專題25含參數的“一元二次不等式”解法

根據二次項系數的符號分類

含參數的“一元二次不等式”解法|根據二次不等式所對應方程的根的大小分類

根據判別式的符號分類

【高考地位】

解含參一元二次不等式，常涉及對參數的分類討論以確定不等式的解，這是解含參一元二次不等式問

題的一個難點.在高考中各種題型多以選擇題、填空題等出現，其試題難度屬中高檔題.

類型一根據二次項系數的符號分類

萬能模板內容

使用場景參數在一元二次不等式的最高次項

解題模板第一步直接討論參數大于0、小于0或者等于0；

第二步分別求出其對應的不等式的解集；

第三步得出結論.

例1已知關于x的不等式依2—3x+2>0(aeR).

(1)若不等式ox?-3x+2>0的解集為｛x|x<l或x〉)｝,求a,6的值.

(2)求不等式ad—3x+2>5—ax(aeR)的解集

33

【答案】(1)a=l,b=2(2)①當。>0時，｛小〉一或％<-1｝②當一3vav0時，｛九一③

aa

當a=—3時，0④當a<—3時，｛乂―l<x<。｝⑤當a=0時，原不等式解集為卜,<—1｝

【解析】(D將x=l代入ax,—3x+2=0,則a=l,二不等式為/-34+2>0gp(x-lXx-2)>0

---不等式解集為｛乂x>2或x<1｝:6=2.

(2)第一步，直接討論參數大于0、小于0或者等于0：

不等式為ax1+(〃一3)x-3>0,BP(ax-3)(%+1)>0

第二步，分別求出其對應的不等式的解集：

當。=0時，原不等式的解集為上|%<—1｝；

當awO時，方程(ax—3)(x+l)=0的根為玉=。,々=—1；

a

所以當a〉0時，|x>—或x<-lj>；

3.3

②當一3vav0時，一<一1,??｛乂一

aa

a.

③當〃=—3時，一=—1,..0

a

④當。<—3時，->-1,?二｛耳一

aa

第三步，得出結論：

33

綜上所述，原不等式解集為①當〃〉0時，｛%卜>2或XV—1｝；②當—3vav0時，｛X—<%<—1｝

aa

③當a=—3時，0；④當a<—3時，｛x|—l<x<』｝；⑤當a=0時，原不等式解集為砧;<—1｝.

考點：一元二次不等式的解法.

【點評】(1)本題考察的是一元二次不等式和一元二次方程的關系，由題目所給條件知公2-3x+2=0的

兩根為％=1必=〃，旦a>0,根據根與系數的關系，即可求出a,6的值.(2)本題考察的是解含參一元

二次不.等式，根據題目所給條件和因式分解化為(依-3)(x+l)>0,然后通過對參數。進行分類討論，即

可求出不等式的解集.

【變式演練1】【湖北省黃岡市麻城市2020-2021學年模擬】已知二次函數f(x)=x1+2ax+2.

(1)若xe［l,5］時，不等式/(%)>3融恒成立，求實數。的取值范圍.

(2)解關于x的不等式(a+l)*+%>/(%)(其中aeR).

【答案】(1)a<2夜：(2)①當a=0時，不等式解集為(2,+8)；

②當a>0時，不等式解集為1—8,一：1°(2,+co)；

③當—；<a<0時，不等式解集為［2,—：］；

④當。=—1時，不等式解集為0;

2

⑤當”一；時，不等式解集為[Q].

【分析】

(1)不等式/(x)>3ox轉化為必―融+2>0,利用參數分離法得。<%+工，即+,再利

用基本不等式求函數的最小值即可.

(2)不等式(a+l)*+x>/(x),即(％—2)(以+1)>0,對。進行分類討論，由二次不等式的解法，

即可得到所求解集.

【詳解】

(1)不等式/(x)>3ax即為：x2-ax+2>Q^

rix2+22/2)

當XG1,5時，可變形為：a<^-^=x+-,即。<x+一.

