3.3函數的應用(一)

內容標準學科素養

初步體會分段函數、一次函數、二次函數等函數模型的

數學運算

廣泛應用，能運用函數思想處理現實生活中的簡單應用

數學建模

問題.

課前?自主探究自主預習基礎認知

授課提示：對應學生用書第57頁

[教材提煉]

知識點一一次函數模型

形如曰吐之的函數為一次函數模型，其中左W0.

知識點二二次函數模型

1.一般式：丫=加+匕尤+,(<2—0).

2.頂點式：y=a(x-7W)2+〃(aWO).

3.兩點式：y=a(x—w?)(x—，z)(aW0).

[自主檢測]

1.某廠日產手套總成本M元)與手套日產量x(副)的關系式為y=5x+4000,而手套出廠

價格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產手套至少為()

A.200副B.400副

C.600副D.800副

解析：由5x+4000W10元，解得尤2800,即日產手套至少800副時才不虧本.

答案：D

2.擬定從甲地到乙地通話機分鐘的電話費加w)=(X[w]+l),其中相>0,[詞是大于或等

于相的最小整數(如[3]=3,[3.7]=4,[54]=6).()

A.B.

C.D.

解析：X)x(X[5.5]+l)X(X6+l)X4=4.24.

答案：C

3.某廣告公司要為客戶設計一幅周長為/(單位:m)的矩形廣告牌，當矩形的長為,

廣告牌的面積最大.

答案C

課堂?互動探究以例示法核心突破

授課提示：對應學生用書第57頁

探究一一次函數模型

［例1］為了發展電信事業，方便用戶，電信公司對移動電話采用不同的收費方式，其中

所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內每月(30天)的通話時間x(分)與通話費用M元)

的關系如圖所示.

切元)

40

30

20

10C(30,15)

02040必分)

如意卡便民卡

(1)分別求出通話費用yi，”與通話時間x之間的函數解析式；

(2)請幫助用戶計算在一個月內使用哪種卡便宜.

［解析］(1)由圖像可設yi=Ex+29,y2=kix,把點3(30,35),C(30,15)分別代入％=如c+

29,yi=k2X,得ki=g,心=,

.?.?=尹+29(x20),y2=］x(x20).

(2)令弘=、2,即&+29=5，貝汁彳=96,

2

當x=96'時，yi—yi,兩種卡收費一致；

2

當x<96§時，yi>y2,使用便民卡便宜；

2

當x>96§時，yi<y2,使用如意卡便宜.

,,,方法提升

1.一次函數模型解決實際問題的原則

一次函數模型的應用層次要求不高，一般情況下按照“問什么，設什么，列什么”的原

則來處理，求解過程也比較簡單.

2.一次函數模型解決問題的注意點

用一次函數模型解決實際問題時，對于給出圖像的應用題可先結合圖像利用待定系數法

求出解析式.對于一次函數y=ax+6(aW0),當a>0時為增函數，當時為減函數.另外,

要結合題目理解(0,㈤或(一?0)這些特殊點的意義.

一同源異考重在觸類旁通

江漢平原享有“中國小龍蝦之鄉”的美稱.甲、乙兩家農

貿商店，平時以同樣的價格出售品質相同的小龍蝦，“龍蝦

節”期間，甲、乙兩家商店都讓利酬賓，付款金額y甲，y乙(單

位：元)與原價尤(單位：元)之間的函數關系如圖所示：

(1)直接寫出y甲，y乙關于x的函數關系式.

(2)“龍蝦節”期間，如何選擇甲、乙兩家商店購買小龍蝦更省錢?

解析：(1)設>甲=依，把(2000,1600)代入，得2000左=1600,解得左=0.8,所以y甲x;

當0<x<2000時，設>乙=辦，把(2000,2000)代入，得2000a=2000,解得a=l,所以y匕

=x;當x22000時，設把(2000,2000),(4000,3400)代入，得

2000m+?=2000,〃z=0.7,

解得

4000/w+/i=3400,”=600,

x(0<x<2000),

所以y°=j,、

〔x+600(x22000).

