第24章章末回顧一、本章思維導圖二、典型例題講解例1．（1）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直徑AD=4，∠ABC=∠DAC，則AC長為．【知識點】三角形的外接圓、圓周角定理、勾股定理【數學思想】轉化思想、方程思想【解題過程】解：連接DC，∵AD是⊙O的直徑∴∠ACD＝90°又∵∠ABC=∠DAC，∠ABC＝∠ADC∴∠ADC=∠DAC∴AC＝DC設AC＝DC＝∵AD=4，∠ACD＝90°∴由勾股定理：，即解得：∴AC＝【思路點撥】在圓中，根據直徑所對的圓周角是直角這一性質，往往會圍繞直徑構造直角三角形（即圖中的Rt△ADC）．同時在圓中，根據同弧或等弧所對的圓周角相等這一性質，進行等角的轉化（即圖中的∠ABC＝∠ADC）．（2）如圖，在半徑為5的圓O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，求OP的長．【知識點】垂徑定理、等弦對等弦心距、等圓的有關性質、正方形的判定和性質、勾股定理【數學思想】方程思想【解題過程】解：過點O分別作AB、CD的垂線，垂足分別為E、F∴DF＝FC＝又∵DC＝8∴DF＝4又∵OD＝5∴在Rt△OFD中，由勾股定理得OF＝又∵AB⊥CD，OF⊥DC，OE⊥AB∴∠FPE＝∠PEO＝∠PFO∴四邊形OEPF是矩形又∵AB＝CD∴OE＝OF∴矩形OEPF是正方形∴OF＝PF＝3∴在Rt△OFP中，由勾股定理得：OP＝【思路點撥】本題需根據垂徑定理構造由“半徑＋半弦長＋弦心距”組成的直角三角形．例2．如圖是某公園的一角，∠AOB=90°，弧AB的半徑OA長是6米，C是OA的中點，點D在弧AB上，CD∥OB，求圖中休閑區（陰影部分）的面積是多少？【知識點】扇形面積、三角形面積、含30°的直角三角形、勾股定理【數學思想】割補思想【解題過程】解：連接DO，∵弧AB的半徑OA長是6米，C是OA的中點，∴OC=OA=×6=3米，∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA，在Rt△OCD中，∵OD=6米，OC=3米∴∠ODC＝30°∴∠DOC=60°又∵在Rt△ODC中，由勾股定理得：DC＝米∴S陰影=S扇形AOD﹣S△DOC=平方米．【思路點撥】陰影部分的面積不太好直接求，可以通過連接OD，用扇形AOD的面積減去△DOC的面積來得到，而求扇形AOD面積的關鍵是圓心角∠AOD的度數．例3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作EF⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）當∠BAC＝60o時，DE與DF有何數量關系？請說明理由；【知識點】等腰三角形的判定和性質，平行的判定和性質，圓的切線的判定，圓周角定理，含30°角的直角三角形的性質【數學思想】轉化思想【解題過程】（1）證明：連接OD，∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C又∵OD＝OB∴∠ABC＝∠ODB?！唷螼DB＝∠C。∴OD∥AC∴∠AED＝∠ODF又∵EF⊥AC∴∠AED＝90°∴∠ODF＝90°∴OD⊥EF∴EF是⊙O的切線。（2）DE與DF的數量關系為：DF＝2DE。理由如下：連接AD∵AB是⊙O的直徑∴AD⊥BC∵AB＝AC，∠BAC＝60o，∴∠CAD＝∠DAB＝∠BAC＝30°?！摺螰＝90°－∠BAC＝90°－60°＝30°，∴∠DAF＝∠F∴AD＝DF又∵∠EAD＝30°，EF⊥AC∴AD＝2DE∴DF＝2DE【思路點撥】（1）要證EF是⊙O的切線，只要證EF垂直于過切點的半徑，故連接OD，從而由等腰三角形等邊對等角的性質和平行的性質即可得到證明。（2）要證DF＝2DE，即要考慮把它們放到同一個三角形中。一方面可以由直徑所對圓周角是直角的定理和等腰三角形底邊上三線全一的性質證明AD＝DF；另一方面可以由含30°角的直角三角形中30°角所對的邊是斜邊一半的性質證明AD＝2DE。從而得證。24章章末檢測（王鵬鵬）一、選擇題1.下列說法正確的是（）A．三點確定一個圓B．一個三角形只有一個外接圓C．和半徑垂直的直線是圓的切線D．三角形的內心到三角形三個頂點距離相等【知識點】圓的認識．【解題過程】解：A、不共線的三點確定一個圓，所以A選項錯誤；B、一個三角形只有一個外接圓，所以B選項正確；C、過半徑的外端與半徑垂直的直線是圓的切線，所以C選項錯誤；D、三角形的內心到三角形三邊的距離相等，所以D選項錯誤．故選B．【思路點撥】根據確定圓的條件對A、B進行判斷；根據切線的判定定理對C進行判斷；根據三角形內心的性質對D進行判斷．