XXIxJmin

又X+2N21=2&,當且僅當x=2,即X=0w[l,5]時，等號成立，...x+2=2、份，即。<20

二實數。的取值范圍是：a<2j5

(2)不等式(a+l)*+%>/(%),即(a+l)]?+x>x?+2依+2,

等價于ar?+(1-2a)x-2>0,即(x-2)(ar+l)>0,

①當a=0時，不等式整理為x—2>0,解得：%>2；

當awO時，方程(x—2)(ax+l)=0的兩根為：％=—：,x2=2

②當a>0時，可得—!<0<2,解不等式(x—2)(3:+1)>0得：%<--或%>2；

③當—；<a<0時，因為—L〉2,解不等式(x—2)(G:+1)>0得：2<x<—4；

④當。=—；時，因為一；2,不等式(x—2)(依+1)>0的解集為0；

⑤當a<—,時，因為—<2,解不等式(％—2)(tzx+1)>0得：—<x<2；

綜上所述，不等式的解集為:

①當a=0時，不等式解集為(2,轉)；

②當a>0時，不等式解集為1—8,—］D(2,+CO)；

③當—；<a<0時，不等式解集為［2,—：］；

④當a=—1時，不等式解集為0；

2

⑤當a<—；時，不等式解集為［Q］.

類型二根據二次不等式所對應方程的根的大小分類

萬能模板內容

使用場景一元二次不等式可因式分解類型

解題模板第一步將所給的一元二次不等式進行因式分解；

第二步比較兩根的大小關系并根據其大小進行分類討論；

第三步,得出結論.

例2解關于x的不等式以2—(a+l)x+l〉0(。為常數且a/0).

【答案】a<0時不等式的解集為(工,1)；0<。<1時不等式的解集為(—嗎1)1^^,+8)；。=1時不等式

aa

的解集為(-00,1)U(L+8)；a>l時不等式的解集為(-00,1)u(l,+oo)..

a

若。>1,0<,<1,不等式的解集為(―oo,1)U(l,+oo)

aa

試題分析：ax2-(^+l)x+1>0<?a(x——)(九一1)>0,先討論a<0時不等式的角軍集；當〃>0時，討論1

a

與的大小，即分〃=1,分別寫出不等式的解集即可.

a

【解析】第一步，將所給的一元二次不等式進行因式分解：

原不等式可化為a(x--)(%-1)>0

a

第二步，比較兩根的大小關系并根據其大小進行分類討論：

(1)a<0時，不等式的解集為(工,1)；

a

(2)。＞0時，若0＜。＜1,-＞1,不等式的解集為(—00,1)U(L,+00);

aa

若〃=1,不等式的解集為(—8,1)U(L+8)

若。＞1,0＜-＜1,不等式的解集為(—00,4)UQ,+00);

aa

第三步，得出結論：

。＜0時不等式的解集為(工,1)；0＜。＜1時不等式的解集為(_oo,i)u(工,+oo)；a=1時不等式的解集為

aa

(-oo,l)IJ(1,+8)；a＞l時不等式的解集為(-00,-)U(l,+oo)

a

若。＞1,0＜-＜1,不等式的解集為(―oo,L)U(l,+oo)

aa

考點：1.一元二次不等式的解法；2.含參不等式的解法.

【變式演練2】【北京市第八中學2019-2020學年高三下學期期末】設77/GR,不等式

加？-(3m+l)x+2(7篦+1)＞0的解集記為集合尸.

(1)若。=卜卜1＜尤＜2},求加的值；

(2)當加＞0時，求集合尸.

【答案】(1)m=(2)答案見解析.

2

【分析】

(1)由題意可知，關于x的方程〃a2-(3相+1)1+2(機+1)=0的兩根分別為—1、2,利用韋達定理列

等式可求得實數加的值；

|1M/jI1

(2)解方程初d—(3m+l)x+2(m+l)=0可得x=——＞0或％=2,對——與2的大小進行分類討

mm

論，結合二次不等式的解法可求得集合尸.

