長壽區2023年春期高中期末質量監測高二年級數學試題（B卷）注意事項：1．考試時間：120分鐘，滿分：150分.試題卷總頁數：4頁.2．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷、草稿紙上答題無效.3．需要填涂的地方，一律用2B鉛筆涂滿涂黑.需要書寫的地方一律用0.5MM簽字筆書寫.4．答題前，務必將自己的姓名、學校、準考證號填寫在答題卡規定的位置上.一、選擇題（本大題共10個小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）1.復數（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據復數的乘法法，準確計算，即可求解.【詳解】由復數的運算法則，可得.故選：D.2.某射擊運動員連續射擊10次，命中環數如下表：命中球數78910頻數2341則這組數據的中位數和眾數分別為（）A.4，4 B.3.5，4 C.8.5，9 D.9，9【答案】C【解析】【分析】根據中位數和眾數的定義求解.【詳解】由已知該運動員射中7環2次，8環3次，9環4次，10環1次，射中9環的次數最多，所以命中環數的眾數為，將所有數據按從小到大排列可得，所以命中環數的中位數為，故選：C.3.下列函數是偶函數的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數奇偶性確定正確答案.【詳解】A選項，是奇函數，A選項錯誤.B選項，是偶函數，B選項正確.C選項，是非奇非偶函數，C選項錯誤.D選項，是非奇非偶函數，D選項錯誤.故選：B4.某校為了了解同學們參加社會實踐活動的意向，決定利用分層抽樣的方法從高一、高二、高三學生中選取200人進行調查，已知該校高一年級學生有1300人，高二年級學生有1200人，高三年級學生有1500人，則抽取的學生中，高三年級有（）A.50人 B.60人 C.65人 D.75人【答案】D【解析】【分析】根據分層抽樣的定義求解即可.【詳解】由題可知，三個年級共有人，抽樣比例為，則抽取的學生中，高三年級有人.故選：D.5.的內角的對邊分別為，若，則（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理以及大邊對大角即可求解．【詳解】因為，則由正弦定理可得：，又，且，所以或．故選：．6.對于任意實數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據題意，由函數在上單調遞增即可判斷.【詳解】因為函數在上單調遞增，當時，可得，故充分性滿足；當時，由在上單調遞增，可得，故必要性滿足；所以“”是“”的充要條件.故選：C7.袋子中有5個大小相同的球，其中紅球2個，白球3個，依次從中不放回的取球，若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到紅球的概率是（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8【答案】B【解析】【分析】根據條件概型的知識求得正確答案.【詳解】依題意，在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到紅球的概率是.故選：B8.在的展開式中，的系數為（）．A. B.5 C. D.10【答案】C【解析】【分析】首先寫出展開式通項公式，然后結合通項公式確定的系數即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項．9.已知D是的邊BC上的點，且，則向量（）.A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據向量的加減法以及數乘的運算，可得答案.【詳解】由題意作圖如下：由，則，.故選：C.10.已知圓臺上、下底面的直徑分別為4和10，母線長為5，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據上下底面半徑及母線長求出圓臺的高，再由圓臺體積公式求解.【詳解】因為圓臺上、下底面的直徑分別為4和10，母線長為5，所以圓臺的高，所以，故選：D二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分.）11.設集合，則___________．【答案】【解析】【分析】根據交集含義即可得到答案.詳解】根據交集含義得，故答案為：.12.為了解性別因素是否對某班學生愛運動有影響，對該班50名學生進行了問卷調查，得到如表的2×2列聯表：愛運動不愛運動合計男生m1230女生820合計n50則m＝_______，n＝______．【答案】①.18②.24【解析】【分析】完善列聯表，即可得解；【詳解】依題意可得列聯表如下：經常打籃球不經常打籃球合計男生181230女生820合計50故；故答案為：；；13.若函數（且），則函數恒過定點_____．【答案】【解析】【分析】根據對數函數的知識求得定點坐標.【詳解】由于，所以函數恒過定點.故選：14.已知正實數滿足，則的最小值等于_______．【答案】【解析】【分析】根據題意，由基本不等式即可得到結果.【詳解】因為，且，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值等于.故答案為：15.已知是定義域為的奇函數，當時，，則_______．【答案】【解析】【分析】由奇函數的性質可得，由此可求，再由，結合所給解析式求.【詳解】因為是定義域為的奇函數，所以，所以，，又當時，，所以，，所以,故答案為：.三、解答題（本題共5小題，每小題15分，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）16.已知向量.（1）若，求實數的值；（2）若，求實數的值【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據向量平行的坐標表示列方程，解方程求即可；（2）根據向量加法運算及模的坐標表示列出方程，解方程求即可.【小問1詳解】因為，所以，所以；【小問2詳解】由已知，則，解得：或.17.已知函數.（1）若函數在區間上是單調遞增函數，求實數k的取值范圍；（2）若對一切實數都成立，求實數k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用對稱軸和區間的關系，列不等式，解不等式即可；（2）利用判別式即可解決.【小問1詳解】因為函數在區間上是單調遞增函數，且的對稱軸為，所以，解得.【小問2詳解】若對一切實數都成立，則，解得.18.某校高中數學興趣小組有名同學，其中名男生名女生，現從中選人去參加一項活動．（1）求選出的人中，恰有名男生的概率；（2）用表示選出的人中男生的個數，求的分布列．【答案】（1）（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）根據古典概型的概率公式結合組合知識和分步乘法原理，即可求解.（2）先求出隨機變量的取值，求出其對應的概率，最后列出表格寫出分布列即可.【小問1詳解】選出的2人中恰有1名男生的概率是.【小問2詳解】的值可取，則，，.所以的分布列如下：19.若函數（1）求函數最小正周期；（2）若將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，當時，求的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換得到，從而求出函數的最小正周期；（2）先求出的解析式，從而利用整體法求解函數的值域.【小問1詳解】，則函數的周期為；【小問2詳解】函數的圖象向右平移得：，因為，所以，故，當時，，當時，，，故函數的值域為...20.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，PB＝PD，E，F分別為AB和PD的中點．（1）求證：EF∥平面PBC；（2）求證：平面PBD⊥平面PAC．（3）若，求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）利用已知條件和中位線的性質得線線平行，利用線面平行判定定理即可證明線面平行；（2）利用已知得出線面垂直，利用面面垂直判定定理即可證明面面垂直；（3）建立空間直角坐標系，由兩法向量所成角的余弦值即可得到二面角的余弦值.【小問1詳解】取PC的中點為G，連接FG，BG，則因為F，G分別是PD，PC的中點，所以，且，又因為點E是AB的中點，，，所以且，所以且，即四邊形BEFG是平行四邊形，所以平面PBC，平面PBC，所以EF平面PBC.【小問2詳解】取AC與BD的交點為點O，連接PO，因為PB=PD，點O是BD的中點，所以，又因為四邊形ABCD是菱形，所以，由，，，平面，平面，得平面.又因為平面，