第7講乘法公式1平方差公式平方差公式平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差. 要點詮釋：在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數變化：如（3）指數變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如【例題精選】例1(2023?鎮江模擬）計算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝___________．例2(2023秋?寧都縣期末）計算：2020×2018﹣20192＝______．【隨堂練習】1．(2023秋?長葛市期末）計算：20202﹣2019×2021＝________．2．(2023?東臺市一模）計算：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）＝________．2完全平方公式完全平方公式：兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.以下是常見的變形：【例題精選】例1(2023秋?新賓縣期末）已知x+y＝4，xy＝3，求下列各式的值：（1）2x2y+2xy2；（2）x﹣y例2(2023春?丹徒區期中）用簡便方法計算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝_______．【隨堂練習】1．(2023秋?德州期末）若x2+y2＝8，xy＝2，則（x﹣y）2＝________．2．(2023秋?東湖區期末）已知a+b＝5，ab＝3．則（a﹣b）2的值為___________．3．(2023春?雁塔區校級期末）若n滿足（n﹣2019）2+(2023﹣n）2＝1，則（n﹣2019）(2023﹣n）＝__________．4．(2023春?金華期中）已知a+b＝6，ab＝﹣3，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）（a﹣b）2．3完全平方式完全平方公式：兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.以下是常見的變形：【例題精選】例1(2023秋?日照期末）下列各式是完全平方式的是（）A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1例2(2023秋?武安市期末）若x2﹣2（m﹣3）x+16是完全平方式，則m的值等于（）A．﹣1 B．7 C．7或﹣7 D．7或﹣1【隨堂練習】1．(2023秋?連山區期末）如果關于x的二次三項式9x2﹣mx+4是完全平方式，那么m的值是________．2．(2023秋?勃利縣期末）已知：x2+16x﹣k是完全平方式，則k＝_______．3．(2023秋?大安市期末）如果4x2+mx+9是完全平方式，則m的值是________．綜合練習一．選擇題（共4小題）1．如果9x2﹣kx+25是一個完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．302．已知a+b＝6，ab＝3，則﹣ab＝（）A．9 B．18 C．15 D．123．若x2﹣mx+4是一個完全平方式，則m的值應是（）A．2 B．﹣2 C．4或﹣4 D．2或﹣24．把長和寬分別為a和b的四個相同的小長方形拼成如圖的正方形，圖形中陰影部分面積正好可以驗證下面等式的正確性的是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab二．填空題（共2小題）5．已知（x﹣y）2＝7，x+y＝5，則xy的值為．6．計算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝．三．解答題（共3小題）7．計算：（1）（﹣5）0﹣（）2+|﹣3|；（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）．8．化簡：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）2．9．（1）計算：（﹣2）2+﹣（2）0．（2）化簡：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣4）．第7講乘法公式1平方差公式平方差公式平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差. 要點詮釋：在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數變化：如（3）指數變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如【例題精選】例1(2023?鎮江模擬）計算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝___________．分析：根據平方差公式解答即可．【解答】解：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝（﹣3y）2﹣（2x）2＝9y2﹣4x2．故答案為：9y2﹣4x2【點評】本題主要考查了平方差公式，熟記公式是解答本題的關鍵．例2(2023秋?寧都縣期末）計算：2020×2018﹣20192＝______．分析：首先把2020×2018化成(2023+1）(2023﹣1），然后應用平方差公式計算即可．【解答】解：2020×2018﹣20192＝(2023+1）(2023﹣1）﹣20192＝20192﹣12﹣20192＝﹣1故答案為：﹣1．【隨堂練習】1．(2023秋?長葛市期末）計算：20202﹣2019×2021＝________．【解答】解：20202﹣2019×2021＝20202﹣(2023﹣1）×(2023+1）＝20202﹣20202+12＝1故答案為：1．2．(2023?東臺市一模）計算：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）＝________．【解答】解：原式＝4a2﹣b2+2ab+b2＝4a2+2ab，故答案為：4a2+2ab2完全平方公式完全平方公式：兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.以下是常見的變形：【例題精選】例1(2023秋?