【詳解】

(1)由題意可知，關于x的方程3；2—(3m+l)x+2(7篦+1)=0的兩根分別為—1、2,

3m+11

------=—1+2

所以，m^Q,由韋達定理可得《1、，解得根=一'

^「l=-lx22

m

(2)當相＞0時，由mx?—(3加+1)%+2(小+1)＞。可得(mx—相一1)(%—2)＞0,

VVl|

解方程(mx一小一1)(%一2)=0,可得x=---->0或％=2.

m

①當----<2時，即當機>1時，P=\xx<-----或x>2｝；

m[m

②當生±1=2時，即當m=1時，原不等式為2)2>0,則p=｛乂》/2｝；

H7+1

③當---->2時，即當0<加<1時,尸={%[%<2或x>

m

772+]

綜上所述，當時，P=\xx<-----或%>2｝；

m

當m=1時，則。=｛%,72｝；

m+1

當0<m<1時，P={x|x<2或x>

m

類型三根據判別式的符號分類

萬能模板內容

使用場景一般一元二次不等式類型

解題模板第一步首先求出不等式所對應方程的判別式；

第二步討論判別式大于0、小于0或等于0所對應的不等式的解集；

第三步得出結論.

例3設集合A={x|x?+3k242k(2x—1)},B-{x\x2—(2x~l)k+k2^0},且A^B,試求k的取值范圍.

【答案】左上0或一14左<0.

【解析】第一步，首先求出不等式所對應方程的判別式:

B中的不等式不能分解因式，故考慮判斷式A=4左2—4(左2+幻=—4k,

⑴當k=0時，A<0,xe7?.

(2)當k>0時，△<(),XGR.

(3)當k<0時，△>0,x〈左一J-4或iXNk+V—k.

第二步，討論判別式大于0、小于0或等于0所對應的不等式的解集：

故：當歸上0時，由B=R,顯然有

3k-]<上一J—k

當k<0時，為使AqB,需要<——nkN—1,于是kN—1時，AoB.

k+l>k+y/-k

A={x\[x-(3k-l)][x-(k+l)]>0},比較次一+1的大小，

因為(3Z—1)—(4+1)=2(左一1),

(1)當k>l時，3k—l>k+l,A={x|x23k—1或x〈左+1}.

⑵當k=l時，XGR.

⑶當k<l時，3k—l<k+l,A={x|x?左+1或x<3左+1}.

第三步，得出結論：

綜上所述，k的取值范圍是：左20或一14左<0.

【點評】解含參的一元二次不等式，可先分解因式，再討論求解，若不易分解，也可對△進行分類，或利

用二次函數圖像求解.對于二次項系數不含參數且不能因式分解時，則需對判別式△的符號分類.

【變式演練3】在區間(1,2)上,不等式---7加-4<0有解，則根的取值范圍為()

A.m>YB.m<—^C.m>—5D.m<—5

【答案】C

【解析】對于方程一x2一爾-4=0,A=m:-16,

當A40即-4S刑44時，二次函數卜=-1一射一4與x軸無交點，又函數圖像開口向下，那么不等式

一/一的一4<0解為實數解K；

當A20即加<-4或桁>4時，二次函數=與x軸有兩個交點，記再二加一變,

—2

巧=竺孚，若在區間(L2)上不等式一小一的-4<0無解，則有[項解得泄4-5,從而知若在區

-2[x2<2

間(L2)上不等式一丁一亡-4<0有解則刑>一5；則-44泄44或冽>一5得刑>-5.從而選C.

考點：一元二次不等式定區間定軸問題.

【變式演練4H2020湖北襄陽四中高三六月全真模擬一數學(文)試卷】若存在xG[-2,3],使不等式2%-

x2>a成立，則實數a的取值范圍是()

A.(—8,1]B.(—8,-8]C.[1,+8)D.[-8,+8)

【答案】A

【解析】

試題分析：設/(久)=2比—/=—1)2+1w1,因為存在xe[-23],使不等式2支—/>a成立，可知

a?f(x)二,所以aSl,故選A.

【高考再現】

1.12015高考江蘇，71不等式2,f<4的解集為.

