合肥市第四十八中學2025屆數學高一下期末統考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知實數滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若，則的最小值為（）A． B． C． D．3．如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點，垂足為E，點F是PB上一點，則下列判斷中不正確的是（）﹒A．平面PAC B． C． D．平面平面PBC4．若兩個球的半徑之比為，則這兩球的體積之比為（）A． B． C． D．5．已知的三個內角所對的邊分別為.若，則該三角形的形狀是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形6．已知數列滿足，則（）A．2 B． C． D．7．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，則一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形8．圓錐的母線長為，側面展開圖為一個半圓，則該圓錐表面積為（）A． B． C． D．9．已知關于的不等式的解集為空集，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．方程的解所在的區間為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數列滿足，，則___________．12．函數的值域是________13．若滿足約束條件則的最大值為__________．14．圓上的點到直線的距離的最小值是______.15．函數在區間上的值域為______.16．已知直線過點，，則直線的傾斜角為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．為了解人們對某種食材營養價值的認識程度，某檔健康養生電視節目組織名營養專家和名現場觀眾各組成一個評分小組，給食材的營養價值打分（十分制）．下面是兩個小組的打分數據：第一小組第二小組（1）求第一小組數據的中位數與平均數，用這兩個數字特征中的哪一種來描述第一小組打分的情況更合適？說明你的理由．（2）你能否判斷第一小組與第二小組哪一個更像是由營養專家組成的嗎？請比較數字特征并說明理由．（3）節目組收集了烹飪該食材的加熱時間：（單位：）與其營養成分保留百分比的有關數據：食材的加熱時間（單位：）營養成分保留百分比在答題卡上畫出散點圖，求關于的線性回歸方程（系數精確到），并說明回歸方程中斜率的含義．附注：參考數據：，.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．18．如圖所示，某住宅小區的平面圖是圓心角為120°的扇形，小區的兩個出入口設置在點及點處，且小區里有一條平行于的小路，已知某人從沿走到用了10分鐘，從沿走到用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑的長.19．本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知數列滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若是公比為等比數列，，求的取值范圍；（3）若成等差數列，且，求正整數的最大值，以及取最大值時相應數列的公差.20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M點為圓心的圓及其上一點.（1）設圓N與y軸相切，與圓M外切，且圓心在直線上，求圓N的標準方程；（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點且，求直線l的方程.21．已知，是平面內兩個不共線的非零向量，，，且，，三點共線．（1）求實數的值；（2）若，，求的坐標；（3）已知，在（2）的條件下，若，，，四點按逆時針順序構成平行四邊形，求點的坐標．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合即可得到結論．【詳解】由線性約束條件作出可行域，如下圖三角形陰影部分區域（含邊界），令，直線：，平移直線，當過點時取得最大值，當過點時取得最小值，所以的取值范圍是.【點睛】本題主要考查線性規劃的應用．本題先正確的作出不等式組表示的平面區域，再結合目標函數的幾何意義進行解答是解決本題的關鍵．2、D【解析】

根據對數運算可求得且，，利用基本不等式可求得最小值.【詳解】由得：且，（當且僅當時取等號）本題正確選項：【點睛】本題考查利用基本不等式求解和的最小值的問題，關鍵是能夠利用對數運算得到積的定值，屬于基礎題.3、C【解析】

根據線面垂直的性質及判定，可判斷ABC選項，由面面垂直的判定可判斷D.【詳解】對于A，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，而底面圓面，則，又由圓的性質可知，且，則平面PAC.所以A正確；對于B，由A可知，由題意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正確；對于C，由B可知平面，因而與平面不垂直，所以不成立，所以C錯誤.對于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性質可得平面平面PBC.所以D正確；綜上可知，C為錯誤選項.故選：C.【點睛】本題考查了線面垂直的性質及判定，面面垂直的判定定理，屬于基礎題.4、C【解析】

根據球的體積公式可知兩球體積比為，進而得到結果.【詳解】由球的體積公式知：兩球的體積之比故選：【點睛】本題考查球的體積公式的應用，屬于基礎題.5、B【解析】

利用三角形的內角關系及三角變換公式得到，從而得到，此三角形的形狀可判斷.【詳解】因為，故，整理得到，所以，因，所以即，故為等腰三角形，故選B.【點睛】本題考查兩角和、差的正弦，屬于基礎題，注意角的范圍的討論.6、B【解析】

利用數列的遞推關系式，逐步求解數列的即可．【詳解】解：數列滿足，，所以，．故選：B．【點睛】本題主要考查數列的遞推關系式的應用，屬于基礎題．7、D【解析】

根據正弦定理得到，計算得到答案.【詳解】，則，即.故或，即.故選：.【點睛】本題考查了根據正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學生的應用能力.8、B【解析】

由圓錐展開圖為半徑為的半圓，得出其弧長等于圓錐的底面圓周長，可得出圓錐底面圓的半徑，然后利用圓錐的表面積公式可計算出圓錐的表面積.【詳解】一個圓錐的母線長為，它的側面展開圖為半圓，半圓的弧長為，即圓錐的底面周長為，設圓錐的底面半徑是，則得到，解得，這個圓錐的底面半徑是，圓錐的表面積為．故選：B．【點睛】本題考查圓錐表面積的計算，計算時要結合已知條件列等式計算出圓錐的相關幾何量，考查運算求解能力，屬于中等題.9、C【解析】