【答案】B2.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，則∠BAD為（）A．30° B．50° C．60° D．70°【知識點】圓周角定理.【數學思想】數形結合【解題過程】解：連接BD，∵∠ACD=30°，∴∠ABD=30°，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．故選C．【思路點撥】連接BD，根據直徑所對的圓周角是直角，得∠ADB=90°，根據同弧或等弧所對的圓周角相等，得∠ABD=∠ACD，從而可得到∠BAD的度數．【答案】C3.如圖，⊙O的半徑OC垂直于弦AB，垂足為D，OA=2，∠B=22.5°，AB的長為（）A．2 B．4 C．2 D．4【知識點】垂徑定理，勾股定理【數學思想】數形結合【解題過程】解：由圓周角定理，得∠O=2∠B=45°，AD=OD=2×=2，由垂徑定理，得AB=2AD=4，故選：B．【思路點撥】根據圓周角定理，可得∠O，根據等腰直角三角形性質和勾股定理，可得AD的長，根據垂徑定理，可得答案．【答案】B4.一個點到圓的最小距離為6cm，最大距離為9cm，則該圓的半徑是（）A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm【知識點】點與圓的位置關系．【數學思想】數形結合，分類討論【解題過程】解：分為兩種情況：①當點P在圓內時，最近點的距離為6cm，最遠點的距離為9cm，則直徑是15cm，因而半徑是7.5cm；②當點P在圓外時，最近點的距離為6cm，最遠點的距離為9cm，則直徑是3cm，因而半徑是1.5cm．故選C．【思路點拔】點P應分為位于圓的內部和外部兩種情況討論．當點P在圓內時，直徑=最小距離+最大距離；當點P在圓外時，直徑=最大距離﹣最小距離．【答案】C5.如圖，⊙O的半徑為3，四邊形ABCD內接于⊙O，連接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，則的長為（）A．π B． C．2π D．3π【知識點】弧長的計算；圓內接四邊形的性質．【數學思想】數形結合【解題過程】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠BCD+∠A=180°，∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，∴2∠A+∠A=180°，解得：∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴的長==2π；故選：C．【思路點拔】由圓內接四邊形的性質和圓周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧長公式即可得出答案?！敬鸢浮緾6.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．若AB=8，AE=1，則弦CD的長是（）A． B．2 C．6 D．8【知識點】垂徑定理；勾股定理．【數學思想】數形結合【解題過程】解：連接OC，由題意，得OE=OA﹣AE=4﹣1=3，CE=ED==，CD=2CE=2，故選：B．【思路點撥】根據垂徑定理，可得答案【點評】B7．已知：如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，則∠ADC的度數為（）A．30° B．35° C．45° D．70°【知識點】圓周角定理；垂徑定理．【數學思想】數形結合【解題過程】解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，∴，∴∠ADC=∠AOB=35°．故選B．【思路點拔】先根據垂徑定理得出，再由圓周角定理即可得出結論．【答案】B8.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC為直徑的⊙O交AB于點D．E是⊙O上一點，且，連接OE．過點E作EF⊥OE，交AC的延長線于點F，則∠F的度數為（）A．92° B．108° C．112° D．124°【知識點】圓心角、弧、弦的關系；多邊形內角與外角．菁優網版權所有【數學思想】數形結合【解題過程】解：∵∠ACB=90°，∠A=56°，∴∠ABC=34°，∵，∴2∠ABC=∠COE=68°，又∵∠OCF=∠OEF=90°，∴∠F=360°﹣90°﹣90°﹣68°=112°．故選：C．【思路點拔】直接利用互余的性質再結合圓周角定理得出∠COE的度數，再利用四邊形內角和定理得出答案．【答案】C9.點A、C為半徑是3的圓周上兩點，點B為的中點，以線段BA、BC為鄰邊作菱形ABCD，頂點D恰在該圓直徑的三等分點上，則該菱形的邊長為（）A．