【答案】(-1,2).

【解析】由題意得：無2一天<2n_1<》<2,解集為(T2).

【考點定位】解指數不等式與一元二次不等式

【名師點晴】指數不等式按指數與1的大小判斷其單調性，決定其不等號是否變號；對于一元二次方程

。/+/^+。=0(。〉0)的解集，先研究八=/一.,按照△>(),A=0,,△<0三種情況分別處理，

具體可結合二次函數圖像直觀寫出解集.

2.[2012年福建卷】已知關于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，則實數a的取值范圍是.

【答案】(0,8)

【解析】試題分析：因為不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立.

.*.△=(-a)2-8a<0,解得0Va<8

故答案為：(0,8)

考點：一元二次不等式的應用，以及恒成立問題

3.12015高考廣東，文11][2008年高考廣東卷理科數學試題】已知aeR,若關于x的方程

x2+x+a---1■同=0有實根，則a的取值范圍是______________o

411

【答案】0,-

_4

【解析】本題考查二次方程有關知識與絕對值不等式知識的綜合應用；由于關于元的二次方程有實根，那么

(]、1；|+問<|2"；,從而2”；<工，解得。

A=l-4a——+|。|N0即a——+V—，而a—

411411444

4.12015高考上海，文16】下列不等式中，與不等式，八°—<2解集相同的是().

%-+2x+3

A.(x+8)(x2+2x+3)<2B,x+8<2(x2+2x+3)

12%?+2x+31

C.----------<-----D.---------->——

x+2x+3x+8x+82

【答案】B

【解析】因為X2+2x+3=(x+1)2+2“>o,X+8可能是正數、負數或零,所以由x+8<2(x2+2x+3)

可得，*8、<2,所以不等式二<2解集相同的是x+8<2(V+2x+3)，選B.

X2+2x+3X2+2X+3

【考點定位】同解不等式的判斷.

【名師點睛】求解本題的關鍵是判斷出必+2%+3=(%+1)2+222〉0.本題也可以解出各個不等式，再

比較解集.此法計算量較大.

【反饋練習】

1.【浙江省嘉興市2020屆高三模擬】已知函數f(x)=/+a%+b,集合2={x|f(x)W0},集合B=

{x|/(/(x))W》，若A=B40,則實數a的取值范圍是()

A.[V5,5]B.[-1,5]C.[V5,3]D.[-1,3]

【答案】A

【解析】設B={%|/(f(x))<={x\m</(%)<n],(巾,兀為f(x)=的勺兩根)，因為A=BH0,所以n=0

且mW/ininOO，A-a2-4b>0,于是/'(幾)=f(0)=J，b=J,A-a2—5>0QaW—有或。2遍，

44

令t=f(x),/(/■(%))<|^>/(t)<|^>t2+at+|<j^-a<t<o,即B={x|f(f(%))W}={x|mW

/(%)<n]={x|-a<f(x)<0]=>m=一a,所以一a<篩也⑺，即一a</(-1)=>ae[-1,5],即ae[V5,5],

故選A.

點睛：本題考查二次函數的性質，考查函數的值域，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題；設集合

B={x|/(/(%))<^}=[x\m</(x)<n],根據一元二次不等式的解與一元二次方程根的關系結合4=B手

0,得出b和??1=-a,即可求出實數a的取值范圍.

2.【湖北省龍泉中學、荊州中學、宜昌一中2020-2021學年高三上學期9月聯考】設p：實數x滿足

x2-(a+l)x+?<0(0<a<5),q：實數x滿足lnx<2,則p是g的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

分類討論求出集合A,結合充分性、必要性的定義進行求解即可

【詳解】

本題考查充分必要條件，不等式的解法，考查運算求解能力，邏輯推理能力.

A=1x|x2—(?+l)x+a<0|=<0},

當0<a<1時，A=[a,l]；

當a=1時，A={1}；

當l<a<5,A-\\,a\,

B=|x|lnx<2}=1x|0<x<e21,

因為AB,所以p是q的充分不必要條件.