由題意得出關于的不等式的解集為，由此得出或，在成立時求出實數的值代入不等式進行驗證，由此解不等式可得出實數的取值范圍.【詳解】由題意知，關于的不等式的解集為.（1）當，即．當時，不等式化為，合乎題意；當時，不等式化為，即，其解集不為，不合乎題意；（2）當，即時．關于的不等式的解集為.，解得．綜上可得，實數的取值范圍是．故選：C．【點睛】本題考查二次不等式在上恒成立問題，求解時根據二次函數圖象轉化為二次項系數和判別式的符號列不等式組進行求解，考查化歸與轉化思想，屬于中等題.10、B【解析】試題分析：由題意得，設函數，則，所以，所以方程的解所在的區間為，故選B.考點：函數的零點.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】

利用遞推公式求解即可.【詳解】由題得.故答案為2【點睛】本題主要考查利用遞推公式求數列中的項，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.12、【解析】

利用函數的單調性，結合函數的定義域求解即可．【詳解】因為函數的定義域是，，函數是增函數，所以函數的最小值為：，最大值為：．所以函數的值域為：，．故答案為，．【點睛】本題考查函數的單調性以及函數的值域的求法，考查計算能力．13、【解析】

作出可行域，根據目標函數的幾何意義可知當時，.【詳解】不等式組表示的可行域是以為頂點的三角形區域，如下圖所示，目標函數的最大值必在頂點處取得，易知當時，.【點睛】線性規劃問題是高考中常考考點，主要以選擇及填空的形式出現，基本題型為給出約束條件求目標函數的最值，主要結合方式有：截距型、斜率型、距離型等.14、【解析】

求圓心到直線的距離，用距離減去半徑即可最小值.【詳解】圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線的距離為：，所以最小值為：故答案為：【點睛】本題考查圓上的點到直線的距離的最值，若圓心距為d，圓的半徑為r且圓與直線相離，則圓上的點到直線距離的最大值為d+r，最小值為d-r.15、【解析】

由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，結合正弦函數性質可求得值域．【詳解】，，則，.故答案為：．【點睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數的的單調性和最值．求解三角函數的性質的性質一般都需要用三角恒等變換化函數為一個角的一個三角函數形式，然后結合正弦函數的性質得出結論．16、【解析】

根據兩點求斜率的公式求得直線的斜率，然后求得直線的傾斜角.【詳解】依題意，故直線的傾斜角為.【點睛】本小題主要考查兩點求直線斜率的公式，考查直線斜率和傾斜角的對應關系，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）中位數為，平均數為，中位數更適合描述第一小組打分的情況；（2）由可知第二小組的打分人員更像是由營養專家組成；（3）散點圖見解析；回歸直線為：；的含義：該食材烹飪時間每加熱多分鐘，則其營養成分大約會減少．【解析】

（1）將第一小組打分按從小到大排序，根據中位數和平均數的計算方法求得中位數和平均數；由于存在極端數據，可知中位數更適合描述第一小組打分情況；（2）分別計算兩組數據的方差，由可知第二小組打分相對集中，其更像是由營養專家組成；（3）由已知數據畫出散點圖；利用最小二乘法計算可得回歸直線；根據的含義，可確定斜率的含義.【詳解】（1）第一小組的打分從小到大可排序為：，，，，，，，則中位數為：平均數為：可發現第一小組中出現極端數據，會造成平均數偏低則由以上算得的兩個數字特征可知，選擇中位數更適合描述第一小組打分的情況．（2）第一小組：平均數為方差：第二小組：平均數：方差：可知，，第一小組的方差遠大于第二小組的方差第二小組的打分相對集中，故第二小組的打分人員更像是由營養專家組成的（3）由已知數據，得散點圖如下，，且，則關于的線性回歸方程為：回歸方程中斜率的含義：該食材烹飪時間每加熱多分鐘，則其營養成分大約會減少．【點睛】本題考查計算數據的中位數、平均數和方差、根據方差確定數據的波動性、回歸直線的求解問題；考查學生對于統計中的公式的掌握情況，對于學生的計算和求解能力有一定要求，屬于常考題型.18、【解析】

連接，由題意，得米，米，，在△中，由余弦定理可得答案.【詳解】設該扇形的半徑為米，連接，如圖所示：由題意，得米，米，，在△中，由余弦定理得，即，解得米.答：該扇形的半徑的長為米.【點睛】本題考查了利用余弦定理解三角形，將問題轉化為在三角形中求解是解題關鍵，屬于基礎題.19、（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時公差為.【解析】

（1）依題意：，又將已知代入求出x的范圍；（2）先求出通項：，由求出，對q分類討論求出Sn分別代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到關于q的不等式組，解不等式組求出q的范圍．（3）依題意得到關于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值時a1，a2，…ak的公差．【詳解】（1）依題意：，∴；又∴3≤x≤27，綜上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，當q＝1時，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．當1＜q≤3時，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而對于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又當1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，當時，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴時，不等式恒成立，∴q的取值范圍為：．（3）設a1，a2，…ak的公差為d．由，且a1＝1，得即當n＝1時，d≤2；當n＝2，3，…，k﹣1時，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值為1999，k＝1999時，a1，a2，…ak的公差為．【點睛】本題考查等比數列的通項公式及前n項和的求法；考查不等式組的解法；找好分類