2025屆河北省正定縣一中高一數學第二學期期末學業質量監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某學校高一、高二、高三年級的學生人數分別為、、人，該校為了了解本校學生視力情況，現用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為的樣本，則應從高三年級抽取的學生人數為（）A． B． C． D．2．若三棱錐中，，，，且，，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．一個正四棱錐的底面邊長為2，高為，則該正四棱錐的全面積為A．8 B．12 C．16 D．204．袋中有個大小相同的小球，其中個白球，個紅球，個黑球，現在從中任意取一個，則取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為（）A． B． C． D．5．在中，、、分別是角、、的對邊，若，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形6．對于函數f(x)=2sinxcosx，下列選項中正確的是()A．f(x)在（，）上是遞增的 B．f(x)的圖象關于原點對稱C．f(x)的最小正周期為 D．f(x)的最大值為27．已知是等差數列，其中，，則公差()A． B． C． D．8．已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了了解該地區中小學生的近視形成原因，按學段用分層抽樣的方法抽取該地區的學生進行調查，則樣本容量和抽取的初中生中近視人數分別為（）A．， B．， C．， D．，9．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的個數為①若，，則②若，則③若，則④若，則A．1 B．2 C．3 D．410．若，則下列正確的是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知一個鐵球的體積為，則該鐵球的表面積為________.12．弧度制是數學上一種度量角的單位制，數學家歐拉在他的著作《無窮小分析概論》中提出把圓的半徑作為弧長的度量單位.已知一個扇形的弧長等于其半徑長，則該扇形圓心角的弧度數是__________．13．等比數列中前n項和為，且，，，則項數n為____________．14．設滿足不等式組，則的最小值為_____.15．已知，則的最小值為_______．16．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是以原點O為圓心的單位圓上的兩點，∠P1OP2＝θ(θ為鈍角)．若，則x1x2＋y1y2的值為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，是等邊三角形，為的中點，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，能否在棱上找到一點，使平面平面?若存在，求的長.18．已知，且，向量，.（1）求函數的解析式，并求當時，的單調遞增區間；（2）當時，的最大值為5，求的值；（3）當時，若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.19．已知直線和．（1）若與互相垂直，求實數的值；（2）若與互相平行，求與與間的距離，20．某車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此做了四次試驗，得到的數據如表所示：零件的個數個2345加工的時間2.5344.51求出y關于x的線性回歸方程；2試預測加工10個零件需要多少時間？21．已知正方形的中心為,一條邊所在直線的方程是.(1)求該正方形中與直線平行的另一邊所在直線的方程;(2)求該正方形中與直線垂直的一邊所在直線的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

設從高三年級抽取的學生人數為，根據總體中和樣本中高三年級所占的比例相等列等式求出的值.【詳解】設從高三年級抽取的學生人數為，由題意可得，解得，因此，應從高三年級抽取的學生人數為，故選：C.【點睛】本題考查分層抽樣中的相關計算，解題時要利用總體中每層的抽樣比例相等或者總體或樣本中每層的所占的比相等來列等式求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.2、B【解析】

將棱錐補成長方體，根據長方體的外接球的求解方法法得到結果.【詳解】根據題意得到棱錐的三條側棱兩兩垂直，可以以三條側棱為長方體的楞，該三棱錐補成長方體，兩者的外接球是同一個，外接球的球心是長方體的體對角線的中點處。設球的半徑為R，則表面積為故答案為：B.【點睛】本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準關系，得到結果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應確定球心的位置，借助于外接球的性質，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線（這兩個多邊形需有公共點），這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑，例：三條側棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球.3、B【解析】

先求側面三角形的斜高，再求該正四棱錐的全面積.【詳解】由題得側面三角形的斜高為，所以該四棱錐的全面積為.故選B【點睛】本題主要考查幾何體的邊長的計算和全面積的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4、D【解析】

利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】從袋中個球中任取一個球，取出的球恰好是一個紅色或黑色小球的基本事件數為，因此，取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為，故選D.【點睛】本題考查古典概型概率的計算，解題時要確定出全部基本事件數和所求事件所包含的基本事件數，并利用古典概型的概率公式進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.5、A【解析】

由正弦定理和，可得，在利用三角恒等變換的公式，化簡得，即可求解.【詳解】在中，由正弦定理，由，可得，又由，則，即，即，解得，所以為等腰三角形，故選A.【點睛】本題主要考查了正弦定理的應用，以及三角形形狀的判定，其中解答中熟練應用正弦定理的邊角互化，合理利用三角恒等變換的公式化簡是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、B【解析】

解:,是周期為的奇函數,

對于A,在上是遞減的,錯誤;

對于B,是奇函數,圖象關于原點對稱,正確;

對于C,是周期為,錯誤;

對于D,的最大值為1,錯誤;

