發展新的方法估計模型。

最常用的方法是廣義最小二乘法（GLS:Generalizedleastsquares）和廣義差分法(GeneralizedDifference)。四、序列相關的補救

1、廣義最小二乘法

對于模型

Y=X

+

如果存在序列相關，同時存在異方差，即有

是一對稱正定矩陣，存在一可逆矩陣D，使得

=DD’變換原模型：

D-1Y=D-1X

+D-1

即

Y*=X*

+

*(*)(*)式的OLS估計：

這就是原模型的廣義最小二乘估計量(GLSestimators)，是無偏的、有效的估計量。

該模型具有同方差性和隨機誤差項互相獨立性：

如何得到矩陣

？

對

的形式進行特殊設定后，才可得到其估計值。

如設定隨機擾動項為一階序列相關形式

i=

i-1+

i則2、廣義差分法

廣義差分法是將原模型變換為滿足OLS法的差分模型，再進行OLS估計。如果原模型存在可以將原模型變換為:

該模型為廣義差分模型，不存在序列相關問題。可進行OLS估計。

注意：

廣義差分法就是上述廣義最小二乘法，但是卻損失了部分樣本觀測值。

如：一階序列相關的情況下,廣義差分是估計這相當于去掉第一行后左乘原模型Y=X

+

。即運用了GLS法，但第一次觀測值被排除了。

3、隨機誤差項相關系數的估計

應用廣義最小二乘法或廣義差分法，必須已知隨機誤差項的相關系數

1,

2,…,

L

。實際上，人們并不知道它們的具體數值，所以必須首先對它們進行估計。

常用的估計方法有：

科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法。杜賓（durbin）兩步法

（1）科克倫-奧科特迭代法。

以一元線性模型為例：首先，采用OLS法估計原模型

Yi=

0+

1Xi+

i得到的

的“近似估計值”，并以之作為觀測值使用OLS法估計下式

i=

1

i-1+

2

i-2+

L

i-L+

i求出

i新的“近擬估計值”，

并以之作為樣本觀測值，再次估計

i=

1

i-1+

2

i-2+

L

i-L+

i

類似地，可進行第三次、第四次迭代。

關于迭代的次數，可根據具體的問題來定。一般是事先給出一個精度，當相鄰兩次

1,

2,,

L的估計值之差小于這一精度時，迭代終止。實踐中，有時只要迭代兩次，就可得到較滿意的結果。兩次迭代過程也被稱為科克倫-奧科特兩步法。（2）杜賓（durbin）兩步法

該方法仍是先估計

1,

2,,

l，再對差分模型進行估計

第一步，變換差分模型為下列形式進行OLS估計，得各Yj（j=i-1,i-2,…,i-l)前的系數

1,

2,,

l的估計值五、案例：中國商品進口模型

經濟理論指出，商品進口主要由進口國的經濟發展水平，以及商品進口價格指數與國內價格指數對比因素決定的。由于無法取得中國商品進口價格指數，我們主要研究中國商品進口與國內生產總值的關系。（下表）。

1.通過OLS法建立如下中國商品進口方程：

（2.32）（20.12）

2.進行序列相關性檢驗。

DW檢驗

取

=5%，由于n=24，k=2(包含常數項)，查表得：

dl=