故選：A

3.【河南省2020屆高三6月聯考全國1卷階段性測試】關于x的不等式(x-a)(x-3)>0成立的一個充分

不必要條件是則。的取值范圍是()

A.a<—1B.a<0C.a>2D.a>\

【答案】D

【分析】

由題意可知，(-1,1)是不等式(X—a)(x—3)>0解集的一個真子集，然后對。與3的大小關系進行分類討

論，求得不等式的解集，利用集合的包含關系可求得實數。的取值范圍.

【詳解】

由題可知(-1,1)是不等式(x—a)(x—3)>0的解集的一個真子集.

當a=3時，不等式(1—。)(》—3)>0的解集為3"3},此時(—1,1){巾73}；

當a>3時，不等式(x—a)(x—3)>0的解集為(―8,3)u(a,s),

??1(-1,1)(f,3),合乎題意；

當”3時，不等式(x—a)(x—3)>0的解集為(―8,a)u(3,y),

由題意可得(—1,1)(—8,。)，此時lWa<3.

綜上所述，a>l.

故選：D.

4.【吉林省長春市普通高中2020屆高三質量監測】若關于％的方程(In%-ax)lnx=M存在三個不等實根,

則實數Q的取值范圍是

A.(一8己一十)B.(*一十，°)C.(一8*—？)D.-e,0)

【答案】C

【解析】原方程可化為(手)2-詈-1=0,

令則/—

t=—X,at—1=0.

設丫=岑，則得，

當OV%<e時，y'>0,函數單調遞增；當工〉e時，y'<0,函數單調遞減.

故當％=e時，函數有極大值，也為最大值，且ymax=j-

,關于久的方程(In%-ax)lnx=/存在三個不等實根，

；?方程/—at—1=。有兩個根，且一正一負，且正根在區間(03)內.

令g(t)=t2—at—1=0,

(9(0)=-1<01

則有［八、1a1、八，解得a<—e.

(叱)=7_:1>0。

實數a的取值范圍是(一8,9—e).選C.

點睛：

解答本題時，根據所給函數的特征并利用換元的方法將問題化為方程根的問題處理，然后結合二次方程根

的分布情況再轉化成不等式的問題解決.對于本題中的t2-at-1=0根的情況，還要根據數形結合根據兩

函數圖象交點的個數來判斷.

5.[2020浙江省高三五校聯考】若"0<x<1”是“(x-a)[x-(a+2)]<0"的充分而不必要條件，則實數a

的取值范圍是()

A.[—1,0]B.(—1,0)

C.(—co,0]U[l,+oo)D.(-00,-1)U(0,+oo)

【答案】A

【解析】試題分析：依題意0<x<1=aWxWa+2,.,/f-1<a<0.

la+2>1

考點：充分必要條件.

6.【2020屆山東省兗州市上學期期中】不等式加+法+2>0的解集是(-巳彳)，則a+6的值是()

A.10B.-10C.-14D.14

【答案】C

【解析】

11

試題分析：根據題意，由于不等式ax2+bx+2>0的解集是(-/),那么說明了2*3是ax2+bx+2=0

11211b>e

----x—=—:_a=—12,——H—=一二-b=T

的兩個根，然后利用韋達定理可知23a23a則a+b的值是一14,故選

C.

考點：一元二次不等式的解集

點評：主要是考查了二次不等式的解集的運用，屬于基礎題。

7.設常數awR,集合A={x|(x-l)(x-q)>0},B={x[%<a-1},若AD3=A,則0的取值范圍為()

A.(-oo,l)B.(-oo,2)C.(-0°,2]D.[2,+oo)

【來源】專題06等式與不等式-【備戰高考】2021年高三數學高考復習刷題寶典(單項選擇專練)

【答案】B

【分析】

根據題意先簡化A,對參數。進行分類討論，分別求出當?=1,。<1時的集合4根據=

分別求出a的取值范圍，綜合即可得答案.

