專題01根與系數的四種考法【知識點精講】根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2類型一、整體代換求值例1．若是一元二次方程的兩個實數根，則．例2．已知，是方程的兩根，則．例3．已知是方程的兩個實數根，則的值是．例4．已知方程的兩根分別為，，則的值為．【變式訓練1】已知關于x的方程有兩個不相等的實數根．(1)求m的取值范圍．(2)若兩個實數根分別是，，且，求m的值．【變式訓練2】已知，是方程的兩個根，則代數的值為．類型二、降冪思想求值例．若，是方程的兩根，則．【變式訓練1】設方程的兩個根是，則的取值是.【變式訓練2】已知，是方程的兩個實數根，則【變式訓練3】設a、b是方程的兩實數根，則．類型三、構造方程化簡求值例．已知實數、滿足，，則．【變式訓練1】非零實數m，滿足，，則．【變式訓練2】若實數a、b滿足，，則的值是．類型四、求參數值（易錯點）例．已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，且，則實數．【變式訓練1】已知關于x的一元二次方程的實數根，滿足，則m的取值范圍是．【變式訓練2】若，是方程的兩個根，且，則m的值為．【變式訓練3】關于的一元二次方程的兩個實數根是，，滿足，則的取值范圍是．課后訓練1．關于x的一元二次方程兩個實數根的倒數和為1，則（

）A．或0 B．2或0 C．2 D．02．若，是一元二次方程的兩個根，則．3．已知a，b是方程的兩個根，則的值．4．已知方程的兩根分別為，則的值為．5．已知方程的兩根是，則=.6．已知關于的二次方程的兩個實根為和，且，則的值為．7．已知是方程的兩根，則=．8．如果一元二次方程的兩個根為，，則．9．已知a、b為非零常數，，滿足，則．

