2022-2023學年河北省滄州市高一（下）期末數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知復數(shù)z滿足i?z＝4﹣2i，則|z|＝（）A． B． C．4 D．52．（5分）一組數(shù)據(jù)a，5，6，7，7，8，11，12的平均數(shù)為8，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A．6.5 B．7 C．7.5 D．83．（5分）已知向量，，若，則實數(shù)λ的值為（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣24．（5分）設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，下列結(jié)論：①若l⊥α，l⊥β，則α∥β；②若m⊥β，α⊥β，則m∥α；③若l∥β，l?α，則β∥α；④若α?β＝l，m∥l，則m至少與α，β中一個平行．則下列說法正確的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②③5．（5分）1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式：eix＝cosx+sinx（x∈R，i為虛數(shù)單位），這個公式在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”．根據(jù)此公式，可知＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i6．（5分）某圓臺的側(cè)面展開是一個半圓環(huán)（如圖所示），且其中內(nèi)、外半圓弧所在圓的半徑分別為2和6，則該圓臺的體積為（）A． B． C． D．7．（5分）甲班和乙班同學在體育課上進行拔河比賽，比賽采取三場兩勝制（當一個班獲得兩場勝利時，該班獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)每場比賽甲班獲勝的概率為，每場比賽結(jié)果互不影響，則甲班最終獲勝的概率為（）A． B． C． D．8．（5分）在△ABC中，AB＝2，cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PA＝1，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知z1，z2為復數(shù)，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若z1+z2∈R，則z1與z2的虛部相等 C．若z1z2＝0，則z1＝0或z2＝0 D．若，則z1＝z2＝0（多選）10．（5分）某校組織“校園安全”知識測試，隨機調(diào)查600名學生，將他們的測試成績（滿分100分）按照[50，60），[60，70），?，[90，100]分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A．圖中x＝0.1 B．估計樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)約為85 C．若每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點值為代表，則這600名學生成績的平均數(shù)約為79.5 D．若按各組人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽取30名成績低于80分的學生，則成績在[60，70）內(nèi)的學生應(yīng)抽取10人（多選）11．（5分）已知正方形ABCD的邊長為2，向量，滿足，，則（）A． B． C．在上的投影向量的模為 D．（多選）12．（5分）如圖，已知點P在圓柱O1O的底面圓O的圓周上，AB為圓O的直徑，A1A，B1B為圓柱的兩條母線，且A1A＝3，OA＝1，∠BOP＝60°，則（）A．PB⊥平面A1AP B．直線A1P與平面ABP所成的角的正切值為 C．直線A1P與直線AB所成的角的余弦值為 D．點A到平面A1BP的距離為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）如圖，一個水平放置的△ABO的斜二測畫法的直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若B′A′＝B′O′＝1，則原三角形ABO的面積為．14．（5分）甲、乙各自從“籃球”“足球”“排球”“游泳”“體操”5個社團中隨機選擇1個社團加入，且他們加入的社團不同，則他們加入的都是球類運動社團的概率是．15．（5分）在△ABC中，點D滿足，若線段BD上的一點P滿足，則y﹣x的取值范圍是．16．（5分）如今中國被譽為“基建狂魔”，可謂逢山開路，遇水架橋．高速公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一．建設(shè)過程中研制出的用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機等國之重器更是世界領(lǐng)先水平．如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球為正四面體的內(nèi)切球，小球與大球相切，同時與正四面體的三個面相切．設(shè)AB＝a，則該模型中5個球的表面積之和為．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）已知復數(shù)z＝m+（4﹣m2）i（m為正實數(shù)），且z+5i∈R．（1）求z；（2）若在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，求實數(shù)a的取值范圍．