【詳解】

集合A={%|(x—l)(x—Q)>o},3={小《。—1},由Au5=A,可知B=A

當a>l時，A=[x\x>a^x<l],-.BoA,

?)AC>

a-11口

結合數軸知：Q-lvl,解得〃<2,即得1<”2；

當a=l時，A={x\x^l},B={x\x<0}f滿足50A,故a=l符合;

當〃<1時，A={x\x>X^x<a},-.BoA,

■*

a-\01

結合數軸知：a-\<a,解得aeR,即得a<l

由①②③知a<2.

故選：B.

【點睛】

關鍵點睛：本題考查利用由集合關系求參數，解題的關鍵是由Au3=A推出B=A,結合數軸得到關于a

的不等式，考查了學生的邏輯推理與分類討論思想，屬于基礎題.

x"—2x—8>0

8.已知關于x的不等式組僅有一個整數解，貝必的取值范圍為（)

2x2+(2左+7)尤+7%<0

A.（-5,3）u（4,5）B.[-5,3）u（4,5]C.（-5,3]u[4,5）D.[-5,3]u[4,5]

【來源】專題01集合與常用邏輯用語-【備戰高考】2021年高三數學高考復習刷題寶典（單項選擇專練）

【答案】B

【分析】

解不等式f—2x-8>0,得x>4或％<-2,再分類討論不等式2/+（2左+7）x+7上<0的解集，結合集合關

系求得參數左的取值范圍.

【詳解】

解不等式/_2尤-8>0,得x>4或x<-2

/7

解方程2/+(2左+7)%+7々=0,得玉二-/,x2=-k

77

(1)當k/,即一左〈一,時,不等式lx2+(2k+7)x+7左<0的解為：-k<X<-l

222

d—2x—8>0

此時不等式組的解集為

2%2+Qk+7)x+7左<0

若不等式組的解集中僅有一個整數，則-5W-即4<人45；

77

(2)當斤<],即一女>—萬時，不等式2丁+(2左+7)%+7左<0的解為:-l<x<-k

2

無~—2x—8>0

此時不等式組的解集為

2》2+(2%+7)尤+7左<0

若不等式組的解集中僅有一個整數，則-3<-左45,即-5V左<3；

綜上，可知上的取值范圍為[-5,3)"4,5]

故選：B

【點睛】

關鍵點睛：本題考查利用不等式組的解集情況求參數的范圍，解題的關鍵是解一元二次不等式及分類討論

解含參數的一元二次不等式，再利用集合關系求參數，考查學生的分類討論思想與運算求解能力，屬于中

檔題.

9.若a<0,則關于x的不等式(依-1)(%-2)>。的解集為()

x2<x<—B.x—<x<2

aa

C.{%[%<—或%>2}D.{%|x<2或無>—}

aa

【來源】湖南省跨地區普通高等學校對口招生2021屆高三下學期3月二輪聯考數學試題

【答案】B

【分析】

結合含參一元二次不等式的解法即可.

【詳解】

解：方程(女-l)(x-2)=0的兩個根為x=2和x

a

因為。<0,所以!<2,

a

故不等式(依-1)(*-2)>0的解集為卜

故選：B.

10.已知不等式分2+旅+2>0的解集為{x[T<*<2},則不等式2元2+樂+4<0的解集為()

A.{x\-l<x<-^]\B.{x|尤<-1或x>；}C.{R-2Vx<1}D,{x|x<-2或x>l}

【來源】預測08不等式-【臨門一腳】2021年高考數學三輪沖刺過關(新高考專用)【名師堂】

【答案】A

【分析】

根據不等式分2+法+2>0的解集求出。乃，代入不等式2/+for+a<0中，化簡求出不等式的解集.

【詳解】

???不等式?2+Z?x+2>0的解集為{xT<x<2},

h2

二.以2+/%+2=0的兩根為—1,2,且avO,即-1+2=,(—1)x2=—,解得〃=—1,b=l,

?aa

則不等式可化為21+x-1<O,解得-1<x<；,則不等式2Y+法+0的解集為{.x|-1<x<g}.

