Page15遼寧省名校聯盟2023年高三12月份聯合考試數學本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．留意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．若復數為純虛數，則（）A．5 B． C．3 D．3．已知函數，則“在區間上單調遞增”的一個充分不必要條件為（）A． B． C． D．4．老張為熬煉身體，增加體質，安排從下個月1號起先慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距離相同．若老張準備用20天跑完98公里，則預料這20天中老張日跑步量超過5公里的天數為（）A．8 B．9 C．13 D．145．如圖①所示，圓錐繡球是虎耳草科繡球屬植物，在中國主要分布于西北、華東、華南、西南等地區，抗蟲害實力強，其花序碩大，類似于圓錐形，因此得名．現將某圓錐繡球近似看作如圖②所示的圓錐模型，已知，直線與圓錐底面所成角的余弦值為，則該圓錐的側面積為（）①②A． B． C． D．6．將函數的圖像向右平移個單位長度后得到函數的圖像，若函數在區間上單調遞增，則的最大值為（）A． B． C．1 D．37．已知直線與圓，過直線上的隨意一點作圓的切線，切點分別為，則的最大值為（）A． B． C． D．18．已知在正方體中，，點分別在棱和上，且，，，記平面與側面，底面的交線分別為，則（）A．的長度為 B．的長度為 C．的長度為 D．的長度為二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知正項等比數列的公比為，前項和為，，，則（）A． B． C．數列是遞減數列 D．10．已知函數，則（）A．為奇函數B．的單調遞增區間為C．的微小值為D．若關于的方程恰有3個不等的實根，則的取值范圍為11．已知正數滿意，則（）A． B． C． D．12．已知橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，離心率為，點在上，則（）A．若的面積為，則B．若直線的斜率之積為，則C．若，則以為直徑的圓與無交點D．若，則的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，，，若，則______．14．已知函數的定義域為，且的圖像是一條連綿不斷的曲線，則同時滿意下列三個條件的一個的解析式為______．①；②為奇函數；③在上單調遞減．15．已知在直三棱柱中，，，若直三棱柱存在內切球（與各面均相切）且該球的表面積為，則該直三棱柱的體積為______．16．已知拋物線的焦點為，直線過點且與交于兩點，且，與的面積之比為，其中為坐標原點，則______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知數列滿意，．（1）求證：為等比數列；（2）求數列的前項和．18．（12分）已知的內角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求的最大值．19．（12分）如圖，相距的之間是一條公路（可近似看作兩條平行直線），為了測量河對岸一點到公路一側的距離，小明在這一側東邊選擇了一點，作為測量的初始位置，其中與交于點，現從點動身沿著向西走到達點，測得，接著向西走到達點，其中與交于點，接著向西走到達點，測得．依據上述測量數據，完成下列問題．（1）求的值；（2）求的值．20．（12分）如圖，在四棱錐中，已知，底面是正方形，為棱的中點，，．（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值．21．（12分）已知雙曲線的左、右頂點分別為，點在上，且．（1）求的方程；（2）直線與交于兩點，記直線的斜率分別為，若，求的值．22．（12分）已知函數．（1）當時，求的極值；（2）若，求的值；（3）求證：．參考答案及解析一、選擇題1．C【解析】由題意得，，故．故選C項．2．A【解析】，故，解得．故選A項．3．D【解析】圖像的對稱軸為直線，若在區間上單調遞增，則，解得，所以“”是“”的充分不必要條件．故選D項．4．B【解析】由題意得這20天日跑步量為等差數列，記為，設公差為，則，解得，所以．由，得，所以，所以老張日跑步量超過5公里的天數為9天．故選B項．5．C【解析】設，則由題意得，解得，所以底面圓周長，故該圓錐的側面積．故選C項．6．B【解析】因為的圖像向右平移個單位長度后得到函數的圖像，所以．當時，，因為函數在區間上單調遞增，所以，解得，因此的最大值為．故選B項．7．D【解析】設，由題意得為銳角，因為圓的半徑，所以，，故當取最小值時，取最大值，明顯當時，最小，且，此時，此時，也取得最大值，最大值為．故選D項．8．A【解析】如圖，連接并延長交的延長線于，連接并延長交于點，交的延長線于點，連接，交于點，連接，則即為，即為．由，得，所以，，由，得，所以，所以，故C，D項錯誤；由，得，又易知，所以，所以，所以，故A項正確，B項錯誤．故選A項．二、選擇題9．AC【解析】由，得或（舍去），A項正確；因為，所以，B項錯誤；，隨著的增大而減小，故是遞減數列，C項正確；，D項錯誤．故選AC項．10．ACD【解析】對于A項，，所以，故A項正確；對于B項，，令可得或，令可得，所以的單調遞增區間為，故B項錯誤；對于C項，由，得，結合B項可知，是的微小值點，此時的微小值為，故C項正確；對于D項，令，得，如圖，在同始終角坐標系內作出的圖像與直線，當關于的方程恰有3個不等的實根時，，D項正確．故選ACD項．11．BC【解析】對于A項，由已知得，所以（當且僅當時取等號），A項錯誤；對于B項，由已知得，所以（當且僅當時取等號），B項正確；對于C項，由已知得，所以，即，所以（當且僅當時取等號），C項正確，D項錯誤．故選BC項．12．BCD【解析】由，得，所以，故A項錯誤；由題意得，所以，，故，故B項正確；若，則，，故C項正確；由，得，故D項正確．故選BCD項．三、填空題13．4【解析】依題意，，故，解得．14．（答案不唯一）【解析】由題意得滿意條件的一個的解析式為．15．【解析】依題意設內切球的半徑為，則，解得．設，則，由的內切圓半徑為2，得，所以，故該直三棱柱的體積．16．1【解析】由對稱性，不妨設分別在第一、四象限，直線的方程為，聯立整理得．設，，其中，則，，由與的面積之比為，可得，則，，則，得，則，解得．四、解答題17．（1）證明：由，得，又，所以是以1為首項，2為公比的等比數列．（2）解：由（1）知，故，則．設，，兩式相減得，所以，故．18．解：（1）由正弦定理得，因為，所以，所以，所以，所以．又，所以，所以，即．因為，所以．（2）由正弦定理得，其中為銳角，．因為，所以，所以的最大值為1，故的最大值為．19．解：（1）由圖可知，，，，，則，，，，故．（2）在中，由正弦定理得，即，解得，故．20．解：解法一：（1）因為四邊形為正方形，所以，且，所以，所以，所以．又，所以平面，因為平面，所以，即兩兩垂直．以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以．設平面的法向量為，則取，則，所以．設點到平面的距離為，則，即點到平面的距離為．（2）連接，則．由（1）得平面，平面，所以，又，所以平面，即為平面的一個法向量．設平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．解法二：（1）因為四邊形為正方形，所以，且，所以，所以，所以．又，，所以平面，因為平面，所以，又，所以平面．又平面，所以．因為為的中點，所以，又，所以平面．又平面，所以．易知，則，則．因為為的中點，則到平面的距離為到平面距離的一半，即1，設到平面的距離為，由，得，即，解得，即點到平面的距離為．（2）由（1）知，平面，因為平面，所以，即兩兩垂直．以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以．設平面的法向量為，則取，則，所以連接，則．因為平面，平面，所以，又，所以平面，即為平面的一個法向量．設平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．21．解：（1）由題意得，又，解得或（舍），所以，又點在上，所以，解得，故的方程為．（2）依題意，．設，聯立整理得，其中，，則且，，，所以，又，則，代入可得，解得或（舍去）．22．（1）解：當時，，當時，單