18．（12分）如圖所示，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，△ABF是等邊三角形，EF∥AD，且，M，N分別是AD，CB的中點．（1）證明：平面NMF∥平面ECD；（2）若平面ABF⊥平面ABCD，求四棱錐E﹣ABCD的體積．19．（12分）根據(jù)城市空氣質(zhì)量污染指數(shù)的分級標準，空氣污染指數(shù)（API）不大于100時，空氣質(zhì)量為優(yōu)良．某城市環(huán)境監(jiān)測部門從上個月的空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)中隨機抽取5天的空氣污染指數(shù)，所得數(shù)據(jù)分別為90，110，x，y，150，已知這5天的空氣污染指數(shù)的平均數(shù)為110．（1）若x＜y，從這5天中任選2天，求這2天空氣質(zhì)量均為優(yōu)良的概率；（2）若90＜x＜150，求這5天空氣污染指數(shù)的方差的最小值．20．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．21．（12分）為了保護一件珍貴文物，博物館需要用一個密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的幾何模型如圖，上部分是正四棱錐P﹣A1B1C1D1，下部分是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的倍．（1）若AB＝6dm，OO1＝5dm，求玻璃罩的容積是多少升（玻璃厚度不計）；（2）若PA1＝4dm，當PO1為多少時，下部分的正四棱柱側(cè)面積最大，最大側(cè)面積是多少？22．（12分）某大學為調(diào)研學生在A，B兩家餐廳用餐的滿意度，從在A，B兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了200人，分別對這兩家餐廳進行評分，滿分為60分．整理評分數(shù)據(jù)，將評分分成6組：[0，10），[10，20），?，[50，60]，得到A餐廳評分的頻率分布直方圖，以及B餐廳評分的頻數(shù)分布表如下：B餐廳評分的頻數(shù)分布表評分區(qū)間頻數(shù)[0，10）4[10，20）6[20，30）10[30，40）30[40，50）80[50，60]70根據(jù)學生對餐廳的評分定義學生對餐廳的“滿意度指數(shù)”如下：評分[0，30）[30，50）[50，60]滿意度指數(shù)123（1）在調(diào)查的200名學生中，求對A餐廳的滿意度指數(shù)為2的人數(shù)；（2）從該大學再隨機抽取1名在A，B餐廳都用過餐的學生進行調(diào)查，用樣本中不同的滿意度指數(shù)的頻率估計這名學生對應(yīng)的滿意度指數(shù)的概率，假設(shè)他對A，B餐廳的評分互不影響，求他對A餐廳的滿意度指數(shù)比對B餐廳的滿意度指數(shù)低的概率．

2022-2023學年河北省滄州市高一（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知復數(shù)z滿足i?z＝4﹣2i，則|z|＝（）A． B． C．4 D．5【分析】根據(jù)復數(shù)的運算律和復數(shù)的模的公式可得．【解答】解：，所以．故選：B．【點評】本題主要考查復數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）一組數(shù)據(jù)a，5，6，7，7，8，11，12的平均數(shù)為8，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A．6.5 B．7 C．7.5 D．8【分析】先由平均數(shù)可求出a＝8，再根據(jù)中位數(shù)的定義判定即可．【解答】解：由題意得，解得a＝8，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．故選：C．【點評】本題主要考查平均數(shù)公式，以及中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知向量，，若，則實數(shù)λ的值為（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【分析】首先求出，的坐標，再根據(jù)向量共線的坐標表示得到方程，解得即可．【解答】解：因為，，所以，，又，∴6×（λ+8）﹣（2λ+4）×6＝0，解得λ＝4．故選：A．【點評】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，下列結(jié)論：①若l⊥α，l⊥β，則α∥β；②若m⊥β，α⊥β，則m∥α；③若l∥β，l?α，則β∥α；④若α?β＝l，m∥l，則m至少與α，β中一個平行．則下列說法正確的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②③【分析】根據(jù)空間中的直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項判斷即可．【解答】解：對于①，垂直于同一條直線的兩個平面平行，所以①正確；對于②，若m⊥β，α⊥β，則m?α或m∥α，所以②錯誤；對于③，由l∥β，得β∥α或β與α相交，故③錯誤；對于④，α?β＝l，m∥l，則m至少與α，β中一個平行，故④正確．故選：C．【點評】本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題．5．