故選:A

11.設p:2/—3X+1W0,4：爐-(20+1)》+°(°+1),,0,若F的必要不充分條件是則實數。的取值范圍

是()

A.0,|B.]o,；C.(-co,0)up+co^jD.(-co,0)u[g,+<?)

【來源】2021年秋季高三數學(理)開學摸底考試卷03

【答案】A

【分析】

首先解出命題P中不等式的解集，由r的必要不充分條件的逆否命題可得。的取值范圍.

【詳解】

p:2/—3X+1V0,解得;4x41,

q:a<x<a+l,

若r的必要不充分條件是刃,則q是p的必要不充分條件，

L<1

即-2且等號不能同時成立,

\<a+\

解得：.

故選：A.

【點睛】

結論點睛：本題考查根據必要不充分條件求參數，一般可根據如下規則判斷：

(1)若〃是q的必要不充分條件，則q對應集合是。對應集合的真子集；

(2)。是4的充分不必要條件，則”對應集合是q對應集合的真子集；

(3)。是q的充分必要條件，則。對應集合與q對應集合相等；

(4)P是4的既不充分又不必要條件，q對的集合與。對應集合互不包含.

12.(多選)對于給定的實數4，關于實數X的一元二次不等式。(x-a)(x+l)>0的解集可能為()

A.0B.C.(a,-1)D.(―oo,—1)U(a，+°°)

【來源】黃金卷06-【贏在高考?黃金20卷】備戰2021年高考數學全真模擬卷(江蘇專用)

【答案】ABCD

【分析】

首先討論。=。，。>。，々<。，三種情況討論不等式的形式，再討論對應方程兩根大小，討論不等式的解集.

【詳解】

對于一元二次不等式。(丈-。)卜+1)>0,則°片0

當a>0時，函數y=a(x-a)(x+l)開口向上，與天軸的交點為,

故不等式的解集為xe(f,T)U(a,笆)；

當a<0時，函數y=a(x-a)(x+l)開口向下，

若。=-1,不等式解集為0；

若-l<a<0,不等式的解集為，

若"-1,不等式的解集為(。,-1),

綜上，ABCD都成立，

故選：ABCD

【點睛】

本題考查含參的一元二次不等式的解法，屬于中檔題型，本題的關鍵是討論。的取值范圍時，要討論全面.

13.【天津市十二校2020屆高三二模聯考】已知a>b,二次三項式a/+4%+Z?>0對于一切實數久恒成立，

又三乂0eR,使ax。？+4*o+b=0成立，則“十;的最小值為__________.

uuua_b

【答案】4V2

2

【解析】分析：x+4x+b>0對于一切實數萬恒成立，可得ab>4；再由三通eR,使axj+4x0+b=0成

立，可得防<4,所以可得ab=4,Y可化為《學，平方后換元，利用基本不等式可得結果.

a-ba——

詳解：??,已知a>b,二次三項式a/+4x+h>0對于一切實數久恒成立,

a>0,且/=16—4ab<0,??.ab>4；

再由GR,使a&2+4%o+b=0成立,

可得4=16—4ab>0,ab<4,

M64

令a2+=t>8,-=(t-8)+16+—>16+16=32

a乙

(當t=16時，等號成立)，所以，(號Y的最小值為32,

\a-b7

故老乎的最小值為原=4V2,故答案為4&.

a-b

點睛：本題主要考查一元二次不等式恒成立問題以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求

最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數是否為正；二定是，

其次要看和或積是否為定值(和定積最大，積定和最小)；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立(主要

注意兩點，一是相等時參數否在定義域內，二是多次用2或W時等號能否同時成立).

14.【江西省吉安市安福二中、吉安縣三中2020-2021學年10月聯考】已知函數

/(x)-x~~(a+2)x+2a(aeR).

(1)求不等式/(x)<0的解集；

(2)若當xeR時，/(x)2-4恒成立，求實數”的取值范圍.

【答案】⑴見解析；⑵?e[-2,6]

【分析】

(1)不等式/(%)<。可化為：(x—2)(x—a)<。，比較a與2的大小，進而求出解集.