或2 B．或2 C．或2 D．或2【知識點】圓心角、弧、弦的關系；菱形的性質．【數學思想】數形結合，分類討論【解題過程】解：過B作直徑，連接AC交BO于E，∵點B為的中點，∴BD⊥AC，①如圖①，∵點D恰在該圓直徑的三等分點上，∴BD=×2×3=2，∴OD=OB﹣BD=1，∵四邊形ABCD是菱形，∴BE=BD=1，∴OE=OB-BE=3-1=2，連接OC，∵CE==，∴邊CD==；如圖②，BD=×2×3=4，同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，連接OD，∵CE===2，∴邊CD==2，故選D．【思路點撥】過B作直徑，連接AC交OB于E，如圖①，根據已知條件得到BD=×2×3=2，如圖②，BD=×2×3=4，求得OD=1，OE=1，DE=2，連接OD，根據勾股定理得到結論，【答案】D10.如圖，扇形DOE的半徑為3，邊長為的菱形OABC的頂點A，C，B分別在OD，OE，DE上，若把扇形DOE圍成一個圓錐，則此圓錐的高為（）A．B．C．D．【知識點】菱形性質、等邊三角形、圓錐的側面展開圖、勾股定理．【數學思想】方程思想GG【解題過程】連結AC、OB，相交于點G，由菱形性質得AC⊥OB，OG=GB＝OB＝在Rt△OGA，AG＝所以,∴，即△AOC是等邊三角形∴∴扇形弧長為：設圍成的圓錐底面半徑為r，則底面周長為∴，得，所以圓錐的高為．【思路點拔】本題主要考查圓錐的有關計算，關鍵在于求出扇形DOE的圓心角，具有一定的綜合性．【答案】D11.如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C．π﹣ D．π﹣【知識點】扇形面積的計算；菱形的性質．【數學思想】數形結合【解題過程】解：連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等邊三角形，∵AB=2，∴△ABD的高為，∵扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，設AD、BE相交于點G，設BF、DC相交于點H，在△ABG和△DBH中，，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積，∴圖中陰影部分的面積是：S扇形EBF﹣S△ABD=．故選：A．【思路點拔】根據菱形的性質得出△DAB是等邊三角形，進而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積，進而求出即可．【答案】A12.將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于點E，AB=，則四邊形AB1ED的內切圓半徑為（）A． B． C． D．【知識點】三角形的內切圓與內心；正方形的性質；旋轉的性質．【數學思想】數形結合【解題過程】解：作∠DAB1與∠AB1G的角平分線交于點O，過O作OF⊥AB1，則∠OAF=30°，∠AB1O=45°，故B1F=OF=OA，設B1F=x，則AF=﹣x，故（﹣x）2+x2=（2x）2，解得x=或x=（舍去），∴四邊形AB1ED的內切圓半徑為：．故選：B．【思路點撥】作∠DAB1與∠AB1G的角平分線交于點O，則O即為該圓的圓心，過O作OF⊥AB1，AB=，再根據直角三角形的性質便可求出OF的長，即該四邊形內切圓的圓心．【答案】B二、填空題13.△ABC中，∠C為直角，AB=2，則這個三角形的外接圓半徑為．【知識點】三角形的外接圓與外心．【解題過程】解：∵△ABC中，∠C為直角，AB=2，∴這個三角形的外接圓半徑為2÷2=1．故答案為：1．【思路解析】這個直角三角形的外接圓直徑是斜邊長，把斜邊長除以2可求這個三角形的外接圓半徑．【答案】114.如圖，AT切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑．若∠ABT=40°，則∠ATB=．【知識點】切線的性質．【數學思想】數形結合【解題過程】解：∵AT切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，∴∠BAT=90°，∵∠ABT=40°，∴∠ATB=50°，故答案為：50°【思路點撥】根據切線的性質即可求出答案．【答案】50°15.如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，已知CD=6，EB=1，則⊙O的半徑為．【知識點】垂徑定理；勾股定理．