（5分）1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式：eix＝cosx+sinx（x∈R，i為虛數(shù)單位），這個公式在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”．根據(jù)此公式，可知＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【分析】根據(jù)所給公式，變形整理化簡即可．【解答】解：由題意可知，．故選：A．【點評】本題主要考查復數(shù)的指數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）某圓臺的側(cè)面展開是一個半圓環(huán)（如圖所示），且其中內(nèi)、外半圓弧所在圓的半徑分別為2和6，則該圓臺的體積為（）A． B． C． D．【分析】利用圓臺的體積公式求解．【解答】解：設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，則，，所以r＝1，R＝3，且圓臺的母線長為6﹣2＝4，則圓臺的高為，所以圓臺的體積為．故選：B．【點評】本題主要考查圓臺的體積，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）甲班和乙班同學在體育課上進行拔河比賽，比賽采取三場兩勝制（當一個班獲得兩場勝利時，該班獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)每場比賽甲班獲勝的概率為，每場比賽結(jié)果互不影響，則甲班最終獲勝的概率為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意甲班最終獲勝分三種情況進行討論，進而求出結(jié)果．【解答】解：甲班最終獲勝有三種情況：①甲班前兩場獲勝；②甲班第1場和第3場獲勝，第2場輸；③甲班第1場輸，第2場和第3場獲勝．故甲班最終獲勝的概率為．故選：D．【點評】本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）在△ABC中，AB＝2，cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PA＝1，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)條件確定△ABC是等邊三角形，再建立坐標系，用坐標法求數(shù)量積的范圍．【解答】解：∵A，B，C∈（0，π），∴A﹣B∈（﹣π，π），B﹣C∈（﹣π，π），C﹣A∈（﹣π，π），可得cos（A﹣B）∈（﹣1，1]，cos（B﹣C）∈（﹣1，1]，cos（C﹣A）∈（﹣1，1]，若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，則cos（A﹣B）＝1，cos（B﹣C）＝1，cos（C﹣A）＝1，可得A﹣B＝0，B﹣C＝0，C﹣A＝0，所以A＝B＝C，所以△ABC是等邊三角形．建立如圖所示的平面直角坐標系，∵AB＝2，∴B（2，0），．由題意設(shè)P（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π），則，，∴＝．因為，所以．故選：C．【點評】本題考查平面向量與三角函數(shù)的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知z1，z2為復數(shù)，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若z1+z2∈R，則z1與z2的虛部相等 C．若z1z2＝0，則z1＝0或z2＝0 D．若，則z1＝z2＝0【分析】對于A，B可直接利用復數(shù)的性質(zhì)進行判斷；對于C，通過取模運算即可判定；對于D，取特殊值可判定．【解答】解：對于A，若，則z1和z2互為共軛復數(shù)，所以，故A正確；對于B，若z1+z2∈R，則z1與z2的虛部互為相反數(shù)，故B錯誤；對于C，若z1z2＝0，則|z1z2|＝|z1|?|z2|＝0，所以|z1|＝0或|z2|＝0，可得z1＝0或z2＝0，故C正確；對于D，取z1＝1，z2＝i，可得，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題主要考查復數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）某校組織“校園安全”知識測試，隨機調(diào)查600名學生，將他們的測試成績（滿分100分）按照[50，60），[60，70），?，[90，100]分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A．圖中x＝0.1 B．估計樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)約為85 C．若每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點值為代表，則這600名學生成績的平均數(shù)約為79.5 D．若按各組人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽取30名成績低于80分的學生，則成績在[60，70）內(nèi)的學生應(yīng)抽取10人【分析】利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1計算判斷A；利用頻率分布直方圖結(jié)合第p百分位數(shù)、平均數(shù)的意義計算判斷BC；利用分層抽樣求出抽取的人數(shù)作答．