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文檔簡介

自貢市重點中學新高考仿真卷數學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答,超出答題區域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合,如果圓錐的表面積與半球的表面積相等,那么這個圓錐軸截面底角的大小是()A. B. C. D.2.在滿足,的實數對中,使得成立的正整數的最大值為()A.5 B.6 C.7 D.93.如圖所示,三國時代數學家趙爽在《周髀算經》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影),設直角三角形有一內角為,若向弦圖內隨機拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計,取),則落在小正方形(陰影)內的米粒數大約為()A.134 B.67 C.182 D.1084.已知,且,則在方向上的投影為()A. B. C. D.5.已知復數z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.某工廠利用隨機數表示對生產的600個零件進行抽樣測試,先將600個零件進行編號,編號分別為001,002,……,599,600.從中抽取60個樣本,下圖提供隨機數表的第4行到第6行:若從表中第6行第6列開始向右讀取數據,則得到的第6個樣本編號是()A.324 B.522 C.535 D.5787.已知實數,滿足,則的最大值等于()A.2 B. C.4 D.88.點為的三條中線的交點,且,,則的值為()A. B. C. D.9.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.10.已知函數,若曲線在點處的切線方程為,則實數的取值為()A.-2 B.-1 C.1 D.211.復數為純虛數,則()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i12.如圖,已知平面,,、是直線上的兩點,、是平面內的兩點,且,,,,.是平面上的一動點,且直線,與平面所成角相等,則二面角的余弦值的最小值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則______,______.14.若,i為虛數單位,則正實數的值為______.15.在平面直角坐標系xOy中,已知A0,a,B3,a+416.已知函數,若,則實數的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數列的前項和為,且滿足,各項均為正數的等比數列滿足(1)求數列的通項公式;(2)若,求數列的前項和18.(12分)已知函數的最小正周期是,且當時,取得最大值.(1)求的解析式;(2)作出在上的圖象(要列表).19.(12分)已知等差數列中,,數列的前項和.(1)求;(2)若,求的前項和.20.(12分)已知各項均為正數的數列的前項和為,且是與的等差中項.(1)證明:為等差數列,并求;(2)設,數列的前項和為,求滿足的最小正整數的值.21.(12分)已知數列滿足,等差數列滿足,(1)分別求出,的通項公式;(2)設數列的前n項和為,數列的前n項和為證明:.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,是棱上的一點,滿足平面.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)設,,若為棱上一點,使得直線與平面所成角的大小為30°,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達圓錐表面積與球的表面積公式,進而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選:D【點睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎題.2、A【解析】

由題可知:,且可得,構造函數求導,通過導函數求出的單調性,結合圖像得出,即得出,從而得出的最大值.【詳解】因為,則,即整理得,令,設,則,令,則,令,則,故在上單調遞增,在上單調遞減,則,因為,,由題可知:時,則,所以,所以,當無限接近時,滿足條件,所以,所以要使得故當時,可有,故,即,所以:最大值為5.故選:A.【點睛】本題主要考查利用導數求函數單調性、極值和最值,以及運用構造函數法和放縮法,同時考查轉化思想和解題能力.3、B【解析】

根據幾何概型的概率公式求出對應面積之比即可得到結論.【詳解】解:設大正方形的邊長為1,則小直角三角形的邊長為,

則小正方形的邊長為,小正方形的面積,

則落在小正方形(陰影)內的米粒數大約為,

故選:B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應用,求出對應的面積之比是解決本題的關鍵.4、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定義計算.【詳解】由可得,因為,所以.故在方向上的投影為.故選:C.【點睛】本題考查向量的數量積與投影.掌握向量垂直與數量積的關系是解題關鍵.5、C【解析】分析:根據復數的運算,求得復數z,再利用復數的表示,即可得到復數對應的點,得到答案.詳解:由題意,復數z=2i1-i所以復數z在復平面內對應的點的坐標為(-1,-1),位于復平面內的第三象限,故選C.點睛:本題主要考查了復數的四則運算及復數的表示,其中根據復數的四則運算求解復數z是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.6、D【解析】

因為要對600個零件進行編號,所以編號必須是三位數,因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數據,大于600的,重復出現的舍去,直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數據,編號內的數據依次為:,因為535重復出現,所以符合要求的數據依次為,故第6個數據為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數表表的應用,正確掌握隨機數表法的使用方法是解題的關鍵.7、D【解析】

畫出可行域,計算出原點到可行域上的點的最大距離,由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,其中,由于,,所以,所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選:D【點睛】本小題主要考查根據可行域求非線性目標函數的最值,考查數形結合的數學思想方法,屬于基礎題.8、B【解析】

可畫出圖形,根據條件可得,從而可解出,然后根據,進行數量積的運算即可求出.【詳解】如圖:點為的三條中線的交點,由可得:,又因,,.故選:B【點睛】本題考查三角形重心的定義及性質,向量加法的平行四邊形法則,向量加法、減法和數乘的幾何意義,向量的數乘運算及向量的數量積的運算,考查運算求解能力,屬于中檔題.9、B【解析】

根據題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數公式化簡,再利用同角三角函數間的基本關系弦化切后,將代入計算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數公式,同角三角函數間的基本關系,以及直線傾斜角與斜率之間的關系,熟練掌握公式是解本題的關鍵.10、B【解析】