【數學思想】數形結合【解題過程】解：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，設⊙O的半徑為xcm，則OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半徑為5，故答案為：5．【思路點撥】連接OC，由垂徑定理知，點E是CD的中點，CE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到關于半徑的方程，求得圓半徑即可．【答案】516.已知半徑為2的⊙O中，弦AC=2，弦AD=2，則∠COD的度數為．【知識點】垂徑定理．【數學思想】數形結合，分類討論【解題過程】解：連接OC，過點O作OE⊥AD于點E，如圖所示．∵OA=OC=AC，∴∠OAC=60°．∵AD=2，OE⊥AD，∴AE=，OE=，∴∠OAD=45°，∴∠CAD=∠OAC+∠OAD=105°或∠CAD=∠OAC﹣∠OAD=15°，∴∠COD=360°﹣2×105°=150°或∠COD=2×15°=30°．故答案為：150°或30°．【思路點拔】連接OC，過點O作OE⊥AD于點E，由OA=OC=AC可得出∠OAC=60°，再根據垂徑定理結合勾股定理可得出AE=OE，即∠OAD=45°，利用角的計算結合圓周角與圓心角間的關系，即可求出∠COD的度數．【答案】150°或30°17.如圖，P、Q分別是⊙O的內接正五邊形的邊AB、BC上的點，BP=CQ，則∠POQ=．【知識點】正多邊形和圓．【數學思想】數形結合【解題過程】解：連接OA、OB、OC，∵五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形，∴∠AOB=∠BOC=72°，∵OA=OB，OB=OC，∴∠OBA=∠OCB=54°，在△OBP和△OCQ中，，∴△OBP≌△OCQ，∴∠BOP=∠COQ，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠BOP=∠QOC，∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠POQ=∠BOC=72°．故答案為：72°．【思路點撥】連接OA、OB、OC，證明△OBP≌△OCQ，根據全等三角形的性質得到∠BOP=∠COQ，結合圖形計算即可．【答案】72°18.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分別為邊AB、AC的中點，將△ABC繞點B順時針旋轉120°到△A1BC1的位置，則整個旋轉過程中線段OH所掃過部分的面積（即陰影部分面積）為．【知識點】扇形面積的計算；旋轉的性質．【數學思想】數形結合【解題過程】解：連接BH、BH1，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，∴AB=4，∴AC=，在Rt△BHC中，CH=AC=，BC=2，根據勾股定理可得：BH=；∴S掃=S扇形BHH1﹣S扇形BOO1==π．【思路點撥】整個旋轉過程中線段OH所掃過部分的面積，其實是大扇形BHH1與小扇形BOO1的面積差．扇形BOO1的半徑為OB=2，扇形BHH1的半徑可在Rt△BHC中求得．而兩扇形的圓心角都等于旋轉角即120°，由此可求出線段OH掃過的面積．【答案】π三．解答題19.已知：如圖，在半徑為2的半圓O中，半徑OA垂直于直徑BC，點E與點F分別在弦AB、AC上滑動并保持AE=CF，但點F不與A、C重合，點E不與A、B重合．（1）求四邊形AEOF的面積．（2）設AE=x，S△OEF=y，寫出y與x之間的函數關系式，求x取值范圍．【知識點】圓周角定理；全等三角形的判定與性質.【數學思想】數形結合【解題過程】解：（1）∵BC為半圓O的直徑，OA為半徑，且OA⊥BC，∴∠B=∠OAF=45°，OA=OB，又∵AE=CF，AB=AC，∴BE=AF，∴△BOE≌△AOF∴S四邊形AEOF=S△AOB=OB?OA=2．（2）∵BC為半圓O的直徑，∴∠BAC=90°，且AB=AC=2，y=S△OEF=S四邊形AEOF﹣S△AEF=2﹣AE?AF=2﹣x（2﹣x）∴y=x2﹣x+2（0＜x＜2）．【思路點撥】（1）先根據BC為半圓O的直徑，OA為半徑，且OA⊥BC求出∠B=∠OAF=45°，再根據全等三角形的判定定理得出△BOE≌△AOF，再根據S四邊形AEOF=S△AOB即可得出答案；（2）先根據圓周角定理求出∠BAC=90°，再根據y=S△OEF=S四邊形AEOF﹣S△AEF即可得出答案．【答案】（1）S四邊形AEOF=S△AOB=OB?OA=2（2）y=x2﹣x+2（0＜x＜2）20.已知A，B，C，D是⊙O上的四個點．