新賓縣期末）已知x+y＝4，xy＝3，求下列各式的值：（1）2x2y+2xy2；（2）x﹣y分析：（1）提取公因式2xy，原式可化為2xy（x+y），再把x+y＝4，xy＝3代入計算即可；（2）運用完全平方公式解答即可．【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝3，∴2x2y+2xy2＝2xy（x+y）＝2×4×3＝24；（2）∵x+y＝4，xy＝3，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝42﹣4×3＝4．∴．【點評】本題主要考查了代數式求值，熟練掌握完全平方公式以及整體代入的方法是解答本題的關鍵．例2(2023春?丹徒區期中）用簡便方法計算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝_______．分析：利用完全平方公式解答．【解答】解：原式＝（10.1﹣0.1）2＝102＝100．故答案是：100．【點評】本題考查了完全平方公式，能夠把已知式子變成完全平方的形式，求得（10.1﹣0.1）的值．【隨堂練習】1．(2023秋?德州期末）若x2+y2＝8，xy＝2，則（x﹣y）2＝________．【解答】解：∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣4＝4．故答案為：4．2．(2023秋?東湖區期末）已知a+b＝5，ab＝3．則（a﹣b）2的值為___________．【解答】解：∵a+b＝5，ab＝3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×3＝13．故答案為：13．3．(2023春?雁塔區校級期末）若n滿足（n﹣2019）2+(2023﹣n）2＝1，則（n﹣2019）(2023﹣n）＝__________．【解答】解：∵（n﹣2019）2+(2023﹣n）2＝1，∴[（n﹣2019）+(2023﹣n）]2＝（n﹣2019）2+2（n﹣2019）(2023﹣n）+(2023﹣n）2＝1+2（n﹣2019）(2023﹣n）＝1，∴（n﹣2019）(2023﹣n）＝0．故答案為：0．4．(2023春?金華期中）已知a+b＝6，ab＝﹣3，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）（a﹣b）2．【解答】解：（1）∵a+b＝6，ab＝﹣3，∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42；（2）原式＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×（﹣3）＝48．3完全平方式完全平方公式：兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.以下是常見的變形：【例題精選】例1(2023秋?日照期末）下列各式是完全平方式的是（）A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1分析：完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．最后一項為乘積項除以2，除以第一個底數的結果的平方．【解答】解：A、x2﹣x+是完全平方式；B、缺少中間項±2x，不是完全平方式；C、不符合完全平方式的特點，不是完全平方式；D、不符合完全平方式的特點，不是完全平方式．故選：A．【點評】本題是完全平方公式的應用，熟記公式結構：兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，是解題的關鍵．例2(2023秋?武安市期末）若x2﹣2（m﹣3）x+16是完全平方式，則m的值等于（）A．﹣1 B．7 C．7或﹣7 D．7或﹣1分析：這里首末兩項是x和4這兩個數的平方，那么中間一項為加上或減去x和4積的2倍．【解答】解：依題意，得m﹣3＝±4，解得m＝7或﹣1．故選：D．【點評】本題是完全平方公式的應用；兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．【隨堂練習】1．(2023秋?連山區期末）如果關于x的二次三項式9x2﹣mx+4是完全平方式，那么m的值是________．【解答】解：∵9x2﹣mx+4是一個完全平方式，∴這兩個數是3x和2，∴mx＝±2×2×3x，解得k＝±12；故答案是：±12．2．(2023秋?勃利縣期末）已知：x2+16x﹣k是完全平方式，則k＝_______．【解答】解：∵x2+16x﹣k是完全平方式，∴﹣k＝64，∴k＝﹣64．故答案為：﹣643．(2023秋?大安市期末）如果4x2+mx+9是完全平方式，則m的值是________．分析：利用完全平方公式化簡即可求出m的值．【解答】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，∴m＝±12，故答案為：±12綜合練習一．選擇題（共4小題）1．如果9x2﹣kx+25是一個完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．30【解答】解：∵9x2﹣kx+25是一個完全平方式，∴﹣kx＝±2×3x×5，則k＝±30．故選：C．2．已知a+b＝6，ab＝3，則﹣ab＝（）A．9 B．18 C．15 D．12【解答】解：把a+b＝6兩邊平方得：（a+b）2＝36，整理得：a2+b2+2ab＝36，將ab＝3代入得：a2+b2＝30，則原式＝15﹣3＝12，故選：D．3．若x2﹣mx+4是一個完全平方式，則m的值應是（）A．2 B．﹣2 C．4或﹣4 D．2或﹣2【解答】解：∵（x±2）2＝x2±4x+4＝x2﹣mx+4，∴m＝±4．故選：C．4．把長和寬分別為a和b的四個相同的小長方形拼成如圖的正方形，圖形中陰影部分面積正好可以驗證下面等式的正確性的是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【解答】解：陰影部分的面積是：（a+b）2﹣（a﹣b）2；4個長方形的面積是：4ab，∴驗證的等式是：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．故選：D．二．填空題（共2小題）5．已知（x﹣y）2＝7，x+y＝5，則xy的值為．【解答】解：∵（x﹣y）2＝7，∴x2﹣2xy+y2＝7①，∵x+y＝5，∴（x+y）2＝25，∴x2+2xy+y2＝25②，∴②﹣①得：4xy＝18，則xy＝．6．計算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝4a2﹣