【解答】解：對于A，由圖知10×（x+0.015+0.02+0.03+0.025）＝1，解得x＝0.01，A錯誤；對于B，成績在[50，80）內(nèi)對應(yīng)的頻率為0.1+0.15+0.2＝0.45＜0.6，成績在[50，90）內(nèi)對應(yīng)的頻率為0.1+0.15+0.2+0.3＝0.75＞0.6，因此第60百分位數(shù)m位于區(qū)間[80，90）內(nèi)，，所以估計樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)約為85，B正確；對于C，平均數(shù)約為，C正確；對于D，成績低于80分的三組學生的人數(shù)之比為0.1：0.15：0.2＝2：3：4，則應(yīng)選取成績在[60，70）內(nèi)的學生人數(shù)為，D正確．故選：BCD．【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了百分位數(shù)和平均數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）已知正方形ABCD的邊長為2，向量，滿足，，則（）A． B． C．在上的投影向量的模為 D．【分析】利用條件表示出，進而可以判斷A錯誤；利用向量的數(shù)量積運算可以判斷B正確；利用投影向量的定義即可判斷C錯誤；由可以判斷D正確．【解答】解：對于A，由已知可得，在正方形ABCD中可得，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，在上的投影向量的模為，故C錯誤；對于D，，又與均不是零向量，所以，故D正確．故選：BD．【點評】本題考查平面向量的綜合運用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）如圖，已知點P在圓柱O1O的底面圓O的圓周上，AB為圓O的直徑，A1A，B1B為圓柱的兩條母線，且A1A＝3，OA＝1，∠BOP＝60°，則（）A．PB⊥平面A1AP B．直線A1P與平面ABP所成的角的正切值為 C．直線A1P與直線AB所成的角的余弦值為 D．點A到平面A1BP的距離為【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷A選項；利用線面角的定義可判斷B選項；利用異面直線所成角的定義可判斷C選項；利用等體積法求出點A到平面A1BP的距離，可判斷D選項．【解答】解：對于A，由已知得AA1⊥平面ABP，PB?平面APB，所以AA1⊥PB，又因為AB是底面圓的直徑，P在圓周上且異于A、B兩點，所以BP⊥AP，又A1A∩AP＝A，AA1、AP?平面A1AP，所以PB⊥平面A1AP，故A正確；對于B，因為AA1⊥平面ABP，所以直線A1P與平面ABP所成的角為∠A1PA，因為∠BOP＝60°，則，所以，，AA1＝3，故，故直線A1P與平面ABP所成的角的正切值為，故B錯誤；對于C，連接B1P，因為AA1∥BB1且AA1＝BB1，故四邊形AA1B1B為平行四邊形，所以AB∥A1B1，所以直線A1P與直線AB所成的角為∠B1A1P或其補角，在△A1B1P中，，，所以，故C正確；對于D，設(shè)點A到平面A1PB的距離為h，則，即，又，，所以，解得，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查線面垂直的判斷，線面角的求解，線線角的求解，點面距的求解，屬中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）如圖，一個水平放置的△ABO的斜二測畫法的直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若B′A′＝B′O′＝1，則原三角形ABO的面積為．【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，與x軸平行的線段在直觀圖中與x′軸平行，長度不變；與y軸平行的線段在直觀圖中與y′軸平行，長度減半，分別求出OA，OB的長度，即可求出面積．【解答】解：根據(jù)題意可得，在△ABO中，OB＝O′B′＝1，，所以△ABO的面積為故答案為：．【點評】本題主要考查了平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）甲、乙各自從“籃球”“足球”“排球”“游泳”“體操”5個社團中隨機選擇1個社團加入，且他們加入的社團不同，則他們加入的都是球類運動社團的概率是．【分析】先找到5個社團選兩個分給兩個人的個數(shù)為＝20，再找到3個球類運動社團選兩個的個數(shù)有＝6個，從而求得概率．【解答】解：總的樣本點的個數(shù)為＝20，事件“他們加入的都是球類運動社團”包含的樣本點有＝6個，故所求概率為．故答案為：．【點評】本題考查古典概型相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）在△ABC中，點D滿足，若線段BD上的一點P滿足，則y﹣x的取值范圍是．【分析】利用向量三點共線定理得到x+3y＝1即可．【解答】解：∵，∴，∴．∵B，P，D三點共線，∴x+3y＝1，∵x＞0，∴，∴，∴．故答案為：．【點評】本題主要考查平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）如今中國被譽為“基建狂魔”，可謂逢山開路，遇水架橋．高速公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一．建設(shè)過程中研制出的用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機等國之重器更是世界領(lǐng)先水平．如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球為正四面體的內(nèi)切球，小球與大球相切，同時與正四面體的三個面相切．設(shè)AB＝a，則該模型中5個球的表面積之和為．【分析】把正四面體分割成以內(nèi)切球球心為頂點的4個小三棱錐，利用等體積法求出內(nèi)切球半徑，進一步計算即可．