專題01根與系數的四種考法【知識點精講】根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2類型一、整體代換求值例1．若是一元二次方程的兩個實數根，則．【答案】/【分析】由一元二次方程的根與系數的關系得，，，然后代入求解即可．【詳解】解：由一元二次方程的根與系數的關系得，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，代數式求值．解題的關鍵在于熟練掌握：一元二次方程的兩個實數根，滿足，．例2．已知，是方程的兩根，則．【答案】【分析】利用根與系數的關系得到，，再利用完全平方公式進行計算即可．【詳解】解：根據題意得，，∴=．故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，則有，．例3．已知是方程的兩個實數根，則的值是．【答案】【分析】利用根與系數的關系求出，把代入方程得到關系式，變形后代入計算即可．【詳解】解：∵是方程的兩個實數根，∴，∴把代入方程得：，可得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，已知式子的值求代數式的值，掌握一元二次方程根與系數的關系是解本題的關鍵．例4．已知方程的兩根分別為，，則的值為．【答案】-1【分析】首先得到代數式x1x2=1，x12?2021x1=-1，然后整體代入求值．【詳解】解：∵x2?2021x+1=0的兩根分別為x1，x2，∴有x1x2=1，x12?2021x1=-1，∴原式=，故答案為-1．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系以及方程解得定義，整體思想的應用是解決問題的關鍵．【變式訓練1】已知關于x的方程有兩個不相等的實數根．(1)求m的取值范圍．(2)若兩個實數根分別是，，且，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意可得，繼而求得實數的取值范圍；（2）由方程的兩個實數根為、，且，可得方程，解關于的方程求得答案．【詳解】（1）解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．，即；（2）解：由根與系數的關系可知：，，，，解得或，而，的值為．【點睛】此題考查了根的判別式以及根與系數的關系．注意方程有兩個不相等的實數根，若二次項系數為1，常用以下關系：，是方程的兩根時，，．【變式訓練2】已知，是方程的兩個根，則代數的值為．【答案】【分析】根據一元二次方程根與系數的關系以及解的定義，得，再代入降次求值即可．【詳解】解：由題意，得，，，原式，，，=．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，整式的化簡求值，本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數的關系．類型二、降冪思想求值例．若，是方程的兩根，則．【答案】【分析】根據一元二次方程根的定義，以及一元二次方程根與系數關系可得，，則，，代入代數式即可求解．【詳解】解：∵，是方程的兩根，∴，，∴，，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【變式訓練1】設方程的兩個根是，則的取值是.【答案】-42【分析】根據一元二次方程根的定義，以及根與系數的關系得到x12=1-x1，x22=1-x2，x1+x2=-1，再化簡求得x15=5x1-3，x23=2x2-1，再整體代入即可求解．【詳解】解：∵方程x2=-x+1的兩個根是x1，x2，∴x12=1-x1，x22=1-x2，x1+x2=-1，∴x15=(x12)2?x1=(1-x1)2?x1=(1-2x1+x12)?x1=(1-2x1+1-x1)?x1=(2-3x1)?x1=2x1-3x12=2x1-3(1-x1)=5x1-3，x23=x22?x2=(1-x2)?x2=x2-x22=x2-(1-x2)=2x2-1，∴原式=4(5x1-3)+10(2x2-1)=20(x1+x2)-22=20(-1)-22=-42．故答案為：-42．【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數的關系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，，．【變式訓練2】已知，是方程的兩個實數根，則【答案】【分析】，是方程的兩個實數根，可得再把降次化為，從而可得答案.【詳解】解：，是方程的兩個實數根，故答案為：【點睛】本題考查的是一元二次方程的根與系數的關系，一元二次方程解的含義，掌握“利用一元二次方程的解把代數式進行降次”是解題的關鍵.【變式訓練3】設a、b是方程的兩實數根，則．【答案】2022【分析】先根據一元二次方程的根的定義可得，從而可得，，再根據一元二次方程的根與系數的關系可得，從而可得，然后代入計算即可得．【詳解】解：是的兩實數根，，，，，，則，故答案為：2022．【點睛】本題考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程的根與系數的關系是解題關鍵．類型三、構造方程化簡求值例．已知實數、滿足，，則．【答案】或【分析】實數、滿足等式，，①當時，，可能是方程的同一個根，兩數相等；②當a≠b時，由根與系數的關系，得，，把代數式變形成與兩根之和和兩根之積有關的式子，代入兩根之和與兩根之積，即可求得代數式的值．【詳解】解：①當時，原式．②當時，可以把，看作是方程的兩個根．由根與系數的關系，得，．∴．故本題答案為：或．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的應用以及分類討論思想的運用．此題綜合性較強，特別注意不要漏掉“”的情況．【變式訓練1】非零實數m，滿足，，則．【答案】/【分析】根據已知判斷出m，n是方程的兩實數根，然后利用根與系數關系即可求解．【詳解】解：∵實數，滿足等式，，∴m，n是方程的兩實數根，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了方程的解以及一元二次方程的根與系數關系，能熟練利用方程解的定義得到m，n是方程的兩實數根是解題的關鍵．【變式訓練2】若實數a、b滿足，，則的值是．【答案】【分析】由題意可知，分別是方程的兩個實數根，可得．，據此即可求解．【詳解】解：，，，，，分別是方程的兩個實數根，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，代數式求值問題，熟練掌握和運用一元二次方程根與系數的關系是解決本題的關鍵．類型四、求參數值（易錯點）例．已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，且，則實數．【答案】3【分析】利用一元二次方程有兩個不相等的實數根求出m的取值范圍，由根與系數關系得到，代入，解得的值，根據求得的m的取值范圍，確定m的值即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴，解得，∵，，∴，解得（不合題意，舍去），∴故答案為：3【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數關系，熟練掌握根的判別式和根與系數關系的內容是解題的關鍵．【變式訓練1】已知關于x的一元二次方程的實數根，滿足，則m的取值范圍是．【答案】【分析】根據根的判別式Δ≥0、根與系數的關系列出關于m的不等式組，通過解該不等式組，求得m的取值范圍．【詳解】解：由題意得：，所以，依題意得：，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式的應用，解此題的關鍵是得出關于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0）①當b2-4ac＞0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根，②當b2-4ac=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根，③當b2-4ac＜0時，一元二次方程沒有實數根．【變式訓練2】若，是方程的兩個根，且，則m的值為．【答案】3【分析】根據根與系數的關系結合，可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根據方程有實數根即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，從而即可確定m的值，此題得解．【詳解】解：∵，是方程的兩個根，∴，，∵，∴，∴，，∵方程有兩個實數根，∴，解得：，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，根據根與系數的關系結合，列出關于m的一元二次方程是解題的關鍵．【變式訓練3】關于的一元二次方程的兩個實數根是，，滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據題意可得出，，整體代入，即可求出．再根據一元二次方程有兩個實數根時，其根的判別式，可求出，最后取其公共解即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程的兩個實數根是，，∴，，∴，∴．∵，∴，解得：．∵該方程有兩個實數根，∴，解得：，∴．故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的解的定義，一元二次方程根與系數的關系，根據一元二次方程的解的情況求參數．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當時，該方程有兩個不相等的實數根；當時，該方程有兩個相等的實數根；當時，該方程沒有實數根．熟記一元二次方程根與系數的關系：和是解題關鍵．課后訓練1．關于x的一元二次方程兩個實數根的倒數和為1，則（

）A．或0 B．2或0 C．2 D．0【答案】C【分析】先利用根與系數的關系得到，再建立關于m的方程，解方程后代入檢驗即可．【詳解】解：設該方程的兩個實數根分別為a和b，∴，∵，∴，∴，檢驗：均為該方程的解；∵，∴不成立，∴，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的根，涉及到了根與系數的關系和解分式方程，解題關鍵是要記得檢驗．2．若，是一元二次方程的兩個根，則．【答案】【分析】利用根與系數的關系可求得和的值，代入求值即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個根，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查根與系數的關系，一元二次方程的根與系數的關系為：，．3．已知a，b是方程的兩個根，則的值．【答案】【分析】由根與系數關系知，，即知a＜0，b＜0，化簡原式，所以原式故答案為：﹣14．【詳解】解：∵a，b是方程的兩個根，∴，，∴a＜0，b＜0，∴∴原式故答案為：﹣14．【點睛】本題主要考查根與系數關系、完全平方公式變形及二次根式的運算及化簡；能夠根據a,b的關系式確定其取值范圍，進而準確處理二次根式的運算及化簡是解題的關鍵．4．已知方程的兩根分別為，則的值為．【答案】【分析】根據一元二次方程的根的定義可得，進而可得，根據一元二次方程根與系數的關系可得，再將原式變形為，即可求解．【詳解】解：方程的兩根分別為，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的根的定義以及根與系數的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數的關系，若一元二次方程的兩根分別為，那么，．5．已知方程的兩根是，則=.【答案】【分析】先利用根根與系數的關系得，，再通分得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：根據根與系數的關系得，，所以．故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根時，．6．已知關于的二次方程的兩個實根為和，且，則的值為．【答案】【分析】利用一元二次方程根