專題11矩形的存在性問題一、知識導航矩形的判定：（1）有一個角是直角的平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形；（3）有三個角為直角的四邊形．【題型分析】矩形除了具有平行四邊形的性質之外，還有“對角線相等”或“內角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標系中的矩形滿足以下3個等式：（AC為對角線時）因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個．題型如下：（1）2個定點+1個半動點+1個全動點；（2）1個定點+3個半動點．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在構成矩形的4個點中任取3個點，必構成直角三角形，以此為出發點，可先確定其中3個點構造直角三角形，再確定第4個點．對“2定+1半動+1全動”尤其適用．二、典例精析引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標．【分析】點C滿足以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，構造“兩線一圓”可得滿足條件的點C有、、、在點C的基礎上，借助點的平移思路，可迅速得到點D的坐標．【小結】這種解決矩形存在性問題的方法相當于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點坐標，也是因為這兩個圖形之間的密切關系方能如此．思路2：先平行，再矩形當AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點坐標后，代入點坐標解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區別，能得到的都是三元一次方程組．已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在坐標系中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標．【分析】設C點坐標為（a，0），D點坐標為（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考慮平行四邊形存在性：（1）AB為對角線時，，滿足此條件的C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，另外AB=CD，得：，綜合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC為對角線時，，另外AC=BD，得，綜合以上可解得：．故C、D．（3）AD為對角線時，，另外AD=BC，得，綜合以上可解得：．故C、D．【小結】這個方法是在平行四邊形基礎上多加一個等式而已，剩下的都是計算的故事．三、中考真題演練1．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的表達式；(3)若點P是拋物線上的一個動點（點P不與頂點重合），點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N在坐標平面內，當四邊形是矩形鄰邊之比為時，請直接寫出點P的橫坐標．2．（2023·海南·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于A，兩點，交y軸于點．點P是拋物線上一動點．

(1)求該拋物線的函數表達式；(3)當動點P在直線上方時，在平面直角坐標系是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；3．（2023·內蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(3)如圖2，設點為拋物線對稱軸上一動點，當點，點運動時，在坐標軸上確定點，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點的坐標．4．（2022·遼寧丹東·中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C，點P是第一象限內拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點E，設點P的橫坐標為m．(1)求拋物線的表達式；(4)如圖3，連接CP，當四邊形OCPD是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點Q，使原點O關于直線CQ的對稱點O′恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點Q的坐標．5．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，經過點的直線AB與y軸交于點．經過原點O的拋物線交直線AB于點A，C，拋物線的頂點為D．(1)求拋物線的表達式；(3)P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內一點．是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．6．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線交y軸于點，并經過點，過點A作軸交拋物線于點B，拋物線的對稱軸為直線，D點的坐標為，連接，，.點E從A點出發，以每秒個單位長度的速度沿著射線運動，設點E的運動時間為m秒，過點E作于F，以為對角線作正方形．(1)求拋物線的解析式；(3)在運動的過程中，是否存在以B，G，C和平面內的另一點為頂點的四邊形是矩形，如果存在，直接寫出點G的坐標，如果不存在，請說明理由．7．（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于點，，與軸交于點，連接．(1)求此拋物線的解析式；(3)已知點是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．8.（2022·湖北隨州·中考真題）如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸分則點A和點，與y軸交于點