【解答】解：如圖所示，設(shè)O為大球的球心，大球的半徑為R，大正四面體的底面中心為E，棱長為a，高為h，CD的中點為F，連接OA，OB，OC，OD，OE，BF，則，正四面體的高，因為V正四面體＝4VO﹣ABC，所以，所以，設(shè)小球的半徑為r，小球也可看作一個小的正四面體的內(nèi)切球，且小正四面體的高，所以，故該模型中5個球的表面積之和為．故答案為：．【點評】本題主要考查了三棱錐的內(nèi)切球問題，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）已知復數(shù)z＝m+（4﹣m2）i（m為正實數(shù)），且z+5i∈R．（1）求z；（2）若在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）由題意可得9﹣m2＝0，解方程即可得出答案；（2）由共軛復數(shù)和復數(shù)的乘法運算化簡z1，再由題意可知，解不等式即可得出答案．【解答】解：（1）由z+5i＝m+（9﹣m2）i為實數(shù)，可得9﹣m2＝0，解得m＝±3，因為m＞0，所以m＝3，所以z＝3﹣5i；（2）由（1）可知，所以，因為z1在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，所以，解得，故實數(shù)a的取值范圍為．【點評】本題主要考查復數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）如圖所示，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，△ABF是等邊三角形，EF∥AD，且，M，N分別是AD，CB的中點．（1）證明：平面NMF∥平面ECD；（2）若平面ABF⊥平面ABCD，求四棱錐E﹣ABCD的體積．【分析】（1）根據(jù)條件可以證明MF∥平面ECD，NF∥平面ECD，進而可以證明平面NMF∥平面ECD；（2）利用條件可以求出E到平面ABCD的距離，進而利用體積公式可以求出結(jié)果．【解答】解：（1）證明：因為EF∥AD，，M是AD的中點，所以EF∥DM，且EF＝DM，所以四邊形DEFM是平行四邊形，從而MF∥DE．因為MF?平面ECD，DE?平面ECD，所以MF∥平面ECD．同理NF∥平面ECD，又MF?NF＝F，所以平面NMF∥平面ECD．（2）設(shè)AB的中點為H，連接FH，則FH⊥AB．因為平面ABF⊥平面ABCD，平面ABF?平面ABCD＝AB，F(xiàn)H?平面ABF，所以FH⊥平面ABCD，因為EF∥AD，EF?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，所以E到平面ABCD的距離為，所以．【點評】本題考查面面平行的證明，三棱錐的體積的求解，屬中檔題．19．（12分）根據(jù)城市空氣質(zhì)量污染指數(shù)的分級標準，空氣污染指數(shù)（API）不大于100時，空氣質(zhì)量為優(yōu)良．某城市環(huán)境監(jiān)測部門從上個月的空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)中隨機抽取5天的空氣污染指數(shù)，所得數(shù)據(jù)分別為90，110，x，y，150，已知這5天的空氣污染指數(shù)的平均數(shù)為110．（1）若x＜y，從這5天中任選2天，求這2天空氣質(zhì)量均為優(yōu)良的概率；（2）若90＜x＜150，求這5天空氣污染指數(shù)的方差的最小值．【分析】（1）由這5天的空氣污染指數(shù)的平均數(shù)為110可得x+y＝200，從而x＜100＜y，再用古典概型的計算方法即可求解；（2）由方差的計算公式可得s2＝，根據(jù)x的范圍即可求其最小值，【解答】解：（1）由題意知，則x+y＝200．因為x＜y，所以x＜100＜y．從這5天中任選2天，所有的結(jié)果為：（90，110），（90，x），（90，y），（90，150），（110，x），（110，y），（110，150），（x，y），（x，150），（y，150），共10種，這2天的空氣質(zhì)量均為優(yōu)良的結(jié)果為（90，x），只有1種，故所求的概率為．（2）方差＝，因為90＜x＜150，所以當x＝100時，s2的值最小，最小值為440．【點評】本題主要考查古典概型概率公式，方程的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．【分析】（1）由題意得bc＝b2+c2﹣a2，利用余弦定理，即可得出答案；（2）利用正弦定理，把題中邊的關(guān)系化為角的關(guān)系，求解即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）∵，∴bc＝b2+c2﹣a2，由余弦定理得，又0＜A＜π，∴；（2）證明：∵，由正弦定理得，∴，∵，∴，∴，即，故△ABC是直角三角形．【點評】本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．21．（12分）為了保護一件珍貴文物，博物館需要用一個密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的幾何模型如圖，上部分是正四棱錐P﹣A1B1C1D1，下部分是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的倍．（1）若AB＝6dm，OO1＝5dm，求玻璃罩的容積是多少升（玻璃厚度不計）；（2）若PA1＝4dm，當PO1為多少時，下部分的正四棱柱側(cè)面積最大，最大側(cè)面積是多少？【分析】（1）根據(jù)題意可知PO1＝2dm，再根據(jù)錐體的體積公式和柱體的體積公式即可求出結(jié)果．（2）連接A1O1，設(shè)PO1＝x