第第頁2023-2024學年高一數學下學期期末模擬訓練（7）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1．已知向量，，分別為正交單位向量），則A． B．1 C．6 D．2．在斜邊為的中，，，為平分線上一點，且，，，四點共圓，，則A．2 B． C． D．3．復數為虛數單位）在復平面內對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若復數滿足，則的最小值為A． B． C．1 D．5．已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，側面展開圖是半個圓環，則圓臺的側面積為A． B． C． D．6．我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺體的體積公式A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸7．某停車場在統計停車數量時數據不小心丟失一個，其余六個數據分別是10，8，8，11，16，8，若這組數據的平均數、中位數、眾數成等差數列，則丟失數據的所有可能值的和為A．21 B．24 C．27 D．328．隨機事件發生的概率為，隨機事件發生的概率為，則事件，同時發生的概率的取值范圍是A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是A．， B． C．若，，則的最小值為1 D．若是關于的方程的根，則10．楊家坪中學足球社團是一個受學生歡迎的社團，社團中的甲、乙、丙三名成員將進行傳球訓練，從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到，記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即，則下列結論正確的是A． B． C． D．11．如圖，一個棱長為6的透明的正方體容器（記為正方體放置在水平面的上方，點恰在平面內，點到平面的距離為2，若容器中裝有水，靜止時水面與表面的交線與的夾角為0，記水面到平面的距離為，則A．平面平面 B．點到平面的距離為8 C．當時，水面的形狀是四邊形 D．當時，所裝的水的體積為第II卷（非選擇題92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．學習小組有五位同學，他們歷次考試成績比較穩定，成績的方差值均為6左右．某次質量監測考試中同學甲沒有參加，其余四位同學的成績分別為81分、84分、87分、88分．假設同學甲也參加本次質量監測，用6作為這五位同學本次考試成績的方差來估算同學甲的分數（可設為，則這個分數為．13．中，，，，分別為角，，的對邊，若，則的面積的最小值為．14．棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方形內一個動點（包括邊界），且平面，則當三棱錐體積取最大時，其外接球的表面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在中，角，，的對邊分別為，，，向量，，且．（1）求角；（2）若，，求的面積．16．（本小題滿分15分）已知為虛數單位，復數為純虛數，為的共軛復數．（1）求的值；（2）求的值．17．（本小題滿分15分）為了慶祝黨的二十大勝利召開，培養擔當民族復興的時代新人，某高中在全校三個年級開展了一次“不負時代，不負韶華，做好社會主義接班人”演講比賽．共1500名學生參與比賽，現從各年級參賽學生中隨機抽取200名學生，并按成績分為五組：，，，，，，，，，，得到如下頻率分布直方圖，且第五組中高三學生占．（1）求抽取的200名學生的平均成績（同一組數據用該組區間的中點值代替）；（2）若在第五組中，按照各年級人數比例采用分層隨機抽樣的方法抽取7人，再從中選取2人組成宣講組，在校內進行義務宣講，求這2人都是高三學生的概率；（3）若比賽成績為樣本數據的標準差），則認為成績優秀，試估計參賽的1500名學生成績優秀的人數．參考公式：，是第組的頻率），參考數據：18．（本小題滿分17分）甲和乙兩個箱子中各裝有個大小、質地均相同的小球，并且各箱中是紅球，是白球．（1）當時，從甲箱中隨機抽出2個球，求2個球的顏色不同的概率．（2）由概率學知識可知，當總量足夠多而抽出的個體足夠少時，超幾何分布近似為二項分布．現從甲箱中不放回地取3個小球，恰有2個白球的概率記作；從乙箱中有放回地取3個小球，恰有2個白球的概率記作．①求，；②當至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即的前提下認為超幾何分布近似為二項分布？（參考數據：．19．（本小題滿分17分）如圖，四邊形是邊長為2的正方形，為邊的中點，沿把折起，使點到達點的位置，且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求三棱錐的表面積

答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1．【解答】解：因為分別為正交單位向量，所以，，因為，，所以．故選：．2．【解答】解：由題意知：由于，且，，，四點共圓，，利用余弦定理：，所以，由勾股定理得：，，由于，所以，，解得，同理，解得，所以．故選：．3．【解答】解：，復數在復平面內對應的點的坐標是，位于第四象限．故選：．4．【解答】解：設，則，整理得，即所對應的點在直線上，則的最小值為點到的距離：．故選：．5．【解答】解：把圓臺補成圓錐，設上面小圓錐的母線長為，設大圓錐的母線長為，圓臺的側面展開圖是半個圓環，小圓錐和大圓錐的側面展開都是半圓，，，解得，，圓臺的側面積為兩個半圓的面積之差，即．故選：．6．【解答】解：如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．積水深9寸，水面半徑為寸，則盆中水的體積為（立方寸）．平地降雨量等于（寸．故選：．7．【解答】解：設這個數字是，則平均數為，眾數是8，若，則中位數為8，此時，（舍，若，則中位數為，此時，，若，則中位數為10，，，所有可能值為9，23，其和為32．故選：．8．【解答】解：依題意，，由（A）（B），得，又（A）（B），則當時，，所以事件，同時發生的概率的取值范圍是．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．【解答】解：設，則，，故正確；，則，故錯誤；，，表示以為圓心，1為半徑的圓，表示該圓上的點到點的距離，故的最小值為1，故正確；是關于的方程的根，則也是關于的方程的根，故，解得，故正確．故選：．10．【解答】解：對于，從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，，又接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，，故正確；對于，第次觸球者是甲的概率為，，故正確；對于，由得：，又，數列是以為首項，為公比的等比數列，，，，，正確，錯誤．故選：．11．【解答】解：以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖，靜止時水面與面的交線與的夾角為0，平面，設平面的一個法向量為，，，，0，，到平面的距離為，，，，，，，，2，，對于，平面的一個法向量為，，，，平面平面，故正確；對于，，6，，到平面的距離為，故正確；對于，當時，截面為六邊形，故錯誤；對于，時，設水面與，分別交于，，，6，，水面與交于點，6，，，0，，，，此時過作交于點，連接，，，故正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．【解答】解：設甲的分數為，則這五位同學本次考試成績的平均數為，所以這五位同學本次考試成績的方差為：，解得，所以甲的分數為85．故答案為：85．13．【解答】解：因為，由余弦定理可得，即，整理可得，當且僅當時取等號，即，解得，即的最小值為，所以．故答案為：．14．【解答】解：點的軌跡是以，的中點為端點的線段，當三棱錐體積的最大時，點位于的中點，建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，2，，，2，，設球心為，，，于是，所以．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）解：（1）因為向量，且，所以，由正弦定理得，又因為，所以，因為，所以；（2）由余弦定理得，因為，所以，即因為，所以，故的面積為．16．（本小題滿分15分）解：（1）由，得為純虛數，，解得；（2）由第一問得，，，從而，即的值為．17．（本小題滿分15分）解：（1）根據題意可得，所以抽取的200名學生的平均成績；（2）由于第五組總共要抽取7人，高三學生占，所以抽到的高三學生應該有人，所以由古典概型可得這2人都是高三學生的概率為；（3）根據題意可得，所以優秀的比賽成績應該，而比賽成績在，的頻率為：，而，故參賽的1500名學生成績優秀的人數為273人．18．（本小題滿分17分）解：（1）當時，甲箱中有3個紅球，2個白球，從甲箱中隨機抽出2個球，基本事件總數，記事件表示“抽出的兩個球的顏色不同”，則事件包含的基本事件個數，則兩個球的顏色不同的概率為（A）．（2