求出函數的導數,利用切線方程通過f′(0),求解即可;【詳解】f(x)的定義域為(﹣1,+∞),因為f′(x)a,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故選:B.【點睛】本題考查函數的導數的幾何意義,切線方程的求法,考查計算能力.11、B【解析】

復數為純虛數,則實部為0,虛部不為0,求出,即得.【詳解】∵為純虛數,∴,解得..故選:.【點睛】本題考查復數的分類,屬于基礎題.12、B【解析】

為所求的二面角的平面角,由得出,求出在內的軌跡,根據軌跡的特點求出的最大值對應的余弦值【詳解】,,,,同理為直線與平面所成的角,為直線與平面所成的角,又,在平面內,以為軸,以的中垂線為軸建立平面直角坐標系則,設,整理可得:在內的軌跡為為圓心,以為半徑的上半圓平面平面,,為二面角的平面角,當與圓相切時,最大,取得最小值此時故選【點睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依據題目選擇方法求出結果.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用兩角和的正切公式結合可得出的方程,即可求出的值,然后利用二倍角的正、余弦公式結合弦化切思想求出和的值,進而利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】,,,.故答案為:;.【點睛】本題主要考查三角函數值的計算,考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的應用,難度不大.14、【解析】

利用復數模的運算性質,即可得答案.【詳解】由已知可得:,,解得.故答案為:.【點睛】本題考查復數模的運算性質,考查推理能力與計算能力,屬于基礎題.15、(-53,【解析】

求出AB的長度,直線方程,結合△ABC的面積為5,轉化為圓心到直線的距離進行求解即可.【詳解】解:AB的斜率k=a+4-a3-0=4=3設△ABC的高為h,則∵△ABC的面積為5,∴S=12|AB|h=即h=2,直線AB的方程為y﹣a=43x,即4x﹣3y+3若圓x2+y2=9上有且僅有四個不同的點C,則圓心O到直線4x﹣3y+3a=0的距離d=|3a|則應該滿足d<R﹣h=3﹣2=1,即|3a|5得|3a|<5得-53<故答案為:(-53,【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系的應用,求出直線方程和AB的長度,轉化為圓心到直線的距離是解決本題的關鍵.16、【解析】

畫圖分析可得函數是偶函數,且在上單調遞減,利用偶函數性質和單調性可解.【詳解】作出函數的圖如下所示,觀察可知,函數為偶函數,且在上單調遞增,在上單調遞減,故,故實數的取值范圍為.故答案為:【點睛】本題考查利用函數奇偶性及單調性解不等式.函數奇偶性的常用結論:(1)如果函數是偶函數,那么.(2)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性;偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)由化為,利用數列的通項公式和前n項和的關系,得到是首項為,公差為的等差數列求解.(2)由(1)得到,再利用錯位相減法求解.【詳解】(1)可以化為,,,,又時,數列從開始成等差數列,,代入得是首項為,公差為的等差數列,,.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,.【點睛】本題主要考查數列的通項公式和前n項和的關系和錯位相減法求和,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.18、(1);(2)見解析.【解析】

(1)根據函數的最小正周期可求出的值,由該函數的最大值可得出的值,再由,結合的取值范圍可求得的值,由此可得出函數的解析式;(2)由計算出的取值范圍,據此列表、描點、連線可得出函數在區間上的圖象.【詳解】(1)因為函數的最小正周期是,所以.又因為當時,函數取得最大值,所以,同時,得,因為,所以,所以;(2)因為,所以,列表如下:描點、連線得圖象:【點睛】本題考查正弦函數解析式的求解,同時也考查了利用五點作圖法作圖,考查分析問題與解決問題的能力,屬于中等題.19、(1),;(2).【解析】

(1)由條件得出方程組,可求得的通項,當時,,可得,當時,,得出是以1為首項,2為公比的等比數列,可求得的通項;(2)由(1)可知,,分n為偶數和n為奇數分別求得.【詳解】(1)由條件知,,,當時,,即,當時,,是以1為首項,2為公比的等比數列,;(2)由(1)可知,,當n為偶數時,當n為奇數時,綜上,【點睛】本題考查等差數列和等比數列的通項的求得,以及其前n項和,注意分n為偶數和n為奇數兩種情況分別求得其數列的和,屬于中檔題.20、(1)見解析,(2)最小正整數的值為35.【解析】

(1)由等差中項可知,當時,得,整理后可得,從而證明為等差數列,繼而可求.(2),則可求出,令,即可求出的取值范圍,進而求出最小值.【詳解】解析:(1)由題意可得,當時,,∴,,當時,,整理可得,∴是首項為1,公差為1的等差數列,∴,.(2)由(1)可得,∴,解得,∴最小正整數的值為35.【點睛】本題考查了等差中項,考查了等差數列的定義,考查了與的關系,考查了裂項相消求和.當已知有與的遞推關系時,常代入進行整理.證明數列是等差數列時,一般借助數列,即后一項與前一項的差為常數.21、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)因為,所以,所以,即,又因為,所以數列為等差數列,且公差為1,首項為1,則,即.設的公差為,則,所以(),則(),所以,因此,綜上,.(2)設數列的前n項和為,則兩式相減得,所以,設則,所以.22、(Ⅰ)證明見

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