（1）如圖1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求證：AC⊥BD；（2）如圖2，若AC⊥BD，垂足為E，AB=2，DC=4，求⊙O的半徑．【知識點】垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．【數學思想】數形結合【解題過程】解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直徑，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AD=CD，∴四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；（2）連結DO，延長交圓O于F，連結CF、BF．∵DF是直徑，∴∠DCF=∠DBF=90°，∴FB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD=90°，∵∠FCA+∠ACD=90°∴∠BDC=∠FCA=∠BAC∴等腰梯形ACFB∴CF=AB．根據勾股定理，得CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20，∴DF=，∴OD=，即⊙O的半徑為．【思路點拔】（1）根據題意不難證明四邊形ABCD是正方形，結論可以得到證明；（2）連結DO，延長交圓O于F，連結CF、BF．根據直徑所對的圓周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，則BF∥AC，根據平行弦所夾的弧相等，得弧CF=弧AB，則CF=AB．根據勾股定理即可求解．【答案】半徑為．21.如圖，已知AB，AC分別是⊙O的直徑和弦，點G為上一點，GE⊥AB，垂足為點E，交AC于點D，過點C的切線與AB的延長線交于點F，與EG的延長線交于點P，連接AG．（1）求證：△PCD是等腰三角形；（2）若點D為AC的中點，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周長．【知識點】切線的性質；直角三角形的性質；等腰三角形的判定．【數學思想】數形結合【解題過程】（1）證明：連結OC，如圖，∵PC為⊙O的切線，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，∵GE⊥AB，∴∠GEA=90°，∴∠2+∠ADE=90°，∵OA=OC，∴∠1=∠2，∴∠PCD=∠ADE，而∠ADE=∠PDC，∴∠PCD=∠PDC，∴△PCD是等腰三角形；（2）解：連結OD，BG，如圖，在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，∴OF=2OC，即OB+2=2OC，而OB=OC，∴OC=2，∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，∴∠1=∠2=30°，∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，∴△PCD為等邊三角形，∵D為AC的中點，∴OD⊥AC，∴AD=CD，在Rt△OCD中，OD=OC=1，CD=OD=，∴△PCD的周長為3【思路點撥】（1）連結OC，根據切線的性質得∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，由GE⊥AB得∠GEA=90°，則∠2+∠ADE=90°，利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE，根據對頂角相等得∠ADE=∠PDC，所以∠PCD=∠PDC，于是根據等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形；（2）連結OD，BG，在Rt△COF中根據含30度的直角三角形三邊的關系可計算出OC=2，由于∠FOC=90°﹣∠F=60°，根據三角形外角性質可計算出∠1=∠2=30°，則∠PCD=90°﹣∠1=60°，可判斷△PCD為等邊三角形；再由D為AC的中點，根據垂徑定理得到OD⊥AC，AD=CD，在Rt△OCD中，可計算出OD=OC=1，CD=OD=，所以△PCD的周長為3；．【答案】（1）見證明過程（2）△PCD的周長為3；．22.如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x（s）．（1）求x為何值時，PQ⊥AC；（2）設△PQD的面積為y（cm2），當0＜x＜2時，求y與x的函數關系式；（3）當0＜x＜2時，求證：AD平分△PQD的面積；（4）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關系，請寫出相應位置關系的x的取值范圍（不要求寫出過程）．