(2)當0Vx<2到甲商店購買更省錢；當x》2xv+600,解得xV6Kt+600,解得x

>6xx+600,解得x=6000;故當購買金額按原價小于6000元時，到甲商店購買更省錢；當

購買金額按原價大于6000元時，到乙商店購買更省錢；當購買金額按原價等于6000元時，

到甲、乙兩商店購買花錢一樣.

探究二二次函數模型

［例2］在經濟學中，函數兀0的邊際函數定義為M(x)=Ax+l)-/(x),利潤函數尸⑴的邊

際利潤函數定義為Mi(x)=P(x+l)—P(x),某公司最多生產100臺報警系統裝置，生產尤臺的

收入函數為R(x)=3000x—20f(單位：元)其成本函數為C(x)=50(k+4000(單位：元)，利潤是

收入與成本之差.

(1)求利潤函數P(x)及邊際利潤函數Mi(x)；

(2)利潤函數P(x)與邊際利潤函數Mi(x)是否具有相等的最大值？

(3)你認為本題中邊際利潤函數Mi(x)取最大值的實際意義是什么？

［解析］(l)P(x)=R(x)—C(x)=(3000X-20X2)-(500.X+4000)=-20/+2500x-4

000(1?100,x6N).

Mi(x)=P(x+1)-P(x)=2480—40x(1WxW100,xGN).

(2)：P(x)=-20(x—甲了+74125,

當x=62或63時，尸(x)min=74120.

又是減函數，當x=1時Mi(x)max=2440,

故P(x)與Mi(x)不具有相等的最大值.

(3)邊際利潤函數Mi(無)當x=l時取最大值，說明生產第2臺與生產第1臺的總利潤差最

大，即第2臺報警系統利潤最大，Mi(x)是減函數，說明隨著產量的增加，每臺利潤與前一臺

利潤相比較，利潤在減少.

,,,方法提升

募函數模型中最常見的是二次函數模型，這種函數模型在生產、生活中應用相當廣泛.

利用二次函數求最值時，應特別注意取得最值時的自變量與實際意義是否相符.根據實

際問題建立二次函數解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數的單調性等方法

來求函數的最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等問題.

L同源異考重在觸類旁通

某工廠生產一種機器的固定成本為5000元，且每生產100部，需要增加投入2500元，

對銷售市場進行調查后得知，市場對此產品的需求量為每年500部，己知銷售收入的函數為

H(x)=500x一其中尤是產品銷售出的數量(0WxW500).

(1)若x為年產量，y表示利潤，求〉=人》)的解析式；

(2)當年產量為何值時，工廠的年利潤最大？其最大值是多少？

(3)當年產量為何值時，工廠有盈利？(已知，%=)

解析：(1)當0WxW500時，產品全部售出，

.?.y=500x—%—(5000+25x),

即y=—pr+475x—5000,

當x>500時，產品只能售出500臺，

Z.j=500X500X5002-(5000+25%),

即y=-25x+120000.

⑵當0W尤W500時，y=-1(x-475)2+107812.5,

當x>500時,y=120000—25x<120000-25X500=107500.故當年產量為475臺時取得最

大利潤，且最大利潤為107812.5元，最佳生產計劃475臺.

(3)若工廠有利潤，則應用?r)>5000,.,.475.x—1^>5000,整理得一一950芯+10000<0,

解得10<x<940,

,市場需求量為每年500部，

.?.10<x^500,故當年產量超過10部后，工廠有盈利.

探究三分段函數模型

［例引某公司生產某種電子儀器的固定成本為20000元,每生產一臺儀器需增加投入100

400x—%((XW400),

元，已知總收益滿足函數：R(x)=<

180000(x>400).

(1)將利潤表示為月產量的函數yu)；

(2)當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益=總成本+利潤)

［解析］(1)設月產量為無臺，則總成本為(20000+100x)元，從而

/)=］—￥+3期-20000(0^X^400),60000-100X(A>400).

(2)當0WxW400時，?=-1(X-300)2+25000,

.?.當尤=300時，有最大值25000:

當x>400時，/(x)=60000-100%是減函數，

J(x)<60000-100X400<25000.

當A-=300時，/(X)的最大值為25000.