(2)4恒成立即r2—(a+2)x+2a+420恒成立，則A=(a+2)2—4(2a+4)<0,進而求得答

案.

【詳解】

解：(1)不等式/。)<。可化為：(x—2)(x—a)<0,

①當a=2時，不等/(x)<0無解；

②當a>2時，不等式/(x)<0的解集為｛x[2<x<a｝；

③當a<2時，不等式/(%)<0的解集為｛x\a<x<2｝.

(2)由/(x)2—4可化為：/―(a+2)x+2a+420,

必有：A=(a+2)2—4(2a+4)<0,化為6―4a—1240，

解得：aG[—2,6].

15.【江蘇省無錫市青山高級中學2020-2021學年上學期期中】已知函數/■(￡)=/+bx+c(b,ceR),

且/(x)W0的解集為[-1,2]

(1)求函數/(%)的解析式；

(2)解關于x的不等式時(x)>2(x—m—1),其中,心0

【答案】⑴/(X)=X2-X-2；⑵根=0時，0<加<2時，(一雙1)。1'，+°°]；片2時，

(―co,l)u(l,+co)；根〉2時，[一雙一]u(l,+力)

【分析】

—1+2=—b

(1)由題意可知，-L2是方程/+法+c=。的兩個根，然后利用根與系數的關系可得《，從

-1x2=c

而可求出仇c的值，進而可得函數的解析式；

(2)由(1)可得“td-〃〃+2)x+2〉0,然后分機=0,0<m<2,m=2,m>2四種情況解不等式

即可

【詳解】

解：⑴因為〃力<0的解集為[一1，2],

—1+2=—b

所以—1,2是方程f+陵+°=。的兩個根，所以《,解得人=-l,c=-2,

-lx2=c

所以/(x)=*—x—2；

(2)由(1)可得鞏/一1一2)>2(%一加一1),BPmx2-(m+2)x+2>0,

當根=0時，—2x+2>0,解得x<l,

當相。0時，不等式加/一(加+2)%+2>0可化為(1—1)(如-2)>。，

22

①當一>1,即0<加<2時，解得x<1或%>一，

mm

2

②當一二1,即%=2時，解得元W1,

m

22

③當一<1,即機>2時，解得%<—或%>1,

mm

綜上，根=0時，不等式的解集為(—8,1)；0<加<2時，不等式的解集為(-雙1)。]\，+，|；根=2時，

不等式的解集為(f)，l)u(l，+8)；m>2時，不等式的解集為[一8，\]。(1，+”)

16.【上海市實驗學校2020-2021學年上學期期中】設關于x的不等式——(2。+1)%+(。+2)(。—1)>0和

(x-fl2)(x-G)<0的解集分別為A和瓦

(1)求集合A；

(2)是否存在實數a,使得AU3=R?如果存在，求出。的值，如果不存在，請說明理由；

(3)若AcNw。，求實數。的取值范圍.

【答案】(1)A=｛x[x>a+2或x<a—l｝；(2)不存在；理由見解析；(3)0<a<l.

【分析】

(1)解一元二次不等式能求出集合A.

(2)由A|jB=R，根據8=｛a[a<x</｝和2=俗|片<》<4｝分類討論，得到不存在實數。，使得AUB=R-

(3)由40|3片0,根據2=｛a[a<x</｝和2=｛口/<尤<磯分類討論，能求出實數a的取值范圍.

【詳解】

解：(1)不等式％2一(20+1)%+(0+2)(4—1)>0可化為[*一(。+2)][*-(°-1)]>0,

解得x<a—1或x〉a+2,所以不等式的解集為4=｛》1%<。一1或x>a+2｝；

(2)當a=0時，不等式(x-/)(x-a)<0化為了2<。，此時不等式無解，

當a<0時，a2>a>不等式(x-a2)(x-a)<0的解集為｛x[a<x<a2｝,

當0<Q<1時，a2<a不等式(元一。2)(工一〃)<0的解集為｛x[〃2<%<〃｝,

當a=l時，a2=a，不等式(％-