【知識點】直線與圓的位置關系；等邊三角形的性質.【數學思想】數形結合【解題過程】解：（1）當Q在AB上時，顯然PQ不垂直于AC，當Q在AC上時，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x；∵AB=BC=CA=4，∴∠C=60°；若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，∴4﹣x=2×2x，∴x=；（2）y=﹣x，如圖，當0＜x＜2時，P在BD上，Q在AC上，過點Q作QN⊥BC于N；∵∠C=60°，QC=2x，∴QN=x；∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=BC=2，∴DP=2﹣x，∴y=PD?QN=（2﹣x）?x=﹣x2+x；（3）當0＜x＜2時，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；∴NC=x，∴BP=NC，∵BD=CD，∴DP=DN；∵AD⊥BC，QN⊥BC，∴S△PDO=·OD·PD，S△DQO=·OD·DN，∴S△PDO=S△DQO∴AD平分△PQD的面積；（4）顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，由（1）可知，當x=時，以PQ為直徑的圓與AC相切；當點Q在AB上時，8﹣2x=，解得x=，故當x=或時，以PQ為直徑的圓與AC相切，當0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．【思路點撥】（1）若使PQ⊥AC，則根據路程=速度×時間表示出CP和CQ的長，再根據30度的直角三角形的性質列方程求解；（2）首先畫出符合題意的圖形，再根據路程=速度×時間表示出BP，CQ的長，根據等邊三角形的三線合一求得PD的長，根據30度的直角三角形的性質求得PD邊上的高，再根據面積公式進行求解；（3）根據三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點．根據題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據平行線等分線段定理即可證明；（4）根據（1）中求得的值即可分情況進行討論．【答案】（1）∴x=；（2）y=﹣x2+x；（3）略（4）當0≤x＜或＜x＜或＜x≤423．如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上．設運動時間為t（s），當t=0s時，半圓O在△ABC的左側，OC=8cm．（1）當t=（s）時，⊙O與AC所在直線第一次相切；點C到直線AB的距離為；（2）當t為何值時，直線AB與半圓O所在的圓相切；（3）當△ABC的一邊所在直線與圓O相切時，若⊙O與△ABC有重疊部分，求重疊部分的面積．【知識點】切線的判定與性質；勾股定理．菁優網版權所有【數學思想】數形結合【數學思想】數形結合的思想【解題過程】解：（1）∵DE=12，∴OE=OD=6，∵OC=8，∴EC=8﹣6=2，∴t=2÷2=1，∴當t=1s時，⊙O與AC所在直線第一次相切；如圖1，過C作CF⊥AB于F，Rt△BCF中，∵∠ABC=30°，BC=12，∴CF=BC=6，故答案為：1，6；（2）如圖2，過C作CF⊥AB于F，同理得：OF=6，當直線AB與半圓O所在的圓相切時，又∵圓心O到AB的距離為6，半圓的半徑為6，且圓心O又在直線BC上，∴O與C重合，即當O點運動到C點時，半圓O與△ABC的邊AB相切，此時，點O運動了8cm，所求運動時間t=8÷2=4；如圖3，當點O運動到B點的右側時，且OB=12，過O作OQ⊥AB，交直線AB于Q，在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=OB=6，即OQ與半圓O所在的圓相切，此時點O運動了12+12+8=32cm，所求運動時間t=32÷2=16，綜上所述，當t為4秒或16秒時，直線AB與半圓O所在的圓相切；（3）有兩種情況：①當半圓O與AB邊相切于F時，如圖2，重疊部分的面積S=π×62=9π；②當半圓O與AC相切于C時，如圖4，連接OG，∵BC=DE=12，∴C與D重合，E與B重合，∵OG=OB，∴∠ABC=∠OGB=30°，∴∠COG=60°，過O作OH⊥AB于H，∵OB=6，∴OH=OB=3，由勾股定理得：BH=，∴BG=2BH=6，此時重疊部分的面積S=；綜上所述，重疊部分的面積為9πcm2或（6π+9）cm2．【思路點撥】（1）求出路程EC的長，即可以求