所以B選項是正確的.7、D【解析】

根據等差數列通項公式即可構造方程求得結果.【詳解】故選：【點睛】本題考查等差數列基本量的計算，關鍵是熟練應用等差數列通項公式，屬于基礎題.8、A【解析】

根據分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論?！驹斀狻坑蓤D1得樣本容量為，抽取的初中生人數為人，則初中生近視人數為人，故選．【點睛】本題主要考查分層抽樣的應用。9、A【解析】

根據面面垂直的定義判斷①③錯誤，由面面平行的性質判斷②錯誤，由線面垂直性質、面面垂直的判定定理判定④正確．【詳解】如圖正方體，平面是平面，平面是平面，但兩直線與不垂直，①錯；平面是平面，平面是平面，但兩直線與不平行，②錯；直線是直線，直線是直線，滿足，但平面與平面不垂直，③錯；由得，∵，過作平面與平面交于直線，則，于是，∴，④正確．∴只有一個命題正確．故選A．【點睛】本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關系．對一個命題不正確，可只舉一例說明即可．對正確的命題一般需要證明．10、D【解析】

由不等式的性質對四個選項逐一判斷，即可得出正確選項，錯誤的選項可以采用特值法進行排除．【詳解】A選項不正確，因為若，，則不成立；B選項不正確，若時就不成立；C選項不正確，同B，時就不成立；D選項正確，因為不等式的兩邊加上或者減去同一個數，不等號的方向不變，故選D．【點睛】本題主要考查不等關系和不等式的基本性質，求解的關鍵是熟練掌握不等式的運算性質．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

通過球的體積求出球的半徑，然后求出球的表面積.【詳解】球的體積為球的半徑球的表面積為：故答案為：【點睛】本題考查球的表面積與體積的求法，考查計算能力，屬于基礎題.12、1【解析】設扇形的弧長和半徑長為，由弧度制的定義可得，該扇形圓心角的弧度數是.13、6【解析】

利用等比數列求和公式求得，再利用通項公式求解n即可【詳解】，代入，，得，又，得．故答案為：6【點睛】本題考查等比數列的通項公式及求和公式的基本量計算，熟記公式準確計算是關鍵，是基礎題14、-6【解析】作出可行域，如圖內部（含邊界），作直線，當向下平移時，減小，因此當過點時，為最小值．15、【解析】

運用基本不等式求出結果.【詳解】因為，所以，，所以，所以最小值為【點睛】本題考查了基本不等式的運用求最小值，需要滿足一正二定三相等.16、－【解析】

先利用平面向量數量積的定義和坐標運算得到，再利用兩角和的正弦公式和平方關系進行求解.【詳解】根據題意知，又P1，P2在單位圓上，，即x1x2＋y1y2＝cosθ；∵①又sin2θ＋cos2θ＝1②且θ為鈍角，聯立①②求得cosθ＝－.【點睛】本題主要考查平面向量的數量積定義和坐標運算、兩角和的正弦公式，意在考查學生的邏輯思維能力和基本運算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）連接,根據三角形性質可得,由底面菱形的線段角度關系可證明,即證明平面,從而證明.（Ⅱ）易證平面平面,連接交于點,過作交于,即可證明平面,在三角形【詳解】（Ⅰ）證明：連接,是等邊三角形,為的中點,所以；又底面是菱形,,所以,,所以平面,平面,所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,所以平面,又平面即平面平面平面平面,又,所以平面連接交于點,過作交于,如下圖所示:所以平面,又平面所以平面平面因為,所以,即在等邊三角形中,可得在菱形中,由余弦定理可得在中,可得所以【點睛】本題考查了直線與平面垂直的判定方法,平面與平面垂直的判定及性質的應用,余弦定理在解三角形中的用法,屬于中檔題.18、（1），單調增區間為；（2）或；（3）.【解析】試題分析：（Ⅰ）化簡，解不等式求得的范圍即得增區間（2）討論a的正負，確定最大值，求a；（3）化簡絕對值不等式，轉化在上恒成立，即，求出在上的最大值，最小值即得解.試題解析：（1）∵∴∴單調增區間為（2）當時，若，，∴若，，∴∴綜上，或.（3）在上恒成立，即在上恒成立，∴在上最大值2，最小值，∴∴的取值范圍.點睛:本題考查了平面向量的數量積的應用，三角函數的單調性與最值，三角函數的化簡，恒成立問題的處理及分類討論的數學思想，綜合性強.19、（1）（2）【解析】

(1)根據直線垂直的公式求解即可.(2)根據直線平行的公式求解,再利用平行線間的距離公式求解即可.【詳解】解（1）∵與互相垂直,∴,解得．（2）由與互相平行,∴,解得．直線化為：,∴與間的距離．【點睛】本題主要考查了直線平行與垂直以及平行線間的距離公式.屬于基礎題.20、（1）；（2）小時【解析】

（1）由已知數據求得與的值，則線性回歸方程可求；（2）在（1）中求得的回歸方程中，取求得值即可．【詳解】（1）由表中數據得：，，，，，，．（2）將代入回歸直線方程，（小時）．預測加工10個零件需要小時．【點睛】本題考查了回歸分析，解答此類問題的關鍵