即每月生產300臺儀器時，利潤最大，最大利潤為25000元.

,,,方法提升

構建分段函數模型的關鍵點

建立分段函數模型的關鍵是確定分段的各邊界點，即明確自變量的取值區間，寫出每一

對應取值區間內的解析式，在此區間內求最值，然后對所有區間求出的值比較，找出適合題

意的答案.

工同源異考重在觸類同通

某廠生產某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商

訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個,，但實際出廠單價不能低于51元.

(1)當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？

(2)設一次訂購量為x個時，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數尸=/(無)的表達式；

(3)當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個時，利

潤又是多少元？(工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價一成本)

解析：(1)設每個零件的實際出廠單價恰好降為51元時，一次訂購量為比個，則

,60—51

XQ-100+—550.

因此，當一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價格恰好降為51元.

⑵當OVxWlOO時,尸=60.

Y

當100<x<550時，P(x-100)=62-^.

當xN550時，尸=51,

’60(0<x<100,xGN),

尤

元)=j62—^j(100<x<550,尤GN),

、51(G550,xGN).

(3)設銷售商的一次訂購量為尤個時，工廠獲得的利潤為Z,元，則乙=(P-40)x

~20x(0cxW100,xGN),

x2

=122x—不100(尤<550,xGN),

、1lx(x》550,xGN).

當x=500時，￡=6000;當x=1000時，L=U000.

因此，當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是6000元；如果訂購1000個

時,利潤是11000元.

課后?素養培優素養拓展能力提升

授課提示：對應學生用書第59頁

一、圖表并用，數學建模——擬合函數的建立問題

定量分析和研究實際問題時，要深入調查，研究、了解對象信息，作出簡化假設，用數

學的符號和語言，把它表述為數學式子(也就是數學模型)，然后計算得到模型的結果，并進行

檢驗，最后解釋實際問題，這個建立數學模型的全過程就稱為數學建模.根據收集的數據或

給出的數據畫出散點圖，然后選擇函數模型并求出函數解析式，再進行擬合、比較，選出最

恰當的函數模型的過程，稱為函數擬合(或數據擬合).

建立擬合函數模型的步驟：

(1)收集數據.

(2)根據收集到的數據，在平面直角坐標系內畫出散點圖.

(3)根據點的分布特征，選擇一個能刻畫散點圖特征的函數模型.

(4)選擇其中的幾組數據求出函數模型.

(5)將己知數據代入所求出的函數模型中進行檢驗，看其是否符合實際，若不符合實際，

則返回步驟③；若符合實際，則進入下一步.

(6)用所得函數模型解釋實際問題.

［典例］為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響，在山上建立了一個觀察站，測量最

大積雪深度尤cm與當年灌溉面積yhn?.現有連續10年的實測資料，如下表所示.

年序最大積雪深度x/cm灌溉面積y/hm2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(1)描點畫出灌溉面積yhm2隨積雪深度xcm變化的圖像；

(2)建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數模型y=/(x),并畫出圖像；

(3)根據所建立的函數模型，若今年最大積雪深度為25cm,則可以灌溉土地多少公頃？

［解析］(1)描點作圖如圖甲：

(2)從圖甲中可以看到，數據點大致落在一條直線附近，由此，我們假設灌溉面積y和最

大積雪深度無滿足線性函數模型y=ax+b.

取其中的兩組數據(,)(,)，

［a+b,

代入y=tzx+b,得J

［a~rbf

用計算器可算得a—1.8,6—2.4.

這樣，我們得到一個函數模型yx+2.4.作出函數圖像如圖乙，可以發現，這個函數模型與

已知數據的擬合程度較好，這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關系.

(3)由yX25+2.4,求得y=47.4,即當最大積雪深度為25cmhn?.

二、忽視實際意義的限制致錯

［典例］甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h,已知

汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km/h)的

平方成正比，比例系數為6；固定部分為。元.

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度Wkm/h)的函數，并指出函數的定義域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大的速度行駛？

［解析］(1)由關系式：運輸總成本=每小時運輸成本X時間，得y=(q+Z?02)E，所以全程

運輸成本丫(元)，表示為速度o(km/h)的